Практикум Тема «Разложение многочленов на множители» icon

Практикум Тема «Разложение многочленов на множители»



НазваниеПрактикум Тема «Разложение многочленов на множители»
Дата конвертации03.12.2012
Размер66.41 Kb.
ТипПрактикум

Учебный практикум

Тема «Разложение многочленов на множители»


Цель: Формировать умение рефлексировать, анализировать, планировать свою деятельность через применение известных правил и формул. Реализовать знания и умения для выполнения заданий повышенной сложности.


Этапы практикума

Организационный момент. Постановка целей урока и мотивация.

Добрый день, дорогие ребята! Сегодня у нас необычный обобщающий урок по теме: “Разложение на множители его применение”. Один из древнегреческих императоров, желая власти над людьми, сказал: “Разделяй - и властвуй!” Почему бы и нам на уроке алгебры не побыть властелинами только не над человеком, а над решениями многих интересных стандартных и нестандартных заданий. Попробуйте заменить слово “разделяй” на слово “разлагай”! - получилась необычная тема сегодняшнего урока: “РАЗЛАГАЙ – И ВЛАСТВУЙ!”.

Немного теории Для практической части нашего урока нам понадобится знание различных способов разложения на множители многочлена, с которыми мы уже знакомы. Давайте вспомним: что значит разложить многочлен на множители?

Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения более простых многочленов.

Какие способы разложения вы знаете? (учащиеся перечисляют)

Существует несколько способов разложения:

  • Вынесение общего множителя за скобки

  • Способ группировки

  • С помощью формул сокращенного умножения

а2-b2=(a-b)(a+b);
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
a2+2ab+b2=(a+b)2;
a2-2ab+b2=(a-b)2;

^ Практическое применение


1. Найти значение числового выражения

532-472

612-392

Самое эффективное решение – дважды воспользоваться формулой разности квадратов:

532-472 = (53-47)(53+47) = 6•100 = 6 = 3

612-392 (61-39)(61+39) 22•100 22 11

Разложение на множители позволило нам сократить дробь. Позднее мы оценим это и при выполнении действий с алгебраическими дробями.

2. Вычислить:

8,32- 83•0,13= 8,3(8,3-10•0,13)= 8,3(8,3-1,3) =8,3•7

3. Решить уравнение: х2+10х+24=0.
Тема квадратные уравнения ещё не изучалась, но это уравнение можно решить, разложив многочлен на множители способом группировки:

х2+10х+24 = х2+(6х + 4х)+24 = (х2+6х) + (4х+24) = х(х+6)+4(х+6) = (х+6)(х+4)

(х+6)(х+4)=0 (х+6)=0 или (х+4)=0, х=-6 или х=-4

Таким образом, разложение многочлена на множители используется для решения уравнений, для преобразования числовых и алгебраических выражений.


Алгоритмы:

Вынесение общего множителя за скобки

Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов


  • Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).




  • Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.




  • Произведение коэффициента и переменной, найденного на первом и втором шагах, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.


Пример 1

Разложить на множители:
-x4y3-2x3y2+5x2.

Воспользуемся сформулированным алгоритмом.

  1. Наибольший общий делитель коэффициентов –1, -2 и 5 равен 1.

  2. Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x2.

  3. Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.


Вывод: за скобки можно вынести x2. Правда, в данном случае целесообразнее вынести -x2. Получим:


-x4y3-2x3y2+5x2=-x2(x2y3+2xу2-5).


Способ группировки

Для уяснения сути способа группировки рассмотрим следующий.

Пример 2: разложить на множители многочлен xy-6+3y-2y


^ Первый способ группировки:

xy-6+3y-2y=(xy-6)+(3x-2y).

Группировка неудачна.


Второй способ группировки:

xy-6+3y-2y=(xy+3x)+(-6-2y)=x(y+3)-2(y+3)=(y+3)(x-2).

Третий способ группировки:

xy-6+3y-2y=(xy-2y)+(-6+3x)=y(x-2)+3(x-2)=(x-2)(y+3).

Ответ: xy-6+3y-2y=(x-2)(y+3).


Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной.

Если группировка оказалась неудачной, откажитесь от нее, ищите иной способ.

По мере приобретения опыта, вы будете быстро находить удачную группировку.


Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения

Вспомните эти формулы:

a2-b2=(a-b)(a+b);

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

a2+2ab+b2=(a+b)2;

a2-2ab+b2=(a-b)2.


Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего – чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью – к выражению, представляющему собой разность (или сумму) кубов; последние две формулы применяются к трехчлену, представляющему собой полный квадрат, т.е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений.


Пример 3

Разложить на множители

1) x6-4a4. Воспользуемся первой формулой (разность квадратов):

x6-4a4=(x3)2-(2a2)2=(x2-2a2)(x3+2a2).

2) a6+27b3. Воспользуемся третьей формулой (сумма кубов):

a6+27b3=(a2)3+(3b)3=(a2+3b)((a2)2-a2·3b+(3b)2)=(a2+3b)(a4-3a2b+9b4).

3) a2-4ab+4b2. В этом примере дан трехчлен, для его разложения на множители будем пользоваться пятой формулой, если, конечно, убедимся в том, что трехчлен является полным квадратом:

a2-4ab+4b2=a2+(2b)2-2·a·2b=(a-2b)2.


Мы убедились, что трехчлен содержит сумму квадратов одночленов a и 2b, а также удвоенное произведение этих одночленов. Значит, это полный квадрат, причем квадрат разности.


^ Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов

  • В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.


Пример 4

Разложить на множители многочлен
36a6b3-96a4b4+64a2b5

1) Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причем это – наибольший общий делитель, вынесем его за скобки. Во все члены многочлена входит переменная a (соответственно a6, a4, a2), поэтому за скобки можно вынести a2. Точно так же во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b3, b4, b5) – за скобки можно вынести b3.

Итак, за скобки вынесем 4a2b3. Тогда получим:

36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(9a4-24a2b+16b2).


2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a4-24a2b+16b2. Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем:

9a4-24a2b+16b2=(3a2)2+(4b)2-2·3a2·4b.

Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно,

9a4-24a2b+16b2=(3a2-4b)2.


3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат:


36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(3a2-4b)2.


Пример 5 Разложить на множители многочлен x4+x2a2+a4


Применим метод выделения полного квадрата. Для этого представим x2a2 в виде 2x2a2-x2a2.

Получим:

x4+x2a2+a4=x4+2x2a2-x2a2+a4=(x4+2x2a2+a4)-x2a2=(x2+a2)2-(xa)2=(x2+a2+xa)(х22-ха)


Пример 6

Разложить на множители
n3+3n2+2n

Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n(n2+3n+2). Теперь к трехчлену n2+3n+2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n+n.

Получим: n2+3n+2=n2+2n+n+2=(n2+2n)+(n+2)=n(n+2)+(n+2)=(n+2)(n+1).


Окончательно получаем:

n2+3n+2=n(n+1)(n+2).


Пример 7

Решить уравнение
x2-6x+5=0

^ Первый способ.

Представим –6x в виде суммы –x-5x, а затем применим способ группировки:

x2-6x+5=x2-5x- х+5=(x2-x)+(-5x+5)=x(x-1)-5(x-1)=(x-1)(x-5).

Тогда заданное уравнение примет вид:

(x-1)(x-5)=0,

откуда находим, что либо x=1, либо x=5.

^ Второй способ.

Применим метод выделения полного квадрата, для чего представим слагаемое 5 в виде 9-4. Получим:

x2-6x+5=x2-6x+9-4=(x2-6x+9)-4=(x-3)2-22=(x-3-2)(x-3+2)=(x-5)(x-1).

Снова пришли к уравнению (x-1)(x-5)=0, имеющему корни 1 и 5.

Ответ: 1, 5.

Самостоятельная работа

Итог практикума:

Вы проанализировали следующие приемы разложения многочлена на множители:

    • вынесение общего множителя за скобки;

    • группировка;

    • использование формул сокращенного умножения;

    • выделение полного квадрата.

Подведение итогов урока. “Успех – это 99 % потения и 1 % везения!” - После работы ребят в группах идёт обмен и разбор решений, некоторые решения рассматриваются на слайдах, итоги урока подводятся, ставятся оценки. И даётся домашнее задание (придумать подобные примеры и решить их ). СПАСИБО ЗА УРОК, ДЕТИ! Творческих вам успехов!




Похожие:

Практикум Тема «Разложение многочленов на множители» iconТема. Применение различных способов для разложения на множители
Цели урока: Рассмотреть разложение на множители многочленов способами вынесения общего множителя за скобки и с помощью формул сокращенного...
Практикум Тема «Разложение многочленов на множители» iconУрок по теме «Разложение на множители» 7класс Немного теории
Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения более простых многочленов
Практикум Тема «Разложение многочленов на множители» icon3 уроках в неделю (102 урока за год)
Разложение квадратного трехчлена на множители, п. 4 Проверочная самостоятельная работа
Практикум Тема «Разложение многочленов на множители» icon«Алгебра 7»
Цель урока: закрепление и обобщение изучаемого материала, умений и навыков умножения одночлена на многочлен, разложение на множители...
Практикум Тема «Разложение многочленов на множители» iconРазложение чисел на простые множители
В разложении числа 2-4 простых делителей не более 11 и одно простой делитель не более 100
Практикум Тема «Разложение многочленов на множители» iconУрок алгебры в 7 классе Учитель Коростелёва В. В. Тема: Сложение и вычитание многочленов Цели
Цели: организовать деятельность учащихся по закреплению знаний и способов деятельности о сложении и вычитании многочленов, ориентировать...
Практикум Тема «Разложение многочленов на множители» icon7 класс Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения. Пояснительная записка
Использование презентаций позволяет учителю рационально использовать время урока, позволяет сделать процесс обучения интересным и...
Практикум Тема «Разложение многочленов на множители» iconДокументы
1. /алгебра 7 кл самос. работы/Ср 2.1 Числовые выражения и выражения с переменными.doc
Практикум Тема «Разложение многочленов на множители» icon3. Встречаются ли в разложении числа на простые множители одинаковые множители
Задана линейная таблица, состоящая из целых чисел. Определить есть ли в этой таблице хотя бы одно число кратное k
Практикум Тема «Разложение многочленов на множители» iconДокументы
1. /отечественная история/Конспект лекций по Отечественой истории.doc
2. /отечественная...

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов