Тема урока : Решение тригонометрических уравнений icon

Тема урока : Решение тригонометрических уравнений



НазваниеТема урока : Решение тригонометрических уравнений
Дата конвертации10.09.2012
Размер122.45 Kb.
ТипУрок

Чупахин А.В. – учитель математики МОУ «Курасовская СОШ»

Тема урока: Решение тригонометрических уравнений.

Цель: обеспечить систематизацию и обобщение знаний по данной теме, создать условия для развития творческих способностей и познавательной активности учащихся, содействовать развитию у школьников исследовательской культуры, помочь учащимся осознать ценность совместной деятельности.

(Урок обобщения и систематизации знаний).

Ход урока.

I. Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся.

II. Повторение и проверка ранее изученного материала.


1. Индивидуальная работа (работа по карточкам у доски).



К – 1. Решить уравнение.

= sin ().

Используется метод оценки левой и правой частей уравнения.

К – 2. Построить график функции.

у = |2sin (х - ) + 1|.

Осуществляется

параллельный перенос

системы координат.

К – 3. Решить уравнение

|3ctg x – 5| - =0.



^ Используется замена

t=ctgх,

в результате

получается уравнение

|3t-5|–|t+2|=0,

которое решается

методом интервалов.

^ К – 4. № 8. 083 (А) - из сборника Сканави.

Решить уравнение

sin2 x – 2 sin x cos x = 3cos2 x.

Однородное тригонометрическое уравнение

2ой степени.


2. Проверка домашнего задания.




8.015 (А) - из сборника Сканави.

sin22z + sin23z + sin24z + sin25z = 2

Решение.



сos4z + cos6z + cos8z + cos10 z = 0

2 cos5z cosz + 2 cos9 z cosz = 0

2 cos z(cos5z + cos9z) = 0

cos z = 0 cos5z + cos9z = 0

z1 = , nZ 2 cos7zcos2 z =0

cos7z = 0 cos2z = 0

z2 =, k Z. z3 = , lZ

Учащиеся

(2 чел. у доски).

восстанавливают

решения уравнений

у доски

(без тетрадей)

из сборника задач по математике

для поступающих

во ВТУЗы

(под редакцией М.И.Сканави) -

глава 8

8.015 из группы А и № 8.439 из группы В.


8.439(B) - из сборника Сканави (для «сильных» учащихся).

18 cos2 x + 5 (3 cos x + ) + +5 = 0

Решение.

О.Д.З.: cos x , хn, nZ

18 cos2 x + + 5(3 cos x + ) +5 = 0

2 (9 cos2 x + ) + 5(3 cos x + ) +5 = 0

Пусть 3 cos x + = t, тогда

(3 cos x + )2 = t2, 9 cos2 x + = t2 – 6


9 cos2 x + = t2 – 6.

Уравнение примет вид:

2 (t2- 6) + 5t +5 = 0

t1= 1, t2 = -

cos x = -, x = (- arccos) + 2n, nZ.


cos x = -, x = , к,

х = , кZ.


Используется

Наглядность

кабинета




3. Устный фронтальный опрос.

(На доске несколько уравнений.)

1) sin2x - sin x = 0 2) cos2x – 5 cos x + 4 = 0

3) sinx tg x - tg x+=0 4) tg x = (cos4 - sin4)

5) cos x + 6) sin22x + sin23x + sin24x + sin25x = 0

Т.к. в левой части уравнения стоит сумма четы-

рёх неотрицательных функций, то уравнение

равносильно системе: sin 2x = 0,

sin 3x = 0,

sin 4x = 0,

sin 5x = 0.

(Проверка К – 1).

Постановка проблемы:

Можно ли использовать

названный метод при решении уравнения

sin22z + sin23z + sin24z + sin25z = 2?

(Проверка решения № 8.015 (А)

из сборника Сканави - д/з). 7) tg5x = tg2x 8) sin4x – 2 sin3x + (д/з).

(Проверка решения № 8.439(B)

из сборника Сканави - д/з).

9) sin = cos 10) sin2 x – 2 sin x cos x = 3cos2 x

(Проверка К – 4).

11) 5cos x + 12sin x = 13 12) 2 cos 4x + 5sin 4x +2 = 0


13) 14) |3ctg x – 5| - =0.

(Проверка К – 3).

15) |2 sin (x - ) + 1| = a

(Проверка К – 2).

- Что записано на доске? (Тригонометрические уравнения).

- Какие вы знаете методы решения тригонометрических уравнений и к каким из написанных уравнений их можно применить? Охарактеризовать эти методы.

- Метод разложения на множители (уравнение № 1).

- Метод введения новой переменной с целью сведения тригонометрического уравнения к уравнению алгебраическому, в частности, к квадратному (уравнение № 2).

- Метод вспомогательного аргумента (уравнение № 5).

- Метод оценки левой и правой частей уравнения (уравнение № 6). После названия этого метода осуществляется проверка К – 1.

- Метод решения уравнений на основании условий равенства одноимённых тригонометрических функций (уравнение № 7).

- Метод решения возвратных уравнений чётной и нечётной степени (уравнение №8). После названия этого метода осуществляется проверка решения № 8.439(B) из сборника Сканави (д/з).

- Метод деления левой и правой частей уравнения на косинус (или синус) в степени, равной степени уравнения (решение однородных уравнений относительно косинуса (или синуса) 1й и 2й степени - уравнение № 9, № 10 или уравнений, приводящих к однородным). После названия этого метода осуществляется проверка К – 4.

- Универсальная подстановка для тригонометрических уравнений (уравнение № 11, № 12).

- Метод интервалов (уравнение № 13). После названия этого метода осуществляется проверка К – 3.

- Графический способ решения (уравнение № 15).


III. Решение тригонометрических уравнений

(обобщение и систематизация знаний, усвоение системы знаний).

1) Найти число корней уравнения |2 sin (x-) + 1| = a

в зависимости от параметра a на отрезке [-2; 2].



y = |2 sin (x - ) +1|.

Осуществим параллельный перенос системы координат, выбрав началом новой системы точку О1(; 1). В системе O1x1y1 построим график функции y1 = |2 sin x1|


y = a – прямая, параллельная оси Ox.

Ответ: при a < 0 нет общих точек, поэтому данное уравнение корней не имеет;

при a = 0 - 5 корней; при 0 < a < 1 - 8 корней;

при a = 1 - 6 корней; при 1< a < 3 - 4 корня;

при a = 3 - 2 корня.

Используется

графический способ решения данного

уравнения.

Осуществляется

проверка К – 2 и

результат работы ученика по этой карточке используется при решении этого уравнения

(1 человек у доски).


^ 2) Решить уравнение

2 cos 4x + 5sin 4x +2 = 0.


Пусть tg2x = z, тогда

cos 4x = , sin 4x = , где 4x , nz, x, nz.

Уравнение примет вид:

2+2 = 0, = 0


= 0

1+ z 2 > 0 при всех значениях z.

10 z + 4 = 0, z = - .

tg2x = - , x = - arctg+ , kz

Проверка убеждает, что числа вида x = , nz – решения данного уравнения.

^ При решении этого уравнения

используется

универсальная

подстановки

для тригонометрических уравнений.

(1 чел. у доски)


3) Решить уравнение






Пусть z = cos x – sin x, тогда

cos2 x – 2 cos x sin x + sin2 x = z 2

1 – sin 2x = z 2, sin 2x = 1 – z.2

Уравнение примет вид:

+2 z – 1 = 0, = 1- 2z.

Полученное уравнение равносильно системе:

1 – z 2 = (1 – 2 z)2,

1 – 2 z 0.


1- z 2 = (1- 2 z)2

1- z 2 = 1- 4 z + 4 z 2

1- 4 z + 4 z 2 – 1 + z 2 = 0

5 z 2 – 4 z =0

z (5 z – 4) = 0

z = 0 или z = 0,8

z = 0, z = 0,8


z 0,5, откуда z = 0.


cos x – sin x=0, х = z.

В ходе использования коллективной формы деятельности учащихся на уроке данное уравнение сводится к тригонометрическому, которое

с помощью

подстановки

z = cosх – sinx

сводится к

иррациональному,

в результате

получается

однородное

тригонометрическое уравнение 1 степени.


4) Найти все решения уравнения ,

удовлетворяющие условию cos, заполнив пропуски.

Т.к. cos2 , то 1+ cos x = ???.



??? -

По условию cos < 0, поэтому | cos | = ???.

-

+

Разделим обе части уравнения на ? ? ?.

Получим: ? ? ? .

Используя метод ???, имеем: ? ? ?.



Каждый из обучающихся

получает лист с решением данного уравнения, где есть пропуски, которые необходимо заполнить.

^ Для контроля 1 человек выполняет задание на закрытой части доски.

Осуществляется взаимопроверка решения.

В качестве домашнего задания обучающимся предлагается решить полученное простейшее тригонометрическое уравнение cos()=- и осуществить отбор корней, удовлетво-

ряющих условию cos.



^ IV. Исследовательская работа по нахождению свойств

функций

(применение усвоенной системы знаний для объяснения новых фактов).


Учащимся предлагается выполнить следующие

задания:

1). Найти область определения функции

y = . (На оценку «3».)

2). Найти точки максимума функции

y = sin (). (На оценку «4»).


3). Найти нули функции

y = cos x или y = (2 + x2 – cos 7x. (На оценку «5»).


Результаты групп.

1). y = .

2 cos ( + 3x) + 10, т.к. на «0» делить нельзя.

x , nz

Решается уравнение.

2 cos ( + 3x) = - 1, cos ( + 3x) = - ,

x = , nz.

Ответ: областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме , nz.

2). y = sin().

sin() = 1, = , nz, = +2n, nz.
| cos 4x| 1, поэтому n = 0

= , 4x = arccos + 2n, nz,
4x = + 2n, nz,


x = , n z.

Ответ: , n z – точки максимума функции.

3) y = cos x .

О.Д.З.: 3-х2, x[-;].

=0, 3 – x2 =0, x2 = 3, x = .

[-;].

cos x = 0, x = +, nz.

При n=0 x = [-;],

при n=-1 x=[-;].

Ответ: ; - нули функции.

Учитель ставит проблему: «Как найти

область определения функции, точки максимума функции и

нули функции?»,

затем, осуществляя фронтально работу по изученной ранее схеме исследования функций и особо обращая внимание на исследование тригонометрических функций, подводит учащихся к самостоятельному формулированию гипотезы «Решить тригонометрические уравнения», создаёт условия для исследовательской деятельности учащихся, обеспечивает учебный процесс дидактическим материалом, акцентируя внимание на плакат «Схема исследования функций» и материал учебника «Свойства тригонометрических функций» (п.7 стр. 56-57), организовывает деловое общение учащихся в 3х созданных группах.

Учащиеся 3й группы планируют и проводят исследовательскую деятельность самостоятельно,

без непосредственной

помощи учителя.

Учащиеся 2й группы

самостоятельно планируют и выполняют исследовательскую работу, при необходимости консультируясь с учителем.

Затем представители от каждой группы освещают результаты у доски.

Учащиеся 1й группы следуют алгоритму работы, который предложил учитель, отвечают на вопросы учителя.




^ VI. Постановка домашнего задания.

- № 169(б) - стр. 333 (Учебник: А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа 10-11. – Москва: Просвещение, 2003. - гл. VI. Задачи повышенной трудности)

- Решить полученное простейшее тригонометрическое уравнение cos()=- и осуществить отбор корней, удовлетворяющих условию cos.

- Решить уравнение sin4x – 2 sin3x + .

VII. Подведение итогов урока.

Анализируется весь ход урока и его основные моменты, оценивается деятельность каждого ученика на уроке.

Ученики, получив специальный лист, отвечают на вопросы

(да «+», нет «-», не совсем «»):

  1. Я могу решать различные тригонометрические уравнения ___

2. Я понял(а), с какой целью делается замена неизвестного в тригонометрических уравнениях ___

3. Я уяснил(а), в чём состоит универсальный метод решения тригонометрических уравнений___

4. Я знаю, когда возникает опасность потери корней при решении тригонометрического уравнения ___

5. Я умею проводить исследование тригонометрических функций ___

6. Я ставлю себе за работу на уроке оценку «5», « 4», «3», «2»: «___», потому что …


- Кто поставил все плюсы?

- Чем же мы занимались сегодня на уроке?

VIII. Рефлексия.

1. Я считаю, что урок прошёл результативно, т.к.

- я получил новые знания по предмету;

- я узнал новые способы получения знаний;

- была благоприятной атмосфера урока;

- я получил хорошую отметку;

- свой вариант ответа.

2. Другое мнение по уроку.









Похожие:

Тема урока : Решение тригонометрических уравнений iconМетодическая разработка урока. Предмет алгебра и начала анализа. Класс 10. Тема урока «Формулы решений простейших тригонометрических уравнений вида соsх = а». Цели
Тема урока – «Формулы решений простейших тригонометрических уравнений вида соsх = а»
Тема урока : Решение тригонометрических уравнений iconУрока: Формулы решений простейших тригонометрических уравнений вида соsх = а. Цели: познакомить с алгоритмом решения простейших тригонометрических уравнений вида соsх = а
Тема урока: Формулы решений простейших тригонометрических уравнений вида соsх = а
Тема урока : Решение тригонометрических уравнений iconТематическое домашнее задание. «Решение тригонометрических уравнений, систем уравнений»
Определите все действительные значения параметра а при каждом из который уравнение имеет решения, найдите все эти решения
Тема урока : Решение тригонометрических уравнений iconУрока Тема занятия. Кол-во часов Примечания. 1 2-3 4-5 6 7 8
Решение показательных и логарифмических уравнений. Показательные и логарифмические неравенства
Тема урока : Решение тригонометрических уравнений iconКева Татьяна Владимировна
«Решение уравнений и неравенств с параметрами» (10 кл.), «Решение уравнений и неравенств с модулем» (10 кл.), «Решение уравнений...
Тема урока : Решение тригонометрических уравнений iconРешение уравнений и неравенств с параметром графическим методом. Цель: углубление и систематизация знаний и умений по теме: «Решение уравнений и неравенств», «Графики функций». Ход занятия
Задание Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений , имеет единственное решение
Тема урока : Решение тригонометрических уравнений iconТематическое планирование уроков математики в 3 классе № урока Название темы Количество часов Дата урока по плану Фактическая дата урока
Решение уравнений, основанных на связи между компонентами и результатом действия при сложении
Тема урока : Решение тригонометрических уравнений iconТема: Решение систем линейных уравнений с параметрами
Определение. Системой линейных уравнений с двумя переменными называется два линейных уравнения, рассматриваемых совместно
Тема урока : Решение тригонометрических уравнений iconУрок по теме: «Тождественные преобразования тригонометрических выражений» повышенный уровень сложности
Тема урока выбрана на основании анализа диагностической контрольной работы в данном классе, которая выявила, что учащиеся класса...
Тема урока : Решение тригонометрических уравнений iconУрок по теме «Решение уравнений» 7 класс Цели урока Способствовать развитию мыслительных операций (сравнения, абстрагирования, обобщения, конкретизации, анализа, синтеза)
Обобщить знания и умения учащихся при решении задач составлением уравнений, нестандартных задач
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов