Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине \"Прикладная математика\"/Сост.: Колемаев В. А., Карандаев И. С. и др. Гуу, М.: 2000 icon

Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине "Прикладная математика"/Сост.: Колемаев В. А., Карандаев И. С. и др. Гуу, М.: 2000



НазваниеМетодические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине "Прикладная математика"/Сост.: Колемаев В. А., Карандаев И. С. и др. Гуу, М.: 2000
страница1/8
Дата конвертации13.12.2012
Размер0.83 Mb.
ТипМетодические указания
  1   2   3   4   5   6   7   8


М
инистерство общего и профессионального

образования Российской Федерации






Государственный университет управления


Кафедра прикладной математики


Утверждено

первым проректором ГАУ

проф. Ю.Л. Старостиным


Методические указания

к выполнению курсового проекта

по дисциплине

Прикладная математика


для студентов всех специальностей

дневного и вечернего отделения


Москва - 2000

УДК

Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине ”Прикладная математика”/Сост.: Колемаев В.А., Карандаев И.С. и др. ГУУ, М.:2000.


Составители

Колемаев В.А. – профессор, доктор экономических наук

§15.

Карандаев И.С. - доцент. §§2, 4-10

приложения I, III, IX.

Малыхин В.И. - профессор, доктор физико-математических наук

§§11-14, приложения V, VII, VIII.

Гатауллин Т.М. - доцент, кандидат физико-математических наук

§§1, 3, приложение IV.

Прохоров Ю.Г. - доцент, кандидат физико-математических наук

Приложение VI.

Юнисов Х.Х. – старший преподаватель, приложение II.


Ответственный редактор

заведующий кафедрой прикладной математики

доктор экономических наук, профессор

Колемаев В.А.


Рецензент

кандидат экономических наук, доцент

кафедры экономической кибернетики

Васильева Л.Н.


© Государственный университет управления, 2000

Предисловие


Учебными планами всех специальностей ГУУ предусмотрено выполнение курсового проекта по дисциплине Прикладная математика. Как указано в программе этой дисциплины, прикладная математика состоит из двух основных разделов: теории вероятностей и ее приложений и математических методов исследования операций, которые включают также финансовую математику, что особенно важно для студентов-заочников, специализирующихся в области финансового и банковского менеджмента. Программой предусмотрено также изучение основных вопросов линейной алгебры.

Рекомендуется изучить основы теории систем линейных алгебраических уравнений по учебнику [1]. Напомним, что в задачах линейной оптимизации приходится в основном рассматривать системы линейных алгебраических уравнений в предпочитаемой форме, когда каждое уравнение системы содержит неизвестную, входящую только в это уравнение, причем с коэффициентом +1, а поиск оптимального решения сводится к направленному перебору базисных неотрицательных решений.
Поэтому студент должен иметь в виду, что нет смысла приступать к рассмотрению линейной производственной задачи курсовой работы, пока не изучены основы теории систем линейных алгебраических уравнений, изложенные в §§ 1, 2 главы 1 учебника [1].

Краткое и сжатое изложение основных вопросов исследования операций дано в работе [7], а разбор задач - в пособии [16]. При этом полезно предварительно ознакомиться с работой [11], где некоторые важнейшие вопросы программы изложены весьма подробно и доходчиво. Специальные вопросы исследования операций изложены в работах [6], [8] и [25].

Финансовая математика может быть изучена по работам [20], [23]. Необходимый для этого материал по теории вероятностей и математической статистике рекомендуется изучить по учебнику [2].


§1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОГО ПРОЕКТА


Выполнение курсового проекта по прикладной математике направлено на усиление связи обучения студентов с практикой совершенствования управления, организации современного производства, всего механизма хозяйствования.

В процессе работы над курсовым проектом студент не только закрепляет и углубляет теоретические знания, полученные на лекциях и на практических занятиях, но и учится применять методы исследования операций при постановке и решении конкретных экономических задач.

Цель курсового проекта - подготовить студента к самостоятельному проведению операционного исследования, основными этапами которого являются построение математической модели, решение управленческой задачи при помощи модели и анализ полученных результатов.


§2. Задание на курсовОЙ ПрОЕКТ

  1. Сформулировать линейную производственную задачу и составить ее математическую модель, взяв исходные данные из приложения 1, где технологическая матрица А затрат различных ресурсов на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов





компактно записаны в виде

c1 c2 c3 c4

а11 а12 а13 а14 b1

a21 a22 a23 a24 b2

a31 a32 a33 a34 b3


Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать узкие места производства.

В последней симплексной таблице указать обращенный базис Q-1, соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения

H = Q-1B


Если по оптимальной производственной программе какие-то два вида продукции не должны выпускаться, то в таблице исходных данных вычеркнуть соответствующие два столбца, составить математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных и решить графически.

2. Сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, как задачу определения расчетных оценок ресурсов, и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности (о дополняющей нежесткости). Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий.

Применить найденные двойственные оценки ресурсов к решению следующей задачи.

Сформулировать задачу о "расшивке узких мест производства" и составить математическую модель. Определить область устойчивости двойственных оценок, где сохраняется структура программы производства. Решить задачу о расшивке узких мест производства при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов, дополнительную возможную прибыль.

По пунктам 1, 2, 3 составить сводку результатов [10, c. 21].

3. Составить математическую модель транспортной задачи по исходным данным из приложения 2, где вектор объемов производства А(a1,..., am), потребления - В (b1,..., bn) и матрица транспортных издержек С=(сij), i =; j = кратко записаны в виде


b1 b2 . . . bn

a1 c11 c12 . . . c1n

a2 c21 c22 . . . c2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am cm1 cm2 . . . cmn


Если полученная модель окажется открытой, то свести ее к замкнутой и найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.

4. Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., по исходным данным, приведенным в приложении 3 (выделяемые суммы кратны 100 тыс.).

5. Рассмотреть динамическую задачу управления производством и запасами. Решить конкретную задачу по исходным данным, приведенным в приложении 4.

6. Рассмотреть матричную игру как модель сотрудничества и конкуренции, взяв исходные данные из приложения 5. Найти графически решение игры. Указать, как проявляется конкуренция между игроками и сотрудничество между ними.

7. Рассмотреть задачу о максимальном потоке в сети. Решить конкретную задачу на сети с 8-9 вершинами, предложив исходные данные самостоятельно.

  1. Рассмотреть задачу о кратчайшем пути. Решить конкретную задачу, предложив исходные данные самостоятельно.

  2. Рассмотреть задачу о назначениях. Решить конкретную задачу, предложив исходные данные самостоятельно.

  3. Методом ветвей и границ найти целочисленное решение задачи о "расшивке узких мест производства", рассмотренной в пункте 2. Если же все компоненты плана "расшивки" были целочисленными, то в условии вместо К=3 взять другое целое значение К так, чтобы решение оказалось не целочисленным, после чего применить метод ветвей и границ.

  4. Рассмотреть линейную задачу многокритериальной оптимизации. Составить самостоятельно конкретную задачу с двумя переменными и тремя критериями и решить методом последовательных уступок.

  5. Рассмотреть модель международной торговли (модель обмена). Составить самостоятельно конкретную структурную матрицу торговли между тремя странами и найти, в каком отношении должны находиться госбюджеты этих стран, чтобы торговля между ними была сбалансированной.

  6. Рассмотреть задачу управления производственным комплексом без полной информации в верхнем звене управления двухуровневой системы. Решить блочно-диагональную задачу методом разложения, предложив исходные данные самостоятельно.

  7. Составить матричную модель производственной программы предприятия по исходным данным из приложения 6. По данному вектору выпуска товарной продукции найти вектор производственной программы и полные затраты всех внешних ресурсов.

  8. Провести анализ доходности и риска финансовых операций по исходным данным, приведенным в приложении 7.

  9. Решить задачу формирования оптимального портфеля ценных бумаг: бумаги первого вида - безрисковые ожидаемой эффективности m0, а второго и третьего вида - некоррелированные рисковые ожидаемых эффективностей m1, m2 c рисками 1, 2. Исходные данные взять из приложения 8.

17. Рассмотреть задачу принятия решений в условиях неопределенности, взяв исходные данные из приложения 7. По номеру берете строки с номерами . Например, при :


1. (2,1/2)(0,1/4)(14,1/8))(6,1/8) 2. (2,1/2)(4,1/4)(18,1/8))(8,1/8)

3. (4,1/4)(0,1/4)(6,1/3))(12,1/6) 4. (6,1/4)(2,1/4)(14,1/3))(4,1/6)


В этих строках опускаете дроби и получаете:


1. (2,0,14,6) 2.(2,4,18,8) 3. (4,0,6,12) 4.(6,2,14,4)

Полученные строки объединяете в матрицу, аналогичную матрице . Вероятности состояний берете из строки с номером , оставляя в ней только дроби: 1.(2,1/2)(0,1/4)(14,1/8)(6,1/8), т. е. получаете (1/2,1/4,1/8,1/8). Затем:

а) Найдите матрицу рисков.

б) Найдите решения, рекомендуемые правилами Вальда, Сэвиджа, Гурвица ( задайте сами).

в) При данных вероятностях состояний проанализируйте имеющееся семейство из 4-х операций: каждая операция имеет две характеристики – средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск, нанесите для каждой операции эти характеристики на плоскую систему координат и выявите операции, оптимальные по Парето.

г) Затем найдите выпуклую оболочку множества полученных точек и дайте интерпретацию точек полученной выпуклой оболочки.

д) Придумайте пробную операцию, которая значительно сместит распределение вероятностей, и определите максимально оправданную стоимость пробной операции, используя какой-нибудь подходящий критерий эффективности операций (например, средний ожидаемый доход).

е) Выберите какие-нибудь две операции, предположите, что они независимы друг от друга и найдите операцию, являющуюся их линейной комбинацией и более хорошую, чем какая-либо из имеющихся.

ж) Придумайте взвешивающую формулу (ее придется объяснить при защите курсовой работы!) и найдите по ней худшую и лучшую операции.

  1. Произвести математико-статистический анализ за T лет Xt, Kt, Lt (t = 1, …, T) о выпуске продукции (в стоимостном виде), ОПФ и числе занятых исследуемого производственного экономического объекта:

а) найти прогноз выпуска, фондов и занятых на 1, 2, 3 года вперед





по выявленному линейному или квадратичному тренду;

б) найти прогноз выпуска на 1, 2, 3 года вперед





с помощью построенной мультипликативной производственной функции





в) на основе результатов расчетов сделать выводы о состоянии и перспективах развития исследуемого экономического объекта.

§3. Организация выполнения курсовоГО ПрОЕКТА


Студент выполняет 5-8 пунктов задания в любом наборе в соответствии со своей специальностью и своими интересами по согласованию с руководителем, при этом пункты 1, 2, 4, 6 являются обязательными для студентов любых специальностей. Номера задач из приложений выбираются либо по номеру студента в списке, либо по начальной букве своей фамилии по схеме:


Начальная буква А Б В Г Д Е Ж З И, Й Ка-Кл Км-Кр

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Кс-Кя Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц,Ч Ш,Щ,Ы Э,Ю,Я

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26


Курсовая работа выполняется аккуратно на одной стороне листа стандартного формата. Графики строятся черными или цветными карандашами средней твердости на обычной или миллиметровой бумаге. Листы с текстом курсовой работы и графики должны быть сшиты.

Текст работы должен содержать все необходимые расчеты и пояснения. В случае применения ЭВМ в работе должны содержаться блок-схема решения задачи, распечатка программы и результатов с необходимыми пояснениями.

В курсовом проекте обязательны оглавление и сквозная нумерация всех листов. Образец титульного листа содержится в приложении 9.

Курсовая работа сдается преподавателю до защиты для проверки. При защите курсовой работы студент должен показать знание теоретического курса и умение математически ставить, решать и анализировать конкретные экономические задачи.


§4. Линейная производственная задача


Задача о рациональном использовании производственных мощностей является одной из первых задач, для решения которой были применены методы линейного программирования. В общем виде математическая модель задачи об использовании производственных мощностей может быть получена следующим образом.

Предположим, что предприятие или цех выпускает n видов изделий, имея m групп оборудования. Известны нормы времени на обработку каждого изделия на каждой группе оборудования, например, в минутах или часах и фонд времени работы каждой группы оборудования. Пусть, кроме того, известно, что из всех n видов изделий наибольшим спросом пользуются k видов. Требуется составить план производства, при котором выпуск дефицитных изделий будет наибольшим возможным.

Примем следующие обозначения:

i – номер группы оборудования (i=1,2, … , m);

j – номер вида изделия (j=1,2, … , n);

aij – норма времени на обработку единицы i-го изделия на j-ой группе оборудования;

bi – действительный фонд времени работы i-й группы оборудования;

xi – планируемое количество единиц j-го изделия;

(x1, x2, … , xn) – искомый план производства.


Какова бы ни была производственная программа (x1, x2, … , xn), ее компоненты должны удовлетворять условию, что суммарное время обработки всех изделий на данной группе оборудования не должно превышать фонда времени работы этой группы оборудования. На обработку x1 единиц первого изделия на i-й группе оборудования будет затрачено ai1x1 единиц времени, на обработку x2 единиц второго изделия на той же группе оборудования будет затрачено ai2x2 единиц времени и т.д. Необходимое время на обработку всех x1, x2, … , xn изделий на i-й группе оборудования будет равно сумме





Эта сумма не может превышать фонд времени работы i-й группы оборудования, т.е. должна быть  bi. Выписывая такие условия для всех m групп оборудования, получаем:

(1)

Так как компоненты плана суть количество изделий и, следовательно, не могут быть выражены отрицательными числами, то естественным образом добавляются условия:

x1 0, x2,0,…, xn0.

(2)

Обозначим через сj прибыль на единицу j-го изделия. При плане производства (х1, х2, …, хn) прибыль предприятия будет равна:



z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn. (3)


Мы хотим составить производственную программу (х1, х2, …, хn) так, чтобы функция (3) приняла наибольшее значение при выполнении всех других условий.

С
9
истема линейных неравенств (1), (2) и линейная форма (3) образуют математическую модель задачи о рациональном использовании производственных мощностей. Среди всех решений системы линейных неравенств (1), удовлетворяющих условию неотрицательности (2), необходимо найти такое решение, при котором линейная форма (3) принимает наибольшее возможное значение. Это – задача линейного программирования.

Исходные параметры задачи могут быть представлены в виде технологической матрицы A затрат ресурсов на единицу продукции каждого вида, вектора B объемов ресурсов и вектора C удельной прибыли:


, , C=(c1, …, cn)


В качестве примера рассмотрим задачу оптимизации производственной программы цеха, который может выпускать два вида изделий, имея четыре группы производственного оборудования. Пусть


, , , или кратко


Задача состоит в том, чтобы найти производственную программу, максимизирующую



прибыль:


(4)

при условиях:

(5)

(6)

П
10
олученную задачу линейного программирования с двумя переменными можно решить графически. Система линейных неравенств, (6) определяет выпуклый многоугольник OPQRS допустимых решений. Линии уровня функции Z перпендикулярны вектору-градиенту grad Z=(6,9) и образуют семейство параллельных прямых (градиент указывает направление возрастания функции). Наибольшего значения функция Z достигает в точке R. Координаты этой точки определяют оптимальный план производства x1=3, x2=2, а максимальная прибыль будет равна 36.


Последовательное улучшение производственной программы


Предположим теперь, что предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известна технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли


(7)

Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль при имеющихся ограниченных ресурсах

Математическая модель задачи:

найти производственную программу

(x1, x2, x3, x4)

максимизирующую прибыль

z = 36x1+ 14x2 + 25x3 + 50x4 (8)

при ограничениях по ресурсам

(9)

где по смыслу задачи

x1  0, x2  0, x3  0, x4  0. (10)

Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств (9) при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

(11)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов. Среди всех решений системы уравнений (11), удовлетворяющих условию неотрицательности

х10, х20, … , х50, … , х70. (12)

надо найти то решение, при котором функция (8) примет наибольшее значение.

Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (11) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид – дополнительные переменные являются базисными. Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х4, получаем базисное неотрицательное решение


11
x1=0, x2=0, x3=0, x4=0, x5=208, x6=107, x7=181 (13)

первые четыре компоненты которого определяют производственную программу

x1=0, x2=0, x3=0, x4=0 (14)

по которой мы пока ничего не производим.

Из выражения (8) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию четвертого вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. Чем больше выпуск в этой продукции, тем больше прибыль. Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяют увеличить выпуск этой продукции. Для этого придется записать для системы уравнений (11) общее решение

(15)

Мы пока сохраняем в общем решении х123=0 и увеличиваем только х4. При этом значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к системе неравенств

или т.е. 0  х4


Дадим х4 наибольшее значение х4 =181/5, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, и подставим его в (15). Получаем для системы уравнений (11) частное неотрицательное решение

х1=0, х2=0, х3=0, х4=; x5=27; x6=; x7=0 (16)

Нетрудно убедиться, что это решение является новым базисным неотрицательным решением системы линейных алгебраических уравнений (11), для получения которого достаточно было принять в системе (11) неизвестную х4 за разрешающую и перейти к новому предпочитаемому виду этой системы, сохранив правые части уравнений неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение мы обязаны принять третье, так как




а разрешающим элементом будет а34=5. Применив известные формулы исключения, получаем для системы уравнений (11) новый предпочитаемый эквивалент


x1 + 2x2 + 2x3 + x5 - x7 = 27

x1 + x2 - x3 + x6 - x7 = (17)

x1 + x2 + x3 + x4 + x7 =

Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х7, получаем базисное неотрицательное решение, совпадающее с (16), причем первые четыре компоненты его определяют новую производственную программу

х1=0, х2=0, х3=0, х4=. (18)

И
12
сследуем, является ли эта программа наилучшей, т.е. обеспечивает ли она наибольшую прибыль. Для этого выразим функцию прибыли (8) через новые свободные переменные х1, х2, х3, х7.

Из последнего уравнения системы (17) выражаем базисную переменную х4 через свободные и подставляем в (8). Получаем



(19)


Видим, что программа (18) не является наилучшей, так как прибыль будет расти, если мы начнем производить или первую, или вторую, или третью продукцию, но наиболее быстро функция z растет при возрастании х1. Поэтому принимаем х1 в системе (17) за разрешающую неизвестную, находим разрешающее уравнение по


(20)

и исключаем х1 из всех уравнений системы (17), кроме первого уравнения. Получим следующий предпочитаемый эквивалент системы условий, который определит для системы (11) новое базисное неотрицательное решение и уже третью производственную программу, для исследования которого нам придется выразить функцию (19) через новые свободные переменные, удалив оттуда переменную х1, ставшую базисной. Мы видели выше, как это делается (удаляли х4 из (8)).

Важно обратить внимание на то, что эти удаления можно выполнить очень просто. Представим соотношение (8) в виде уравнения

-36х1 - 14х2 - 25х3 - 50х4 = 0 – z (21)

и припишем его к системе (11). Получается вспомогательная система уравнений

(22)


Напомним, что разрешающую неизвестную в системе (11) мы выбрали х4. Этой переменной в последнем уравнении системы (22) отвечает наименьший отрицательный коэффициент 4=-50. Затем мы нашли разрешающий элемент а34=5 и исключили неизвестную х4 из всех уравнений системы (11), кроме третьего. Далее нам пришлось х4 исключать и из функции (8). Теперь это можно сделать очень просто, если посмотреть на систему уравнений (22). Очевидно, достаточно умножить третье уравнение системы (22) на 10 и прибавить к четвертому; получим

-6х1 - 4х2 - 5х3 - 10х4 = 1810 – z (23)

Таким образом, мы преобразовывали вспомогательную систему уравнений (22) к виду

x1 + 2x2 + 2x3 + x5 - x7 = 27

x1 + x2 - x3 + x6 - x7 = (24)

x1 + x2 + x3 + x4 + x7 =

-6x1 - 4x2 - 5x3 +10x7 = 1810 - z

П
13
ервые три уравнения этой системы представляют некоторый предпочитаемый эквивалент (17) системы уравнений (11) и определяют базисное неотрицательное решение (16) и производственную программу (18), а из последнего уравнения системы (24) получается выражение (19) функции цели через свободные переменные. Очевидно, если имеется хотя бы один отрицательный коэффициент j при какой-нибудь переменной xj в последнем уравнении системы (24), то производственная программа не является наилучшей и можно далее продолжать процесс ее улучшения. С помощью (19) мы выяснили, что следует начинать производить продукцию первого вида, т.е. фактически мы нашли в последнем уравнении системы (24) наименьший отрицательный коэффициент

min(j<0) = min(-6, -4, -5) = -6 = 1

и решили перевести свободную переменную х1 в число базисных, для чего, согласно (20)определили разрешающее уравнение и указали разрешающий элемент а11=1.

Учитывая сказанное выше, теперь мы будем преобразовывать не систему (17), а всю вспомогательную систему (24), по формулам исключения. Эта система преобразуется к виду




x1 + 2x2 + 2x3 + x5 - x7 = 27

3x2 - x3 - x5 + x6 + x7 = 13 (25)

- x2 - x3 + x4 - x5 + x7 = 20

8x2 + 7x3 + 6x5 + 4x7 = 1972 - z


Первые три уравнения системы (25) представляют некоторый предпочитаемый эквивалент системы уравнений (11) и определяют базисное неотрицательное решение системы условий рассматриваемой задачи

x1=27, x2=0, x3=0, x4=20, x5=0, x6=13, x7=0 (26)

т.е. определяют производственную программу

x1=27, x2=0, x3=0, x4=20 (27)

и остатки ресурсов:

первого вида х5=0

второго вида х6=13 (28)

третьего вида х7=0

В последнем уравнении системы (25) среди коэффициентов при неизвестных в левой части уравнения нет ни одного отрицательного. Если из этого уравнения выразить функцию цели z через остальные неотрицательные переменные

z = 1972 - 8х2 - 7х3 - 6х5 - 4х7 (29)

то становится совершенно очевидным (в силу того, что все xj0), что прибыль будет наибольшей тогда, когда

x2=0, x3=0, x5=0, x7=0 (30)

Это означает, что производственная программа (27) является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыль

zmax = 1972 (31)

Итак, организовав направленный перебор базисных неотрицательных решений системы условий задачи, мы пришли к оптимальной производственной программе и указали остатки ресурсов, а также максимальную прибыль.

Остается заметить, что процесс решения обычно записывается в виде некоторой таблицы 1.
  1   2   3   4   5   6   7   8




Похожие:

Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине \"Прикладная математика\"/Сост.: Колемаев В. А., Карандаев И. С. и др. Гуу, М.: 2000 iconМетодические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности 100110. 65 «Домоведение»
Экономика домашнего хозяйства и окружающего социума: методические указания к выполнению курсовой работы / сост.: к филос н., доцент...
Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине \"Прикладная математика\"/Сост.: Колемаев В. А., Карандаев И. С. и др. Гуу, М.: 2000 iconМетодические указания к практическим занятиям по дисциплине «бухгалтерский учет» для студентов специальности
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Бухгалтерский учет» / Сост.: Н. А. Адамов, Г. А. Амучиева; гуу. – М.,...
Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине \"Прикладная математика\"/Сост.: Колемаев В. А., Карандаев И. С. и др. Гуу, М.: 2000 iconМетодические указания по подготовке, выполнению, оформлению и защите дипломной работы, по ее рецензи­рованию
Методические указания по выполнению дипломных работ для студен­тов специальности "Мировая экономика" / Сост. Л. В. Левченко. Самара:...
Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине \"Прикладная математика\"/Сост.: Колемаев В. А., Карандаев И. С. и др. Гуу, М.: 2000 iconМетодические указания по курсовой работе по курсу " микропроцессорные системы" для гр. 5Вапп 2007/2008 уч г. общие сведения
В соответствии с учебным планом по данному курсу предусмотрено выпол­нение курсовой работы. Вам выдана уникальная тема курсовой работы....
Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине \"Прикладная математика\"/Сост.: Колемаев В. А., Карандаев И. С. и др. Гуу, М.: 2000 iconМетодические указания для выполнения курсовой работы по дисциплине
Охватывают, главным об­разом, вопросы анализа различных аспектов управления, его методологии и мето­дики, предполагают решение вопросов...
Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине \"Прикладная математика\"/Сост.: Колемаев В. А., Карандаев И. С. и др. Гуу, М.: 2000 iconДокументы
1. /ЗАТУХАЮЩИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Методические указания по выполнению лабораторной...
Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине \"Прикладная математика\"/Сост.: Колемаев В. А., Карандаев И. С. и др. Гуу, М.: 2000 iconМетодические указания к лабораторным работам для студентов всех форм обучения
К выполнению лабораторных работ допускаются студенты прошедшие инструктаж по технике безопасности. Прежде чем приступить к выполнению...
Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине \"Прикладная математика\"/Сост.: Колемаев В. А., Карандаев И. С. и др. Гуу, М.: 2000 iconМетодические указания к выполнению самостоятельной работы
Тема: Оценка количества т-лимфоцитов в периферической крови человека с использованием метода спонтанного розеткообразования с эритроцитами...
Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине \"Прикладная математика\"/Сост.: Колемаев В. А., Карандаев И. С. и др. Гуу, М.: 2000 iconМетодические указания по выполнению лабораторных работ для студентов специальности 220100 «эвм, системы, комплексы и сети» по дисциплине «организация ЭВМ и систем»
Целью лабораторных работ является изучение структуры и принципов функционирования 8 разрядного процессора типа кр580ВМ80
Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине \"Прикладная математика\"/Сост.: Колемаев В. А., Карандаев И. С. и др. Гуу, М.: 2000 iconМетодические указания по подготовке курсовых работ Москва 2002 утверждено
Методические указания подготовлены для студентов, обучающихся по специальности 350 800 "Документоведение и документационное обеспечение...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов