Э. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры \"Физика\" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания icon

Э. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры "Физика" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания



НазваниеЭ. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры "Физика" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания
Э.В. Фалеева <> <> <>ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕ
Дата конвертации27.09.2012
Размер179.93 Kb.
ТипЗакон
1. /ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.docЭ. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры "Физика" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания

Д.С. Фалеев, Э.В. Фалеева

ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Рецензент: Доцент кафедры “Физика” Дальневосточного государственного университета путей сообщения В.Б. Гороховский

Методические указания составлены для выполнения лабораторной работы по разделу “Физические основы механики”; кратко рассмотрены теоретические основы динамики вращательного движения, дан порядок выполнения лабораторной работы.

Методические указания предназначены для студентов 1 курса инженерно-технических специальностей всех форм обучения.

©Издательство Дальневосточного государственного университета путей сообщения (ДВГУПС), 2000

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

    1.1. Момент инерции твердых тел

    1.2. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

    1.3. Закон сохранения момента импульса

    1.4. Кинетическая энергия вращающегося тела

    1.5. Работа и мощность вращающихся тел

2. МЕТОД РАБОТЫ

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

    3.1. Определение момента инерции маятника

    3.2. Определение моментов инерции каждого из цилиндров, укрепленных на спицах маятника Jц , на двух разных расстояниях от оси вращения маятника, т.е. (Jц)1 и (Jц)2

    3.3. Определение момента инерции цилиндра по теореме Штейнера

4. ЗАДАНИЕ ПО УИРС

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

В предложенной лабораторной работе рассматриваются основные физические величины, характеризующие динамику вращательного движения твердого тела, – это момент инерции тела и момент силы. Здесь изложены: основной закон динамики вращательного движения твердого тела, выражение для кинетической энергии вращательного движения твердого тела, приводятся моменты инерции тел правильной геометрической формы, проводится связь между моментом импульса и моментом инерции тела.


В результате выполнения и защиты данной лабораторной работы студент должен:

  • знать основной закон динамики вращательного движения твердого тела;

  • уметь аналитически получить выражение для момента инерции цилиндра;

  • понимать сущность теоремы Штейнера;

  • уметь аналитически получить выражение механической работы при вращательном движении;

  • четко и осмысленно понимать все физические величины, входящие в изучаемые закономерности, и их единицы измерения.

Лабораторная работа “Законы динамики вращательного движения твердого тела” выполняется в течение двух часов в лаборатории. В дополнение к ней дается задание по УИРС.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Определить момент инерции цилиндров с помощью маятника Обербека.

Приборы и принадлежности

  1. Маятник Обербека.

  2. Набор грузов.

  3. Секундомер.

  4. Масштабная линейка; штангенциркуль.

  5. Четыре одинаковых по массе, форме и размерам цилиндра.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1. Момент инерции твердых тел

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси ОО (рис. 1) его инерциальные свойства определяются не только массой тела, но и распределением этой массы относительно оси вращения.

Твердое тело, состоящее из материальных точек, каждая массой mi, участвуют во вращательном движении. Мерой инерции каждой материальной точки вращающегося твердого тела является момент инерции Ji. Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси равен произведению массы этой точки на квадрат расстояния ri от точки до оси вращения:

.                                                        (1.1)



Рис. 1. Вращение твердого тела массой m вокруг неподвижной оси ОО

Момент инерции твердого тела произвольной геометрической формы относительно неподвижной оси ОО равен алгебраической сумме моментов инерций всех его точек относительно этой оси:

,                                                (1.2)

где Ji – момент инерции i-й точки; mi – масса i-й точки; ri – расстояние i-й точки до оси вращения “ОО”.

Для тел правильной геометрической формы моменты инерций описываются точными выражениями. Например: для шара массой m и радиусом r, вращающегося относительно центральной оси, момент инерции J равен произведению 2/5 массы на квадрат радиуса шара (рис. 2):

.                                                           (1.3)

Центральной осью вращения ОО (рис. 2) называют ось, проходящую через центр массы тела С.



Рис.2. Шар массой m, вращающийся относительно центральной оси ОО. Точка С – центр массы шара

Для сплошного цилиндра массой m момент инерции относительно центральной оси равен произведению 1/2 массы цилиндра на квадрат радиуса основания цилиндра (рис. 3):

.                                                           (1.4)



Рис.3. Цилиндр массой m, вращающийся относительно центральной оси “ОО”. Точка С – центр массы цилиндра

Расчет момента инерции цилиндра относительно оси дается в Приложении.

При изменении положения оси вращения относительно центра масс изменяется и момент инерции тела. При параллельном переносе оси вращения справедлива теорема Штейнера. По теореме Штейнера определяют момент инерции твердого тела любой геометрической формы относительно нецентральной оси (рис. 4).



Рис. 4. Момент инерции цилиндра относительно центральной оси “11” – J0 и относительно оси “22” – J; b – расстояние между осями

Теорема: “Если ось вращения, проходящую через центр массы тела, переместить параллельно самой себе на расстояние b, то момент инерции относительно этой оси будет равен алгебраической сумме момента инерции тела Jo, относительно центральной оси вращения, и произведению массы тела m на квадрат расстояния b между осями”, то есть

.                                                         (1.5)

1.2. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

,                                                             (1.6)

где – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.

Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 5) приложить силу , то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила ,…, . Для каждой материальной точки можно записать:

,

где ,

поэтому ,                                                            (1.7)



Рис. 5. Твердое тело, вращающееся под действием силы около оси “ОО”.

где mi – масса i-й точки; – угловое ускорение; ri – ее расстояние до оси вращения.

Умножая левую и правую части уравнения (1.7) на ri, получают

,                                                          (1.8)

где – момент силы – это произведение силы на ее плечо ri.

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения “ОО” (рис. 5) до линии действия силы .

– момент инерции i-й материальной точки.

Выражение (1.8) можно записать так:

.                                                              (1.9)

Просуммируем левую и правую части (1.9) по всем точкам тела:

.

Обозначим через М, а через J, тогда

.                                                            (1.10)

Уравнение (1.10) – основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Величина – геометрическая сумма всех моментов сил, то есть момент силы F, сообщающий всем точкам тела ускорение . – алгебраическая сумма моментов инерции всех точек тела. Закон формулируется так: “Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение”.

Мгновенное значение углового ускорения , есть первая производная угловой скорости по времени t , то есть

,                                                              (1.11)

где – элементарное изменение угловой скорости тела за элементарный промежуток времени dt.

Если в выражение основного закона (1.10) поставить значение мгновенного ускорения (1.11), то

или ,                                              (1.12)

где – импульс момента силы – это произведение момента силы М на промежуток времени dt .

– изменение момента импульса тела,

– момент импульса тела есть произведение момента инерции J на угловую скорость , а есть dL.

Поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: “Импульс момента силы , действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса dL”:

или = dL.                                            (1.13)

1.3. Закон сохранения момента импульса

В замкнутой системе вращающихся тел выполняется закон сохранения момента импульса: “Изменение момента импульса вращающихся тел в замкнутой системе равен нулю, то есть или ”, где – векторная сумма моментов импульса тел до взаимодействия; – векторная сумма моментов импульса тел после взаимодействия.

1.4. Кинетическая энергия вращающегося тела

Поступательно движущееся тело обладает кинетической энергией

,                                                          (1.14)

где m – масса тела или мера инертности поступательно движущегося тела, – квадрат его линейной скорости.

Движение вращающегося тела характеризуется угловой скоростью , а мерой его инертности является момент инерции J. Связь линейной и угловой скоростей . Записав формулу (1.14) для i-й точки, вращающейся вокруг оси ОО, получим

,

где – момент инерции всех точек тела.

Следовательно,

,                                                        (1.15)

то есть кинетическая энергия вращающегося тела равна той работе, которую может совершить это тело до полной остановки.

1.5. Работа и мощность вращающихся тел

За время dt вращающееся тело совершит работу dA, равную произведению момента силы M на угол поворота , сделанный радиусом этого тела, то есть

.                                                          (1.16)

Работу, совершенную вращающимся телом за единицу времени, называют мощностью вращающегося тела N, то есть

, ,

где – мгновенное значение угловой скорости .

Поэтому

                                                            (1.17)

2. МЕТОД РАБОТЫ

1. В данной лабораторной работе определяется момент инерции маятника Обербека (рис. 6). Он имеет вид крестовины, состоящей из шкива 1, и четырех, неподвижно скрепленных со шкивом стержней 2, одинаковой длины.



Рис. 6. Маятник Обербека: 1 – шкив; 2 – стержень; 3 – цилиндр; 4 – груз

На стержнях можно укреплять цилиндры 3 на некоторых расстояниях от оси вращения. На шкив наматывается шнур, к свободному концу которого подвешивается груз 4 весом . Предоставленный самому себе груз 4 падает, натягивая нить с силой , и через нить действует с этой силой на обод шкива 1. Момент силы равен

,                                                            (2.1)

где R – радиус шкива.

Этот момент М сообщает шкиву и всему маятнику угловое ускорение . Величина углового ускорения зависит от величины момента силы М. Так как груз 4 падает равноускоренно без начальной скорости (), то за время t он проходит путь

.                                                              (2.2)

Отсюда

,                                                               (2.3)

а угловое ускорение

.                                                          (2.4)

По второму закону Ньютона имеем .

Следовательно,

.                                                     (2.5)

Момент силы натяжения нити

.                                             (2.6)

Из основного закона динамики вращательного движения твердого тела вытекает, что , где J – момент инерции маятника.

Отсюда момент инерции маятника равен , а так как , то момент инерции маятника равен

.                                                  (2.7)

2. Для определения момента инерции цилиндра относительно центральной оси J0 можно воспользоваться выражением (2.7) и теоремой Штейнера. Момент инерции маятника Обербека с цилиндрами на спицах есть J, без цилиндров момент инерции маятника – Jм .Следовательно, момент инерции четырех цилиндров Jц будет равен разности , а момент инерции одного цилиндра . По теореме Штейнера момент инерции цилиндра относительно любой оси параллельно центральной

,

где J0 – момент инерции цилиндра относительно центральной оси; m – масса цилиндра; b – расстояние между параллельными осями.

Поэтому момент инерции цилиндра относительно центральной оси

.

Так как цилиндр представляет собой тело правильной геометрической формы, то момент инерции цилиндра относительно центральной оси можно определить, производя измерения его размеров и массы, . Для определения массы цилиндра m нужно знать плотность вещества и объем , где R – радиус основания цилиндра и Н – высота, то есть

.                                                          (2.8)

Следовательно, момент инерции цилиндра относительно центральной оси

,                                                   (2.9)

.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

3.1. Определение момента инерции маятника

3.1.1. Снять с крестовины маятника все цилиндры.

3.1.2. Штангенциркулем измерить диаметр шкива (большого или малого) 3 раза. Найти по значению диаметров радиусы, рассчитать среднее значение радиуса шкива.

3.1.3. Намотать шнур на шкив, присоединив к концу шнура груз определенной массы m = 0,1 или 0,2 кг.

3.1.4. Поднять груз m на высоту h = 0,8 или 1м от пола, придерживать рукой одну из спиц.

3.1.5. Одновременно опустить из руки спицу и нажать головку секундомера. В момент удара груза об пол остановить секундомер. Опыт повторить 3 раза, поднимая груз на одну и ту же высоту h. Определить среднее значение времени падения груза.

3.1.6. По формуле (2.3) определить среднее значение линейного ускорения 1)ср.

3.1.7. По формуле (2.7) определить значение момента инерции (Jм)1.

3.1.8. Изменив массу груза до m = 0,2 или 0,3 кг, определить, как указано в подп. 3.1.4, 3.1.5, 3.1.6, 3.1.7, момент инерции маятника (Jм)2.

3.1.9. По значениям(Jм)1 и (Jм)2 найти среднее значение момента инерции маятника.

3.1.10. Все измеренные и рассчитанные величины занести в табл. 3.1.

Таблица 1

№ п/п

Rcp. = (м)

(Jм)cp

m1 = (кг)

m2 = (кг)

h(м)

t1(c)

(t1)cp

(a1)cp

(Jм)1

t2

(t2)cp

(a2)cp

(Jм)2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

3.2. Определение моментов инерции каждого из цилиндров, укрепленных на спицах маятника Jц , на двух разных расстояниях от оси вращения маятника, т.е. (Jц)1 и (Jц)2

3.2.1. Поместить цилиндры на спицах на расстоянии r1 от оси вращения маятника, r1 определяется как сумма радиуса шкива Rср, расстояния  от шкива до цилиндра и а – радиуса основания цилиндра (рис. 7), измеренного штангенциркулем.



Рис. 7. Шкив маятника – 1, спицы – 2, цилиндр – 3

3.2.2. Намотав нить на шкив маятника, поднимая груз массой m = 0,3 кг на высоту h, провести измерение времени падения груза с помощью секундомера (см. подп. 3.1.4, 3.1.5).

3.2.3. Вычислить момент инерции маятника J1 по формуле (2.7).

3.2.4. Переместить цилиндры на расстояние от оси вращения маятника.

3.2.5. Найти момент инерции каждого цилиндра (Jц)2, как указано в подп. 3.2.2 и 3.2.3.

3.2.6. Измерения и расчеты занести в табл. 3.2.

Таблица 3.2

№ п/п

m = 0,3 кг

(Jм)cp

r1 = (кг)

r2 = (кг)

h(м)

t1(c)

(t1)cp

(a1)cp

J1

(Jц)1

t2

(t2)cp

(a2)cp

(Jм)2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

3.3. Определение момента инерции цилиндра по теореме Штейнера

3.3.1. Штангенциркулем измерить высоту цилиндра H , радиус цилиндра а см. подп. 3.2.1, плотность цилиндра

3.3.2. По формуле (2.8) вычислить массу цилиндра.

3.3.3. Из подп. 3.2.1 взять расстояния r1 и r2 между осью вращения маятника и центральной осью цилиндра.

3.3.4. По теореме Штейнера (1.5), зная момент инерции цилиндра (Jц)1 и (Jц)2 (подп. 3.2.5), определить момент инерции цилиндра (J0)1 и (J0)2 относительно центральной оси. По значению (J0)1 и (J0)2 найти среднее значение (J0)ср.

3.3.5. По формуле (2.9) рассчитать момент инерции цилиндра J0 относительно центральной оси.

3.3.6. Сравнить значения моментов (J0)ср и J0.

4. ЗАДАНИЕ ПО УИРС

  1. Определить абсолютные ошибки отдельных измерений диаметра шкива и среднюю абсолютную ошибку его диаметра.

  2. Зная угловое ускорение шкива и время вращения, определить конечную угловую скорость маятника.

  3. Зная высоту h, начальную скорость = 0 и конечную скорость V груза, определить работу момента силы натяжения нити.

  4. Определить работу момента силы натяжения нити; найти число оборотов, сделанных маятником за время падения груза.

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  1. Что называется моментом силы? В каких единицах измеряется момент силы в системе “СИ” ?

  2. Что называется моментом инерции тела? От чего зависит момент инерции тела? В каких единицах измеряется в системе “СИ”?

  3. Чему равна кинетическая энергия вращающегося тела?

  4. Получить из второго закона Ньютона основной закон динамики вращательного движения твердого тела для импульса момента силы.

  5. Что такое момент импульса тела? В каких единицах он измеряется в системе “СИ”?

  6. Сравните значения (Jц)1 и (Jц)2. Произошло ли изменение момента инерции цилиндра с изменением его расстояния от оси вращения маятника?

  7. Укажите, какая теорема подтверждает правильность полученных результатов.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Расчет момента инерции цилиндра относительно одной из осей симметрии

Мы уже отмечали, что момент инерции тела, вращающегося вокруг одной из осей симметрии, имеет вид

                                                               (1)

Однако при непрерывном распределении масс удобнее применить интегрирование. Пусть плотность тела есть , тогда в элементе объема заключена масса . Если вычислять момент инерции тела относительно оси z (рис. 8), то формула (1) примет вид

                                        (2)

так как

интеграл (2) берется по всему объему тела.



Рис. 8. Выбор системы координат для вычисления одного из главных моментов инерции цилиндра

Пусть цилиндр имеет радиус R и высоту Н относительно оси, совпадающей с его осью симметрии.

Направим ось z системы координат вдоль оси цилиндра, а начало системы координат (точка О) поместим на оси в середине высоты (рис. 8).

Плотность цилиндра постоянна, т.е.

.

Интеграл (2) принимает вид

,                                          (3)

где S – площадь сечения цилиндра.

Вычисление здесь удобно вести в цилиндрической системе координат, ось симметрии которой направлена вдоль оси z.

В таком случае мы имеем

, , , .

Поэтому вместо (3) получим

.                                 (4)

Окончание приложения

Принимая во внимание то, что объем цилиндра равен и, следовательно, величина является его массой, окончательно находим

.                                                         (5)

Аналогично вычисляются моменты инерции других тел правильной геометрической формы: шара, стержня и других.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Савельев И. В. Курс общей физики. В 3 т. Т.1. – М.: Наука, 1990.

  2. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики. В 3 т. Т.1. – М.: Наука, 1989.

  3. Яворский Б. М. и др. Курс физики. В 3 т. Т.1. – М.: Высш. шк., 1987.

  4. Фалеева Э.В. Законы динамики вращательного движения твердого тела: Методические указания к лабораторной работе. – Хабаровск, ХабИИЖТ. – 1985.



Похожие:

Э. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры \"Физика\" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания iconВлияние государственной политики на формирование кадровой политики железнодорожной организации
Зенков Максим Юрьевич, старший преподаватель кафедры социальной психологии управления Сибирского государственного университета путей...
Э. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры \"Физика\" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания iconМетодические указания к практическим занятиям и самостоятель­ной работе утверждены и рекомендованы к изданию кафедрой психо­логии и социального управления, протокол от 5 мая 2003 г. №6
Семьеведение: Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе / Сост канд филос наук, доцент Т. В. Поп­кова,...
Э. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры \"Физика\" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания icon«Московские ведомости» в годы редакторства Л. Тихомирова. 1909 – 1913 гг. Милевский Олег Анатольевич
К. и н., доцент кафедры регионологии Алтайского государственного технического университета
Э. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры \"Физика\" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания iconДокументы
1. /КП01/readme.txt
2. /КП01/курсач.doc
Э. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры \"Физика\" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания iconУдгу дербин Евгений Николаевич Институт княжеской власти на Руси IX начала XIII века в дореволюционной отечественной историографии Ижевск 2007
...
Э. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры \"Физика\" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания iconМетодические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности 100110. 65 «Домоведение»
Экономика домашнего хозяйства и окружающего социума: методические указания к выполнению курсовой работы / сост.: к филос н., доцент...
Э. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры \"Физика\" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания iconНовочеркасский политехнический институт) Шахтинский институт (филиал)
Методические указания рассмотрены и обсуждены на заседании кафедры «Физика и химия» Шахтинского института (филиала) юргту (нпи) и...
Э. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры \"Физика\" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания iconНовочеркасский политехнический институт) Шахтинский институт (филиал)
Методические указания рассмотрены и обсуждены на заседании кафедры «Физика и химия» Шахтинского института (филиала) юргту (нпи) и...
Э. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры \"Физика\" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания iconФедеральное агентство по образованию Российской Федерации Южно-Российский государственный технический университет
Методические указания рассмотрены и обсуждены на заседании кафедры «Физика и химия» Шахтинского института (филиала) юргту (нпи) и...
Э. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры \"Физика\" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания iconДокументы
1. /Зиненко. Физика Твёрдого Тела.djvu
Э. В. Фалеева законы динамики вращательного движения твердого тела рецензент: Доцент кафедры \"Физика\" Дальневосточного государственного университета путей сообщения В. Б. Гороховский Методические указания icon8. Вращение твердого тела
Вращение твердого тела движение с одной закрепленной точкой определяется поворотом осей координат подвижной, связанной с твердым...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов