[вернуться к содержанию сайта] icon

[вернуться к содержанию сайта]



Название[вернуться к содержанию сайта]
Дата конвертации06.09.2012
Размер143.39 Kb.
ТипДокументы

[вернуться к содержанию сайта]



КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ: в помощь будущему астроштурману

(напечатано в журнале "Инженер" №7, 2005 г.)


Заправлены в планшеты космические карты,

И штурман уточняет в последний раз маршрут.

Давайте-ка, ребята, присядем перед стартом,

У нас ещё в запасе четырнадцать минут…

Я верю, друзья, караваны ракет


Помчат нас вперёд от звезды до звезды.

На пыльных тропинках далёких планет

Останутся наши следы…

^ В. Войнович


Профессия штурмана – человека, прокладывающего курс, маршрут судна и отмечающего его движение на карте, издавна была связана со звёздами. До появления компаса в открытом море только по отдельным звёздам да солнцу и можно было определить искомое направление. От умения находить, держаться его, не сбиваясь с курса, и происходит слово «штурман», переводимое как штурвальный, рулевой, кормчий. Позднее по звёздам и солнцу научились находить и положение судна на земном шаре.

Но наступил XX век, и звёзды оказались за бортом. На смену им пришли навигационные спутники, сети радиомаяков, гирокомпас и родственные ему инерциальные системы навигации, производящие счисление пути по показаниям акселерометров. Расширилось и понятие «штурман»: появились штурманы подводных лодок, самолётов, даже автомобилей. Для них навигация по звёздам оказалось слишком ненадёжной, сложной, а зачастую и вовсе неприемлемой. Но тот же XX век открыл космическую эру. В неосвоенных просторах космоса звёзды и Солнце стали, как в древние времена, единственными маяками пространства. А работа астроштурмана (астронавигатора, астрогатора) – штурмана космического корабля – со звёздами, как следует из её названия, связана вообще напрямую. Для него звёзды станут не только ориентирами, но и теми неведомыми землями, к которым и среди которых предстоит прокладывать курс.

Правильно проложить курс важно не только в открытом море-океане, но и в космосе. Поэтому определение, даваемое капитаном Врунгелем «штурманской науке», гласившее: «Навигация – это наука, которая учит нас избирать наиболее безопасные и выгодные пути, прокладывать эти пути на картах и водить по ним корабли», верно и в отношении астронавигации (астрогации). Но если в море выгодный курс сберегает топливо и время (он прокладывается по кратчайшему расстоянию меж двумя точками поверхности земного шара), то в космосе он призван экономить топливо в ущерб времени. Ракета летит не прямо, а по кривой, делая большой «крюк», да ещё и вылетает нередко из точки отправления к точке назначения в момент их наибольшего удаления (гомановская орбита)...

Причина – огромный расход топлива, даже при движении по оптимальному курсу.
Вот почему топливо в современных космических кораблях расходуется крайне экономно, лишь на начальных и конечных отрезках пути. В остальное время ракетные двигатели не работают: ракета движется по инерции, являясь игрушкой в руках космической стихии, дрейфующей в поле притяжения Солнца и планет по естественной траектории. Задача астроштурмана в том и состоит, чтобы рассчитать оптимальную траекторию и определить, как направить по ней корабль, лечь на проложенный курс, в остальное время полагаясь на природный автопилот – гравитацию.

Что же собой представляют эти естественные космические траектории? Общеизвестно, что в поле тяготения единственного космического тела, скажем Солнца или Земли, эти естественные космические траектории представляются так называемыми коническими сечениями (КС). Как следует из названия, КС – это кривая, получаемая в сечении прямого кругового конуса плоскостью. Поэтому КС нередко демонстрируют следующим остроумным способом. Берут карманный фонарик, расходящийся сноп света которого, как несложно понять, имеет форму конуса с вершиной-лампочкой, и освещают им затенённую поверхность пола (рис. 1). Контур высвеченного участка и есть КС: плоская поверхность пола пересекла конический луч света. Форма КС, как легко убедиться, зависит не от высоты фонарика над полом (она влияет лишь на размер светового пятна), а от угла его наклона к вертикали.



Если фонарик направлен отвесно в пол (ось конуса перпендикулярна секущей плоскости), пятно имеет форму круга. При небольшом отклонении фонаря от вертикали круг света вытягивается, приобретая овальные очертания (рис. 1). Такое КС (рис. 2.а) называется эллипсом. Дальнейший наклон приводит к увеличению длины эллипса, которая в определённый момент (когда верхний край луча параллелен полу) становится бесконечной: сечение перестаёт быть замкнутым. Это КС (рис. 2.б) называется параболой. Наконец, ещё склонив ось фонарика, получают световое пятно, ограниченное последним коническим сечением, гиперболой (рис. 2.в), имеющей в отличие от параболы вторую ветвь, симметричную первой.



Что же объединяет эти три такие разные и такие похожие кривые, помимо того, что все они – сечения одной поверхности? Оказывается, многое. Укажем лишь одно важное общее свойство, утверждающее существование для всех конических сечений особой точки F – фокуса и особой прямой a – директрисы (рис. 3). Особенность их состоит в том, что расстояния от любой точки данного КС до фокуса и до директрисы относятся друг к другу как некоторое постоянное, не зависящее от выбора точки, число ε, называемое эксцентриситетом КС. (Классические доказательства этого и других свойств КС можно найти в книге Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена «Наглядная геометрия»). По значению ε легко определяется вид сечения: ε < 1 соответствует эллипсу, ε = 1 – параболе, а ε > 1 – гиперболе. Отсюда и названия кривых, в переводе с греческого означающие соответственно «недостаток», «равенство» и «избыток». Заметим, что у окружности (частного случая эллипса) ε = 0, фокус совпадает с центром, а директриса бесконечно удалена. Астроштурмана особенно интересует фокус КС, совпадающего с траекторией ракеты: именно в этой точке расположено управляющее движением корабля космическое тело.



Для построения и демонстрации конических сечений можно буквально за минуту собрать несложное устройство, действующее по принципу фонарика. Потребуются обычная лазерная указка, медная проволока и металлический наконечник закончившегося стержня от шариковой ручки. Наконечник нужен блестящий (хромированный) и заканчивающийся правильным конусом с гладкой зеркальной поверхностью без неровностей, царапин и борозд от точения. Переберите несколько старых стержней и обязательно найдёте один такой. Очищенный наконечник укрепите с помощью проволоки напротив лазера, остриём навстречу выходящему лучу (рис. 4). Эта установка напоминает гиперболоид инженера Гарина, но действует противоположным образом: не собирает расходящийся поток света в узкий пучок, а рассеивает лазерный луч зеркалом наконечника в тонкую коническую поверхность (её можно увидеть в задымлённом помещении).



Освещая включенным в темноте прибором лист белой бумаги, наблюдают яркую и чёткую кривую – уже само коническое сечение, а не область внутри него. Если зафиксировать прибор (с зажатой скотчем кнопкой) в держателе, то, обводя карандашом высвечивающиеся кривые, можно легко и быстро построить любое КС. Поскольку карандаш и рука будут при этом временами отбрасывать тень, то лучше воспользоваться прозрачным планшетом из оргстекла, с наложенным на него со стороны противоположной падающему лучу листом кальки. Прозрачные планшеты и бумага часто используются и настоящими штурманами и астроштурманами в ЦУПе. На рассеивающем матовом покрытии кальки, словно на экране телевизора, высветится след лазерного луча, который уже можно спокойно обвести карандашом.

А теперь немного усовершенствуем нашу установку: удалим шарик из наконечника. Его выдавливают иголкой или булавкой, введённой в канал для пасты. Шарик вывалится, а получившееся сквозное отверстие можно ещё немного расширить, пробив той же иглой, или пройдя его тонким сверлом. Прибор с таким наконечником помимо светящегося контура даёт и маленькое световое пятнышко внутри него. Несложно понять, что эта светящаяся точка, созданная той частью луча, что прошла сквозь отверстие, представляет собой след оси конуса (оси лазерного луча) на секущей плоскости. Но вот догадаться, чем она является по отношению к горящему КС сложнее.

Можно было бы смело предположить, что эта точка и есть фокус высветившегося КС. Это, казалось бы, подтверждается и тем, что у сечения в форме круга она попадает точно в фокус, центр окружности. Но легко показать, что это совпадение – случайность: у других КС его нет. И всё же кажется, что эта маячащая перед глазами точка и ось конуса как-то связаны с горящим коническим сечением и его фокусом, просто не могут быть не связаны. Если бы такая связь существовала, она помогла бы находить фокусы КС сразу, без расчётов. Почему же только у окружности фокус и световая точка совпадают? Не потому ли, что только у этого КС секущая плоскость перпендикулярна оси светового конуса? Поэтому только для окружности проекция КС на плоскость, перпендикулярную оси конуса, и само сечение совпадают.

В жизни с проецированием на плоскость мы сталкиваемся регулярно. Проекциями являются тени, отбрасываемые предметами на плоскую поверхность, а видимые контуры тел – это проекции предметов на зрительную (картинную) плоскость. Поэтому, наблюдая высветившееся КС глазом, помещённым на оси прибора, мы видим проекцию кривой на плоскость перпендикулярную этой оси. При этом окружность нам видна такой, какая она есть в действительности – круглой, тогда как остальные КС, видимые под углом, будут сжиматься, оставаясь, однако, и в проекции коническими сечениями.

Раз у проекции окружности фокус совпал со световой точкой, то, может, и у проекций других КС они совпадают? Забегая вперёд, скажем, что так оно и есть в действительности. Те, кто знаком с аналитической геометрией, легко в этом убедятся, вычислив положение фокусов КС, являющегося решением системы пространственных уравнений прямого кругового конуса – x2 + y2 = cz2 и секущей плоскости – z = ay + b (см. рис. 5). Но мы докажем это положение проще, из геометрических соображений. Без уравнений убедиться, что данная точка – это фокус, можно единственным способом – используя определение фокуса, как центра, от которого все точки КС отстоят всегда в какое-то постоянное число ε раз дальше, чем от некоторой прямой (директрисы). Так что дело за малым: мы угадали фокус, остаётся угадать директрису – найти на чертеже (рис. 5) в плоскости XOY, в которой мы нашли проекцию КС и его фокус O, какую-то мозолящую глаза, словно световое пятнышко, прямую. Такой прямой оказывается линия a пересечения плоскости XOY и секущей. Итак, если a и O удовлетворяют условию постоянства ε, то доказано, что это – директриса и фокус проекции сечения.



Воспользуемся для доказательства рисунком 5, оставшимся от аналитического подхода, с его обозначениями и системой координат, вдоль осей которой удобно вести проецирование на её же плоскости. Как и в аналитическом решении, вершина конуса совпадает с началом координат O, плоскость XOY перпендикулярна оси конуса – оси Z, а плоскость YOZ перпендикулярна секущей. Угол раствора конуса – 2α, угол между секущей плоскостью и осью Z – β. Обозначим также произвольную точку N сечения и соответствующую ей в проекции точку M. Соединим M с вершиной O и опустим перпендикуляр MH на линию a. Требуется доказать, что отношение MO / MH есть величина постоянная и независящая от положения точки М на проекции. Для этого достаточно выразить длину одного отрезка, например MO, через длину другого – MH, чтобы они сократились.

Сперва, через точку N параллельно XOY проведём плоскость, обозначив пересечение её с осью Z точкой B. Раз плоскости параллельны, то MO = NB = OB·tg(α) (из прямоугольного треугольника NBO). Отрезок же OB = OAAB. Если опустим перпендикуляр NC на плоскость YOZ, из прямоугольного треугольника ABC найдётся катет AB = BC / tg(β). В плоскости XOY отрезку BC соответствует равная ему проекция OD = OEED. Но ED параллелен и равен MH, поэтому BC = OD = OEMH. Вот и замкнулся круг – MO выразился через MH. Последовательно объединяя вместе полученные ранее равенства, подставляя одного в другое, получим: MO = (OAOE / tg(β) + MH / tg(β))·tg(α). Но из прямоугольного треугольника AOE OE / tg(β) = OA, а потому MO = MH·tg(α) / tg(β). Или MO / MH = ε = tg(α) / tg(β) – величина, действительно, постоянная для всех точек данного конического сечения. Тем самым доказано: точка O и прямая a – это фокус и директриса проекции КС.

Поскольку тип КС при проецировании не меняется, то легко видеть, что и впрямь у эллипса (α < β) ε < 1, у параболы (α = β) ε = 1, а у гиперболы (α > β) ε > 1. Удобно также рассматривать конус с прямым углом при вершине: α = 45º, тогда ε = tg (φ), где φ – угол между секущей и проекционной плоскостью. Но главное – мы показали, что фокус проекции КС на поперечную оси конуса плоскость лежит на оси конуса. Напомним, что проекцию КС можно увидеть, если смотреть на планшет вдоль оси лазерной указки, её луча. Таким способом можно наблюдать разные КС одного семейства (рис. 3), имеющие общий фокус и директрису – достаточно поворачивать секущую плоскость планшета вокруг оси a (рис. 5). Случай именно такого поворота плоскости показан на рис. 2.

Можно эту проекцию КС (как и само сечение) даже построить, дополнив устройство с прозрачным планшетом собирающей линзой (увеличительным стеклом, лупой). Линза, размещённая на продолжении оси лазерного луча за планшетом, и создаст на экране из другого листа бумаги (перпендикулярного лучу) изображение светящегося в темноте КС и фокуса уже в проекции, которую можно обвести карандашом (рис. 6). Интересно проецировать изображение КС и на космическую карту Солнечной системы, наводя световое пятнышко, словно точку лазерного прицела, на изображение центрального тела на карте. Полёт же космического корабля по этой траектории изобразит ползущее по светящейся траектории тёмное пятнышко – тень от движущегося пальца или карандаша. Укажем далее, как элементы секущей плоскости и конуса, задающие данное КС, связаны со скоростью ракеты в точке запуска по этому КС.



Общеизвестен классический ньютонов пример – Земля и вблизи неё точка ^ L, из которой по касательной к поверхности выстреливается со скоростью V снаряд (рис. 7). При нулевой скорости запуска снаряд полетит отвесно вниз – напрямик к центру Земли O. Если сообщить снаряду небольшую начальную скорость, он полетит по узкому эллипсу, пересекающему земную поверхность (показана пунктриром). По мере дальнейшего роста скорости эллипс орбиты будет расширяться, округляться – ε будет уменьшаться. Когда ε уменьшится до нуля, траектория станет круговой, а скорость сравняется с первой космической скоростью (на поверхности Земли – 7,9 км/с). С дальнейшим увеличением V, траектория будет вытягиваться снова в эллипс – ε растёт, приближаясь постепенно к единице. Наконец, при ε = 1 траектория станет параболической, а скорость – второй космической (на поверхности Земли – 11,2 км/с). Замечательно, что вторая космическая скорость всегда больше первой ровно в раз. Ещё бóльшим скоростям запуска соответствуют большее значение ε и гиперболическая траектория, в пределе (при бесконечно большом значении V) переходящая в прямую.



Но мало кто замечал, что те же самые метаморфозы претерпевает и проекция КС при повороте секущей плоскости вокруг прямой, перпендикулярной оси конуса и касающейся конической поверхности в точке L (см. рис. 8 с обозначениями с рис. 5). Действительно, при плавном уменьшении угла β секущей от (180º – α) до нуля, кривая проходит те же фазы (сечения а, б, в, г), что и траектория снаряда при росте скорости его запуска. В этом легко убедиться, закрепив лазер и наблюдая видоизменения проекций КС, возникающие при плавном повороте планшета вокруг фиксированной оси, касающейся светового конуса.



Поэтому напрашивается вывод о возможности как-то связать скорость запуска V по КС с параметрами секущей плоскости, в которой оно получено. Дабы найти эту связь рассмотрим четыре значения скорости, четыре соответствующих им вида траектории и четыре положения секущей плоскости, дающих в проекции кривые такой формы (рис. 8). А именно, рассмотрим скорости: нулевую, первую и вторую космические, а также бесконечно большую. Им соответствуют следующие формы траекторий: прямая, направленная к центру O (сечение а, β = 180º – α), окружность (сечение б, β = 90º), парабола (сечение в, β = α) и прямая, касающаяся окружности (сечение г, β = 0º). Выразим скорости в условных единицах: нулевая равна нулю, первая космическая – единице, вторая найдётся как корень из двух, бесконечно большая равна бесконечности. Будем искать на рисунках 8 и 5 величины, меняющиеся подобным же образом.

Сразу бросается в глаза, что похожим образом меняется отрезок ^ OA, отсекаемый секущей плоскостью на оси конуса. Нулевой скорости запуска соответствует нулевая длина этого отрезка (OA´), первой космической – единичная (за условную единицу длины берём как раз длину OA´´), второй – двойная (OA´´´ = 2OA´´), а бесконечно большой скорости – бесконечная (параллельные прямые пересекаются в бесконечности). То есть во всех случаях OA меняется подобно скорости, с тем только исключением, что в случае в должна быть не двойка, а корень из двух. Поэтому догадываемся, что скорость пропорциональна не OA, а квадратному корню из OA. Таким образом, по удалённости от лазера световой точки на планшете можно судить о величине скорости, необходимой для выхода на траекторию в форме данной проекции КС. Этот вывод можно получить и строго.

Выразим эксцентриситет сечения не через углы (ε = tg(α) / tg(β)), а через длины отрезков на рис. 5. Опустим перпендикуляр ^ LK на ось конуса и получим два прямоугольных треугольника OKL и AKL, из которых tg(α) = LK / OK и tg(β) = LK / AK, откуда ε = AK / OK. Из курса космонавтики известна следующая формула: V2 = , где ^ G – константа гравитации, V – скорость ракеты в ближайшей к космическому телу (массой M) точке L орбиты, отстоящей от него на расстояние R = LO (рис. 7). Подставляя в формулу ε = AK / OK и учитывая, что OK + AK = OA, получим V2 = , откуда OA = V2R·OK/GM. Тот же самый результат получится, и если β > 90º и L – наиболее удалённая точка орбиты (тогда V2).

Поскольку G и OK – постоянны, то наше утверждение доказано: длина отрезка OA, отсекаемого на оси конуса плоскостью, пропорциональна величине V2R/M, где V – скорость в L, точке запуска, R – расстояние до неё. Допустим, мы с помощью штурманского прибора построили некоторую траекторию, но захотели узнать, как она преобразуется при изменении одного или нескольких параметров. Для этого достаточно вычислить, во сколько раз изменится величина V2R/M и пропорционально увеличить (или уменьшить) длину отрезка OA. Это делают, поворачивая планшет до тех пор, пока измеренное расстояние OA от пятна до лазера не изменится в требуемое число раз.

Напоследок разберём, как с помощью найденных зависимостей и нашего астроштурманского прибора решается наиболее распространённая задача космической навигации – перелёт с одной планеты на другую по переходной орбите Гомана. Эта траектория представляет собой эллипс, касающийся обеих планетных круговых орбит, сопрягающий их, и замечательна тем, что перелёт по ней требует наименьшего возможного расхода топлива. Легко понять, каким сечениям конуса соответствуют орбиты планет и переходная траектория (см. рис. 9). Используя такое представление и астроштурманский прибор, можно легко проложить курс корабля на карте Солнечной системы.



Для этого, нацелившись световой точкой зафиксированного прибора на изображение Солнца и поворачивая один только планшет, последовательно проецируют на карту с помощью собирающей линзы три КС с рис. 9 (два, совпадающих с планетарными орбитами, и один сопрягающий их эллипс – орбиту Гомана, которая обводится карандашом). При этом для каждого положения планшета линейкой измеряется расстояние от световой точки на нём до лазера (OA, OC и OB на рис. 9). Корни из отношений этих расстояний – и – суть ни что иное, как отношения скоростей по планетарной и гомановской орбитам, соответственно в точках M и N касания этих орбит. Отсюда из известных орбитальных скоростей планет найдутся те добавочные скорости VM и VN, равные разнице скоростей по орбите Гомана и планет, которые надо сообщить ракете в точках M и N по направлению её движения для смены курса (траектории) при перелёте с внутренней орбиты на внешнюю, или против – для обратного перелёта. То же можно было сделать, и чисто геометрически выразив через радиусы планетных орбит длины OA, OC и OB на рис. 9.

Так, с помощью одного только астроштурманского прибора можно проложить курс космического корабля и рассчитать скорости перехода с одной орбиты на другую, не использовав при этом ни единого уравнения космонавтики и высшей математики. Вспомнив конусную модель, вы сможете даже в уме решать задачи космонавтики, выполнять простейшие навигационные расчёты, не зная или не помня основных формул. Используя же дополнительно законы Кеплера, вы сумеете дать и исчерпывающее решение задачи.

Конечно, всё это навряд ли найдёт применение в настоящей астроштурманской работе, которая даже сейчас требует напряжения мысли больших исследовательских коллективов, применения сложного математического аппарата и мощных вычислительных машин. Как сказал о разработанных автором необычных методах решения задач В.И. Ершов, читавший нам математику: «С такими навозными методами ракеты не построишь и не запустишь!». Но такой цели автор и не ставил: он стремился лишь сделать астронавигацию ближе, доступнее, понятнее будущим пионерам освоения глубокого космоса, дать им наглядное представление траекторий движения космических аппаратов и того, как на них отражаются начальные условия. В конечном счёте, это им только поможет в дальнейшем, при освоении настоящей и значительно более сложной и точной астроштурманской науки космического кораблевождения – космической навигации. С её строгими математическими методами можно познакомиться по книге М. Фертрегта «Основы космонавтики» (М.: Просвещение, 1969), техническая же её сторона лучше освещена в «Космической технике» К. Гэтланда (М.: Мир, 1986).

Кроме того, описанный прибор глубже осветил связь, аналогию сечений конуса и естественных космических траекторий, показав, что она гораздо сложнее, необычнее, чем считалось, и может простираться дальше простого совпадения форм кривых. Как тут не вспомнить Эйнштейна, сводившего все видимые проявления гравитации к пространственной геометрии (построенной уже упоминавшимся Гильбертом) в предположении, что массивные тела меняют её, создавая локальные искривления пространства. К геометрии Гильберта физики сводят и механику микромира.

Пока профессии «астроштурман» ещё нет как таковой. Но когда в открытый космос будут, как в море, выходить полностью автономные, независимые от Земли и прочих баз космические суда, их экипаж будет полностью укомплектован, и в составе его обязательно будет астроштурман. Возможно, именно Вам, читатель, предстоит носить это гордое, налагающее большую ответственность звание, почти равное капитанскому, и, штурмуя космические просторы, прокладывать путь «через тернии к звёздам», следуя генеральным курсом, почти век назад намеченным нашим великим кормчим – К. Э. Циолковским.

Сергей Семиков


Дата установки: 17.03.2007

[вернуться к содержанию сайта]







Похожие:

[вернуться к содержанию сайта] icon[ вернуться к содержанию сайта

[вернуться к содержанию сайта] icon[ вернуться к содержанию сайта

[вернуться к содержанию сайта] icon[вернуться к содержанию сайта]
Меня очень огорчает увлечение учёных такими рискованными гипотезами, как эйнштейновская
[вернуться к содержанию сайта] iconВернуться к содержанию сайта
Квантовая химия – её прошлое и настоящее. Развитие электронных представлений о природе химической связи
[вернуться к содержанию сайта] icon[ вернуться к содержанию сайта
Двойственность и вращение сверхновых, пульсаров и других переменных звёзд как причина колебаний их блеска и спектра
[вернуться к содержанию сайта] icon[ вернуться к содержанию сайта
И верность уху. Звуки умертвив, Музыку я разъял, как труп. Поверил я алгеброй гармонию. Тогда
[вернуться к содержанию сайта] icon[ вернуться к содержанию сайта
И я тут же нашла объяснение: молоко не поглощалось ртом, оно конденсировалось из воздуха через волосы на шкуре коровы
[вернуться к содержанию сайта] icon[вернуться к содержанию сайта]
Эта операция поставит Землю в положение Юпитера, ось которого почти перпендикулярна плоскости его орбиты
[вернуться к содержанию сайта] icon[ вернуться к содержанию сайта
Ньютона, выполненный С. И. Вавиловым и напечатанный в журнале "Успехи физических наук" Т. VII, вып. 2, 1927 г., см также pdf
[вернуться к содержанию сайта] icon[ вернуться к содержанию сайта
...
[вернуться к содержанию сайта] icon[ вернуться к содержанию сайта
...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов