Детерминированные сигналы и их математические модели 1 часть План лекции icon

Детерминированные сигналы и их математические модели 1 часть План лекции



НазваниеДетерминированные сигналы и их математические модели 1 часть План лекции
Дата конвертации18.10.2012
Размер445 b.
ТипЛекции


Детерминированные сигналы и их математические модели

  • 1 часть


План лекции

  • Введение

  • Цели изучения темы

  • Элементы общей теории сигналов

  • Разложение сигнала по функциям Уолша

  • Спектральное представление периодических сигналов

  • Спектральный анализ сигналов конечной длительности

  • Выводы



Введение

  • Теория сигналов является одной из составных частей курса «Теория электрической связи», а рассмотрение такой модели сигнала, как детерминированный сигнал занимает в этой теории центральное место.



1. Цели

  • После изучения темы студенты должны

  • иметь представление о

  • системах ортогональных функций и их использовании в теории сигналов

  • способах аппроксимации сигналов

  • знать

  • отличия между спектром периодического и непериодического сигнала

  • связь между временным и частотным представлением сигнала

  • уметь

  • вычислять спектральную плотность детерминированного сигнала

  • определять полосу частот, в которой сосредоточена основная энергия сигнала

  • производить разложение сигнала по функциям Уолша



2. Элементы общей теории сигналов

  • В математической модели описаны те свойства сигналов, которые объективно выступают как определяюще важные.

  • В зависимости от выбранной математической модели сигналы делятся на:

  • Детерминированные. Описываются классической математикой

  • Случайные. Описываются теорией вероятностей



  • 2.1. Классы детерминированных сигналов:

  • произвольные по величине и непрерывные по времени (аналоговые),

  • произвольные по величине и дискретные по времени (дискретные),

  • квантованные по величине и непрерывные по времени (квантованные),

  • квантованные по величине и дискретные по времени (цифровые) 





  • Преимущество дискретных сигналов:

  • отсутствие необходимости воспроизводить сигнал непрерывно во все моменты времени.

  • Применение:

  • возможность передачи сообщения от разных источников, многоканальная связь с разделением каналов по времени.



  • Преимущество цифровых сигналов:

  • отсчетные значения представлены в форме чисел (уровни квантования пронумерованы и отсчёты взяты в определённые моменты времени).

  • Применение:

  • обработка средствами цифровой техники.

  • Недостаток дискретных и цифровых сигналов: наличие ошибок преобразования.



2.2. Описание детерминированных сигналов

  • 2.2. Описание детерминированных сигналов

  • Прямое

  • - математическая функция

  • Например: x(t) = Acos(t + )

  • - кривая на плоскости

  • Например: осциллограмма

  • - таблица

  • Косвенное

  • - алгебраические, дифференциальные и другие уравнения



2.3. Геометрическое представление сигналов

  • 2.3. Геометрическое представление сигналов

  • Сигнал рассматривается вектор в пространстве





Система линейно независимых векторов ei образует координатный базис в линейном пространстве.

  • Система линейно независимых векторов ei образует координатный базис в линейном пространстве.

  • Разложение сигнала по координатному базису



Энергия сигнала равна квадрату нормы

  • Энергия сигнала равна квадрату нормы



Скалярное произведение вещественных сигналов

  • Скалярное произведение вещественных сигналов



2.4. Ортонормированный координатный базис

  • 2.4. Ортонормированный координатный базис

  • Векторы (сигналы) ортогональны, если их скалярное произведение равно 0:

  • Вектор нормирован, если его норма равна 1:

  • В гильбертовом пространстве сигналов с конечным значением энергии Н задан ортонормированный базис ui, если



2.5. Обобщённый ряд Фурье

  • Разложение произвольного сигнала по ортонормированному базису:



2.6. Погрешности разложения в ряд

  • На практике сигналы представляют конечным числом членов ряда. Погрешность представления оценивается энергией отброшенных членов.

  • Обобщённое равенство Парсеваля:



Абсолютная погрешность:

  • Абсолютная погрешность:



Таким образом:

  • Таким образом:

  • Для теоретического исследования сигналов необходимо построить их математическую модель

  • Классификация сигналов осуществляется на основании признаков математических моделей

  • Система линейно независимых векторов образует координатный базис, по которому можно разложить произвольный вектор, принадлежащий линейному пространству

  • Норма – аналог длины вектора

  • Энергия сигнала равна квадрату нормы

  • Сигналы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю

  • Обобщённый ряд Фурье –разложение сигнала по ортонормированному базису



3. Разложение сигнала по функциям Уолша

  • Функции Уолша - комбинации прямоугольных импульсов, легко реализуемые средствами цифровой техники

  • Разложение сигнала по функциям Уолша:

  • - функция Уолша k-го порядка.



Ф у н к ц и и У о л ш а



Пример

  • Пример

  • Найти первые два коэффициента в разложении импульса треугольной формы системе функций Уолша

  • s(t) = U0/2 + U0 t/tи, – tи/2 < t < tи/2.



Перейдём к нормированному времени θ = t/tи

  • Перейдём к нормированному времени θ = t/tи

  • s(t) = U0/2 + U0θ, – 1/2 < θ < 1 /2.

  • Нулевой коэффициент разложения:

  • (численно равен площади импульса)



Первый коэффициент разложения

  • Первый коэффициент разложения



Таким образом:

  • Таким образом:

  • Ортонормированная система функций Уолша применяется для обработки дискретных сигналов

  • Сигналы, соответствующие функциям Уолша, генерируются с помощью переключательных электронных схем



  • 4.1. Математическая модель периодического сигнала



  • Коэффициенты ряда:



  • Другая форма записи тригонометрического ряда Фурье:

  • Коэффициенты ряда:



  • Спектральная диаграмма - графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала

  • По горизонтальной оси откладываются частоты гармоник,

  • по вертикальной - амплитуды (амплитудная диаграмма)

  • или начальные фазы (фазовая диаграмма)



  • Пример

  • Ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами Tи, Т, A, чётной относительно точки t=0



  • Q = T/Tи - скважность последовательности





  • Спектр сигнала содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причём C-n = Cn*

  • (* - комплексно-сопряжённое число).

  • Связь между коэффициентами комплексного и тригонометрического ряда:

  • аn = 2 ׀Cn ׀, n = arg Cn.





Таким образом:

  • Таким образом:

  • Периодические сигналы представляются в виде рядов Фурье с бесконечным числом слагаемых (гармоник)

  • Тригонометрический ряд Фурье содержит гармоники с положительными частотами

  • Комплексный ряд Фурье содержит гармоники с положительными и отрицательными частотами

  • Частоты гармоник кратны основной частоте повторения последовательности

  • Энергия сигнала равна сумме энергий всех гармонических составляющих



  • G(j) -спектральная плотность сигнала s(t).

  • Функции G(j) и s(t) - две математические модели одного и того же физического процесса:

  • G(j) отражает частотный состав сигнала,

  • s(t) описывает изменение сигнала с течением времени



  • 5.2. Обратное преобразование Фурье:

  • Модуль спектральной плотности - амплитудный спектр

  • Аргумент спектральной плотности - фазовый спектр.

  • Энергия сигнала пропорциональна квадрату амплитуды спектральной плотности.

  • ׀S()׀ 2 имеет физический смысл энергии, приходящейся на 1Гц.



5.3. Свойства преобразования Фурье

  • 5.3. Свойства преобразования Фурье

  • Свойство линейности

  • Дифференцирование сигнала

  • Интегрирование сигнала



Изменение масштаба независимой переменной (теорема подобия)

  • Изменение масштаба независимой переменной (теорема подобия)

  • Смещение по времени (теорема запаздывания)

  • Умножение изображений (теорема свёртывания)



  • Пример.

  • Спектральная плотность прямоугольного импульса длительностью Т и амплитудой А.

  • A, - T/2 < t < t/2,

  • s(t) =

  • 0, t < -T/2, t > T/2.





5.4. Связь между длительностью импульса и шириной его спектра

  • 5.4. Связь между длительностью импульса и шириной его спектра

  • Чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр

  • и ~ 1

  • Ширина спектра – частотный интервал, в пределах которого модуль спектральной плотности изменяется в пределах от ׀Gmax(j) ׀ 0,1 ׀Gmax(j) ׀



  • 5.5. Условие существования спектральной плотности

  • Сигналу s(t) можно сопоставить спектральную плотность S(), если этот сигнал абсолютно интегрируем, то есть существует интеграл



5.6. Спектральные плотности некоторых неинтегрируемых сигналов

  • 5.6. Спектральные плотности некоторых неинтегрируемых сигналов

  • Спектральная плотность гармонической функции

  • s (t) = cos (0t)



Спектральная плотность δ-функции

  • Спектральная плотность δ-функции

  • s(t) = (t):



Спектральная плотность постоянного во времени сигнала

  • Спектральная плотность постоянного во времени сигнала

  • s(t) = А



Спектральная плотность радиоимпульса

  • Спектральная плотность радиоимпульса

  • где GA(j) - спектральная плотность огибающей A(t).



  • s1(t) ÷ G1(j), спектр сплошной

  • s2(t) ÷ G2(j), спектр линейчатый

  • При периоде Т интервал между соседними гармониками 1/Т



  • При периоде Т интервал между соседними гармониками 1/Т

  • Модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности, полученной путём повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом.

  • С увеличением Т спектральные линии сближаются, коэффициенты Сn уменьшаются и в пределе приходим к одиночному импульсу со спектральной плотностью G1(jw).



Таким образом:

  • Таким образом:

  • В частотной области непериодический сигнал (сигнал конечной длительности) характеризуется спектральной плотностью

  • Сигнал и спектральная плотность связаны преобразованием Фурье

  • Для существования спектральной плотности необходима абсолютная интегрируемость сигнала



Выводы

  • Для теоретического исследования сигналов необходимо построить их математические модели

  • Классификация сигналов осуществляется на основе их моделей.

  • Представление сигнала в виде разложения по ортонормированному базису – обобщённый ряд Фурье

  • Энергия сигнала равна сумме энергий всех членов ряда

  • Периодические сигналы представляются в виде рядов Фурье

  • Непериодические сигналы имеют спектральную плотность, связанную с сигналом преобразованием Фурье





Похожие:

Детерминированные сигналы и их математические модели 1 часть План лекции iconДокументы
1. /ЛЕКЦИИ/2 ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК/АЧХ RLC.doc
2. /ЛЕКЦИИ/3...

Детерминированные сигналы и их математические модели 1 часть План лекции iconМатематические модели динамических систем Теория
Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Состояние равновесия и их типы. Предельный цикл. Бифуркация
Детерминированные сигналы и их математические модели 1 часть План лекции iconЗаконы эволюции вселенной часть ретроанализ модели большого взрыва
Данный анализ проводится также с целью возможного выявления каких-либо нелогичностей или ошибок, своеобразных “подводных камней”,...
Детерминированные сигналы и их математические модели 1 часть План лекции iconЗаконы эволюции вселенной часть ретроанализ модели большого взрыва
Данный анализ проводится также с целью возможного выявления каких-либо нелогичностей или ошибок, своеобразных “подводных камней”,...
Детерминированные сигналы и их математические модели 1 часть План лекции iconДокументы
1. /планирование/1.бизнес-планирование/ДИ Бизнес-планирование/Приложения/Вспомогательные...
Детерминированные сигналы и их математические модели 1 часть План лекции iconДокументы
1. /стратегическое планирование лекции/стратегическое планирование лекции/img031.pdf
Детерминированные сигналы и их математические модели 1 часть План лекции iconТема лекции
Деятельность компании можно рассматривать с точки зрения различных людей, т е каждой категории необходимы различные модели
Детерминированные сигналы и их математические модели 1 часть План лекции iconТема лекции
Деятельность компании можно рассматривать с точки зрения различных людей, т е каждой категории необходимы различные модели
Детерминированные сигналы и их математические модели 1 часть План лекции iconДокументы
1. /К.П. Оптим/КР_2_1_штраф_ф.doc
2. /К.П....

Детерминированные сигналы и их математические модели 1 часть План лекции iconСмысловые и логические формы как модели мира
«проб и ошибок», которым приходится создавать чаще всего «здесь и сейчас» создавать (генерировать) управляющие сигналы – информацию....
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы