Точечные оценки параметров распределений icon

Точечные оценки параметров распределений



НазваниеТочечные оценки параметров распределений
Дата конвертации05.09.2012
Размер106.2 Kb.
ТипЛабораторная работа
1. /RANDOMIZ.DOC
2. /М.М.4,1.doc
3. /МЕТ1_M.doc
4. /МЕТ2_M.doc
5. /МЕТ3_M.doc
6. /МЕТ4_M.doc
7. /МЕТ5_M.doc
8. /МЕТ6_M.doc
9. /МЕТ7_2_M.doc
10. /МЕТ8_2_M.doc
11. /МЕТ9_2_M.doc
12. /Мет10_2_M.doc
13. /Мет11_2_M.doc
14. /Мет12_2_M.doc
15. /Мет13_2_M.doc
16. /Мет14_2_M.doc
Генераторы случайных чисел. Псевдослучайные числа
Дифференциальные уравнения первого порядка
Введение
Точечные оценки параметров распределений
Методы получения точечных оценок
Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины
Лабораторная работа №6
Введение
Моделирование случайных сигналов и процессов
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов
Лабораторная работа №10
Линейные статистические модели. Пассивный и активный эксперименты
Синтез D–оптимальных тестирующих сигналов для идентификации динамических объектов
Функции одной переменной в экономических задачах
Лабораторная работа №14

Точечные оценки параметров распределений

________________________________________________________________________________________________

Лабораторная работа №2

Точечные оценки параметров распределений


Предположим, что функция распределения случайной величины
gif" name="object1" align=absmiddle width=17 height=18>зависит от неизвестного параметра .

Если – выборка из генеральной совокупности случайной величины , то оценкой параметра называется произвольная функция от выборочных значений1 .

Используемые на практике оценки – не совсем произвольные функции: они обладают рядом свойств, которые обеспечивают в некотором смысле оптимальное извлечение информации из выборок. Обсудим эти свойства более подробно.

Точечные оценки математического ожидания


Значение оценки меняется от выборки к выборке и, значит, есть случайная величина. Значения этой случайной величины в большинстве экспериментов должны быть близки к значению оцениваемого параметра. Этого можно достигнуть, если для любого значения п математическое ожидание величины равно истинному (теоретическому) значению параметра .

Оценки , удовлетворяющие условию , называются несмещенными. Несмещенность оценки означает, что эта оценка не несет в себе систематической ошибки.

Еще одно важное свойство, которым должны обладать оценки, – состоятельность. Оценка называется состоятельной оценкой параметра , если для любого справедливо .

Поясним смысл последнего равенства. Пусть – как угодно малое положительное число. Тогда с ростом п увеличивается вероятность того, что значение оценки отличается от истинного значения параметра не более чем на величину . Но нет гарантии, что , однако утверждается, что начиная с некоторого п событие становится практически достоверным.

Рассмотрим несколько примеров для оценки параметра.

Например, если , то2 , т.е. рассматриваемая оценка является несмещенной оценкой. Но, поскольку значение вообще не зависит от объема выборки п, то оценка не является состоятельной.

Рассмотрим другую оценку: . Найдем :

,

т.е. имеем несмещенную оценку. Проверим ее состоятельность.

.

Поскольку при , то, согласно закону больших чисел, для справедливо , т.е. имеем состоятельную оценку.

Рассмотрим еще одну оценку неизвестного математического ожидания: , у которой



при , т.е. последняя оценка также несмещенная и состоятельная.

Определим предпочтительную оценку. Для этого сравним дисперсии последних двух оценок. Поскольку , то , т.е. оценка дает меньший разброс около значений параметра и, следовательно, предпочтительнее. В таком случае говорят, что оценка эффективнее оценки . Теперь естественно поставить вопрос о построении самой эффективной оценки – об оценке с минимальной дисперсией. Такая оценка называется эффективной оценкой1.

Доказано, что эффективной оценкой математического ожидания нормально распределенной случайной величины является оценка , которая представляет собой выборочное среднее, т.е. .

Существуют стандартные (регулярные) методы получения оценок неизвестных параметров распределения. Наиболее известные из них: метод моментов, метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов.

Точечные оценки дисперсии


Для дисперсии случайной величины можно предложить следующую оценку:

,где – выборочное среднее.

Доказано, что эта оценка состоятельная, но смещенная.

В качестве состоятельной несмещенной оценки дисперсии используют величину.

Именно несмещенностью оценки объясняется ее более частое использование в качестве оценки величины D[] .

Заметим, что Mathcad предлагает в качестве оценки дисперсии величину , а не : функция var(x) вычисляет величину , где mean(x) – выборочное среднее .

Точечная оценка вероятности события


Предположим, что в некотором эксперименте событие А (благоприятный исход испытания) происходит с вероятностью р и не происходит с вероятностью q=1-p. Задача состоит в получении оценки неизвестного параметра распределения р по результатам серии п случайных экспериментов. При заданном числе испытаний п количество благоприятных исходов т в серии испытаний – случайная величина, имеющая распределение Бернулли. Обозначим ее буквой .

Если событие А в серии из п независимых испытаний произошло т раз, то оценку величины предлагается вычислять по формуле .

Выясним свойства предлагаемой оценки. Поскольку случайная величина имеет распределение Бернулли, то и , т.е. налицо несмещенная оценка.

Для испытаний Бернулли справедлива теорема Бернулли, согласно которой , т.е. оценка состоятельная.

Доказано, что эта оценка эффективна, так как обладает при прочих равных условиях минимальной дисперсией.

В Mathcad для моделирования выборки значений случайной величины, имеющей распределение Бернулли, предназначена функция rbinom(k,n,p), которая формирует вектор из k случайных чисел, каждое из которых равно числу успехов в серии из п независимых испытаний с вероятностью успеха р в каждом.

Точечная оценка параметров равномерного распределения


Обратимся еще к одному поучительному примеру. Пусть – выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине , имеющей равномерное распределение на отрезке , то . Поскольку оценка величины М[] известна, , то за оценку параметра можно взять оценку .

Несмещенность оценки очевидна:.

Вычислив дисперсию и предел при , убедимся в состоятельности оценки :

при .

Для получения другой оценки параметра обратимся к другой статистике. Пусть . Найдем распределение случайной величины :

.

Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины с распределением равны соответственно:,

т.е. оценка состоятельная, но смещенная. Однако если вместо рассмотреть,то и , и, следовательно, оценка состоятельная и несмещенная.

При этом, поскольку , оценка существенно эффективнее оценки . Например, при п = 97 разброс оценки в 33 раза меньше разброса оценки .

Последний пример еще раз показывает, что выбор статистической оценки неизвестного параметра распределения – важная и нетривиальная задача.

В Mathcad для моделирования выборки значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке , предназначена функция runif(k,a,b), которая формирует вектор из k случайных чисел, каждое из которых – значение равномерно распределенной на отрезке случайной величины.

Задание 2.1

Точечные оценки математического ожидания. Точечные оценки дисперсии


Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания М[] и дисперсии D[] случайной величины по приведенным в задании выборочным значениям .
Порядок выполнения задания

  1. Введите выборку с клавиатуры, в виде, как показано в таблице 2.1.

  2. Вычислите точечные оценки М[] и D[] .
Пример выполнения задания

Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания М[] и дисперсии D[] случайной величины по приведенным в задании выборочным значениям, заданным таблицей 2.1.

Таблица 2.1


х

904.3

910.2

916.6

928.8

935.0

941.2

947.4

953.6

959.8

966.0

972.2

978.4

п

1

3

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

Для выборки, такого типа (приведено выборочное значение и число, указывающее, сколько раз это значение встречается в выборке), формулы для состоятельных несмещенных оценок математического ожидания и дисперсии имеют вид:



где k – количество значений в таблице; ni – количество значений xi в выборке; п – объем выборки.

Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями точечных оценок приведен ниже.





Из приведенных вычислений видно, что смещенная оценка дает заниженное значение оценки дисперсии.

Задание 2.2

Точечная оценка вероятности события


Смоделируйте несколько выборок значений случайной величины, имеющей распределение Бернулли с заданным значением параметра р. Вычислите для каждой выборки оценку параметра р и сравните с заданным значением (таблица 2.2). Представьте результаты вычислений графически.

Порядок выполнения задания

  1. Используя функцию rbinom(l,n,p), опишите и сформулируйте последовательность значений случайной величины, имеющей распределение Бернулли с заданными р и п для n=10,20,…,N, как функцию объема выборки п.

  2. Вычислите для каждого значения п точечные оценки вероятности р.

  3. Постройте график зависимости величины от объема выборки.

Пример выполнения задания

Пример получения точечных оценок выборок объема п=10,20…,200 значений случайной величины , имеющей распределение Бернулли с параметром р=0.3, приведен ниже.





Рис. 2.1. Пример распределения точечных оценок выборок

Указание. Поскольку значением функции является вектор, число успехов в серии п независимых испытаний с вероятностью успеха р в каждом испытании содержится в первой компоненте вектора rbinom(l,n,p), т.е. число успехов равно rbinom(l,n,p)1. В приведенном выше фрагменте k-я компонента вектора Р содержит число успехов в серии 10k независимых испытаний для k=1,2,…,200.

Таблица 2.2

N

p

N

p

N

p

N

p

N

p

1

0.1

5

0.11

9

0.15

13

0.21

17

0.31

2

0.2

6

0.12

10

0.25

14

0.22

18

0.32

3

0.3

7

0.13

11

0.35

15

0.23

19

0.33

4

0.4

8

0.14

12

0.45

16

0.24

20

0.34

Задание 2.3

Точечная оценка параметров равномерного распределения


Смоделируйте несколько выборок разного объема значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке для значения ( N – номер варианта), и найдите оценки и параметра . Постройте график зависимости и от объема выборки.

Порядок выполнения задания

  1. Используя функцию runif(n,0,N/2), опишите и сформулируйте последовательность п значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке .

  2. Вычислите для каждого значения п точечные оценки и параметра .

  3. Постройте график зависимости величин и от объема выборки.

Пример выполнения задания

Пример получения точечных оценок и параметра для выборок объема п=10,20,…,200 значений случайной величины , имеющей равномерное распределение на отрезке , приведен ниже.





Рис. 2.2. Пример распределения точечных оценок выборок

Указание. Как видно из приведенных в документе вычислений, выборке объема 170 соответствует оценка , в то время как . Оценка существенно точнее оценки (напомним, что истинное значение оцениваемого параметра равно 1).

1 Функции от выборочных значений часто называют статистиками.

2 При вычислении математического ожидания выборочное значение х1 заменено случайной величиной .

11 Понятие эффективности определено только для несмещенных оценок.







Похожие:

Точечные оценки параметров распределений iconВопросы к экзамену по курсу «Метрология и радиоизмерения»
Оценивание случайной погрешности измерения. Точечные оценки, принцип максимального правдоподобия
Точечные оценки параметров распределений iconМетодики и технологии дистанционного зондирования Земли с целью оценки параметров тектонических процессов
Постоянно совершенствуются методы получения космической информации, способы ее преобразо­вания и компьютерной обработки
Точечные оценки параметров распределений iconКультурологические подходы
Кроме того, цикличность может присутствовать в чистом виде (в виде периодических или почти периодических функций, известных из математического...
Точечные оценки параметров распределений iconДинамика изменения параметров отопительной системы при позиционном регулировании В. Ф. Гершкович, Киевзнииэп по материалам «Энергосбережение в зданиях»
Проведенные в Киевзнииэп исследования дают основание утверждать, что при позиционном регулировании водяной отопительной системы достигается...
Точечные оценки параметров распределений iconЗадачи педагогической деятельности учителя начальной школы по введению фгос
Введение новых форм и методов оценки результатов, ориентированных на открытость, множественность субъектов, накопительный характер...
Точечные оценки параметров распределений iconСистема оценки достижений планируемых результатов освоения основной образовательной программы начального общего образования
Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования в школе разработана система оценки, ориентированная...
Точечные оценки параметров распределений iconО муниципальной системе оценки качества образования
Положение о муниципальной системе оценки качества образования (далее положение) устанавливает единые требования при реализации муниципальной...
Точечные оценки параметров распределений iconСистема оценки достижений планируемых результатов освоения основной образовательной программы начального общего образования зсош
С требованиями Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования в школе разработана система...
Точечные оценки параметров распределений iconПредседатель Управляющего Совета моу «сош №102» Лесняк А. В. «программа принята к исполнению» решение
Критерии оценки критерии оценки достижения результатов. Эффективность изменений после реализации программы
Точечные оценки параметров распределений iconТаблица оценки трудности препятствий
Ниже приводятся таблица оценки трудности перевалов, траверсов, восхождений и условные сокращения, принятые в перечне
Точечные оценки параметров распределений iconУтверждаю согласовано согласовано директор гбоу сош№672 Председатель пк председатель Совета
Положение о внутришкольной системе оценки качества образования в гбоу сош №672 (далее Положение) определяет основные цели, задачи...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов