Viii класс. Тема Комбинации окружностей и многоугольников icon

Viii класс. Тема Комбинации окружностей и многоугольников



НазваниеViii класс. Тема Комбинации окружностей и многоугольников
Дата конвертации25.11.2012
Размер252.44 Kb.
ТипДокументы

VIII класс. Тема 7. Комбинации окружностей и многоугольников.

1. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.

Докажем, что точка принадлежит биссектрисе неразвернутого угла тогда и только тогда, когда она равноудалена от его сторон. Это утверждение составляет суть свойства биссектрисы угла, которое формулируется следующим образом:

Свойство биссектрисы угла: Биссектриса неразвернутого угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон (рисунок 1).

Дано:

XOY < 90°;

OK – биссектриса XOY;

т. A  OK;

т. B; ρ (B, OX) = ρ (B, OY).

Доказать: ρ (A, OX) = ρ (A, OY);

т. B  OK.

Доказательство:

  1. Проведем AF  OX, F  OX, AD  OY, D  OY, BP  OX, P  OX, BQ  OY, Q  OY. Тогда по определению расстояния от точки до прямой, AF = ρ (A, OX), AD = ρ (AOY), BP = ρ (B, OX), BQ = ρ (B, OY).

  2. ΔOAF = ΔOAD по гипотенузе и острому углу (OA – общая гипотенуза, AOF = AOD, т.к. OK – биссектриса угла XOY);  AF = AD, т.е. ρ (A, OX) = ρ (A, OY).

  3. ΔOBP = ΔOBQ по гипотенузе и катету (OB – общая
    гипотенуза, BP = ρ (B, OX) = ρ (B, OY) = BQ);  BOP = BOQ, т.е. т. B  OK. #

Замечание: В свойстве биссектрисы угла содержатся сразу два взаимно обратных утверждения:

        1. Если точка лежит на биссектрисе неразвернутого угла, то она равноудалена от его сторон (точка ^ A на рисунке 1);

        2. Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе (точка B на рисунке 1).

Напомним, что серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно ему.


Докажем, что точка принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку тогда и только тогда, когда она равноудалена от его концов.

Свойство серединного перпендикуляра к отрезку: Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от его концов (рисунок 2).

Дано:

отрезок XY;

т. M – середина XY;

M  m  XY;

т. A  m;

т. B, BX = BY.

Доказать: AX = AY;

т. B  m.

Доказательство:

  1. ΔXAY – р/б по признаку (AM – высота и медиана ΔXAY),  AX = AY.

  2. ΔXBY – р/б по определению, т.к. BX = BY,  по св-ву р/б Δ-ка его медиана BM является также и высотой,  BM  XY. Но т.к. через точку M можно провести ! перпендикуляр к прямой XY, т. B  m. #



Замечание: Так же, как и в свойстве биссектрисы треугольника, в свойстве серединного перпендикуляра к отрезку содержатся два взаимно обратных утверждения:

  1. Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от его концов (точка A на рисунке 2);

  2. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку (точка B на рисунке 2).

^ 2. Замечательные точки треугольника.

Ранее было доказано, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, аналогичным свойством обладают и биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры к сторонам треугольника. Точки пересечения медиан, биссектрис, высот и серединных перпендикуляров к сторонам треугольника называют «замечательными точками треугольника». Остановимся отдельно на рассмотрении каждой из них:

1. Свойство медиан треугольника: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой его центроидом, и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины (было доказано ранее).

2. Свойство биссектрис треугольника: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, называемой инцентром треугольника (рисунок 3).

Замечание: Для доказательства сформулированного свойства достаточно показать, что прямая, проходящая через вершину ^ C треугольника ABC и точку J пересечения биссектрис его углов A и B, содержит биссектрису угла C.

Дано:

ΔABC;

AK, BN – биссектрисы ΔABC;

AK  BN = J;

CJ  AB = L.

Доказать: CL – биссектриса ΔABC.

Доказательство:

  1. Опустим из точки J перпендикуляры к сторонам треугольника: JD  AB: D  AB, JF  AC: F  AC, JH  BC: H  BC.

  2. Т.к. J  AK, а AK – биссектриса угла A,  по свойству биссектрисы угла JD = JF.

  3. Т.к. J  BN, а BN – биссектриса угла B,  по свойству биссектрисы угла JD = JH.

  1. JF = JD = JH, т.е. точка J равноудалена от сторон угла C,  по свойству биссектрисы угла т. J лежит на биссектрисе угла C; т.е. CL является биссектрисой ΔABC. #

Замечание: Инцентр треугольника равноудален от всех его сторон.

3. Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (рисунок 4).

Замечание: Для доказательства сформулированного свойства достаточно показать, что точка O пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AB и AC треугольника ABC принадлежит серединному перпендикуляру m к стороне BC.

Дано:

ΔABC;

N – середина AB; ON  AB;

K – середина AC; OK  AC;

M – середина BC; M  m  BC.

Доказать: O  m.

Доказательство:

  1. Соединим точку O с вершинами A, B и C.

  2. Т.к. OK – серединный перпендикуляр к стороне AC, то по свойству серединного перпендикуляра к отрезку OA = OC.

  3. Т.к. ON – серединный перпендикуляр к стороне AB, то по свойству серединного перпендикуляра к отрезку OA = OB.

  4. OB = OA = OC, т.е. точка O равноудалена от вершин B и C,  по свойству серединного перпендикуляра к отрезку O  m. #


Замечание: Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от его вершин.

4. Свойство высот треугольника: Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, называемой его ортоцентром. (рисунок 5).

Дано:

ΔABC;

AD, BF, CH – высоты ΔABC.

Доказать: AD  BF = BF  CH.

Д
оказательство:


  1. Проведем через вершину A прямую aBC, через вершину B – прямую bAC, через вершину C – прямую cAB. Обозначим a  b = C1, b  c = A1, a  c = B1.

  1. По определению ACBC1 и ABCB1 – п/г,  по св-ву п/г AC1 = BC = AB1, т.е. A – середина B1C1.

  2. По построению B1C1BC  AD,  B1C1  AD. Таким образом, AD – серединный перпендикуляр к отрезку B1C1.

  3. Аналогично CH – серединный перпендикуляр к A1B1, BF – серединный перпендикуляр к A1C1. Т.е. AD, BF и CH – серединные перпендикуляры к сторонам ΔA1B1C1. Тогда по свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника AD, BF и CH пересекаются в одной точке. #

З

амечание:


    • Очевидно, что центроид и инцентр треугольника всегда лежат внутри него.

    • Ч
      то касается ортоцентра, то он лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный (рисунок 6а), совпадает с вершиной прямого угла, если треугольник прямоугольный (рисунок 6б; в этом случае катеты треугольника являются его высотами), и лежит вне треугольника, если он тупоугольный (рисунок 6в).

    • Д
      алее будет доказано, что положение точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника также определяется видом треугольника. Забегая вперед, скажем, что точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам остроугольного треугольника лежит внутри него (рисунок 7а), прямоугольного – на середине гипотенузы (рисунок 7б) и тупоугольного – вне его (рисунок 7в).

^ 3. Окружность, вписанная в многоугольник. Вписанная в треугольник окружность. Свойство и признак описанного четырехугольника.

Напомним, что окружность называется вписанной в угол, если она касается обеих сторон этого угла. При этом центр окружности лежит на биссектрисе этого угла и равноудален от его сторон.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом многоугольник называется описанным около окружности (рисунок 8).

П
онятно, что окружность вписана в многоугольник тогда и только тогда, когда она вписана в каждый из его углов. А значит, центр вписанной окружности должен принадлежать биссектрисам всех внутренних углов многоугольника. В этом случае центр вписанной окружности удален от всех сторон многоугольника на одинаковое расстояние, равное радиусу окружности.

Замечание: Далеко не в любой многоугольник можно вписать окружность. В многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке (к примеру, на рисунке 9 изображен прямоугольник с неравными сторонами, в который нельзя вписать окружность). Тогда центром вписанной в многоугольник окружности является точка пересечения биссектрис его углов, а радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра до любой из сторон многоугольника.

Поскольку биссектрисы всякого треугольника пересекаются в одной точке, в любой треугольник можно вписать окружность, центр которой совпадает с инцентром треугольника, а радиус равен расстоянию от инцентра до любой из его сторон (напомним, что инцентр треугольника равноудален от его сторон). Таким образом, во всякий треугольник можно вписать единственную окружность. Этот факт составляет суть теоремы о существовании и единственности вписанной в треугольник окружности:

Теорема о существовании и единственности вписанной в треугольник окружности: В любой треугольник можно вписать единственную окружность, центр которой лежит на пересечении биссектрис треугольника. (Доказательство этой теоремы очевидно).

Формула для вычисления радиуса вписанной в многоугольник окружности: Если в многоугольник можно вписать окружность, то ее радиус равен отношению площади многоугольника к его полупериметру: .

Дано:

(O; r) вписана в A1A2A3An-1An.

Доказать: .

Доказательство:

  1. Проведем из центра окружности ^ O радиусы в точки касания со сторонами многоугольника (рисунок 10). Тогда по свойству касательной к окружности OH1  A1A2, OH2  A2A3, …, OHn 1  An-1An, OHn  A1An, т.е. радиусы вписанной окружности являются высотами треугольников OA1A2, OA2A3, …, OAn-1An, OA1An, проведенными из вершины O.



  1. ,  . #

Замечание: Выведенная формула справедлива для всех типов описанных около окружности многоугольников, в том числе и для треугольника.

При решении задач об окружности, вписанной в треугольник, очень полезным является следующий ключевой факт:

Формула для вычисления расстояния от вершины треугольника до точки касания вписанной в него окружности с прилежащей к ней стороной: Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной в него окружности с прилежащей к ней стороной равно разности полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине. Другими словами, если окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его стороны AB в точке K (рисунок 11), то AK = pΔABC – BC.

Дано:

(O; r) вписана в ΔABC;

(O; r)  AB = !K.

Доказать: AK = pΔABC – BC.

Доказательство:

  1. Пусть (O; r)  BC = !L, (O; r)  AC = !N. Тогда по св-ву касательных, проведенных к окружности из одной точки AK = AN, KB = BL, LC = CN.




,  ,  AK = pΔABC – BC. #

Замечание: Выведенная формула с успехом используется для вычисления радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник (рисунок 12): Поскольку AKON – прямоугольник (у него три прямых угла), и к тому же OK = ON = r,  AKON – квадрат со стороной, равной r,  r = AK = pΔABC – BC.

Выше было показано, что далеко не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Сформулируем свойство и признак четырехугольника, описанного около окружности:

Свойство описанного четырехугольника: В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны (рисунок 13).

Дано:

(O; r) вписана в ABCD.

Доказать: AB + CD = BC + AD.

Доказательство:

  1. Обозначим AB  (O; r) = !K, BC  (O; r) = !L, CD  (Or) = !M, AB  (O; r) = !N. Тогда по св-ву касательных, проведенных к окружности из одной точки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN.



. #

Можно доказать и справедливость обратной теоремы – признак описанного четырехугольника: Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность (без док-ва).

С
ледствие:
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда этот параллелограмм – ромб (рисунок 14):

Пусть п/г ^ ABCD является описанным четырехугольником. Докажем, что ABCD – ромб. По св-ву п/г AB = CD, BC = AD. По св-ву описанного четырехугольника AB + CD = BC + AD. Таким образом, 2AB = AB + CD = BC + AD = 2AD,  AB = AD, т.е. ABCD – п/г с равными сторонами,  ABCD – ромб.

Если ^ ABCD – ромб, то у него все стороны равны,  AB + CD = 2AB = 2BC = BC + AD;  по признаку описанного четырехугольника в него можно вписать окружность (можно обойтись и без признака описанного четырехугольника, если учесть, что диагонали ромба являются биссектрисами его углов, т.е. биссектрисы всех углов ромба пересекаются в одной точке, а значит, в него можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении диагоналей ромба). #

^ 4. Окружность, описанная около многоугольника. Описанная около треугольника окружность. Свойство и признак вписанного четырехугольника.

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность (рисунок 15).

Рассмотрим многоугольник A1A2A3An-1An, вписанный в окружность (O; R). Т.к. точка O равноудалена от вершин A1 и A2 (OA1 = OA2 = R), она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку A1A2 (по св-ву серединного перпендикуляра к отрезку). Аналогично т. O принадлежит серединным перпендикулярам ко всем сторонам многоугольника A1A2A3An-1An. Таким образом, чтобы около многоугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы существовала точка, равноудаленная от всех его вершин, т.е. чтобы серединные перпендикуляры ко всем сторонам многоугольника пересекались в одной точке.

Замечание: Далеко не около всякого многоугольника можно описать окружность. Около многоугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры ко всем его сторонам пересекаются в одной точке. При этом центром описанной окружности как раз и является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, а радиус описанной окружности равен расстоянию от ее центра до любой из вершин многоугольника.

Поскольку серединные перпендикуляры к сторонам произвольного треугольника пересекаются в одной точке, около всякого треугольника можно описать окружность, центром которой является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. А т.к. центр описанной около треугольника окружности и ее радиус (расстояние от центра до вершины) определяются однозначно, около всякого треугольника можно описать единственную окружность. Это утверждение составляет суть теоремы об описанной около треугольника окружности:

Теорема о существовании и единственности описанной около треугольника окружности: Около всякого треугольника можно описать единственную окружность, центр которой лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам (Доказательство этой теоремы очевидно).

З
амечание:
Выше было отмечено, что положение точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника определяется его видом. Это вытекает из теоремы о вписанном угле следующим образом:

  • если в Δ-ке ABCB тупой (рисунок 16а), то , т.е. центр описанной окружности лежит вне Δ-ка ABC;

  • е
    сли ABC = 90° (рисунок 16б), то по следствию из теоремы о вписанном угле ^ AC – диаметр описанной окружности, т.е. ее центр лежит на середине гипотенузы;

  • если все углы Δ-ка ABC острые (рисунок 16в), то каждая из дуг AB, BC и AC меньше 180°, т.е. центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

Т
аким образом, центр описанной около треугольника окружности (или точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам) лежит:

  • внутри треугольника, если он остроугольный;

  • на середине гипотенузы, если он прямоугольный;

  • вне треугольника, если он тупоугольный.

Формула для вычисления радиуса описанной около треугольника окружности: Радиус описанной около треугольника окружности равен отношению его стороны к двум синусам противолежащего угла: .

Дано:

(O; R) описана около ΔABC.

Доказать: .

Доказательство:

  1. Проведем диаметр AD (рисунок 17). Тогда по следствию из теоремы о вписанном угле ABD = 90°. Из п/у Δ-ка ABD ,  .

  1. По теореме о вписанном угле ,  . #

Следствие 1: Умножив числитель и знаменатель дроби в правой части формулы на произведение BC·AC, получим еще одну формулу для вычисления радиуса описанной около треугольника окружности: . Полученной формулой удобно пользоваться в случае, когда треугольник задан тремя сторонами (в этом случае площадь SΔABC рассчитывается по формуле Герона).

Следствие 2: Из выведенной только что формулы следует, что , т.е. стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Это утверждение называется теоремой синусов, которая активно используется для решения треугольников:

Теорема синусов: Стороны произвольного треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е. для всякого Δ-ка ABC выполняется равенство: .

Из формулы для вычисления радиуса описанной около треугольника окружности следует, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Это утверждение является дополнением к теореме синусов и носит название обобщенной теоремы синусов:

Обобщенная теорема синусов: Стороны произвольного треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около треугольника окружности. Другими словами, для всякого Δ-ка ABC выполняется равенство: .

Замечание: Теорема синусов легко выводится из формулы для вычисления радиуса описанной окружности, но она активно используется и в задачах, не имеющих отношения к окружности. Теорема синусов позволяет решить треугольник (т.е. найти его неизвестные элементы) в следующих случаях:

  • Известны сторона и два угла треугольника: по теореме о сумме углов треугольника вычисляется третий угол, и далее по теореме синусов рассчитываются две оставшиеся стороны.

  • Известны две стороны и угол, лежащий напротив одной из них: по теореме синусов рассчитывается синус угла, противолежащего второй стороне, и по известному синусу находится сам угол (одному значению синуса соответствует сразу два угла – острый и тупой, и задача в этом случае может иметь 2 решения); далее по теореме о сумме углов треугольника вычисляется оставшийся угол, и вновь по теореме синусов рассчитывается третья сторона.

Выше было отмечено, что около многоугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры ко всем его сторонам пересекаются в одной точке. Оказывается, для вписанного четырехугольника можно сформулировать более простой признак. Докажем сначала свойство вписанного четырехугольника: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180° (рисунок 18).

Дано:

ABCD вписан в (O; R).

Доказать:A + C = B + D = 180°.

Доказательство:

  1. По теореме о вписанном угле , ,  .

  1. Т.к. сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°, . #

Замечание: Свойство вписанного четырехугольника можно переформулировать следующим образом: Суммы противоположных углов вписанного четырехугольника равны (т.к. сумма всех углов четырехугольника равна 360°, то равенство сумм пар противоположных углов эквивалентно равенству суммы каждой пары 180°).

Несложно доказать справедливость обратной теоремы – признака вписанного четырехугольника.

Признак вписанного четырехугольника: Если сумма двух противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около этого четырехугольника можно описать окружность (без доказательства).

Замечание: Признак вписанного четырехугольника можно переформулировать следующим образом: если суммы противоположных углов четырехугольника равны, то около него можно описать окружность.

Следствие 1: Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником (рисунок 19):

Пусть ^ ABCD – п/г, около которого можно описать окружность. По св-ву противоположных углов п/г A = C. По св-ву вписанного четырехугольника A + C = 180°;  A + C = 2A = 180°,  A = 90°. Таким образом, у параллелограмма ABCD есть прямой угол,  ABCD – прямоугольник.

Пусть ^ ABCD – прямоугольник. Тогда по определению прямоугольника A + C = B + D = 2·90° = 180°,  по признаку вписанного четырехугольника около ABCD можно описать окружность. #

С
ледствие 2:
Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной (рисунок 20):

Пусть ^ ABCD – трапеция (BCAD), около которой можно описать окружность. Докажем, что она является равнобедренной: По св-ву вписанного четырехугольника A + C = 180°; по св-ву углов при параллельных прямых и секущей A + B = 180° (A и B – о/с при BCAD и секущей AB);  B = C, и ABCD – р/б по признаку.

Пусть ABCD – р/б трапеция, тогда по св-ву р/б трапеции A = D. Т.к. A и B – о/с при BCAD и секущей AB,  A + B = 180° = D + B;  по признаку вписанного четырехугольника около ABCD можно описать окружность. #

5
. Вневписанная в треугольник окружность.


Рассмотрим произвольный треугольник ABC (рисунок 21) и найдем точки, равноудаленные от прямых AB, BC и AC. Ранее было показано, что одной из таких точек является инцентр треугольника, т.е. центр вписанной в него окружности. Проведем биссектрисы внешних углов XAC и YCA треугольника ABC и рассмотрим точку O их пересечения. Т.к. AO – биссектриса XAC, то по св-ву биссектрисы угла ρ(O; AX) = ρ(O; AC) (на рисунке 21 OP = OQ). С другой стороны, т.к. CO – биссектриса YCA, то ρ(OCY) = ρ(O; AC) (на рисунке 21 OR = OQ). Таким образом, OP = OQ = OR, т.е. ρ(O; AX) = ρ(O; CY), а значит, точка O равноудалена от прямых AX (AB) и CY (BC) и принадлежит биссектрисе угла B. Следовательно, биссектрисы двух внешних углов треугольника и третьего внутреннего угла пересекаются в одной точке, равноудаленной от прямых, содержащих его стороны. И если провести окружность с центром в точке O радиусом OP (рисунок 21), то она пройдет через точки Q и R и будет касаться прямых AB, BC и AC по признаку касательной к окружности. Такую окружность называют вневписанной окружностью треугольника ABC.

Окружность, касающуюся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон, называют вневписанной окружностью треугольника. Центром вневписанной окружности является точка пересечения биссектрис двух внешних углов треугольника (которая, как было показано, лежит на биссектрисе третьего внутреннего угла).

Замечание 1: У всякого Δ-ка есть 3 вневписанные окружности (рисунок 21). Радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон AB, BC и AC, принято обозначать соответственно rAB, rBC и rAC.

Замечание 2: Для всякого Δ-ка можно построить 4 точки, равноудаленные от прямых, содержащих его стороны: инцентр (центр вписанной окружности) и 3 центра вневписанных окружностей.

Выведем формулы для вычисления расстояний от вершин треугольника до точек касания вневписанной окружности с его сторонами (рисунок 21): BP = BR = pΔABC,

AP = AQ = pΔABC – AB.



Дано:

ΔABC;

(O; rAC) – вневписанная окр.;

(O; rAC)  AB = !P,

(O; rAC)  BC = !R,

(O; rAC)  AC = !Q.

Доказать: BP = BR = pΔABC,

AP = AQ = pΔABC – AB.

Доказательство:

  1. По св-ву касательных, проведенных к окружности из одной точки AQ = AP, CQ = CR, BP = BR.

  2. PΔABC = AB + BC + AC = AB + BC + AQ + QC = AB + BC + AP + CR = BP + BR =
    = 2BP = 2BR,  .

  3. AP = BP – AB = pΔABC – AB. #

Выведем формулу для вычисления радиуса вневписанной окружности: : чтобы вычислить радиус вневписанной окружности треугольника ^ ABC, касающейся стороны AC, необходимо поделить площадь этого треугольника на разность его полупериметра и стороны AC (рисунок 21).

Дано:

ΔABC;

(O; rAC) – вневписанная окр.

Доказать: .

Доказательство:

  1. Пусть (O; rAC)  AB = !P, (O; rAC)  BC = !R, (O; rAC)  AC = !Q (рисунок 21). Тогда по св ву касательной к окружности OP, OR и OQ – соответственно высоты Δ-ков ABO, CBO и AOC соответственно, причем OP = OR = OQ = rAC.

  2. , 

,  . #

Замечание: Формулу для вычисления радиуса вневписанной окружности проще запомнить, если заметить, что она напоминает формулу для вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности. Отличие состоит лишь в том, что здесь из полупериметра треугольника вычитается та его сторона, которой касается вневписанная окружность.

^ 5. Взаимное расположение двух окружностей.

Г
оворя о взаимном расположении двух окружностей, следует понимать, что они не могут иметь более двух общих точек: если бы две окружности пересекались в трех точках, то около одного и того же треугольника были бы описаны сразу две окружности, что невозможно.

Линией центров двух окружностей называется прямая, проходящая через их центры.

Говорят, что две окружности пересекаются, если они имеют две общие точки (рисунок 22). Пересекающиеся окружности обладают следующим очевидным свойством:

Свойство пересекающихся окружностей: Линия центров двух пересекающихся окружностей является серединным перпендикуляром к их общей хорде.

Дано:

окр. (O1, R1),

окр. (O2, R2),

(O1, R1)  (O2, R2) = {A, B}.

Доказать:

O1O2 – серединный перпендикуляр к AB.

Доказательство:

  1. Т.к. O1A = R1 = O1B,  точка O1 равноудалена от концов отрезка AB,  по свойству серединного перпендикуляра к отрезку точка O1 принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB.

  2. Аналогично точка O2 принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку ^ AB. А т.к. существует единственный серединный перпендикуляр к заданному отрезку,  точки O1 и O2 принадлежат серединному перпендикуляру к AB, т.е. O1O2 – серединный перпендикуляр к хорде AB.



Если начать приближать точки A и B друг к другу (либо перемещая центр, либо меняя радиус одной из окружностей), в конце концов они сольются в одну общую точку, лежащую на линии центров.

Две окружности называются касающимися, если они имеют единственную общую точку, называемую точкой касания (рисунки 23а, 23б). При этом касание двух окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от точки касания (рисунок 23а) и внутренним – если по одну сторону (рисунок 23б).

Г
лавное свойство касающихся окружностей очевидно и заключается в том, что точка касания лежит на линии их центров:

Свойство касающихся окружностей: Точка касания двух касающихся окружностей лежит на линии их центров.

Дано:

окр. (O1, R1), окр. (O2, R2),

(O1, R1)  (O2, R2) = !K.

Доказать:

KO1O2.

Доказательство:

  1. Допустим, что KO1O2 (рисунок 24). Проведем KH  O1O2: HO1O2 и удлиним отрезок KH вдвое до точки N: HN = KH, HKN. В этом случае O1O2 – серединный перпендикуляр к отрезку KN по построению.

  2. Т.к. точка O1 лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ^ KN,  по свойству серединного перпендикуляра к отрезку O1N = O1K = R1, а значит, N(O1, R1).

  1. Аналогично N(O2, R2),  N – еще одна общая точка окружностей (O1, R1) и (O2, R2). Но по условию K – их единственная общая точка,  предположение о том, что KO1O2, неверно. Таким образом, KO1O2. 

Справедлива и обратная теорема:

Признак касающихся окружностей: Если общая точка двух окружностей лежит на линии их центров, то других общих точек у окружностей нет, т.е. они касаются.

Дано:

окр. (O1, R1), окр. (O2, R2),

(O1, R1)  (O2, R2) = K,

KO1O2.

Доказать:

(O1, R1)  (O2, R2) = !K.

Доказательство:

Допустим, что окружности (O1, R1) и (O2, R2) имеют еще одну общую точку N (рисунок 25). Тогда по свойству пересекающихся окружностей линия центров O1O2 должна являться серединным перпендикуляром к их общей хорде KN. Но это невозможно, т.к. серединный перпендикуляр к отрезку не может проходить через конец этого отрезка K. Таким образом, предположение неверно, и K – единственная общая точка окружностей (O1, R1) и (O2, R2). 

З
амечание:
Если две окружности касаются внешним образом, то расстояние между их центрами равно сумме радиусов. Если же окружности касаются внутренним образом, то расстояние между их центрами равно разности большего и меньшего радиусов.

Важно отметить, что к двум окружностям можно провести не более четырех общих касательных:

  1. Если окружности не пересекаются и лежат одна вне другой, то к ним можно провести 4 общих касательных (рисунок 26а). При этом общая касательная двух окружностей называется внутренней, если центры окружностей лежат по разные стороны от нее, и внешней – если по одну сторону (на рисунке 26а l1 и l2 – внешние касательные, а l3 и l4 - внутренние).

  2. Е
    сли имеет место внешнее касание двух окружностей, то к ним можно провести три общие касательные – две внешние и одну внутреннюю (рисунок 26б).

  3. Если две окружности пересекаются, то к ним можно провести уже только две внешние касательные (рисунок 26в).

  4. Если две окружности касаются внутренним образом, то к ним можно провести только одну внешнюю касательную, проходящую через их точку касания (рисунок 26г).

  5. Наконец, если одна из окружностей лежит внутри другой, и они при этом не пересекаются, то к ним невозможно провести ни одной общей касательной (рисунок 26д).

При решении задач о взаимном расположении прямых и окружностей полезным бывает использование факта, который мы назовем ключевой задачей:

Ключевая задача об общей касательной двух касающихся окружностей: Если две окружности радиусами R и r касаются внешним образом, то длина отрезка их общей внешней касательной, заключенного между точками касания, равна .

Дано:

окр. (O1, R), окр. (O2, r),

(O1, R)  (O2, r) = !K,

KO1O2 (т.е. касание внешнее),

AB  (O1, R) = !A,

AB  (O2, r) = !B.

Доказать: .

Доказательство:

  1. Проведем через точку K общую внутреннюю касательную окружностей l и обозначим l  AB = C (рисунок 27). Тогда по свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки AC = CK = CB,  AB = AC + CB = 2CK.

  2. Т.к. (O1, R) вписана в ACK,  CO1 – биссектриса ACK.

  3. Аналогично CO2 – биссектриса BCK.

  4. По свойству биссектрис смежных углов O1CO2 = 90°,  O1CO2 – прямоугольный.

  1. По свойству касательной к окружности CK  O1O2,  CK – высота прямоугольного O1CO2, проведенная к гипотенузе. Тогда по теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике .

  2. Из пп. 1 и 5 . 

Замечание: При решении задач на комбинации прямых и окружностей не всегда необходимо изображать на рисунке все окружности. Зачастую достаточно изобразить их центры и точки касания с прямыми и другими окружностями, а также нанести на рисунок длины известных отрезков (радиусов, отрезков касательных и т.д.).







Похожие:

Viii класс. Тема Комбинации окружностей и многоугольников iconViii класс: Тема I. Повторение курса геометрии за 7 класс
При пересечении двух прямых образуется две пары вертикальных углов (1 и 3, 2 и 4 на рисунке 1)
Viii класс. Тема Комбинации окружностей и многоугольников iconТема Дата
Календарно-тематическое планирование к умк о. В. Афанасьевой, И. В. Михеевой. Английский язык, VIII класс
Viii класс. Тема Комбинации окружностей и многоугольников iconЦели: познакомить учащихся с элементами комбинаторики, (комбинации, перестановки); на простейших примерах рассмотреть правило умножения; развивать логическое мышление учащихся. Оборудование
Тема: «Знакомство с элементами комбинаторики» (урок математики 5 класс) презентация
Viii класс. Тема Комбинации окружностей и многоугольников iconViii класс: Тема Измерение углов и отрезков, связанных с окружностью
Определение окружности и ее элементов. Взаимное расположение прямой и окружности
Viii класс. Тема Комбинации окружностей и многоугольников iconViii класс: Тема Тригонометрические функции острого и тупого углов
Дадим определение тригонометрическим функциям острого угла прямоугольного треугольника (рисунок 1)
Viii класс. Тема Комбинации окружностей и многоугольников iconТема: построение вписанных многоугольников. Цели: познакомить с понятиями «вписанный многоугольник»
Вот и сегодня на уроке мы продолжим развивать волю, смекалку, накапливать знания, сравнивать, обобщать, отрабатывать умения
Viii класс. Тема Комбинации окружностей и многоугольников iconТема работы: Эфиопия: жизнь Российского Посольства в числах и задачах. Сборник авторских задач школьников
Авторы: Галкина Мария (5 класс), Коршунова Елизавета (6 класс), Мадиев Ибрагим (5 класс), Маругина Софья (5 класс), Рябинкина Анна...
Viii класс. Тема Комбинации окружностей и многоугольников icon10а класс География нтр, тема 4, параграф 1; Мировое хозяйство, тема 4, параграф 2 10б класс

Viii класс. Тема Комбинации окружностей и многоугольников iconViii класс: Тема Площади фигур. Теорема Пифагора
Несмотря на то, что с понятием площади мы хорошо знакомы из повседневной жизни, строгое определение этому понятию дать непросто....
Viii класс. Тема Комбинации окружностей и многоугольников iconКлючников Дионисий Владимирович Дата рождения 18 октября 1996 г. Школа и класс: моу «Большеелховская средняя общеобразовательная школа» Лямбирского района Республики Мордовия, 5 класс Тема реферат
Тема реферата (творческой работы): Христианские мотивы в русских народных сказках
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов