А. И. Сомсиков Проблема иррациональных чисел Предложено решение icon

А. И. Сомсиков Проблема иррациональных чисел Предложено решение



НазваниеА. И. Сомсиков Проблема иррациональных чисел Предложено решение
А.И. Сомсиков<> <> <>Проблема иррациональных чисел<><> <> <>Пред
Дата конвертации23.09.2012
Размер52.64 Kb.
ТипРешение

А.И. Сомсиков

Проблема иррациональных чисел

Предложено решение проблемы иррациональных чисел

Проблема иррациональности впервые обнаружена в геометрии при извлечении корня. Она известна еще в эпоху «античности», связываемую с именем Пифагора.

Выявленное логическое противоречие состоит в следующем. С одной стороны имеется доказательство того, что все точки на прямой являются целыми или дробными, т.е. «рациональными» числами.

Это доказательство таково.

Берется отрезок прямой с координатами его концов 0 и 1. Обе эти координаты являются целыми числами.

Отрезок делится пополам и рассматриваются каждый из вновь полученных отрезков.

Концы этих отрезков имеют координаты 0 и 0,5 или 0,5 и 1, являющиеся целыми или дробными, т.е. «рациональными» числами.

Продолжается повторное разбиение пополам, сближающее края последующих отрезков при их сохранении каждый раз заведомо рациональными числами.

В пределе, при бесконечном разбиении, края отрезков сливаются в точку, оставаясь при этом рациональными числами.

Логический вывод гласит, что исходный отрезок оказывается заполненным одними лишь рациональными числами, иными словами ни для какой "иррациональности" места не остается.

Другое доказательство наоборот приводит к тому, что некоторые точки на прямой не могут быть заданы ни целыми, ни дробными числами, т.е. не являются рациональными.

Это доказательство таково: берется равнобедренный прямоугольный треугольник с длиной каждого катета равной 1. Согласно теореме Пифагора длина гипотенузы при этом составляет . Это не может быть ни целым числом, ни несократимой дробью , поскольку в этом случае a2 = 2b2. Следовательно, a есть четное число представимое как a = 2k. Но тогда a2=(2k)2=4k2=2b2. А значит и b2 = 2k2, т.е. b – тоже четное число. Получаем логическое противоречие: с одной стороны дробь должна быть несократима (в противном случае ее можно сократить на общий множитель), с другой же стороны обе ее части a и b - четные числа, т.е. имеют общий множитель 2, а значит, дробь является сократимой.

Итак, первому логически не противоречивому доказательству противостоит второе - логически противоречивое доказательство.


Поскольку первое доказательство не содержит логического противоречия, оно не может вызывать никаких сомнений и должно считаться безусловно верным.

Второе же доказательство напротив содержит внутри себя логическое противоречие. А значит, во-первых, оно ни в коем случае не может служить опровержением первого - логически непротиворечивого доказательства. И, во-вторых, именно оно, как содержащее внутри себя логическое противоречие, должно считаться крайне сомнительным и требующим дополнительного рассмотрения.

Предлагаемое рассмотрение таково.

Прежде всего, что означает это приравнивание длины катетов числу 1? А вот что: это значит, что оба катета измерены с помощью некоторого эталона, и что результат этого измерения равен единице. Естественный вопрос для любого измерения: с какой точностью? Ответ такой: при измерении любым эталоном абсолютная погрешность измерения равна самому эталону, а точность измерения, определяется отношением абсолютной погрешности (величины эталона) к самой измеряемой величине - относительной погрешностью.

Величина эталона относительно себя самой равна единице с бесконечной степенью точности, что может быть выражено в виде десятичной дроби: э =1,(0). А вот величины обоих катетов а и b, измеренных таким эталоном должны выглядеть так: а =1= 1, b =1= 1, где э – величина эталона.

В данном случае получим: абсолютная погрешность , , a = 11, b =11. А относительная погрешность, определяющая точность каждого измерения, равна соответственно

a(%) = и .

И даже если принять в качестве эталона один из катетов, например, а, что означает a(%) = 0,(0), т.е. бесконечную точность его измерений и равенства нулю его относительной погрешности, то все равно относительная погрешность измерения второго катета останется 100%.

Вот что означает на практике это небрежное брошенное условие равенства единице длин обоих катетов.

И что же мы получим при измерении гипотенузы таким эталоном э?

Вариантов ответа два: с = 1 или же с =.

В первом случае погрешность измерения гипотенузы равна 100%, как и в случае катета, а во втором случае – 50%. Ясно, что второй ответ более точен, хотя тоже не очень хорош.

Что мы теперь имеем по теореме Пифагора? Катеты равны 11, т.е. их можно считать равными 1 или 2, а гипотенуза и вовсе может быть равной 1 или 2, или даже 3. Причем каждый из этих ответов по-своему верен с известной степенью точности.

Но в то же время 12+1212 или 22 и уж тем более 32.

И второй возможный вариант тоже дает: 22+2212 или 22 или 32.

И даже принятие в качестве эталона одного из катетов тоже дает: 12+2212 или 22, или 32. Другими словами требуемое равенство не достигается ни при каком варианте таких измерений.

Точность повышается при уменьшении величины эталона э, например, в 10 раз.

В этом случае а = 10 1, b = 10 1, c = 14 1, a = 10%, b = 10%, c = =7%.

Или в 100 раз, когда а = 1001, b = 1001, c = 1411, a = 1%, b = 1%, c = =0,7%, и т.д.

При этом однако все еще остается: а2+b2c2, т.е. теорема Пифагора по-прежнему не выполняется.

Это достигается только при бесконечной точности измерений, когда величина эталона э = 0,(0), а = 10000…=, b = 10000…=, c = 14142135623730950488016887242097141…=,

Или при выражении через исходный эталон э: а = 1,(0), и b = 1,(0), c = 1,4142135623730950488016887242097141…

В этом и только в этом случае теорема Пифагора справедлива, принимая однако вид: а2 + b2 = c2 .

В обычном понимании это может выглядеть сложновато, однако уже не содержит более никакого логического противоречия.

И что же все это значит?

А вот что: теорема Пифагора, как и вообще все теоремы геометрии без исключения справедливы при условии выполнения еще одной теоремы.

Ввиду ее всеобщности и исключительной важности, она может быть названа ^ Великой Геометрической Теоремой (ВГТ).

Ее содержание таково: все геометрические теоремы верны при одном обязательном условии - бесконечной точности измерений.

А значит, в рассматриваемом нами частном случае никаких таких целых чисел 1 обоих катетов нет и быть не может, а может быть только лишь бесконечная десятичная дробь вида: а = 1,(0), и b =1,(0).

При этом все рассуждения о сократимости или несократимости бесконечных дробей и соответственно четности или нечетности с необходимостью сразу же отпадают, т.к. это возможно только в одном единственном случае: когда рассматриваемая нами дробь является конечной. Это легко достигается простым обрывом бесконечности, т.е. нарушением бесконечной точности. Но именно в этом случае теорема Пифагора тотчас же нарушается, т.е. перестает выполняться.

А значит и вся рассматриваемая проблема сразу и бесповоротно снимается!

Из всего этого следует, что, во-первых, любая точка на геометрической прямой задается в виде бесконечной дроби, и здесь нет никакой разницы или особенности ни у катета, ни у гипотенузы.

И что, во-вторых, все числа без исключения, задающие положение любых геометрических точек, должны считаться «иррациональными» ввиду простой бесконечности их дробей, либо же нужно принять, что никаких иррациональных чисел вовсе не существует.

Именно потому, что выполненное рассмотрение приводит к полному снятию логического противоречия, вынудившее некогда их измыслить.




Похожие:

А. И. Сомсиков Проблема иррациональных чисел Предложено решение iconА. И. Сомсиков Определение комплексных чисел
Если в системе координат даны векторы и, такие, что разность их аргументов равна, а начала совпадают, то вектор может быть получен...
А. И. Сомсиков Проблема иррациональных чисел Предложено решение iconРешение иррациональных уравнений
Можно ли, не решая уравнений, сделать вывод о неразрешимости предложенных уравнений
А. И. Сомсиков Проблема иррациональных чисел Предложено решение iconДокументы
1. /Аппроксимация/1/lab5.doc
2. /Аппроксимация/2/CHM5.DOC
А. И. Сомсиков Проблема иррациональных чисел Предложено решение iconВ одномерном массиве произвольных чисел найти количество нечётных элементов
Из одномерного массива произвольных чисел целых чисел сформировать 2 массива: a массив четных чисел и b массив нечетных чисел
А. И. Сомсиков Проблема иррациональных чисел Предложено решение iconЗакон Бэра и задача Эйнштейна о поведении чаинок
Рассмотрены причины искривления речных русел. Предложено решение задачи Эйнштейна о поведении чаинок
А. И. Сомсиков Проблема иррациональных чисел Предложено решение iconСтруктура фонологического блока в целом
Теперь оказывается, что мы не в праве единицы, обладающие такими свойствами, называть фонемами речевосприятия. Вопросы фонемной терминологии...
А. И. Сомсиков Проблема иррациональных чисел Предложено решение iconМетоды перевода чисел из одной сс в другую
Метод Поразрядный метод перевода чисел: перевод чисел между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления туда и...
А. И. Сомсиков Проблема иррациональных чисел Предложено решение iconТема: Натуральный ряд чисел, его запись и свойства
Цели: знакомство с терминами «натуральный ряд чисел»; свойствами натурального ряда чисел
А. И. Сомсиков Проблема иррациональных чисел Предложено решение iconУрок по математике в 1 классе на тему: «Решение задач. Сложение и вычитание чисел 2 и 3»
Результаты участия педагогов в фестивале педагогических идей, методических разработок
А. И. Сомсиков Проблема иррациональных чисел Предложено решение iconРешение иррациональных уравнений 11 класс Практикум I. Проверка домашнего задания >II. Устная работа Можно ли, не решая уравнений, сделать вывод о неразрешимости предложенных уравнений
Класс делится по желанию на три группы. С первой группой решаем вместе типичные уравнения у доски. Вторая и третья группы выбирают...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов