Viii класс: Тема Тригонометрические функции острого и тупого углов icon

Viii класс: Тема Тригонометрические функции острого и тупого углов



НазваниеViii класс: Тема Тригонометрические функции острого и тупого углов
Дата конвертации25.11.2012
Размер87.03 Kb.
ТипДокументы

VIII класс: Тема 5. Тригонометрические функции острого и тупого углов.

1. Определение тригонометрических функций острого угла и связь между ними.

Дадим определение тригонометрическим функциям острого угла прямоугольного треугольника (рисунок 1):

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника ABC называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: .

  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника ABC называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: .

  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника ABC называется отношение противолежащего катета к прилежащему: .

  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника ABC называется отношение прилежащего катета к противолежащему: .

Замечание 1: Тригонометрические функции острого угла определяются исключительно градусной мерой самого угла и не зависят от «надетого» на него треугольника: если рассмотреть два прямоугольных треугольника APQ и ABC, «надетых» на острый угол α (рисунок 1), то ΔABC ~ ΔAQP по двум углам, а следовательно, их стороны пропорциональны. Тогда ; ; ; .

Найдем по рисунку 1 тригонометрические функции острого угла (90°   α):

; ; ; .

Оказывается, можно найти все тригонометрические функции острого угла, зная одну из них. Это позволяют сделать следующие тригонометрические тождества:

  1. Связь между синусом и косинусом (основное тригонометрическое тождество): .

Доказательство: В соответствии с рисунком 1, gif" name="object14" align=absmiddle width=297 height=37> (поскольку доказательство базируется исключительно на теореме Пифагора, основное тригонометрическое тождество иногда называют тригонометрической формой теоремы Пифагора). #

  1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом: .

Доказательство: В соответствии с рисунком 1, . #

  1. Связь между синусом, косинусом и котангенсом: .

Доказательство: В соответствии с рисунком 1, . #

  1. Связь между тангенсом и котангенсом: .

Доказательство: В соответствии с рисунком 1, . #

  1. Связь между тангенсом и косинусом: .

Доказательство: Поделим обе части основного тригонометрического тождества на : (здесь учтено, что ). #

  1. Связь между котангенсом и синусом: .

Доказательство: Поделим обе части основного тригонометрического тождества на : (здесь учтено, что ). #

^ 2. Значения тригонометрических функций углов в 30°, 45° и 60°.

Р
ассмотрим прямоугольный треугольник с острыми углами в 30° и 60° и меньшим катетом, равным 1 (рисунок 2):

По свойству прямоугольного треугольника с углом в 30°, AB = 2. Катет AC найдем по теореме Пифагора: . Теперь, зная все стороны треугольника ABC, найдем тригонометрические функции углов в 30° и 60°:

; ;

; .

Т
еперь рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным 1 (рисунок 3). Оба его острых угла равны по 45°. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: . По определению тригонометрических функций острого угла, , .

Оформим найденные значения тригонометрических функций углов в виде таблицы:




sin

cos

tg

ctg

30°









45°





1

1

60°










^ 3. Нахождение тригонометрических функций острого и тупого углов с помощью тригонометрического круга.

Построим окружность единичного радиуса и отложим острый угол α в направлении против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс (рисунок 4). Пусть A – точка пересечения стороны построенного угла с окружностью, а H – ее проекция на ось абсцисс. Тогда из прямоугольного треугольника OAH получаем, что

; .

Из полученных выражений видно, что с помощью единичной окружности удобно находить синус и косинус острого угла. Для этого надо отложить от положительного направления оси абсцисс заданный угол и найти точку пересечения его стороны с окружностью. Тогда абсцисса этой точки будет равна косинусу, а ордината – синусу построенного угла.

В связи с этим единичную окружность, используемую для нахождения тригонометрических функций углов, называют тригонометрическим кругом, а оси абсцисс и ординат – соответственно осями косинусов и синусов.

Для нахождения с помощью тригонометрического круга тангенса и котангенса острого угла удобно использовать специальные оси: вертикальную ось тангенсов, проходящую через точку (1;0), и горизонтальную ось котангенсов, проходящую через точку (0;1). По рисунку 4 видно, что если C – точка пересечения стороны угла α с осью тангенсов, то из прямоугольного треугольника OCF , то есть тангенс острого угла α равен координате точки ^ C, отсчитываемой вдоль оси тангенсов. Аналогично, если B – точка пересечения стороны угла с осью котангенсов, то котангенс угла α равен координате точки B, отсчитываемой вдоль оси котангенсов: из прямоугольного треугольника ODB .

Д
оговоримся определять тригонометрические функции тупого угла аналогичным образом: для нахождения тригонометрической функции тупого угла α отложим его от положительного направления оси косинусов в направлении против часовой стрелки и найдем точки пересечения его стороны или ее продолжения с тригонометрическим кругом и осями тангенсов и котангенсов (рисунок 5). Тогда так же, как и для острого угла,

; ;

; .

Полученные соотношения показывают, что синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы противоположны.

Замечание 1: Чтобы для нахождения тангенса тупого угла не приходилось продолжать его сторону, удобно использовать вторую ось тангенсов, изображенную на рисунке 5. Тогда .

Замечание 2: В соответствии с определениями синуса и косинуса острого и тупого углов, и .

З
амечание 3:
Пользуясь тригонометрическим кругом, можно найти тригонометрические функции углов в 0°, 90° и 180°:





sin

cos

tg

ctg



0

1

0

неопределен

90°

1

0

неопределен

0

180°

0

-1

0

неопределен



Замечание 4: На рисунке 6 показаны знаки тригонометрических функций острых и тупых углов.

Пользуясь тригонометрическим кругом, легко проследить за поведением тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 180°:

  • При увеличении угла от 0 до 180° его косинус уменьшается от 1 до -1.

  • При увеличении угла от 0 до 90° его синус возрастает от 0 до 1, а при дальнейшем увеличении угла от 90° до 180° его синус убывает от 1 до 0.

  • При увеличении угла от 0 до 90° его тангенс возрастает от 0 до ∞, а при дальнейшем увеличении угла от 90° до 180° его тангенс возрастает от -∞ до 0.

  • При увеличении угла от 0 до 180° его котангенс убывает от ∞ до -∞.

^ 4. Формулы приведения.

Ранее было показано, что ; ; ; ;

; ; ; .

Пользуясь этими соотношениями, выразим тригонометрические функции угла (90° + α) через тригонометрические функции угла α:

;

;

;

.

Полученные формулы, приводящие тригонометрические функции углов (90° ± α) и (180°   α) к тригонометрическим функциям угла α, получили название формул приведения:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.


Для запоминания формул приведения удобно пользоваться следующими правилами:

  • Если в левой части формулы участвует угол в 180°, название тригонометрической функции не меняется; если же в левой части формулы участвует угол в 90°, название тригонометрической функции меняется на сходное.

  • Знак в правой части формулы определяется знаком тригонометрической функции «сложного» угла, стоящей в левой части формулы.

Замечание 1: Для вычисления тригонометрических функций тупых углов удобно пользоваться именно формулами приведения, а не тригонометрическим кругом.

Замечание 2: Если угол α - тупой, то угол (180°   α) – острый, и можно воспользоваться формулами приведения для доказательства справедливости всех тригонометрических тождеств и для тупых углов:

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. .

^ 5. Вычисление площадей многоугольников с использованием тригонометрических функций.

Знание тригонометрических функций углов позволяет вывести новые формулы для вычисления площадей следующих многоугольников:

Формула для вычисления площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними: Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус заключенного между ними угла (рисунки 7а и 7б).

Дано:

ABCD – п/г.

Доказать:

SABCD = AB·AD·sinA.

Доказательство:

  1. Проведем из вершины B к стороне AD высоту BH. Тогда из прямоугольного треугольника ABH ; . Если угол A прямой, то . В случае, когда угол A параллелограмма тупой (рисунок 7б), . Итак, для любого угла A .

  1. П
    о формуле для вычисления площади параллелограмма, . #

Следствие (формула для вычисления площади треугольника по двум сторонам и углу между ними): Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус заключенного между ними угла.

Формула для вычисления площади произвольного четырехугольника: Площадь произвольного четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними (рисунки 8а и 8б).

Дано:

ABCD – четырехугольник.

Доказать:

.

Доказательство:

На рисунках 8а и 8б изображены выпуклый и невыпуклый четырехугольники соответственно.

  1. Проведем к основанию AC высоты BH и DF треугольников ABC и ADC соответственно. Тогда если O - точка пересечения диагоналей четырехугольника, то из прямоугольных треугольников BOH и DOF получаем: ;
    .




. #


Замечание: Ранее была выведена формула для вычисления площади четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями. Если учесть, что , становится понятно, что эта формула является лишь частным случаем только что выведенной формулы.







Похожие:

Viii класс: Тема Тригонометрические функции острого и тупого углов iconViii класс: Тема I. Повторение курса геометрии за 7 класс
При пересечении двух прямых образуется две пары вертикальных углов (1 и 3, 2 и 4 на рисунке 1)
Viii класс: Тема Тригонометрические функции острого и тупого углов iconТригонометрические функции. Тригонометрические функции числового аргумента
Определение чётной, нечётной функции. Как расположены графики четной и нечетной функции?
Viii класс: Тема Тригонометрические функции острого и тупого углов iconТригонометрические функции. Тригонометрические функции числового аргумента
Определение чётной, нечётной функции. Как расположены графики четной и нечетной функции?
Viii класс: Тема Тригонометрические функции острого и тупого углов iconViii класс: Тема Измерение углов и отрезков, связанных с окружностью
Определение окружности и ее элементов. Взаимное расположение прямой и окружности
Viii класс: Тема Тригонометрические функции острого и тупого углов iconТема урока: «Сумма углов треугольника»
Цель урока: доказательство теоремы о сумме углов треугольника с применением ранее изученного материала; применение теоремы для нахождения...
Viii класс: Тема Тригонометрические функции острого и тупого углов iconФункции-векторы и функции-спиноры. Примеры наборов (столбцов) функций
Теперь произведем замену над параметром , входящим в 1-й и 3-й элемент этого столбца. Фактически мы произведем поворот на угол ’’...
Viii класс: Тема Тригонометрические функции острого и тупого углов iconТема: «Измерение углов. Вертикальные углы.»
Цель: научиться измерять углы с помощью транспортира, доказать свойство вертикальных углов
Viii класс: Тема Тригонометрические функции острого и тупого углов iconТема Дата
Календарно-тематическое планирование к умк о. В. Афанасьевой, И. В. Михеевой. Английский язык, VIII класс
Viii класс: Тема Тригонометрические функции острого и тупого углов iconКонтрольная работа №2 «Тригонометрические функции» 1 вариант Расположите в порядке возрастания числа,,,. Исследуйте функцию на четность

Viii класс: Тема Тригонометрические функции острого и тупого углов iconУчебный предмет Алгебра Вид деятельности
Почему задания содержащие тригонометрические функции являются одними из самых сложных для выпускников?
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы