Лабораторная работа №14 icon

Лабораторная работа №14



НазваниеЛабораторная работа №14
Дата конвертации05.09.2012
Размер120.67 Kb.
ТипЛабораторная работа
1. /RANDOMIZ.DOC
2. /М.М.4,1.doc
3. /МЕТ1_M.doc
4. /МЕТ2_M.doc
5. /МЕТ3_M.doc
6. /МЕТ4_M.doc
7. /МЕТ5_M.doc
8. /МЕТ6_M.doc
9. /МЕТ7_2_M.doc
10. /МЕТ8_2_M.doc
11. /МЕТ9_2_M.doc
12. /Мет10_2_M.doc
13. /Мет11_2_M.doc
14. /Мет12_2_M.doc
15. /Мет13_2_M.doc
16. /Мет14_2_M.doc
Генераторы случайных чисел. Псевдослучайные числа
Дифференциальные уравнения первого порядка
Введение
Точечные оценки параметров распределений
Методы получения точечных оценок
Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины
Лабораторная работа №6
Введение
Моделирование случайных сигналов и процессов
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов
Лабораторная работа №10
Линейные статистические модели. Пассивный и активный эксперименты
Синтез D–оптимальных тестирующих сигналов для идентификации динамических объектов
Функции одной переменной в экономических задачах
Лабораторная работа №14

Биологические модели. Динамика популяций

________________________________________________________________________________

Лабораторная работа № 14

Биологические модели.
Динамика популяций

Уравнение Вольтерра – Лотка


В динамике популяций есть много примеров, когда изменение численности популяций во времени носит колебательный характер. Одним из самых известных примеров описания динамики взаимодействующих популяций являются уравнения Вольтерра – Лотка.

Рассмотрим модель взаимодействия хищников и их добычи, когда между особями одного вида нет соперничества. Пусть и – число жертв и хищников соответственно. Предположим, что относительный прирост жертв равен , где – скорость размножения жертв в отсутствие хищников, – потери от хищников. Развитие популяции хищников зависит от количества пищи (жертв), при отсутствии пищи относительная скорость изменения популяции хищников равна , наличие пищи компенсирует убывание, и при имеем .

Таким образом, система Вольтерра – лотка имеет вид:

где .

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий определение системы Вольтерра – Лотка, фазовый портрет системы при и графики решения с начальным условием (рис.14.1).




Рис. 14.1. График развития популяции

Р
ис. 14.2. Фазовая кривая численности хищников и жерв

Видно, что процесс имеет колебательный характер (рис.14.1). При заданном начальном соотношении числа особей обоих видов 3:1 обе популяции сначала растут. Когда число хищников достигает величины , популяция жертв не успевает восстанавливаться и число жертв начинает убывать. Уменьшение количества пищи через некоторое время начинает сказываться на популяции хищников, и, когда число жертв достигает величины1, число хищников тоже начинает сокращаться вместе с сокращением числа жертв. Сокращение популяции происходит до тех пор, пока число хищников не достигнет величины2 . С этого момента начинает расти популяция жертв; через некоторое время пищи становится достаточно, чтобы обеспечить прирост хищников, обе популяции растут, и процесс повторяется снова и снова. На графике четко виден периодический характер процесса. Количество жертв и хищников колеблется возле величин соответственно3. Периодичность процесса явственно видна на фазовой плоскости: фазовая кривая – замкнутая линия (рис. 14.2). Самая левая точка этой кривой, , – это точка, в которой число жертв достигает наименьшего значения. Самая правая точка, , – точка пика популяции жертв. Между этими точками количество хищников сначала убывает до нижней точки фазовой кривой . Фазовая кривая охватывает точку .

На языке дифференциальных уравнений это означает, что система имеет стационарное состояние , которое достигается в точке . Если в начальный момент система находилась в стационарной точке, то решение не будут изменяться во времени, останутся постоянными. Всякое же другое начальное состояние приводит к периодическому колебанию решений. Неэллиптичность формы траектории, охватывающей центр, отражает негармонический характер колебаний.

Отметим, что рассмотренная модель может описывать поведение конкурирующих фирм, рост народонаселения, численность воюющих армий, изменение экологической обстановки, развитие науки и др.

Уравнения Вольтерра – Лотка с логистической поправкой


Рассмотрим модель конкурирующих видов с «логистической поправкой»:



В этом случае поведение решений в окрестности стационарной точки меняется в зависимости от величины и знака параметра .

Ниже приведено исследование системы для . Видно, что в этом случае стационарная точка превращается в устойчивый фокус, а решения – в затухающие колебания (рис. 14.3). При любом начальном состоянии через некоторое время состояние системы становится близким к стационарному и стремится к нему при .
Модель «хищник–жертва» Вольтерра – Лотка с логистической поправкой





Рис. 14.3. Графики решения



Ниже приведены графики решений и фазовая кривая для тех же значений параметров, но при (рис.14.4). Как видно, в этом случае стационарная точка является неустойчивым фокусом и амплитуда колебаний численности видов растет. Как бы близко ни было начальное состояние к стационарному, с течением времени состояние системы будет сильно отличаться от стационарного.

Рис. 14.4. Графики решения

Задание 14.1

Динамика популяций. Уравнение Вольтерра – Лотка


Постройте графики решения и фазовые портреты динамической системы, моделирующей взаимодействие популяций



при заданных значениях параметров . Исследуйте поведение решения, изменяя параметры в указанном диапазоне (таблица 14.1).

Порядок выполнения задания

  1. Определите вектор – столбец начальных условий для первой задачи Коши.

  2. Определите вектор – столбец правых частей системы.

  3. Выберите значение шага интегрирования и вычислите количество шагов интегрирования системы на отрезке по формуле .

  4. Решите задачу Коши для первого начального условия.

  5. Изобразите соответствующую фазовую кривую и график решения.

  6. Определите векторы – столбцы начальных условий для каждого начального условия.

  7. Решите соответствующие задачи, сохранив каждое решение в отдельной матрице.

  8. Изобразите соответствующие фазовые кривые и графики решений.

Пример выполнения задания

Примерный вариант решения задачи для приведен ниже.
Модель «хищник – жертва» Вольтерра – Лотка




Рис.14.5. Фазовая кривая

Рис. 14.6. Графики решений




На рис. 14.6 изображены не все графики решений, так как они аналогичны. Ниже в указании отмечено сколько графиков надо получить.

Указание. Для того чтобы построить графики решений и фазовые кривые для различных, начальных значений, определите значения параметров системы, определите и введите вектор – столбец начальных условий х для первого решения, определите и введите вектор – функцию правых частей и сохраните в матрице решение, вычисленное методом Рунге – Кутты с постоянным шагом на отрезке в 400 точках (воспользуйтесь функцией ). Первый столбец этой матрицы содержит значения аргумента - координаты 400 узлов сетки, второй столбец – значения х1 (число жертв в узлах сетки, а третий – значения х2 (число хищников). Чтобы вычислить решение при других начальных значениях, присвойте новые значения вектору х и сохраните вычисленное решение в другой матрице. В приведенном документе найдены решения при четырех различных начальных значениях, которые сохранены в матрицах Х1, Х2, Х3 и Х4.

Таблица 14.1

N

a

b

c

d

N

a

b

c

d

1

4

3

2

1

11

5

4

2

2

2

4

3

2

2

12

5

4

2

3

3

4

3.5

2

1

13

5

4.5

2

1

4

4

3.5

2

2

14

4

3

2

3

5

4

3.5

3

1

15

4

3

2

4

6

4

3.5

3

2

16

4

3.5

2

3

7

4

3.5

4

4

17

5

3

2

1

8

4

3.5

4

3

18

5

3

3

1

9

5

4

2

1

19

4

3.5

2

4

10

5

4

3

1

20

4

3.5

3

3

Задание 14.2

Динамика популяций. Уравнение Вольтерра – Лотка с логистической поправкой


Исследуйте поведение системы, моделирующей взаимодействие популяций



при заданных значениях параметров из задания 14.1 и при различных значениях параметра логистической поправки . Постройте графики решения и фазовые портреты для нескольких различных начальных состояний системы. Найдите значения параметра , при которых стационарное состояние является устойчивым, а при каких – неустойчивым (таблица 14.2).


Порядок выполнения задания

  1. Задайте и определите значения параметров системы.

  2. Определите вектор – столбец начальных условий для первой задачи Коши.

  3. Определите вектор – столбец правых частей системы.

  4. Выберите значение шага интегрирования и вычислите количество шагов интегрирования системы на отрезке по формуле .

  5. Решите задачу Коши для первого начального условия.

  6. Изобразите соответствующую фазовую кривую и график решения.

  7. Определите векторы – столбцы начальных условий для каждого начального условия.

  8. Решите соответствующие задачи, сохранив каждое решение в отдельной матрице.

  9. Изобразите соответствующие фазовые кривые и графики решений.

  10. Измените в рабочем документе значение параметра , присвоив ему положительное значение, не превосходящее 1.

  11. Выполните вычисления для нескольких значений параметраиз .

  12. Измените в рабочем документе значение параметра , присвоив ему отрицательное значение, не превосходящее единицы по абсолютной величине. Сформулируйте вывод о характере стационарной точки и свойствах решений.

  13. Выполните вычисления для нескольких значений параметра из . Сформулируйте вывод о характере стационарной точки и свойствах решений.

Таблица 14.2

N



N



N



N



N



1

0.1

5

0.05

9

0.17

13

0.3

17

0.07

2

0.15

6

0.22

10

0.18

14

0.4

18

0.09

3

0.20

7

0.12

11

0.1

15

0.5

19

0.11

4

0.25

8

0.14

12

0.2

16

0.05

20

0.10


Рекомендованная литература



При самостоятельной проработке материала методических указаний необходимо использовать приведенный ниже список литературы.


  1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учебник для вузов по спец. «Автоматизированные системы управления». – М.: ВШ, 1985.– 271с.,ил.

  2. Колесников Д.Н., Сиднев А.Г., Юрганов А.А. Моделирование случайных факторов в задачах автоматики и вычислительной техники. Уч. Пособие. – СПб, СПбГТУ, 1994.

  3. Р. Шеннон. Имитационное моделирование систем – искусство и наука / Пер. с англ. под ред. Е.К. Масловского. – М.: Изд. "Мир", 1978. – 418с.

  4. Дьяконов В. MathCAD 8/2000: специальный справочник – СПб: Изд. "Питер", 2000. – 592 с.: ил.

  5. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 7.0 в математике, физике и в Internet. – М.: «Нолидж», 1999.–352с., ил.

  6. Плис А.И., Сливина Н.А. MathCAD 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 656 с.: ил.



1 В этой точке .

2 В этой точке .

3 Дробные числа здесь не означают «половину волка» : величины могут измеряться в сотнях, тысячах и т.п.







Похожие:

Лабораторная работа №14 iconДокументы
1. /OOP/Лабораторная работа ь00-Введение.doc
2. /OOP/Лабораторная...

Лабораторная работа №14 iconЛабораторная работа: создание мини-презентации «Памятники Кремля»
Лабораторная работа проводится в компьютерном классе, с подключением к сети Internet
Лабораторная работа №14 iconДокументы
1. /Lab1/Лабораторная работа 1.doc
2. /Lab2/Лабораторная...

Лабораторная работа №14 iconИ я забуду Покажи мне и я запомню, Дай мне действовать самому и я научусь. Китайская мудрость Тема: Лабораторная работа
Тема: «Лабораторная работа «Измерение работы и мощности тока в электрической лампочке»
Лабораторная работа №14 iconДокументы
1. /Nash/lab1/Лабораторная работа ь1.doc
2. /Nash/lab10/Лабораторная...

Лабораторная работа №14 iconЛабораторная работа №2 «Система безопасности Windows xp»
Лабораторная работа №2 «Система безопасности Windows xp» Цель работы: Изучить систему безопасности Windows xp
Лабораторная работа №14 iconЛабораторная работа «Работа в Windows c помощью основного меню. Использование технологии ole»
Запишите размер папки, выраженный в Мб (мегабайтах) в текстовый редактор блокнот
Лабораторная работа №14 iconЛабораторная работа «Работа с текстовыми фрагментами без помощи мыши»
Скопируйте последнее слово получившегося текста и вставьте его в начало текста один раз
Лабораторная работа №14 iconДокументы
1. /Базовые задачи на обработку массива.doc
2. /ЗадачиНаЛиниВетвление.doc
Лабораторная работа №14 iconДокументы
1. /laba/Лабораторная работа ь1.doc
2. /laba/Лабораторная...

Лабораторная работа №14 iconДокументы
1. /механизация/~$б работа ь4.doc
2. /механизация/~$бораторная...

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов