А. Р. Морозова дифференциальные уравнения методические указания icon

А. Р. Морозова дифференциальные уравнения методические указания



НазваниеА. Р. Морозова дифференциальные уравнения методические указания
А.Р. Морозова<><><><>ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ<><><><>МЕТОДИЧЕС
Дата конвертации27.09.2012
Размер140.59 Kb.
ТипМетодические указания
1. /Дифференциальные уравнения.docА. Р. Морозова дифференциальные уравнения методические указания


А.Р. Морозова


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ


Методические указания к практическим занятиям по математике
" Дифференциальные уравнения"


Составитель: А.Р. Морозова, к.т.н., доцент


Методические указания к практическим занятиям по математике содержат изложение двух тем общего курса: дифференциальные уравнения первого порядка и неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Каждая тема содержит краткие теоретические сведения и пример выполнения задания.

Методические указания содержат также задачи для самостоятельных занятий.

Содержание


1. Дифференциальные уравнения первого порядка 4

2. Уравнения с разделяющимися переменными 4

3. Однородные уравнения 5

4. Уравнения, приводящиеся к однородным 6

5. Линейные уравнения первого порядка 7

6. Уравнение Бернулли 7

7. Уравнение в полных дифференциалах 8

8. Интегрирующий множитель 9

9. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами 11

10 Геометрические и физические задачи 12

Задания для самостоятельной работы 16

Список рекомендуемой литературы 17

1. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка.

Дифференциальные уравнения 1-ого порядка имеют вид



Если это уравнение можно разрешить относительно y то его можно записать в виде



Если в уравнении функция и её частная производная по y непрерывны в некоторой области D на плоскости XOY содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения удовлетворяющее условию при , которое называется начальным.

Общим решением дифференциального уравнения 1-ого порядка называется функция gif" name="object10" align=absmiddle width=86 height=19>, которая зависит от одной производной const C и удовлетворяет следующим условиям:

а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении const C;

б) каково бы ни было начальное условие при т.е. можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию.

2. Уравнения с разделяющими переменными.

Уравнения вида , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от X и только от Y называется уравнением с разделяющими переменными. Путём деления на произведение оно приводится к уравнению с разделёнными переменными:



Общий интеграл этого уравнения имеет вид



Пример 2.1. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Решение. Имеем

Разделяя переменные, получаем



Интегрируя, найдём общий интеграл



(1)

Полагая X=0 и Y=1, будем иметь , откуда

Подставляя в (1) найденное значение C, получаем частное решение ;

Из начального условия следует, что поэтому перед корнем берём знак плюс. Итак, искомое частное решение

3. Однородные уравнения.

Функция называется однородной функцией своих аргументов измерения n, если справедливо тождество



При n=0 имеем функцию нулевого измерения.

Дифференциальное уравнение вида называется однородным относительно x и y, если есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения.

Однородное уравнение всегда можно представить в виде

Вводя новую искомую функцию , имеем уравнение с разделяющимися переменными



Пример 3.1. Решить уравнение



Решение. Запишем уравнение в виде



так что данное уравнение оказывается однородным относительно x и y.

Положим или , тогда . Подставляя в уравнение выражение для и , получаем



Разделяем переменные ;

,

т.к. , то, обозначая , получаем

Заменяя на , будем иметь общий интеграл ,

4. Уравнения, приводящиеся к однородным.

Рассмотрим уравнения вида





— постоянные

Если , то уравнение является однородным. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то следует различать два случая.

1)

Вводя новые переменные и по формулам , приведем уравнение к виду

Выбирая h и k как решение системы линейных уравнений



получаем однородное уравнение найдя его общий интеграл и заменив , получаем общий интеграл уравнения

и уравнение имеет вид



Подстановка приводит его к уравнению с разделяющими переменными.


Пример 4.2. Решить уравнение

Решение. Система линейных алгебраических уравнений несовместна. В том случае метод, применённый в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку , . Уравнение примет вид



Разделяя, переменные получаем

,




5. Линейные уравнения первого порядка.

Линейным дифференциальным уравнением 1-ого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной

. (1)

Решение линейного уравнения ищем в виде

Подставляя в (1), после преобразования получаем

Выберем v такой чтобы найдём , и следовательно и решение

Пример 5.1. Решить задачу Коши

,

Решение. Это линейное уравнение. Ищем общее решение в виде , имеем . Подставляя выражения для и в данное уравнение, будем иметь





, , ,

Для определения u имеем уравнение

,

, ,



Найдём C: , ;

Итак, решением поставленной задачи Коши будет

.

6. Уравнение Бернулли имеет вид , где

с помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

Пример 6.1. Решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на



Положим , тогда , подставим в уравнение



,

, , ,

, ,





7. Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции т.е.



Для того чтобы (1) являлось уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области D изменения переменных x и y выполнялось условие

Общий интеграл уравнения (1) имеет вид

Пример 7.1. Решить уравнение



Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах

, , так что

То данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и , , поэтому , проинтегрируем

где пока неопределённая функция.

Частная производная найденной функции должна равняться

,

,









Общий интеграл имеет вид

8. Интегрирующий множитель

В некоторых случаях, когда уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, удаётся подобрать функцию , после умножения на которую, левая часть (1) превращается в полный дифференциал .

Такая функция называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя или

(2)

Некоторые частные случаи, когда удаётся легко найти интегрирующий множитель.

1. Если , то и уравнение (2) примет вид

(3)

Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от y , необходимо и достаточно, чтобы правая часть (3) была функцией только от x.


Пример 8.1. Решить уравнения



Решение. , , имеем , следовательно , ,

Уравнение в полных дифференциалах

Его можно представить в виде , откуда и общий интеграл данного уравнения



2. Аналогично, если есть функция только y, то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель , зависящий только от y.


Интеграл уравнения (1)



Пример 8.1. Решить уравнение



Решение. Положим , тогда











т.к. , интеграл последнее соотношение, получим уравнение цепной линии



Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

,

, ,

Замечание. Аналогично можно проинтегрировать уравнение



2. Уравнение вида

(2)

не содержит явным образом независимой переменной x.

Для его решения снова положим

(3)

но теперь будем считать p функцией от y (а не от x, как прежде). Тогда



Подставляя выражение и в уравнение (2), получим уравнение 1-ого порядка

Интегрируя его, найдём p, как функцию y и производной постоянной :



Подставляя это значение в соотношение (3), получим





Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения



Пример 8.2. Найти общий интеграл уравнения



Решение. Пусть , тогда









Возвратимся к переменной y:



9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Линейное однородное уравнение 2-ого порядка

(1)

p, q — постоянные действительные числа

(2) характеристическое уравнение, его корни

,

При этом возможны следующие случаи:

1. и — действительные и притом не равные между собой числа (). Тогда общее решение имеет вид (3)

2. и — комплексные числа

, , где ,

Общее решение имеет вид (4)

3. и — действительные равные числа ().

Общее решение имеет вид (5)


Пример 9.1. Решить уравнение



Решение. Характеристическое уравнение



; ,

Общее решение

Пример 9.2. Решить уравнение



Решение



; ,



10. Неоднородные линейные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Это уравнение вида

(1)

Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей.



Правая часть дифференциальных уравнений

Корни характеристического уравнения

Виды частного решения

1



1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения.



2. Число 0 — корень характеристического уравнения кратного S.



2



1. Число не является корнем характерного уравнения.



2. Число является корнем характерного уравнения кратности S.



3





1. Число не является корнем характерного уравнения.




2. Число является корнем характерного уравнения кратности S.




4





1. Число не является корнем характерного уравнения.




2. Число является корнем характерного уравнения кратности S.





Пример 10.1. Решить уравнение



Решение. Характеристическое уравнение



, ,

Общее решение однородных уравнений имеет вид:

Правая часть уравнения , т.к. не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид (см. табл. Случай 2/1)



Подставляя его в исходное уравнение и сокращая обе части уравнения на , будем иметь



Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, получаем линейную систему уравнений для нахождения коэффициентов , и :





Общее решение данного уравнения

Пример 10.2. Найти общее решение уравнения



Решение: характеристическое уравнение k2+ 10k + 25=0 имеет двукратный корень k1 = k2=-5, поэтому y= (C1 +C2 x ) e-5x.

Т. к. к=-5 является корнем характеристического уравнения кратности s=2, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде ( см. табл., случай 2(2)):



Подставляя выражения для y,y! ,yв исходное уравнение, получаем

2Ae-5x =4e-5x, A=2, y = 2x2e-5x. Общее решение данного уравнения




Пример 10.3 Найти частное решение уравнения




Подставляя выражения для y,y! ,yв исходное уравнение, получаем:

(B-3A) cosx +(-3B-A) sinx = cosx –3 sinx,



Найдем С1 и С2 , используя начальные условия:



Пример 10.4. Решить уравнение:



т. к. 0- простой корень характеристического уравнения, т.е.s=1, то частное решение ищем в виде:




Геометрические и физические задачи.


  1. Чтобы решить геометрические задачи, надо построить чертеж, обозначить искомую кривую через ( если задача решается в прямоугольных координатах) и выразить все упоминаемые в задаче величины через . Тогда данное в условии задачи соотношение превращается в дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию

  2. В физических задачах надо прежде всего решить, какую из величин взять за независимое переменное, а какую – за искомую функцию. Затем надо выразить, на сколько изменится искомая функция y, когда независимое переменное x получит приращение , т.е. выразить разность через величины, о которых говорится в задаче. Разделив эту разность на и перейдя к пределу при ,получим дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомуу функцию.



1. Найти кривые, сумма длин нормали и поднормали есть величина постоянная, равная а.

Решение: Длина поднормали равна y y, а длина нормали y . Т.о, уравнение, которому должны удовлетворять искомые кривые, имеет вид:



Разрешая его относительно y, находим ( учитывая оба возможных знака):



Условию задачи отвечают только С>0: из уравнения семейства кривых находим:

поэтому, чтобы выполнялось условие , нужно, чтобы a2 – y2 = a2 – y 2, т.е. y 2 < a2, отсюда и следует, что С >0.


2. В комнате, где температура 20 0 С, некоторое тело остыло за 20мин. от 100 0 С до 60 0 С. Найти закон охлаждения тела, через сколько минут оно остынет до 300 С? Повышением температуры в комнате пренебречь.

Решение: В силу закона Ньютона ( скорость охлаждения пропорциональна разности температур) можем написать:

3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А( 0,1), если известно, что в каждой точке нормаль к кривой отсекает на оси абсцисс отрезок, равный квадрату радиуса-вектора этой точки.




y




M (x,y)


1 A

0 B x


Пусть точка М(х, у) – произвольная точка искомой кривой, МВ- нормаль к кривой в т.М, а В – точка пересечения нормали с осью абсцисс. Уравнение нормали к кривой в т.М имеет вид:



Найдем абсциссу т.В. Полагая в уравнении нормали Квадрат радиуса- вектора т.М равен x2 +y2. По условию задачи

это уравнение Бернулли при . Подстановкой



Воспользовавшись начальным условием ( кривая проходит черех точку А(0,1)), найдем значение произвольной постоянной С=1. Т.о., уравнение

является уравнением искомой кривой.


ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ


Решить уравнения:



8. За 30 дней распалось 50 % первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1 % от первоначального количества?

( Закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющегося в рассматриваемый момент).

9. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы касания.


Ответы:



8.  дней.

9.y=Cx2.


СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

  1. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т 2, М.: Наука, 1985.

  2. Сборник задач по математике для вузов под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича, часть 2,М.: Наука, 1981.

  3. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т 2, 3,М.: Наука, 1970.

  4. Г.Н Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М.:Наука, 1976.

  5. А.Ф.Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.:Наука, 1973.






Похожие:

А. Р. Морозова дифференциальные уравнения методические указания iconМетодические указания по бухгалтерскому учету мпз методические указания по бухгалтерскому учету материально-производственных запасов (утв. Приказом Минфина России от 28 декабря 2001 г. N 119н)
Эти Методические указания для налоговых целей не применяются, торговые организации вправе использовать их для целей бухгалтерского...
А. Р. Морозова дифференциальные уравнения методические указания iconМетодические указания по подготовке курсовых работ Москва 2002 утверждено
Методические указания подготовлены для студентов, обучающихся по специальности 350 800 "Документоведение и документационное обеспечение...
А. Р. Морозова дифференциальные уравнения методические указания iconДифференциальные уравнения

А. Р. Морозова дифференциальные уравнения методические указания iconМетодические указания и контрольные задания по курсу «Бухгалтерская финансовая отчетность» для студентов специальности 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Методические указания предназначены для студентов дневной и вечерней форм обучения
А. Р. Морозова дифференциальные уравнения методические указания iconС. В. Молчанов В. К. Волкова Н. А. Молчанова Методические указания
Методические указания предназначены для студентов всех форм обучения, изучающих курсы «Химия» («Общая химия»), «Органическая химия»...
А. Р. Морозова дифференциальные уравнения методические указания iconМетодические указания по подготовке, выполнению, оформлению и защите дипломной работы, по ее рецензи­рованию
Методические указания по выполнению дипломных работ для студен­тов специальности "Мировая экономика" / Сост. Л. В. Левченко. Самара:...
А. Р. Морозова дифференциальные уравнения методические указания iconЮжно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт) Шахтинский институт (филиал)
Методические указания предназначены для студентов специальности 071900 «Информационные системы в технике и технологии». Методические...
А. Р. Морозова дифференциальные уравнения методические указания iconМетодические указания для студентов специальности Э. 01. 03. 00 «Экономика и управление на предприятии»
Вычислительная техника и программирование. Методические указания для студентов-заочников специальности А. 29. 10. 00 «Строительство...
А. Р. Морозова дифференциальные уравнения методические указания iconМетодические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности 100110. 65 «Домоведение»
Экономика домашнего хозяйства и окружающего социума: методические указания к выполнению курсовой работы / сост.: к филос н., доцент...
А. Р. Морозова дифференциальные уравнения методические указания iconДокументы
1. /Дифференциальные уравнения.doc
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов