Методы получения точечных оценок icon

Методы получения точечных оценок



НазваниеМетоды получения точечных оценок
Дата конвертации05.09.2012
Размер106.7 Kb.
ТипЛабораторная работа
1. /RANDOMIZ.DOC
2. /М.М.4,1.doc
3. /МЕТ1_M.doc
4. /МЕТ2_M.doc
5. /МЕТ3_M.doc
6. /МЕТ4_M.doc
7. /МЕТ5_M.doc
8. /МЕТ6_M.doc
9. /МЕТ7_2_M.doc
10. /МЕТ8_2_M.doc
11. /МЕТ9_2_M.doc
12. /Мет10_2_M.doc
13. /Мет11_2_M.doc
14. /Мет12_2_M.doc
15. /Мет13_2_M.doc
16. /Мет14_2_M.doc
Генераторы случайных чисел. Псевдослучайные числа
Дифференциальные уравнения первого порядка
Введение
Точечные оценки параметров распределений
Методы получения точечных оценок
Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины
Лабораторная работа №6
Введение
Моделирование случайных сигналов и процессов
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов
Лабораторная работа №10
Линейные статистические модели. Пассивный и активный эксперименты
Синтез D–оптимальных тестирующих сигналов для идентификации динамических объектов
Функции одной переменной в экономических задачах
Лабораторная работа №14

Методы получения точечных оценок

________________________________________________________________________________________________

Лабораторная работа №3

Методы получения точечных оценок


Как уже упоминалось ранее, существуют регулярные методы получения точечных оценок.
Один из них – метод максимального правдоподобия.

Оценки, полученные методом максимального правдоподобия, обладают хорошими асимптотическими свойствами: при они становятся эффективными, несмещенными, состоятельными. Познакомимся с этим методом на примерах.

Метод максимального правдоподобия для дискретной случайной

величины


Пусть - дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с неизвестным параметром , т.е. и – результаты независимых наблюдений случайной величины . Задача состоит в построении точечной оценки неизвестного параметра . Для ее решения введем в рассмотрение функцию правдоподобия, заданную равенством , где – независимые случайные величины, распределенные так же, как и случайная величина .

Поскольку случайные величины независимы и , то .

Как видно из последнего равенства, функция правдоподобия зависит только от результатов наблюдений и от неизвестного параметра .

За оценку неизвестного параметра  примем такое число , которое доставляет максимум функции правдоподобия.

Такой подход к построению оценки представляется естественным. В самом деле, значением функции правдоподобия является вероятность того, что случайные величины принимает именно те значения , которые увидел наблюдатель. Наблюдатель является свидетелем события, вероятность которого является наибольшей и равна . Такова основная идея метода максимального правдоподобия, отраженная в его названии.

При решении задач отыскания максимума функции правдоподобия чаще всего находят максимум функции lnL:

,

которая достигает максимума в той же точке, что и функция правдоподобия .

Из необходимого условия экстремума имеем1 искомую оценку неизвестного параметра .

Так как математическое ожидание случайной величины , имеющей распределение Пуасона с параметром , равно и что эффективной несмещенной состоятельной оценкой математического ожидания по выборке является величина , можем утверждать, что методом максимального правдоподобия получена естественная оценка параметра .

В Mathcad для моделирования выборки случайной величины, распределенной по Пуассону, предназначена функция rpois(k,), которая формирует вектор из k случайных чисел, распределенных по Пуассону с параметром .

Метод максимального правдоподобия для непрерывной случайной

величины


Пусть - случайная величина, распределенная по показательному закону с неизвестным параметром :

.

Задача состоит в построении методом максимального правдоподобия оценки параметра  по выборочным значениям .

По аналогии с предыдущим разделом определим функцию правдоподобия равенством

.

Как видно, функция правдоподобия зависит не только от выборочных значений, но и от неизвестного параметра распределения . Как и выше, за оценку неизвестного параметра  примем такое число , которое доставляет максимум функции правдоподобия. Снова переходим к логарифму функции правдоподобия, применяем необходимое условие экстремума и после несложных вычислений получаем:

,

что естественно, поскольку математическое ожидание случайной величины, имеющей показательное распределение с параметром , равно .

В Mathcad для моделирования выборки значений случайной величины, имеющей показательное распределение, предназначена функция rexp(k, ), которая формирует вектор из k случайных чисел, распределенных показательно с параметром .

Задание 3.1

Метод максимального правдоподобия для дискретной случайной величины


Смоделируйте несколько выборок объема п значений случайной величины , имеющей распределение Пуассона с параметром , N – номер варианта. Для одной выборки постройте график функции правдоподобия. Найдите оценку максимального правдоподобия параметра  как функцию объема выборки. Выполните вычисления для при и для при N >15 . Изобразите на графике зависимость оценки от объема выборки. Сравните полученные оценки с заданным значением параметра.

Порядок выполнения задания


  1. Смоделируйте выборку значений случайной величины, имеющей распределение Пуассона с заданным значением параметра .

  2. Определите логарифм функции максимального правдоподобия и изобразите его график (в примере рис. 3.1а).

  3. Смоделируйте несколько выборок разного объема значений случайной величины, имеющей распределение Пуассона с заданным значением параметра .

  4. Вычислите оценку максимального правдоподобия параметра  как функцию объема выборки.

  5. Изобразите на графике зависимость оценки максимального правдоподобия от объема выборки (в примере рис. 3.1 б).

Пример выполнения задания


В приведенном ниже фрагменте рабочего документа выполнены требуемые вычисления для распределения Пуассона с параметром .





а) Логарифм функции максимального правдоподобия

б) Зависимость оценки максимального правдоподобия от объема выборки

Рис.3.1.

Задание 3.2.1

Метод максимального правдоподобия для непрерывной случайной величины


Смоделируйте несколько выборок объема п значений случайной величины , имеющей распределение с параметром , где N – номер варианта. Для одной выборки постройте график функции правдоподобия. Найдите оценку максимального правдоподобия параметра  как функцию объема выборки. Выполните вычисления для

при и для при N >15 . Изобразите на графике зависимость оценки от объема выборки. Сравните полученные оценки с заданным значением параметра.

Порядок выполнения задания

  1. Смоделируйте выборку значений случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с заданным значением параметра .

  2. Определите логарифм функции максимального правдоподобия и изобразите его график (в примере рис.3.2 а).

  3. Смоделируйте несколько выборок разного объема значений случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с заданным значением параметра .

  4. Вычислите оценку максимального правдоподобия от объема выборки.

  1. Изобразите на графике зависимость оценки максимального правдоподобия от объема выборки (в примере рис. 3.2 б).

Пример выполнения задания

В приведенном ниже фрагменте рабочего документа выполнены требуемые вычисления для экспоненциального распределения с параметром  = 2.








а) Логарифм функции максимального правдоподобия



б) Зависимость оценки максимального правдоподобия от объема выборки

Рис. 3.2

Обратимся еще к одному примеру. Рассмотрим распределение, которое зависит более чем от одного параметра.

Пусть случайная величина имеет распределение Лапласа, зависящее от двух неизвестных параметров и : , и пусть – выборка из генеральной совокупности, отвечающей случайной величине . Задача состоит в построении методом максимального правдоподобия оценок и параметров и .

Для рассматриваемого нами распределения функция максимального правдоподобия имеет вид

и

.

Здесь нельзя использовать необходимое условие экстремума для гладких функций, так как функция lnL (а значит, и функция L) не дифференцируема по . Однако задача легко решается, поскольку при постоянном максимум lnL, очевидно, достигается в точке минимума функции . Если объем выборки п – нечетное число, то оценка совпадает с медианой выборки . При четном п минимум достигается в любой точке отрезка между проранжированными наблюдениями с номерами и .

Оценка максимального правдоподобия параметра удовлетворяет уравнению и имеет вид , т.е. равна средней величине модуля отклонения выборочных значений от .

Замечание. В Mathcad нет функции, генерирующей выборки случайных величин, имеющих распределение Лапласа. Однако, поскольку плотность распределения Лапласа всюду непрерывна1, можно моделировать распределенные по Лапласу случайные величины из выборок равномерной величины. Обозначим функцию, обратную функции распределения . Такая функция определена на отрезке , поскольку монотонно возрастает. Доказано, что если случайная величина равномерно распределена на отрезке , то случайная величина имеет функцию распределения . Например, для случайной величины, имеющей распределение Лапласа с плотностью вероятностей , функция распределения и обратная к ней имеют соответственно вид



Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий моделирование выборки объема п = 50 случайной величины, имеющей распределение Лапласа с параметрами и . В документе представлены гистограмма выборки (рис. 3.3) с графиком теоретической плотности вероятностей, а также график эмпирической функции распределения (рис. 3.4) с графиком теоретической функции распределения.












Рис. 3.3






Рис. 3.4.

Задание 3.2.2

Метод максимального правдоподобия для непрерывной случайной величины


Смоделируйте выборку объема п = 200 значений случайной величины, имеющей равномерное распределение Лапласа с указанными параметрами и . Найдите оценки максимального правдоподобия параметров и ( варианты задания в таблице 3.1).

Порядок выполнения задания

  1. Смоделируйте выборку значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [0,1].

  2. Определите функцию распределения Лапласа с заданными значениями параметров и .

  3. Определите функцию, обратную функции распределения Лапласа с заданными значениями параметров и .

  4. Смоделируйте выборку заданного объема значений случайной величины, имеющей распределения Лапласа с заданными значениями параметров и .

  5. Проверьте «на глаз» адекватность выборки.

  6. Вычислите оценку максимального правдоподобия параметров и .

Пример выполнения задания

В приведенном ниже фрагменте рабочего документа построена выборка и найдены оценки максимального правдоподобия параметров и . Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий моделирование выборки и графики для глазомерной проверки, приведен выше. (Моделировалась выборка с параметрами и .)







Таким образом, для выборки из генеральной совокупности, отвечающей распределению Лапласа с параметрами и , получены две оценки максимального правдоподобия для , если в качестве оценки выбрано значение , и 0.041, если в качестве оценки выбрано значение ; для параметра в обоих случаях получены одинаковые оценки, равные 0.937.

Интересно проследить за сходимостью полученных оценок к истинным значениям оцениваемых параметров с ростом объема выборки.

Таблица 3.1

N





N





N





N





1

1

1.5

6

3.5

4

11

1.5

1

16

4

3.5

2

1.5

2

7

4

4.5

12

2

1.5

17

4.5

4

3

2

2.5

8

4.5

5

13

2.5

2

18

5

4.5

4

2.5

3

9

5

5.5

14

3

2.5

19

5.5

5

5

3

3.5

10

5.5

1

15

3.5

3

20

1

5.5




1 По смене знака производной легко проверить, что в стационарной точке функция lnL имеет максимум.

1 Случайные величины, имеющие непрерывную плотность распределения, называются абсолютно непрерывными случайными величинами.







Похожие:

Методы получения точечных оценок iconМетоды исследования белков
Среди методов, используемых в биохимии, ключевое значение имеют выделение веществ из биологических источников и, как правило, их...
Методы получения точечных оценок iconМетодики и технологии дистанционного зондирования Земли с целью оценки параметров тектонических процессов
Постоянно совершенствуются методы получения космической информации, способы ее преобразо­вания и компьютерной обработки
Методы получения точечных оценок iconПоложение о системе выставления четвертных, годовых, экзаменационных и итоговых оценок в моу "Высокоключевая средняя общеобразовательная школа"
Данное "Положение" определяет единый подход всех учителей школы к выставлению четвертных, годовых, экзаменационных и итоговых оценок...
Методы получения точечных оценок iconПоложение о системе оценок, форме, порядке и периодичности промежуточной и итоговой аттестации обучающихся в Муниципальном общеобразовательном учреждении
Настоящее положение устанавливает порядок оценок формы, порядок и периодичность промежуточной и итоговой аттестации обучающихся
Методы получения точечных оценок iconМетоды перевода чисел из одной сс в другую Метод Из десятичной системы счисления в любую другую
Для целой части: нужно последовательно разделить число и частные на основание новой сс до получения остатка. Деление продолжается...
Методы получения точечных оценок iconДокументы
1. /Info.txt
2. /Полупроводниковые пластины....

Методы получения точечных оценок iconПринцип суперпозиции полей Урок одной задачи
Сила взаимодействия неподвижных точечных зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна...
Методы получения точечных оценок iconВопрос 19. Методы математической статистики в педагогических исследованиях
Появляясь, новые методы сразу привлекают к себе пристальное внимание специалистов
Методы получения точечных оценок iconМетоды, приёмы самостоятельной работы учащихся на уроках…
Словесный, наглядный методы: использование карточек, вопрос – ответ, взаимоопрос в парах, взаимооценка, самооценка…
Методы получения точечных оценок iconМетоды, приёмы самостоятельной работы учащихся на уроках…
Словесный, наглядный методы: использование карточек, вопрос – ответ, взаимоопрос в парах, взаимооценка, самооценка…
Методы получения точечных оценок iconМетоды организации учебной деятельности учащихся Методы по характеру познавательной деятельности

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов