Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины icon

Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины



НазваниеПроверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины
Дата конвертации05.09.2012
Размер87.27 Kb.
ТипЛабораторная работа
1. /RANDOMIZ.DOC
2. /М.М.4,1.doc
3. /МЕТ1_M.doc
4. /МЕТ2_M.doc
5. /МЕТ3_M.doc
6. /МЕТ4_M.doc
7. /МЕТ5_M.doc
8. /МЕТ6_M.doc
9. /МЕТ7_2_M.doc
10. /МЕТ8_2_M.doc
11. /МЕТ9_2_M.doc
12. /Мет10_2_M.doc
13. /Мет11_2_M.doc
14. /Мет12_2_M.doc
15. /Мет13_2_M.doc
16. /Мет14_2_M.doc
Генераторы случайных чисел. Псевдослучайные числа
Дифференциальные уравнения первого порядка
Введение
Точечные оценки параметров распределений
Методы получения точечных оценок
Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины
Лабораторная работа №6
Введение
Моделирование случайных сигналов и процессов
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов
Лабораторная работа №10
Линейные статистические модели. Пассивный и активный эксперименты
Синтез D–оптимальных тестирующих сигналов для идентификации динамических объектов
Функции одной переменной в экономических задачах
html">Лабораторная работа №14

Проверка статистических гипотез о параметрах нормально

распределенной случайной величины

________________________________________________________________________________________________

Лабораторная работа №5

Проверка статистических гипотез о параметрах нормально

распределенной случайной величины


Пусть дана некоторая оценка , построенная по выборке из случайной величины . Есть основание считать, что истинное значение оцениваемого параметра равно . Однако выборочное значение вряд ли будет совпадать с , поскольку – случайная величина. В связи с этим возникает вопрос при каком отклонении от и с какой степенью уверенности можно утверждать, что истинное значение оцениваемого параметра отлично от . Ответом на этот вопрос может служить вероятность ( вычисленная в предположении ) того, что больше некоторого фиксированного числа, о величине которого будет сказано ниже. Если эта вероятность мала, то мы являемся свидетелями маловероятного события, т.е. отличие эмпирического значения от гипотетического значения представляется значимым, и гипотеза о том, что , должна быть отвергнута. Если же эта вероятность велика, то отклонение от , по-видимому, обусловлено естественной случайностью, и, следовательно, гипотеза о том, что, может быть принята.

Рассмотрим общий подход к процедуре проверки гипотез. Пусть – выборочное значение оцениваемого параметра и пусть – плотность вероятностей случайной величины при условии, что .


Рис. 5.1. Области принятия и отклонения гипотез


На рис. 5.1 изображен график функции , на котором отмечены точки и , для которых выполнены условия , , где – некоторое малое число. Это число имеет простой смысл: если вероятность события не превышает , то событие маловероятно и мы не можем стать свидетелем такого события, т.е. если вычисленное значение окажется вне промежутка , то есть все основания усомниться в том, что истинное значение параметра равно , и в этом случае гипотезу о том, что , следует отвергнуть (отклонить). В противоположном случае, гипотеза может быть принята. Вероятность , использованная при вычислении интервала , называется уровнем значимости; области значений , при которых гипотеза отвергается или принимается, называются соответственно областью отклонения (критической областью) и областью принятия гипотезы.

В приведенном на рис. 5.1 примере критерий проверки гипотезы был двусторонним, поскольку значимыми были отклонения от в обе стороны.

Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания при известной дисперсии


Пусть – неизвестная величина, а дисперсия известна. Сформулируем нулевую гипотезу о том, что неизвестный параметр a равен заданному числу, т.е. : .Альтернативную гипотезу можно сформулировать тремя способами:

  1. ;

  2. ;

  3. .

Рассмотрим подробно каждый из этих трех случаев.

Обратимся к первому случаю. Зададимся некоторым уровнем значимости и вычислим по выборке значение критерия

.

Если гипотеза верна, то случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, и является его плотностью, в большинстве экспериментов величина будет мало отличаться от нуля. Если же ее отклонения от нуля велики, то указывает на ошибочность гипотезы .

Выделим для критерия критическую область, т.е. укажем такие значения , при которых гипотезу следует отвергнуть.



Рис. 5.2. Критическая область для альтернативной гипотезы

Определим границы критической области и так, чтобы и .

Критические точки и расположены симметрично относительно нуля, правая является корнем уравнения , а левая вычисляется по формуле = – .

Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия и проверить, попадает ли оно в критическую область.

Если или , то гипотеза Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1. Если же , то принимается гипотеза Н0.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий проверку гипотезы о величине математического ожидания нормально распределенной случайной величины Н0: а=1 при альтернативной гипотезе Н1: а1.



Гипотеза Н0: М=1 принимается

Указание. Сначала с помощью функции rnorm(N,m,) сгенерирована выборка объема N=100 из значений случайной величины, имеющей нормальное распределение . Для уровня значимости =0.1 вычислены границы критической области, , и оценка математического ожидания . Высказана нулевая гипотеза о том, что значение параметра равно а0=1, т.е. Н0: а0=1. Затем вычислено значение критерия = –1.505 и, поскольку – 1.505 (– 1.645, 1.645), нулевая гипотеза принимается на уровне значимости = 0.1.



Рис. 5.3 Критическая область для альтернативной гипотезы Н1:

Рассмотрим второй случай с нулевой гипотезой Н0: и альтернативной гипотезой Н1: a > a0. Снова зададимся некоторым уровнем значимости и вычислим по выборке значение критерия , где .

В рассматриваемом случае критическая область значений критерия , при которых гипотеза Н0 отвергается, правосторонняя (рис. 5.3).

Критическая точка удовлетворяет условию и находится как решение уравнения .

Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия и проверить, попадает ли оно в критическую область. Если , то гипотеза Н0 не отвергается.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий проверку гипотезы Н0: о величине математического ожидания а нормально распределенной случайной величины при альтернативной гипотезе Н1: .



Гипотеза Н0: М = 1 принимается, поскольку –1.391<1.645

В третьем случае с нулевой гипотезой Н0: и альтернативной гипотезой Н1: опять зададимся некоторым уровнем значимости и вычислим по выборке значение критерия , где .

В рассматриваемом случае критическая область значений критерия , при которых гипотеза Н0 отвергается, левосторонняя (рис. 5.4).



Рис. 5.4 Критическая область для альтернативной гипотезы Н1:

Критическая точка удовлетворяет условию и находится по формуле = – , где – решение уравнения . Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия и проверить, попадает ли оно в критическую область. Если , то гипотеза Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1. Если же , то гипотеза Н0 не отвергается.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий проверку гипотезы о величине математического ожидания а нормально распределенной случайной величины Н0: а = 6 при альтернативной гипотезе Н1: .



Гипотеза Н0: М = 6 отвергается, поскольку –11.505 < –1.645

Задание 5.1

Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания при известной дисперсии


Смоделируйте выборку 100 значений нормально распределенной случайной величины с указанными параметрами. Сформулируйте нулевую гипотезу о величине математического ожидания и проверьте для заданных уровней значимости три альтернативные гипотезы (варианты задания таблица 5.1).
Порядок выполнения задания

  1. Смоделируйте описанную в условии выборку.

  2. Найдите по выборке точечную оценку математического ожидания.

  3. Сформулируйте нулевую гипотезу о значении математического ожидания Н0: .

  4. Вычислите значение критерия.

  5. Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Н1: .

  6. Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.

  7. Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Н1: .

  8. Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.

  9. Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Н1: .

  10. Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
Пример выполнения задания

В каждом из приведенных выше трех фрагментов рабочих документов Mathcad произведены проверки для одной из альтернативных гипотез.
Таблица 5.1

N

a



N

a



N

a



N

a



1

0.1

1.5

6

3.2

5

11

4.5

3.1

16

4.2

6

2

0.2

2

7

1.5

0.1

12

5

3.2

17

3

1.2

3

1.1

2.5

8

2

0.2

13

1.2

3

18

3.5

2.1

4

2.2

4

9

2.5

1.1

14

2.1

3.5

19

5.5

4.1

5

3.1

4.5

10

4

2.2

15

4.1

5.5

20

6

4.2









Похожие:

Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины iconВопросы к экзаменам 3-й курс вмк вопросы для темы 1
Определение случайной величины. (дискретной и непрерывной). Определение законов распределения случайной величины (дискретной и непрерывной)....
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины iconВопросы к экзаменам 3-й курс вмк вопросы для темы 1
Определение случайной величины. (дискретной и непрерывной). Определение законов распределения случайной величины (дискретной и непрерывной)....
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины iconВопросы к коллоквиуму по математике для студентов социально-экономического факультета, специальность: финансы и кредит
Если все значения случайной величины увеличить в к раз, то дисперсия (Продолжить)
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины iconПримеры вопросов теста какая из перечисленных фаз исследования считается ключевой, так как ошибки этой фазы труднее исправить
Социологи задавали респондентам вопрос: какой процент средств они тратят на лекарства. Получились следующие оценки: среднее 18% медиана...
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины iconНаименование направления, показателя
Сведения о параметрах реализации национальной образовательной инициативы 'Наша новая школа'
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины iconПлан работы на неделю 30- 5 декабря 2009 года классный час
КЧ. Проверка школьной формы. Проверка санитарного состояния кабинетов (справка). Соблюдение ету (справка), классным руководителям...
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины iconМеханика для квантовой механики часть о принципах кратчайшего времени и наименьшего действия
Гауса, и которая имеет размерность джоуль разделить на секунду в квадрате (впрочем физический смысл и этой величины также не понятен...
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины iconПрактическая работа №1 Работу выполнили студенты фэут 2-6: Голубев Е. А. Сафронов К. И. Название ресурса Адрес ресурса Краткая аннотация ресурса
Поисковая система с простым дружественным интерфейсом. Постоянная проверка живучести источников информации. Проверка сайтов на соответствие...
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины iconВопросы к экзамену по курсу «Метрология и радиоизмерения»
Оценивание случайной погрешности измерения. Точечные оценки, принцип максимального правдоподобия
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины iconДокументы
1. /Цветков Э. И. Основы теории статистических измерений. 1986.djvu
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины iconДокументы
1. /АП-50.doc
2. /БПНС 2.doc
3....

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов