Тема настоящего исследования развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие icon

Тема настоящего исследования развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие



НазваниеТема настоящего исследования развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие
страница1/3
Дата конвертации14.09.2012
Размер0.53 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3


Логика развития древнеегипетского числа


В.И.Моисеев.


Тема настоящего исследования – развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие ментального многообразия, введенного автором в работах [1,2]. В связи с этим, мы остановимся вначале на основных определениях, связанных с конструкцией ментального многообразия. После определения ментального многообразия мы излагаем необходимые историко-математические факты и затем переходим к их обобщению и более формальному представлению в терминах некоторого специального вида ментального многообразия. В плане исторического материала мы опираемся на [3].

Под «ментальным многообразием» мы понимаем некоторую математическую структуру, особенно хорошо приспособленную, с нашей точки зрения, для более строгого выражения идей развития. В основном определении это достаточно простая структура, предполагающая в своем задании три множества и одно специальное отображение. Упомянутые три множества названы множествами «модусов», «моделей» и «мод». Это основные понятия в теории развития, выраженные только более специфическими терминами. Именно, развитие рассматривается нами как проявление какой-либо развивающейся сущности в той или иной системе условий. Таким образом, есть то, что (или кто) развивается («субъект развития»), есть этапы развития субъекта, представляющие из себя формы проявления субъекта, и, наконец, каждый этап развития может быть рассмотрен как сторона (аспект, момент) субъекта развития, выявляемая субъектом в той или иной системе условий. Итак, идея развития всегда предполагает триаду «субъект развития – этап развития – условия развития». Каждый этап развития может быть представлен как условное бытие субъекта развития, как «субъект-при-некотором-условии». Таким образом, последовательность этапов в развитии - это последовательность условных форм бытия единого субъекта развития. Если через А обозначить субъекта развития, через В1, В2, …, ВN какие-то системы условий развития, определяющие этапы развития, то сами этапы можно было бы представить как последовательность АВ1, АВ2, …, АВN, где АВ означает «А-при-условии-В», условных форм существования субъекта развития. В логическом плане субъект развития мы называем «модусом», условия развития – «моделями», условные формы бытия АВ субъекта как этапы его развития – «модами». «Мода» АВ образуется как результат действия некоторой операции «проецирования» . Таков смысл понятий «модус», «модель» и «мода» по отношению к идее развития.

В общем случае философия, по нашему мнению, достаточно регулярно использует следующие логические конструкции.
Вводится, во-первых, некоторое начало Х, и, во-вторых, некоторое множество элементов У1, У2, …, Уn рассматривается как множество «сторон», «аспектов», «мод» начала Х, образованных как условные виды бытия Х – как существования Х при некоторых условиях Z1, Z2, …, Zn. Таким образом, каждое Уi – это «Х-при-некотором-условии-Zi», i=1,2,..,n. Тем самым происходит возведение множества из независимых друг от друга элементов Уi к «усовершенному» или «преображенному» множеству «мод» «Х-при-некотором-условии-Zi», в котором все ранее независимые начала оказываются сторонами-аспектами единого «высшего» начала Х. Такого рода ментальную технику можно рассматривать как наиболее общее выражение различных частных процедур синтеза, столь характерных именно для философского знания. В качестве примеров подобной техники можно, например, указать на метод философского познания первоначал бытия (идей), описываемый Платоном в диалоге «Парменид», на представление определенностей как модусов и атрибутов субстанции в философии Спинозы, этапов развития абсолютной идеи в философии Гегеля, предикаций сущего в философии всеединства у В.С.Соловьева, и т.д. Такие процедуры «возведения к единству» присущи не только монистической традиции философии, но и разного рода плюралистическим направлениям (элементаризм Эпикура и Анаксагора, дуализм Декарта, и т.д.). В этом случае синтез выражается в возведении множества начал У1, У2, …, Уn не к одному основанию, но к множеству подобных оснований – Х1, Х2, …, Хm. Здесь синтетичность выражается в существенном уменьшении разнообразия оснований по сравнению с разнообразием возводимых к единству начал (m
Обобщая подобного рода синтетические техники, мы вводим понятие особой математической структуры – «ментального многообразия». Начала Х1, Х2, …, Хm, к которым происходит возведение, мы называем «модусами», те системы условий Z1, Z2, …, Zn, при которых проявляют себя модусы как конкретные начала, мы называем «моделями», а сами конкретные начала У1, У2, …, Уn, представленные как условное бытие какого-либо модуса Хj, j=1,2,…,m, при какой-либо модели Zi, мы называем «модами», и обозначаем их как ХjZi – «Хj-при-некотором-условии-Zi». Операцию  мы называем операцией «проецирования», рассматривая моды как своего рода «проекции» модусов в моделях. Ниже дается более строгое определение ментального многообразия в терминах теоретико-множественного подхода.


Определение. Ментальным многообразием будем называть четверку


 = <М123,>, где


М1 - непустое множество объектов, называемых “модусами”,

М2 - непустое множество объектов, называемых “моделями”,

М3 - непустое множество объектов, называемых “модами”,

 - операция проецирования.

Будем обозначать элементы М1 через М, элементы М2 – через m, элементы М3 – через .

Для каждого модуса М введем множества:

М2(М) – множество моделей (подмножество М2), поставленных в соответствие модусу М (множество моделей модуса М),

М3(М) – множество мод (подмножество М3) модуса М.

В этом случае операцию проецирования  будем понимать как множество биективных отображений М: {М}М2(М)М3(М), т.е элементы М3(М) – это в точности множество элементов вида М(М,m) = ММm, где m М2(М). Положим: Мm=ММm, где mМ2(М).

Т.о. каждая мода  может быть представлена в виде Мm – «модус М при условии модели m» («проекция модуса М в рамках модели m»).

Положим, что М2 – это объединение М2(М) по всем ММ1, М3 – объединение М3(М) по всем ММ1.

Для каждой модели m могут быть определены множества М3(m) – множество мод вида Мm, где варьирует переменная М, и М1(m) – множество модусов с ненулевым пересечением множеств М2(М) и {m}(возможен подход, при котором модус M отождествляется с множеством М3(M), модель m – с множеством М3(m)). Мы полагаем также, что для каждого М3(m) определено отношение эквивалентности =m – «равенство в модели m».

Пару <М,М3(М)> будем называть полнотой (определения) модуса М и обозначать через М (это модус вместе со своими модами).

Пару 3(m)> будем называть полнотой (определения) модели m и обозначать через m (это модель вместе со своими модами).

Как, например, для топологий в математике, возможны в общем случае различные классы ментальных многообразий, выделяемые из общего определения наложением некоторых дополнительных условий на общее определение.

Если для каждого модуса М определено некоторое непустое подмножество “канонических моделей М”, М2К(М), множества М2(М), то такое ментальное многообразие будем называть каноническим (идея “каноничности” модели может быть проинтерпретирована как условия моделирования модуса, наиболее адекватно выражающие природу этого модуса с той или иной точки зрения. В общем случае эта интерпретация зависит от конкретного вида ментального многообразия, и в рамках формальных определений мы только отмечаем такую возможность). Моду Мm, где mМ2К(М), будем в этом случае называть К-статусом модуса М, а канонические модели (К-модели) для модуса М в этом случае будем обозначать через mМ.

Если множество М2К(М) состоит из одного элемента для каждого модуса М, то такое ментальное многообразие будем называть 1-каноническим

Монадические ментальные многообразия – ментальные многообразия с одним модусом.

Полиадические – с более чем одним модусом.

Ментальное многообразие будем называть регулярным, если оно 1-каноническое, М2(М)=М2 для любого модуса М, и между модусами и их К-моделями установлена биекция.

Если на М3(m) введено отношение порядка для каждой модели m, m*=mМ* (т.е. m* – это К-модель для модуса М*), и выполнено свойство Мm*М*m* для любого модуса М (где равенство понимается в смысле равенства в модели m*), то такое ментальное многообразие будем называть ментальным многообразием с каноническим доминированием (это означает, что множество мод Мm* в модели m* оказываются подчиненными канонической моде М*m*, т.е. эта мода доминирует относительно введенного порядка). Если Мm*=М*m* (здесь имеется в виду равенство в модели m*), то будем говорить, что модус М дан в L-статусе в модели m*. В противном случае, т.е., если Мm* < М*m*, будем говорить, что модус М дан в М-статусе в модели m*. Ясно, что если модус дан в К-статусе в модели m (в рамках ментального многобразия с каноническим доминированием), то он дан в L-статусе в этой модели. L- и М-статусы будем называть R-статусами.

Если дано ментальное многообразие с каноническим доминированием и, кроме того, на модусах определено отношение порядка и выполнено свойство:

М1 < М2  М1m1 = М2m1, где m1 – это К-модель для модуса М1 и равенство понимается как равенство в модели m1, то такое ментальное многообразие будем называть экранирующим ментальным многообразием (здесь модусы М2, большие некоторого модуса М1, «экранируются» его модой М1m1 в его канонической модели m1, т.е. их моды М2m1 в этой модели m1 как бы замещаются его модой М1m1).

Если на модусах и модах каждой модели введены булевы алгебры (и соответствующие отношения нестрогого порядка, согласованные с булевой алгеброй и отношением эквивалентности на множествах мод модели), причем, существует естественный изоморфизм указанных булевых алгебр: выполнены свойства

(M1  M2 )M3 = M1M3  M2M3,


где M1, M2, M3 - любые три модуса,

 - операции пересечения () или объединения (), и


(M)M’ = (MM’),


то такие ментальные многообразия можно называть правильными булевыми.

Например, ментальное многообразие, на основе которого можно интерпретировать логико-философские идеи русской философии всеединства, можно определить как регулярное, правильное булево и экранирующее ментальное многообразие с каноническим доминированием (см.[1,2]). Такого рода ментальные многообразия можно называть ментальными многообразиями со всеединством. Можно предполагать, что ментальные многообразия со всеединством являются достаточно распространенными для различных философских традиций. Ниже мы рассмотрим развитие идеи числа с точки зрения некоторого специального случая ментального многообразия, используя данные выше определения.

Обратимся вначале к изложению основных фактов развития идеи положительного рационального числа в древнеегипетской математике, как они представлены в [3].

Древние египтяне использовали непозиционную систему счисления, применяя различные символы для чисел, например, | - один,  - десять, и т.д., группируя эти символы вместе для изображения какого-либо числа. Например, ||| - это три, ||||  - четырнадцать, ||   - двадцать два (читать надо справа налево), и т.д. В этом случае сложение чисел есть просто группировка всех символов из двух суммируемых чисел и замена соответствующего числа символов более низкого порядка на символ более высокого порядка, например, сложить ||||| (пять) и ||||||| (семь) – это значит получить |||||||||||| (двенадцать), но так как |||||||||| (десять) – это , то |||||||||||| заменяется на || . Ряд натуральных чисел не был бесконечным, как у нас. Существовало наибольшее число М. Например, во времена Древнего царства (3000-2000 до н.э.) это было число 100 000. В связи со всеми этими особенностями мы будем говорить о феномене египетского числа («е-числа») как особой стадии развития рациональных чисел. Далее мы будем использовать привычные для нас обозначения натуральных чисел, предполагая эти обозначения как сокращения для египетской записи натурального числа.

Совершенно своеобразным является умножение двух натуральных чисел у египтян. Например, чтобы умножить 11 на 12, т.е. найти 11·12, древние египтяне составляли таблицу для 11 такого вида:



1


11

2


22

\ 4


44

\ 8


88


Левый столбец (у египтян - правый) этой таблицы образует последовательные удвоения, начиная с единицы. Правый столбец (у египтян - левый) – это последовательные удвоения, начиная с умножаемого числа, т.е. с 11. Далее в левом столбце отмечаются те числа, которые в сумме дают множитель, т.е. 12. Это 4 и 8 (они выделяются черточкой). Теперь, чтобы найти результат умножения, складывают те числа в правом столбце, которые стоят напротив выделенных чисел левого столбца, - это 44 и 88. Так получают 132. Таким образом, умножение сводится к удвоению и сложению. Но удвоение не обязательно. Для достижения более быстрого счета могут применять удесятирение или упятерение, например, при умножении 16·16 (№6 Кахунского папируса – см.[3,с.23]):



\ 1


16

\ 10


160

\ 5


80


Б.Л. ван дер Варден пишет: «Этот египетский способ умножения является основой всей техники счета. Он должен быть очень древним, однако в этой форме он удержался до эллинистической эпохи и в греческих школах назывался «египетским счетом»» [3,с.24]. Мы будем называть описанный способ умножения «египетским умножением» (сокращенно: «е-умножение»). Общая форма е-умножения может быть представлена в следующем виде. Если требуется египетски умножить число а на число b (обозначим это в виде «а ·e b»), то для числа а составляется таблица



1


a

c1


с1(a)

c2


с2(a)

c3


с3(a)

:

.

:

.

cN


сN(a)


Здесь через сi(а), i=1,2,…,N, мы обозначаем е-умножение сi ·e а, нахождение результата которого легче, чем а ·e b. С этой точки зрения умножение сi ·e а есть более элементарная операция, чем а ·e b, и может быть обозначена как своего рода оператор сi(а), непосредственно (в рамках таблицы для а ·e b) дающий значение сi ·e а на основе значения а. Чаще всего в качестве такого оператора выступает удвоение, но при накоплении опыта счета в качестве подобных операторов могли выступать и другие случаи е-умножения (например, удесятерение, упятерение, и т.д.). Оператор сi(а) – это свернутая в единственный акт перехода от а к сi ·e а операция. В случае удвоения это операция простого удвоения символов числа (чисто знаковая операция), в более общем случае оператором становится какой-либо часто используемый случай е-умножения, в котором уже опускаются все промежуточные стадии вычисления и осуществляется непосредственный переход от исходных данных к результату.

Левый столбец таблицы составляется таким образом, чтобы, по возможности, при минимальном N образовать такой набор операторов сi, сумма которых даст множитель b. Такие операторы выделяются черточкой, и окончательный результат е-умножения получается как сумма тех чисел из правого столбца, которые стоят напротив выделенных операторов в левом столбце. Таким образом, умножение а ·e b раскладывается на сумму операторных е-умножений сi(а) (для выделенных операторов сi), что упрощает процедуру только при том условии, если операторные умножения сi(а) проще е-умножения а ·e b.

На тех же принципах строилось и деление у древних египтян. Чтобы разделить, например, 1120 на 80 (№69 папируса Ринда – см. [3,c.24]), египтяне строили такую таблицу:



1


80

\ 10


800

2


160

\ 4


320


Но, в отличие от е-умножения, исходным теперь был правый столбец (у египтян - левый), - в нем искали такие числа, которые в сумме дают делимое, т.е. 1120 (это числа 800 и 320), и напротив этих чисел отмечали соответствующие им операторы из левого столбца (числа 10 и 4). Сумма этих выделенных операторов и давала частное (в нашем примере 14), - в том случае, конечно, если это было целочисленное деление двух натуральных чисел. Такого рода деление можно называть «египетским (целочисленным) делением» (сокращенно: «е-деление») и обозначать а :е b.

Итак, чтобы найти а :е b, строится таблица



1


b

c1


с1(b)

c2


с2(b)

c3


с3(b)

:

.

:

.

cN


сN(b)


В таблице выбираются такие числа сi(b), которые в сумме дают а. Операторы сi напротив таких чисел выделяются, и частное получается как сумма выделенных операторов.

Если деление не было целочисленным, то древние египтяне прибегали к дробям. У них был ограниченный запас дробей. Это главным образом основные дроби, т.е. дроби с числителем единица: ½, ¼, и т.д., вплоть до некоторого наименьшего числа m (возможно, что m=1/М, но указаний на это у Б.Л. ван дер Вардена автор не нашел), и были еще отдельно выделены две дроби 2/3 и ¾ (все эти дроби будем называть базисными дробями). Следуя Нейгебауэру, будем писать вместо 1/n, - вместо 2/3 и - вместо ¾. Практика вычислений приводила в этом случае к суммам дробей, которые не всегда могли быть представлены одной базисной дробью или натуральным числом с одной базисной дробью. Поэтому суммы дробей вида 1 +2 +…+k или 1 +2 +…+k ++ (или натуральных чисел с дробями) были в древнеегипетской арифметике относительно независимыми объектами. Такие суммы пытались свести различными преобразованиями к суммам из небольшого числа базисных дробей (обычно двух или трех), для чего использовались разного рода таблицы (см. [3,c.26-33]). Использование дробей в качестве операторов в таблицах для е-деления позволило расширить возможности деления. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример №24 из папируса Ринда (см. [3,c.29]) – случай деления 19 на 8:



1


8

\ 2


16




4

\


2

\



1




В правом столбце в сумме дают 19 числа 16, 2 и 1. Им соответствуют числа 2, и в левом столбце. Сумма этих чисел, т.е. 2 + + и дает частное от е-деления 19 на 8. Сумма дробей + , т.е. ¼ + 1/8, - это 3/8. У древних египтян не было такой дроби как базисной дроби, поэтому она могла быть выражена только как сумма базисных дробей, например, как + .

В этом случае мы видим, что в качестве операторов (элементов левого столбца) начинают выступать базисные дроби.

В дальнейшем процедура е-деления пополняется еще одной техникой, которая наконец позволяет теперь уже окончательно найти любое частное от деления любых е-чисел. Это техника вычислений с «красными вспомогательными числами» [3,c.33-37]. Рассмотрим ее вначале на примере.

Рассмотрим пример е-деления 2 на 31 из папируса Ринда (см. [3,c.33]):



1


31

\


1++

\




\





Б.Л.ван дер Варден комментирует это е-деление таким образом, что вначале получают операторное е-умножение (31)=3+ (оно опущено в таблице), отсюда затем получают операторное е-умножение (31) как ((31))= (3+)=1++. Чтобы теперь окончательно е-разделить 2 на 31, нужно найти такой оператор с, чтобы с(31) давал дополнение 1++ до 2. Таким именно оператором является е-число +, т.к. 2–(1++)=+ и (31)= , (31)= . Если найдены и (т.е. дополнение 1++ до 2), то и находятся без труда – на основе е-умножений 4 на 31 и 5 на 31 соотв. Итак, главное – найти дополнение 1++ до 2 (или, что то же самое, найти дополнение + до 1), т.е. +, но как именно египетский счетчик нашел эти числа и ?

Процедура е-деления начинает применять технику дополнения некоторой суммы базисных дробей, меньших единицы, до единицы. Б.Л.ван дер Варден пишет о такого рода задаче: «Это – задача, которая постоянно встречается при египетских делениях. В вышеприведенном делении 2
  1   2   3




Похожие:

Тема настоящего исследования развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие iconТема настоящего исследования развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие
После определения ментального многообразия мы излагаем необходимые историко-математические факты и затем переходим к их обобщению...
Тема настоящего исследования развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие iconПолитика как предмет исследования
Вебер использовал понятие господства преимущественно во втором значении. Но поскольку понятие власти означает силу при­каза и обязанность...
Тема настоящего исследования развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие iconВ. И. Секерин современная корпускулярная модель света
В мире, вероятно, самым доступным для исследования объ­ектом является свет, в такой же мере, по-видимому, о нем же существуют самые...
Тема настоящего исследования развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие iconОбразование пространства
Модели такого типа присущи всему живому. На сознательном уровне «ощутительная» модель трансформируется в абстрагирующиеся от непосредственных...
Тема настоящего исследования развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие iconУрок математики 6 класс Никитина Татьяна Ивановна, учитель математики Тема урока: «Наименьшее общее кратное» Цель урока: ввести понятие наименьшего общего кратного
Перечислите методы, которыми мы пользовались раньше для нахождения кратного чисел
Тема настоящего исследования развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие iconТема: Александр Грин. «Алые паруса»
Цели: Сформировать понятие о произведении такого жанра, как феерия; закрепить знания учащихся о композиции произведения
Тема настоящего исследования развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие icon2. Используя ms word, выполните обработку текстового документа
Понятие информации. Виды информации. Роль информации и живой природе и в жизни людей. Язык как способ представления информации: естественные...
Тема настоящего исследования развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие iconТема: Понятие об алгебре высказываний
...
Тема настоящего исследования развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие iconУрок математики 6 класс Никитина Татьяна Ивановна, учитель математики Тема урока: «Основное свойство дроби» Цель урока: ввести понятие основного свойства дроби
На какие группы можно разбить числа? (дробные и целые числа; сумма цифр 9 и 11; правильные и неправильные дроби)
Тема настоящего исследования развитие представления о рациональном положительном числе преимущественно на материале древнеегипетской математики. Мы предполагаем изложить ниже оригинальную модель такого развития, используя понятие iconУрок №1 Тема урока: Математика и искусство. Цель урока: показать учащимся неразрывную связь между основными законами математики и законами формообразования произведений искусства
«В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов