Красноярская региональная детско-молодежная общественная организация «научное общество учащихся» icon

Красноярская региональная детско-молодежная общественная организация «научное общество учащихся»



НазваниеКрасноярская региональная детско-молодежная общественная организация «научное общество учащихся»
Дата конвертации26.11.2012
Размер180.06 Kb.
ТипЛитература

М

КРАСНОЯРСКАЯ РЕГИОНАЛЬНАЯ ДЕТСКО-МОЛОДЕЖНАЯ ОБЩЕСТВЕННАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

«НАУЧНОЕ ОБЩЕСТВО УЧАЩИХСЯ»



МОУ АНАШЕНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ

ШКОЛА №1

НОВОСЁЛОВСКОГО РАЙОНА


Уникурсальный граф

Краевой Форум «Молодежь и наука»


Выполнила: ученица 8 кл. шк.№1

Новосёловского района, п. Анаш

Рагулина Светлана Андреевна


Руководитель: учитель математики шк.№1

Лозневая Надежда Сергеевна


Анаш 2008





ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………………………………3

Глава I .Леонард Эйлер и его вклад в развитие топологии…………………5

1. Что такое топология…………………………………………………………...5

2. Вклад Л.Эйлера в развитие науки топологии……………………….6

3 .Что такое уникурсальный граф…………………………………… 8

Глава II. Описание работы……………………………………………………..9

  1. Исследование свойства уникурсального графа, полученные

результаты……………………………………………………………………… 9

Заключение …………………………………………………………………. 13

Литература …………………………………………………………………… 14

Приложение…………………………………………………………………….15


ВВЕДЕНИЕ

В предыдущей работе «Лист Мёбиуса» нами было исследовано свойство односторонней поверхности на примере открытия А.Ф. Мебиуса, его знаменитого бумажного кольца с сюрпризами. В этом году исследование того же топологического свойства, а именно, непрерывность, мы продолжили, но на другом объекте топологии - фигуре, вычерчиваемой одним росчерком, или уникурсальном графе. С этой фигурой связано решение задач – головоломок.

Известна притча: некто давал миллион рублей каждому, кто начертит следующую фигуру (Приложение 5.). Но при вычерчивании ставилось одно условие. Требо­валось, чтобы фигура эта была вычерчена одним не­прерывным росчерком, т. е. не отнимая пера или ка­рандаша от бумаги и не удваивая ни одной линии, другими словами, по раз проведенной линии нельзя уже было пройти второй раз.

Надежда стать «миллионером», решив «такую лег­кую» задачу, может заставить испортить много бумаги и потратить много времени на попытки вычертить эту фигуру, как требовалось, одним росчерком. Задача, однако, не решается, и это тем досаднее, что она не решается только «чуть-чуть»... Никак не удается про­вести только одной «последней» какой-либо линии.

С другой стороны выпуклый пятиугольник со всеми его диагоналями легко вычерчивается одним непрерыв­ным движением без повторения. Это создаёт серьёзную проблему- исследование, возможна или нет данная задача, прежде чем приниматься за её решение.
Вместе с тем вопрос разрешимости или неразрешимости задачи имеет и практическое значение, в частности для того, чтобы понимать и уметь обосновывать, что не всякую предлагаемую задачу можно решить.

Мы предположили, что свойство графа быть уникурсальным – есть способ определения возможности решения задач – головоломок. Отсюда, объект исследования: уникурсальный граф как фигура, вычерчиваемая одним росчерком.

^ Предмет исследования: топологическое свойство графа быть уникурсальным и его использование для решения задач – головоломок.

Цель работы : определить и опытно-экспериментальным путём проверить свойство уникурсального графа и его использование для решения задач-головоломок.

В соответствии с целью определились следующие задачи :

- раскрыть понятие топологии;

-изучить вклад Л.Эйлера в развитие науки топологии ;

- дать представление об уникурсальном графе и привести доказательство его топологического свойства;

- проверить опытно-экспериментальным путем возможность использования свойства для

решения задач-головоломок.

В последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии. В этом мы видим теоретическую значимость нашей работы.


Глава I. Леонард Эйлер и его вклад в развитие топологии.

1. Что такое топология

Топология- одна из математических наук, возникшая во второй половине XIX в.. Она из­учает те свойства геометрических фигур, ко­торые могут быть описаны с помощью поня­тия непрерывности.

Сама топология, можно сказать, началась с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который почти в тоже время, что и его Лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам, единожды перекрученную, ленту. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – «взрыва» фигуры. Поэтому иногда топологию называют «геометрией непрерывности». Она известна и под именем «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично. (Приложение 8.) [3]

«Сотри случайные черты, и ты увидишь – мир прекрасен», - писал Александр Блок. Тополог всегда готов внять подобному призыву – во всех окружающих его предметах он ищет некие важные только ему одному качества. Например, непрерывность. Это ещё одно топологическое свойство. Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь. Что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может, как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.

2. Вклад Л. Эйлера в развитие науки топологии

Эйлер тоже занимался вопросами топологии, в частности задачей о мостах, которую мы изложим в упрошённом виде.

Задача, предложенная Эйлером в 1759 году, заключается в следующем:

« Река, огибающая остров, делится на два рукава, через которые переброшено семь мостов: а, Ь, с, d, е, f,g. (Приложение1.). Спрашивается, можно ли совершить такую прогулку, чтобы за один раз перейти через все эти мосты, не переходя ни через один мост два или более раз?

  • Это вполне возможно! — скажет кто-нибудь.

  • Нет, это невозможно! - скажет другой.
    Но кто прав и кто нет и как это доказать?

Самый простой путь решения задачи, казалось бы, такой: сделать все возможные пробы таких переходов, т.е. перечислить все возможныё пути, и затем рассмотреть, какой или какие из них удовлетворяют условиям вопроса. Но очевидно, что даже в случае только семи мостов приходится делать слишком много таких проб. А при увеличении числа мостов такой способ решения практически совершенно немыслим. Да, кроме того, при одном и том же числе мостов задача изменяется в зависимости еще от расположения этих мостов». [2]

Далее приведём отрывок из письма Эйлера к итальянскому математику и инженеру Мариони, отправленного из Петербурга 13 марта 1736года.

«Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не смог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство... После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположен­ных мостов или не может». [2]

По поводу найденного им способа решать подобные задачи Эйлер писал:

«...Это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике. Мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только рас­суждением, и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойствен­ные математике. Итак, я не знаю, каким образом получается, что вопросы, имеющие совсем мало отношения к математике, скорее разрешаются математиками, чем другими… Моё правило приводит к следующему решению этого вопроса. Прежде всего нужно смотреть, сколько есть участков, разделённых водой, - таких, у которых нет другого перехода с одного на другой, кроме как через мост. В данном примере таких участков четыре, А, В, С, О. Далее нужно различать, является ли число мостов, ведущих к этим отдельным участкам, четным или нечетным. Так, в нашем случае к участку А ведут пять мостов, а к остальным — по три моста, т. е. число мостов, ведущих к отдельным участкам, нечетное, а этого одного уже достаточно для решения задачи. Когда это определено, применяем следующее правило:

1)Если бы число мостов, ведущих к каждому отдельному участку, было четным, то тогда обход, о котором идет речь, был бы возможен, и в то же время можно было бы начать этот обход с любого участка.

2) Если же из этих чисел два были бы нечетные, ибо только одно быть нечетным не может, то и тогда мог бы совершиться переход, как это предписано. Но только начало обхода непременно должно быть взято от одного из тех двух участков, к которым ведет нечетное число мостов.

3) Если бы, наконец, было больше двух участков, к которым ведет нечетное число мостов, то тогда такое движение вообще невозможно.

Итак, поскольку в предло­женном примере к четырем участкам число мостов нечетное, мы тщетно искали бы такой обход. А вот если бы прибавить еще восьмой мост, то тогда было бы только два участка, а именно А и С, к которым ведет нечетное число мостов, и поэтому требуемый обход мог бы совер­шиться, если бы только начало обхода было взято от А или С. Если бы можно было привести здесь другие, более серьезные задачи, этот метод мог бы принести еще большую пользу и им не следовало бы пренебрегать». [2]

Задаче о кёнигсбергских мостах Л. Эйлер посвятил целое исследова­ние, которое в 1736 г. было представлено в Петербургскую академию наук.


3. Что такое уникурсальный граф.

Большое число комбинаторных задач связано с графами. Графом называется фигура, образованная конечным набором точек плоскости и отрезков, соединяющих некоторые из этих точек (рис. 1,а). Точки - называются вершинами, а отрезки ребрами графа.

Вместо отрезков в качестве ребер графов рассматриваются так­ же кривые линии на плоскости . (.Рис.1б) Примерами графов могут слу­жить схемы метрополитена, же­лезных и шоссейных дорог, планы выставок и т.д.







Рис. 1а Рис. 1б


Исторически сложилось так, что теория графов зародилась в ходе решения головоломок двести с лишним лет назад.

Одной из таких задач-головоломок была задача о кёнигсбергских
мостах , о которых мы рассказали в первой главе.

Эта задача связана с другими головоломками, суть которых в том,
чтобы обвести контур некоторой фигуры, не отрывая карандаша от бу­-
маги и не обводя ни одной линии контура дважды, то есть нарисовать
«одним росчерком».




На рисунке 3 изображен граф, соответствующий задаче о кёнигс­бергских мостах.




Рис.2 Рис.3

Именно с Л. Эйлером связано одно из известных топологических свойств как непрерывность. В топологии рассматриваются графы- фигуры, состоящие из конечного числа дуг. В графе имеется несколько вершин, и некоторые из них соединены непересекающимися дугами. Граф называется уникурсальным (или эйлеровым), если его можно «нарисовать одним росчерком», т.е. пройти его весь непрерывным движением, не проходя одно и то же ребро дважды. Свойство графа быть уникурсальным является топологическим свойством. Граф в том, и только в том, случае уникурсален, если в каждой его вершине, кроме, может быть, двух, сходится четное число ребер. Имеет место следу­ющая теорема.

Теорема. Для уникурсального графа число вершин нечетного индекса (индекс вершимы — число ребер гра­фа, сходящихся в данной вершине) равно нулю или двум.

Доказательство. Действительно, если граф уникурсален и его нача­ло не совпадает с концом, то начало и конец являются единственными вершинами нечетного индекса. Остальные вершины, имеют четный индекс, так как в каждую точку мы входим и выходим из нее. Если начало совпадает с концом, то вершин с нечетным индек­сом нет.


Глава II. Описание работы

  1. Исследование свойства уникурсального графа, полученные результаты

Для исследования свойства уникурсального графа нами использована следующая методика:

1.1 Провести связь метода решения задач о мостах Эйлером с понятием уникурсальный граф.

Рассмотрим граф, соответствующий задаче о кенигсбергских мостах (п 2.1 Рис.3). Проверим, является ли этот граф уникурсальным. Определим четность вершин графа. Вершина А имеет индекс 5, Б — 3, П. З и Л — 3. Таким образом, мы имеем четыре вершины нечетного индекса, следова­тельно, данный граф не является уникурсальным. Отсюда получаем, что во время прогулки по городу нельзя пройти по каждому из семи мостов только один раз.

Эту задачу можно было бы решить, если бы было задано обойти все мосты по два раза каждый, что привело бы к удвоению числа мостов, т.е. обращение всех вершин графа к чётному индексу.

Попробуем теперь решить другую задачу, в которой имеем два острова, соединенных между собой и берегами реки 15 мостами. (Приложение 2.) Спрашивается, можно ли за один раз обойти все мосты, не проходя ни через один более одного раза. 1) Смотрим количество участков , разделённых водой – 6 , значит у графа 6 вершин;

2) Считаем число мостов, ведущих к каждому отдельному участку – 3,5,4,8,4,6, значит у графа 2 вершины нечётного индекса и 4 вершины чётного индекса – это уникурсальный граф, следовательно можно обойти все мосты , не проходя ни через один более одного раза.

Аналогичным образом можно решить задачу с любым количеством участков, разделённых водой, и каким угодно числом и как угодно расположен­ных мостов. (Приложение 3.)

Отсюда делаем 1-ый вывод: метод решения задач о мостах, предложенный Л.Эйлером, есть способ доказательства свойства графа, соответствующего задаче, быть уникурсальным.

1.2 Проверить, может ли граф иметь только одну вершину нечётного индекса

Рассмотрим уникурсальные графы (Приложение 4.) Посчитаем сумму рёбер каждого графа, сходящихся в каждой вершине: 2+3+2+3 =10 2+4+2+4+2+4= 18 4+4+4+4+4 =20 2+2+4+2+2+4+2+2+4 =24 и т.д. Таким образом:

-сумма рёбер уникурсального графа всегда чётное число (две вершины нечётного индекса в сумме так же дают чётное число);

-если граф имеет одну вершину нечётного индекса, значит сумма ребер – нечётное число.

Делаем 2-ой вывод: уникурсальный граф не может иметь только одну вершину нечётного индекса.

1.3. Исследование случаев разрешимости и неразрешимости задач- головоломок (фигур, вычерчиваемых одним росчерком).

Известна притча: некто давал миллион рублей каждому, кто начертит следующую фигуру (Приложение 5). Но при вычерчивании ставилось одно условие. Требо­валось, чтобы фигура эта была вычерчена одним не­прерывным росчерком, т. е. не отнимая пера или ка­рандаша от бумаги и не удваивая ни одной линии, другими словами, по раз проведенной линии нельзя уже было пройти второй раз.

Надежда стать «миллионером», решив «такую лег­кую» задачу, может заставить испортить много бумаги и потратить много времени на попытки вычертить эту фигуру, как требовалось, одним росчерком. Задача, однако, не решается, и это тем досаднее, что она не решается только «чуть-чуть»... Никак не удается про­вести только одной «последней» какой-либо линии. Удается даже открыть секрет, что вся трудность в том, чтобы вычертить сначала одним росчерком, не повторяя линии, еще более простую фи­гуру — четырехугольник с двумя диагоналями (рис. 4). Это, ка­залось бы, уже совсем просто, а все-таки... не удается!

.

Сомнения в невозможности решения этой задачи все-таки остаются, тем. более что фигуры, гораздо более сложные и трудные с виду, легко вычерчиваются одним росчерком, Так, например, выпуклый пятиугольник со всеми его диагоналями легко вычерчивается одним непрерыв­ным движением без повторения, причем получается фигура, представленная на рис. 5

То же самое легко удается со всяким многоуголь­ником с нечетным числом сторон и никак не удается с квадратом, шестиугольником и т. д. — словом, с многоугольником с четным числом сторон.



А В

.

EET

С D

Рис.4 Рис. 5

Попробуем разобраться и показать, какую из любых данных фигур можно вычертить одним росчерком, без повторения линий, а какую нет. Сравним каждую из задач подобного рода с разобранной уже нами Эйлеровой задачей о мостах.

Возьмем четырехугольник ^ АВСD с двумя его диагоналями, пересекающимися в Е (рис. 4). Можно ли его вычертить одним непрерывным росчерком, без повторения линий?

Точки А, В, С, D и Е мы представим себе как центры некоторых местностей, разделенных рекой, а линии, соединяющие эти точки, — как мосты, ведущие в эти местности. Что же в данном случае полу­чаем? Пять местностей, из 'которых четыре нечетные и одна четная. Мы знаем уже, что в таком случае нельзя за один раз обойти все мосты, не переходя ни через один два раза, или, другими словами, нельзя обойти все данные точки одной непрерывной линией без повторения прежнего пути.

Случаи возможности и невозможности вычерчивания одним росчерком фигур совершенно те же, что и в задаче о мостах. Одна задача, в сущности, сводится к другой. Всякий нечетный многоугольник со всеми его диа­гоналями можно вычертить одним росчерком без по­вторения линий потому, что этот случай соответствует тому, когда данные в задаче о мостах местности все четные.

Данный вывод одинаково при­лагается ко всякой фигуре, образована ли она пря­мыми или кривыми линиями.

Говорят, что Магомет вместо, подписи (он был неграмотен) описывал одним росчерком, состоящий из двух рогов Луны – знак. (Приложение 6.) И это понятно, потому что в данном случае мы имеем дело только с точками четного порядка, а сле­довательно, вычертить такую фигуру одним росчерком без повторения тех же линий всегда можно.

Путём практического решения задач мы пришли к выводу :

всегда можно также вычертить одним росчерком и такую фигуру, где, помимо точек четного порядка, есть и две точки (но не более) нечётного порядка. (Приложение7.)

Отсюда следуют выводы:

1)если в задаче предлагается фигура, являющаяся уникурсальным графом, то задача решаема, в противном случае – нерешаема;

2)если фигура имеет только вершины чётного порядка, то начинать решение можно с любой вершины (начало решения совпадёт с концом);

3)если фигура имеет две вершины нечётного порядка, то решение необходимо начинать с одной из них, тогда выход будет в другой.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

«Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель. Наш современник Сухомлинский считал», что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

Именно это мы попытались показать в своей работе, исследуя свойство уникурсального графа и его применение к решению задач- головоломок.

Проведя связь метода решения задач о мостах с понятием уникурсальный граф, мы пришли к выводу, что метод решения задач, предложенный Л.Эйлером, есть способ доказательства свойства графа, соответствующего задаче, быть уникурсальным.

Решением следующей задачи явился вывод о том, что уникурсальный граф не может иметь только одну вершину нечётного индекса.

Исследуя случаи разрешимости и неразрешимости задач- головоломок (фигур, вычерчиваемых одним росчерком), мы пришли к выводу, что случаи возможности и невозможности вычерчивания одним росчерком фигур совершенно те же, что и в задаче о мостах. А решение их основывается на свойстве уникурсального графа.

Таким образом, гипотеза, выдвинутая нами, подтвердилась.

Продолжением данной работы явилось то, что мы сделали первые шаги в создание сборника головоломок. Первый вариант головоломок составляли из окружностей, где проследили следующую закономерность: головоломки, составленные из пересекающихся окружностей - всегда являются уникурсальными графами , следовательно, решаемы . (Приложение 9.)

Второй вариант головоломок составляли из равносторонних треугольников, при этом рассматривали четыре варианта их соединения и получили такие результаты:

- при соединении вершинами получаются уникурсальные графы, значит, задачи решаемы;

- при соединении сторонами и вершинами – решаемые и нерешаемые головоломки;

- уникурсальными получаются графы, полученные и путем присоединения вершины к стороне (имеют одну общую точку). (Приложение 10.)

- головоломки, составленные из пересекающихся правильных треугольников, также являются уникурсальными графами. (Приложение 11.)

Третий вид головоломок – из квадратов. При тех же вариантах соединения прослеживаются такие же закономерности. (Приложение 12.)

Результаты получены практическим путём и планируется дальнейшая работа.


ЛИТЕРАТУРА

1. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки.- М.: «Наука», 1978.- 190с.

2. Олехник С.Н. Старинные занимательные задачи. - М.: «Наука»,1985.- 160с.

3.Энциклопедический словарь юного математика.- М.: «Педагогика», 1988.- 350с.

4. .Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп// Библиотечка «Квант», вып.8// М.,

«Наука»,1981.-160с.





Приложение1.


Задача о 7 мостах.


Приложение 2.


Задача о 15 мостах.


Приложение 4.




Приложение5.

Некто давал миллион рублей каждому, кто начертит эту фигуру одним непрерывным росчерком, не отрывая карандаша от бумаги не проводя по одной и той же ли

нии дважды.


Приложение 6.

Знак, состоящий из двух рогов Луны, который Магомет описывал одним

росчерком вместо подписи (он был неграмотен).





Приложение 7. Фигуры, вычерчиваемые одним росчерком.


Приложение 8.

Приложение 9.





Приложение 10.





Приложение 11.





Приложение 12.




1.2






Похожие:

Красноярская региональная детско-молодежная общественная организация «научное общество учащихся» iconКрасноярская региональная детско-молодежная общественная организация «Научное общество учащихся»
Красноярская региональная детско–молодежная общественная организация «Научное общество учащихся» объявляют набор на 2010–2011 учебный...
Красноярская региональная детско-молодежная общественная организация «научное общество учащихся» iconКрасноярская региональная детско-молодежная общественная организация «Научное общество учащихся»
Интенсивная школа по учебным исследованиям для среднего школьного возраста «Ресурс будущего»
Красноярская региональная детско-молодежная общественная организация «научное общество учащихся» iconКрасноярская региональная детско-молодежная общественная организация «Научное общество учащихся»
Целью программы является конструирование образовательной среды на базе научно- исследовательских технологий, развивающих внутренний...
Красноярская региональная детско-молодежная общественная организация «научное общество учащихся» iconПроект Природное и культурное наследие Бутово: изучение и Сохранение Организация – исполнитель: Общественная организация «Краеведческо-экологическое общество “Бутово”»
Общественная организация «Краеведческо-экологическое общество “Бутово”» Союза краеведов России
Красноярская региональная детско-молодежная общественная организация «научное общество учащихся» iconУстав ноу «Союз» моу «сош с. Орлик Чернянского района Белгородской области» Научное общество учащихся (далее ноу) «Союз» моу «сош с. Орлик Чернянского района Белгородской области»
Научное общество учащихся (далее ноу) «Союз» моу «сош с. Орлик Чернянского района Белгородской области» добровольная, самодеятельная,...
Красноярская региональная детско-молодежная общественная организация «научное общество учащихся» iconДорогой владелец собаки !
Якутская Республиканская Ассоциация Собаководов Региональная Общественная Организация
Красноярская региональная детско-молодежная общественная организация «научное общество учащихся» iconУтверждено общим собранием
Молодёжная Общественная организация «Эколого-краеведческий центр «Маленькая планета», в дальнейшем именуемая Организация, является...
Красноярская региональная детско-молодежная общественная организация «научное общество учащихся» iconОбщие положения статья Региональная общественная организация содействия развитию форм самоуправления трудовых коллективов "Общественный совет по делам трудовых коллективов"
Статья Региональная общественная организация содействия развитию форм самоуправления трудовых коллективов "Общественный совет по...
Красноярская региональная детско-молодежная общественная организация «научное общество учащихся» iconОбщественная организация «Петербургское лингвистическое общество»

Красноярская региональная детско-молодежная общественная организация «научное общество учащихся» icon"млечный путь" №2 1997
Община дхм д. Слободка и Тульская региональная общественная организация защиты прав духовных христиан-молокан «Пилигрим»
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы