Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов icon

Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов



НазваниеАппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов
Дата конвертации05.09.2012
Размер193.39 Kb.
ТипЛабораторная работа
1. /RANDOMIZ.DOC
2. /М.М.4,1.doc
3. /МЕТ1_M.doc
4. /МЕТ2_M.doc
5. /МЕТ3_M.doc
6. /МЕТ4_M.doc
7. /МЕТ5_M.doc
8. /МЕТ6_M.doc
9. /МЕТ7_2_M.doc
10. /МЕТ8_2_M.doc
11. /МЕТ9_2_M.doc
12. /Мет10_2_M.doc
13. /Мет11_2_M.doc
14. /Мет12_2_M.doc
15. /Мет13_2_M.doc
16. /Мет14_2_M.doc
Генераторы случайных чисел. Псевдослучайные числа
Дифференциальные уравнения первого порядка
Введение
Точечные оценки параметров распределений
Методы получения точечных оценок
Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины
Лабораторная работа №6
Введение
Моделирование случайных сигналов и процессов
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов
Лабораторная работа №10
Линейные статистические модели. Пассивный и активный эксперименты
Синтез D–оптимальных тестирующих сигналов для идентификации динамических объектов
Функции одной переменной в экономических задачах
html">Лабораторная работа №14

Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов

________________________________________________________________________________

Лабораторная работа № 9

Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов


Необходимость решения несовместных систем достаточно часто возникает в практических расчетах, например, при анализе эмпирических данных, в том числе и экономических.

В экономике рассматриваются связи между стоимостью продукции, объемом производства, ценой и прибылью. Несмотря на сложность этих связей, в определенных моделях они могут быть линейными. Пусть, например, выпуск t1 экземпляров изделия обходится в сумму y1, выпуск t2 экземпляров – в сумму у2 и т. д. Тогда производитель может оценить сумму издержек у на следующей неделе, предположив, что она линейно зависит от объема выпуска t : y=ct+d, и оценив значения коэффициентов c, d по уже имеющимся данным. Коэффициент с называется предельной стоимостью производства , а коэффициент d определяет накладные расходы.

Предположив, что эмпирические данные (t1,y1),(t2,y2),…,(tn,yn) подчиняются зависимости y=ct+d, получим относительно неизвестных c, d систему линейных алгебраических уравнений



в которой при n>2 уравнений больше, чем неизвестных. Линейная система, число уравнений в которой больше числа неизвестных, называется переопределенной.

Если линейное соотношение действительно справедливо и эмпирические данные (t1,y1),(t2,y2),…,(tn,yn) измерены точно, то полученная система совместна, ранг матрицы системы равен двум ( число неизвестных) и значения коэффициентов линейной зависимости можно найти из первых двух уравнений системы. На практике такая ситуация невозможна – эмпирические данные по своей природе всегда содержат ошибку, а линейная модель лишь приближенно описывает реальные связи величин. Следовательно, система несовместна и ее нормальное обобщенное решение позволяет найти наилучшие приближенные значения коэффициентов линейной функции, поскольку в этом случае невязка минимальна. Построенному таким образом решению можно дать геометрическую интерпретацию. Поскольку то линейная зависимость y=ct+d – это прямая на плоскости переменных t, y, сумма квадратов расстояний до которой от заданных эмпирических точек (t1,y1),(t2,y2),…,(tn,yn) минимальна.

Нормальное обобщенное решение в этом случае является решением нормальной системы метода наименьших квадратов (МНК):

где

Задание 9.1

Определение коэффициентов линейной зависимости МНК


Найдите методом наименьших квадратов значения коэффициентов линейной зависимости y=ax+b по заданным эмпирическим данным. Используя найденную линейную зависимость, вычислите значение y в указанной точке х (для таблицы вариантов , где N – номер варианта, табл. 9.2).

Порядок выполнения задания

  1. Введите векторы х, у, элементы которых – заданные эмпирические данные.

  2. Определите матрицу А соответствующей линейной системы, первый столбец которой А<1>=x, а элементы второго – единицы.

  3. Найдите решение нормальной системы метода наименьших квадратов, используя функцию lsoive.

  4. Вычислите аппроксимирующую прямую, используя функции intersept(x,y) и

slope(x,y), которые вычисляют по заданным векторам экспериментальных данных

х, у коэффициенты b, а.

  1. Изобразите графики полученных линейных функций и заданные экспериментальные точки.

  2. Найдите значение y=ax+b в указанной точке х.

Пример выполнения задания

Для изучения зависимости октанового числа бензина от чистоты катализатора (%) провели 11 измерений(табл. 9.1).

Таблица 9.1

Октановое число

98.8

98.9

99.0

99.1

99.2

99.3

99.4

99.5

99.6

99.7

99.8

Чистота катализатора

87.1

86.1

86.4

87.3

86.1

86.8

87.2

88.4

87.2

86.4

88.6


Найдите коэффициенты a, b линейной зависимости y=ax+b октанового числа от чистоты катализатора. Вычислите значение октанового числа для чистоты катализатора 87%. Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий соответствующие вычисления и графики (рис. 9.1), приведен ниже.






(0.870) = 0.993

lm(0.870) = 0.993

a = 0.204

b = 0.815

slope ( X,Y) = 0.204

intercept (X,Y) = 0.815


Рис. 9.1.Зависимость октанового числа от чистоты катализатора

Указание. Функция lsolve (A,b) возвращает вектор х решения системы Ax=b, найденного методом Гаусса с оценкой числа обусловленности. Здесь не используется явная формула решения нормальной обобщенной системы , поскольку часто в задачах об аппроксимации эмпирических данных матрица АТА получается плохо обусловленной1 и при вычислении обратной к ней матрицы возникают большие погрешности округления . Функции intersept (x,y) и slope (x,y) возвращают значения коэффициентов b и a линейной функции у=x+b, аппроксимирующей экспериментальные данные, сохраненные в векторах х и у. Введите в качестве аргумента имя Хi, а в качестве функции, через запятую, имена Yi , l(XI), lm(Xi). Здесь Yi – экспериментальные точки; l(Xi) – линейная функция, вычисленная с помощью intercept и slope. Значения октанового числа, вычисленные для частоты катализатора 0.870 по обеим формулам, совпадают. Совпадают и приведенные в последних строках рабочего документа коэффициенты линейной функции, вычисленные обоими способами.

Таблица 9.2

1.

x

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

y

0.686

0.742

0.767

0.646

0.807

0.774

0.97

0.932

0.936

0.978

1.048

2.

x

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

y

2.312

2.251

2.418

2.752

2.459

2.7

3.022

3.079

2.42

2.669

3.241

3.

x

3

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

4

y

4.615

4.591

5.13

5.481

5.492

5.553

5.471

5.727

5.798

6.11

6.605

4.

x

4

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5

у

8.472

8.805

9.096

8.993

9.312

9.465

9.771

9.61

9.722

11.419

10.285

5.

х

5

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

6

у

12.36

13.63

13.304

13.148

13.482

14.24

14.516

14.882

15.246

15.369

15.158


Продолжение табл. 9.2

6.

x

6

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

7

y

17.631

19.747

19.783

18.806

19.886

21.118

20.208

19.481

20.153

20.505

21.29

7.

x

7

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

8

y

25.243

25.133

25.669

26.627

26.753

27.234

26.491

26.876

27.228

28.065

27.781

8.

x

8

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

9

y

30.528

34.221

34.233

34.114

33.595

34.058

34.498

35.822

35.678

37.442

35.698

9.

x

9

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

9.8

9.9

10

y

41.742

42.244

43.884

42.167

43.696

45.042

42.461

45.727

44.056

45.863

44.953

10.

x

10

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

11

y

49.758

51.924

50.083

52.376

53.413

54.966

52.771

54.115

55.476

55.686

56.196

11.

x

11

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

12

y

62.173

63.055

63.725

64.237

64.086

63.587

65.412

65.284

65.05

68.876

65.74

12.

x

12

12.1

12.2

12.3

12.4

12.5

12.6

12.7

12.8

12.9

13

y

71.167

74.264

72.658

74.507

76.649

75.517

75.708

76.359

79.316

77.373

77.698

13.

x

13

13.1

13.2

13.3

13.4

13.5

13.6

13.7

13.8

13.9

14

y

86.612

85.491

87.803

88.613

89.075

89.24

89.633

90.761

91.323

91.428

91.712

14.

x

14

14.1

14.2

14.3

14.4

14.5

14.6

14.7

14.8

14.9

y

99.811

100.31

99.492

102.61

103.20

104.36

104.73

105.16

104.65

105.58

15.

x

15

15.1

15.2

15.3

15.4

15.5

15.6

15.7

15.8

15.9

16

y

115.18

115.28

115.18

116.01

117.20

119.04

121.43

119.35

120.84

121.58

124.33

16.

x

16

16.1

16.2

16.3

16.4

165

16.6

16.7

16.8

16.9

17

y

131.96

126.72

132.26

131.29

132.04

133.74

133.28

135.75

134.6

139.84

133.23

17.

x

17

17.1

17.2

17.3

17.4

17.5

17.6

17.7

17.8

17.9

y

147.67

150.75

149.74

150.74

147.94

147.77

152.08

154.65

154.98

152.55

18.

x

18

18.1

18.2

18.3

18.4

18.5

18.6

18.7

18.8

18.9

19

y

164.69

163.25

164.47

165.50

166.77

167.46

169.65

169.42

170.50

174.22

173.14

19.

x

19

19.1

19.2

19.3

19.4

19.5

19.6

19.7

19.8

19.9

20

y

186.36

180.38

184.45

186.04

189.29

188.32

184.83

186.44

194.55

192.34

191.89

20.

x

20

20.1

20.2

20.3

20.4

20.5

20.6

20.7

20.8

20.9

y

200.30

200.96

200.73

202.89

208.23

208.89

209.51

206.87

209.17

214.21




1 Матрица А плохо обусловлена, если малые изменения ее элементов (например, округление) приводят к существенным изменениям элементов матрицы А-1. Число обусловленности матрицы cond (A) – мера зависимости погрешностей вычисления А-1 от погрешности элементов А. Например, можно определить число обусловленности как модуль отношения наибольшего собственного значения матрицы к ее наименьшему собственному значению.







Похожие:

Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов iconПримерные вопросы к экзамену по эконометрике
Свойства оценок параметров, полученных методом наименьших квадратов. Условия Гаусса – Маркова
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов iconДокументы
1. /Лоусон, Хенсон. Численное решение метода наименьших квадратов.djvu
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов iconТема фильтры сглаживания. Метод наименьших квадратов
Не перестаю удивляться дерзкой гениальности Стефенсона и братьев Черепановых. Как они отважились построить паровоз, не располагая...
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов iconВ. А., Давыдов А. В. Краткое введение в преобразование Гильберта-Хуанга Введение
Функции базиса получаются адаптивно непосредственно из данных процедурами отсеивания функций «эмпирических мод». Мгновенные частоты...
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов icon«Изучение механического движения стробоскопическим методом без стробоскопа» Щетникова Евгения
Изучению механических движений стробоскопическим методом и посвящена данная работа. Но в данной работе применен нестандартный метод...
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов iconДокументы
1. /Аппроксимация/1/lab5.doc
2. /Аппроксимация/2/CHM5.DOC
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов iconИванова Н. В., учитель информатики и икт моу сш №1 Урок информатики. 10 класс. Тема: «Базы данных. Назначение баз данных»
Сформировать представления о понятиях: «база данных (БД)», «система управления базами данных», раскрыть и показать их назначение
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов iconТема: Поиск информации в базе данных
На предыдущих уроках мы познакомились с базами данных. Знаем типы баз данных, отрасли их использования
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов iconТема : Поиск и сортировка информации в базах данных
В фрагменте базы данных представлены сведения о родственных отношениях. Определите на основании приведенных данных фамилию и инициалы...
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов iconТема : Поиск и сортировка информации в базах данных
В фрагменте базы данных представлены сведения о родственных отношениях. Определите на основании приведенных данных фамилию и инициалы...
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов iconДокументы
1. /dsp01-Введение в цифровую обработку сигналов.doc
2. /dsp02-Цифровые...

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов