А. И. Сомсиков Определение комплексных чисел icon

А. И. Сомсиков Определение комплексных чисел



НазваниеА. И. Сомсиков Определение комплексных чисел
Дата конвертации23.09.2012
Размер59.8 Kb.
ТипДокументы


А.И. Сомсиков

Определение комплексных чисел

Выявлен «физический смысл» (логическое содержание) комплексных чисел.


Если в системе координат даны векторы и , такие, что разность их аргументов равна , а начала совпадают, то вектор может быть получен из вектора путем простого суммирования:

= + ,

где - вектор, соединяющий конец вектора с концом вектора (замыкающий вектор).

С изменением модулей векторов и при неизменных аргументах модуль и аргумент вектора меняются.

Можно, однако, производить векторное суммирование таким образом, чтобы аргумент замыкающего вектора не зависел от модулей векторов и . Для этого спроектируем вектор на вектор и на перпендикуляр к вектору и запишем векторную сумму:



Вектор перпендикулярен к вектору .


Итак, если внутри векторной суммы вместо вектора брать вектор , т.е. попросту умножать вектор на коэффициент , то замыкающий вектор приобретает вполне определенное и не зависящее от модулей векторов и значение аргумента, а именно, он перпендикулярен к вектору .

Символически это обстоятельство может быть записано следующим образом: если для того, чтобы получить равенство аргументов у векторов и , вектор следует повернуть на угол против часовой стрелки:

;

если для того, чтобы получить равенство аргументов у векторов и , вектор следует повернуть на угол по часовой стрелке:

.

Итак, символ , стоящий рядом с вектором, означает, что данный вектор повернут на против часовой стрелки.

С учетом введенных обозначений векторное уравнение перепишется:

± = .

Обозначим ;

.

Последнее уравнение означает: для того, чтобы получить вектор , следует умножить вектор на коэффициент, затем умножить вектор на коэффициент и повернуть на по или против часовой стрелки и полученные векторы сложить.

Символически операции, которые нужно проделать над вектором , чтобы получить вектор , могут быть записаны следующим образом:

.

Оператор называется комплексным числом.

Итак, символический оператор вида служит для перехода от одного вектора к другому на плоскости.

Чтобы показать, где может понадобиться подобный переход, рассмотрим систему векторных уравнений:





где и - векторы с неизвестными модулями и аргументами, а и - известные векторы.

Заметим, что, поскольку и известны, всегда можно найти :

,

.

Если бы вместо в уравнении стоял вектор , мы вычли бы из уравнения уравнение , и при этом вектор пропал бы. Мы получили бы уравнение с одним неизвестным . Сходным путем решаются системы обыкновенных алгебраических уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Итак, нужно уметь применять оператор к векторным уравнениям. Ближайшим образом нужно научиться применять оператор к сумме (разности) векторов, а также повторно применять оператор к вектору, к которому уже применен оператор такого вида.

Рассмотрим: .

Пусть .

По определению:

.

И далее

(векторы , и , равно как и перпендикулярные к ним , и образуют замкнутые треугольники).

Откуда: .

Итак: .

Следовательно, уравнение легко приводится к нужному виду:

;

.

Рассмотрим теперь:



.

Символически этот результат можно записать так:

.

Эта символическая операция, соответствующая сложению (вычитанию) векторов, носит название сложения (вычитания) комплексных чисел.

Рассмотрим, наконец, , если .

.

Согласно : .

Повторное применение символа означает, что вектор , уже повернутый на против часовой стрелки по отношению к вектору , дополнительно поворачивается на в ту же сторону, что равносильно введению вектора противоположного .

Следовательно: .

Итак:

.

Или: .

Этот результат в символической записи:



называется умножением комплексных чисел.

Деление комплексных чисел есть отыскание комплексного числа, которое, будучи умноженным на заданное комплексное число, дает второе заданное.

В рассмотренном выше примере эта задача возникает в том случае, когда коэффициент при не равен единице, но также является комплексным числом, и его все-таки нужно превратить в .

Итак, пусть, например:



Найти , такое, чтобы .

Пусть .

Тогда, по определению: .

Получаем: .

Равенство комплексных чисел означает равенство результирующих векторов, если исходные векторы равны.

Отсюда ясно требование выполнения равенства действительных и соответственно мнимых частей у равных комплексных чисел.

В самом деле, действительная часть дает проекцию результирующего вектора на исходный, а мнимая – проекцию на перпендикуляр к исходному вектору, а проекции равных векторов на одни и те же оси равны.

Следовательно:



Решение этой системы:



Формально тот же результат можно получить, изображая искомое комплексное число в виде дроби и производя действия, аналогичные освобождению от иррациональности знаменателя:



Итак, пусть дана система векторных уравнений:





где - комплексные числа;

- векторы, модули и аргументы которых известны.

Требуется найти векторы и .

Пусть .



Применим к одному из уравнений, например, комплексное число такое, чтобы, например, .

Получим:



Вычтем из уравнения уравнение :

.

Получим: .

Или окончательно:

.

Точно так же решаются системы векторных уравнений с неизвестными векторами аналогично решениям систем линейных алгебраических уравнений.

Комплексные числа возникают при решении систем интегро-дифференциальных уравнений от гармонических функций в следующем порядке:

  • производится решение интегро-дифференциальных уравнений, после чего система превращается в систему тригонометрических уравнений от гармонических функций,

  • осуществляется переход от системы тригонометрических функций к векторной диаграмме,

  • составляется система векторных уравнений, соответствующая полученной векторной диаграмме.

Решение системы векторных уравнений только что нами описано.





Похожие:

А. И. Сомсиков Определение комплексных чисел iconСтрекалова Е. А., 1998. Об одной последовательности комплексных чисел
В последнее время рядом авторов Мандельброт, Фейгенбаум [1, предисловие] замечены интересные свойства последовательностей комплексных...
А. И. Сомсиков Определение комплексных чисел iconНаибольший общий делитель. Цели урока
Ввести определение наибольшего общего делителя, определение взаимно простых чисел, показать запись
А. И. Сомсиков Определение комплексных чисел iconА. И. Сомсиков Проблема иррациональных чисел Предложено решение
Проблема иррациональности впервые обнаружена в геометрии при извлечении корня. Она известна еще в эпоху «античности», связываемую...
А. И. Сомсиков Определение комплексных чисел iconВ одномерном массиве произвольных чисел найти количество нечётных элементов
Из одномерного массива произвольных чисел целых чисел сформировать 2 массива: a массив четных чисел и b массив нечетных чисел
А. И. Сомсиков Определение комплексных чисел iconДокументы
1. /Info.txt
2. /История открытия комплексных...

А. И. Сомсиков Определение комплексных чисел iconМетоды перевода чисел из одной сс в другую
Метод Поразрядный метод перевода чисел: перевод чисел между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления туда и...
А. И. Сомсиков Определение комплексных чисел iconТема: Натуральный ряд чисел, его запись и свойства
Цели: знакомство с терминами «натуральный ряд чисел»; свойствами натурального ряда чисел
А. И. Сомсиков Определение комплексных чисел iconПостановление Совета министров республики беларусь 30 октября 2008 г. N 1634 об утверждении государственной программы комплексных мер противодействия наркомании,
Утвердить прилагаемую Государственную программу комплексных мер противодействия наркомании, незаконному обороту наркотиков и связанным...
А. И. Сомсиков Определение комплексных чисел iconКакое из чисел 110011
Домашнее задание по теме «Перевод чисел и р-ичной системы в 10 систему счисления»
А. И. Сомсиков Определение комплексных чисел iconV. A. Meschkoff классификация простых чисел с помощью линейных и квадратичных форм
На этой основе рассмотрены варианты классификации простых чисел. Найдено восемь непересекающихся подмножеств простых чисел, соответствующих...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов