Лабораторная работа №6 icon

Лабораторная работа №6



НазваниеЛабораторная работа №6
Дата конвертации05.09.2012
Размер309.61 Kb.
ТипЛабораторная работа
1. /RANDOMIZ.DOC
2. /М.М.4,1.doc
3. /МЕТ1_M.doc
4. /МЕТ2_M.doc
5. /МЕТ3_M.doc
6. /МЕТ4_M.doc
7. /МЕТ5_M.doc
8. /МЕТ6_M.doc
9. /МЕТ7_2_M.doc
10. /МЕТ8_2_M.doc
11. /МЕТ9_2_M.doc
12. /Мет10_2_M.doc
13. /Мет11_2_M.doc
14. /Мет12_2_M.doc
15. /Мет13_2_M.doc
16. /Мет14_2_M.doc
Генераторы случайных чисел. Псевдослучайные числа
Дифференциальные уравнения первого порядка
Введение
Точечные оценки параметров распределений
Методы получения точечных оценок
Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины
Лабораторная работа №6
Введение
Моделирование случайных сигналов и процессов
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов
Лабораторная работа №10
Линейные статистические модели. Пассивный и активный эксперименты
Синтез D–оптимальных тестирующих сигналов для идентификации динамических объектов
Функции одной переменной в экономических задачах
Лабораторная работа №14

Линейная регрессия

________________________________________________________________________________________________

Лабораторная работа №6

Линейная регрессия


Пусть требуется исследовать зависимость у(х), причем величины у и х измеряются в одних и тех же экспериментах.
Без ограничения общности можно считать, что величина х измеряется точно, в то время как измерение величины у содержит случайные погрешности. Это означает, что погрешность измерения величины х пренебрежимо мала по сравнению с погрешностью измерения величины у. Таким образом, результаты эксперимента можно рассматривать как выборочные значения случайной величины (х), зависящей от х, как от параметра.

Регрессией называют зависимость у(х) условного математического ожидания величины (х) от переменной х, т.е. .

Задача регрессивного анализа состоит в восстановлении функциональной зависимости у(х) по результатам измерений .

Аппроксимируем неизвестную зависимость у(х) заданной функцией . Это означает, что результаты измерений можно представить в виде ,

где – неизвестные параметры регрессии, а i – случайные величины, характеризующие погрешности эксперимента.

Обычно предполагается, что i ­– независимые нормально распределенные случайные величины с и одинаковыми дисперсиями .

Параметры следует выбирать таким образом, чтобы отклонение значений предложенной функции от результатов эксперимента было минимальным. Часто в качестве меры отклонения выбирают величину , и, следовательно, параметры определяют методом наименьших квадратов.

Рассмотрим простейший случай линейной регрессии. Пусть выдвинута гипотеза о том, что функция имеет вид . Найдем оценку параметров и методом наименьших квадратов. Для этого минимизируем функцию , приравнивая нулю частные производные и , откуда

.

В Mathcad для вычисления параметров и предназначены соответственно функции intercept(x,y) и slope(x,y).

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисление коэффициентов линейной регрессии и и соответствующий график для представленных ниже экспериментальных данных (рис. 6.1).

Таблица 6.1

х


0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

у

1.156

1.332

1.553

1.705

1.831

2.204

2.388

2.656

х

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5




у

3.019

3.081

3.299

3.486

3.692

3.867

3.896




Значения х и у , рассмотренные в примере, записаны на диске с: в папке tmp в файле data5.txt (таблица 6.1)





Рис. 6.1.

Эти же оценки дает метод максимального правдоподобия. В практических задачах дисперсия обычно неизвестна, но с помощью метода максимального метода максимального правдоподобия можно получить ее оценку : .

Следует помнить, что – случайные величины. При сделанных выше предположениях и распределены нормально, , , т.е. эти оценки несмещенные, а дисперсии этих оценок вычисляются по формулам



где .

Поскольку приведенная выше оценка дисперсии смещена (ее математическое ожидание равно ), будем использовать для оценки дисперсии другую, несмещенную оценку:

.

Величина имеет 2- распределение с п-2 степенями свободы.

Используя информацию о свойствах случайных величин , можно построить доверительные интервалы для оцениваемых параметров и . Начнем с оценки . Если дисперсия известна, то случайная величина



имеет стандартное нормальное распределение. Если – доверительная вероятность и – решение уравнения , где - функция Лапласа, доверительный интервал



накрывает неизвестный параметр а0 с вероятностью 1- .

Если же дисперсия неизвестна, то в качестве критерия можно взять величину

.

Здесь имеет распределение Стъюдента с п–2 степенями свободы.

По заданному значению найдем корень уравнения , где – распределение Стъюдента с п–2 степенями свободы.

Теперь доверительный интервал имеет вид

.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисление доверительного интервала для а0 по выборке, которая приведена выше.



Построение доверительного интервала для а0







Доверительный интервал для (0.836,1.014)

Аналогично строится доверительный интервал для параметра . Если дисперсия известна, то случайная величина




имеет стандартное нормальное распределение, значит, с вероятностью 1- доверительный интервал



накрывает оцениваемый параметр . Здесь, как и выше, – решение уравнения .

Если же дисперсия неизвестна, то в качестве критерия можно взять величину


,

которая имеет распределение Стъюдента с п-2 степенями свободы, и поэтому интервал



накрывает оцениваемый параметр с доверительной вероятностью 1-. Здесь – корень уравнения , где – функция распределение Стъюдента с п–2 степенями свободы.










Построение доверительного интервала для



Доверительный интервал для (2.009, 2.205)

И, наконец, построим доверительный интервал для дисперсии. Как уже отмечалось выше, случайная величина имеет 2- распределение с п-2 степенями свободы. Задавшись малой вероятностью , решим два уравнения: и , где – функция 2- распределение с п-2 степенями свободы. Случайная величина попадает в интервал с вероятностью 1-. Отсюда получаем доверительный интервал для дисперсии: .

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисление доверительного интервала для дисперсии по той же выборке.



Построение доверительного интервала для дисперсии





Доверительный интервал для дисперсии (0.005, 0.019)

Теперь задача о построении доверительных интервалов для параметров линейной регрессии решена полностью.

Рассмотрим еще некоторые свойства линейной регрессии.

Пусть линейная регрессия построена: . Возьмем в области изменения аргумента некоторую точку и вычислим . Величина случайная и меняется от выборки к выборке. Ее математическое ожидание равно истинному значению функции в точке , т.е. величине . Найдем доверительный интервал для величины . Для этого рассмотрим статистику

.

Доказано, что она имеет распределения Стъюдента с п-2 степенями свободы, и поэтому доверительный интервал



накрывает истинное значение с вероятностью 1-. Величина определена выше.

Границы доверительных интервалов в каждой точке образуют доверительную полосу, или доверительный коридор (см. ниже). Эта полоса, однако, не является доверительной областью для всей линии регрессии. Она определяет только концы доверительных интервалов для у при каждом значении х. С помощью коридора регрессии нельзя, например, построить одновременно два доверительных интервала в различных точках и .

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий построение коридора регрессии (рис. 6.2).

Построение доверительного коридора i:=1..N





Рис. 6.2.

Доверительная область для всей линии регрессии определяется с помощью следующих уравнений соответственно нижней и верхней границ полосы:



где - корень уравнения - функция распределения Фишера с 2 и п-2 степенями свободы.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисление доверительной области регрессии для выборки (рис. 6.3), анализируемой во всех предыдущих примерах.

Построение доверительной области





Рис. 6.3.

Задание 6.1

Линейная регрессия


Для заданной в условии выборки вычислите регрессию и найдите доверительные интервалы коэффициентов регрессии и дисперсии для заданной доверительной вероятности. Вычислите коридор и доверительную область регрессии. Изобразите выборку графически на одном графике с линией регрессии. Изобразите графически коридор и доверительную область регрессии (варианты задания таблица 6.1).

Внимание! Полученные результаты сохранить на дискете для выполнения л.р.№11.

Порядок выполнения задания

  1. Определите и введите заданную выборку.

  2. Найдите точечные оценки математического ожидания обеих переменных.

  3. Вычислите точечную несмещенную оценку неизвестной дисперсии.

  4. Найдите коэффициенты регрессии.

  5. Постройте график линии регрессии и изобразите на нем экспериментальные точки.

  6. Вычислите значение критерия для оценки коэффициента регрессии .

  7. Найдите доверительный интервал для .

  8. Вычислите значение критерия для оценки коэффициента регрессии .

  9. Найдите доверительный интервал для .

  10. Вычислите значение критерия для оценки дисперсии.

  11. Найдите доверительный интервал для дисперсии.

  12. Вычислите коридор регрессии.

  13. Изобразите на графике линию регрессии и границы коридора для нее.

  14. Вычислите доверительную область для всей регрессии.

  15. Изобразите на графике линию регрессии и доверительную область для нее.

Пример выполнения задания

Все приведенные выше фрагменты рабочих документов Mathcad содержат последовательные этапы выполнения задания для выборки, описанной в тексте.

Таблица 6.1

1.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

-1.45

-1.829

-1.247

-1.051

-1.241

-0.988

-0.766

-0.504

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

-0.339

0.075

0.088

0.318

0.987

0.858

1.626




2.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

-2.169

-1.376

-0.974

-0.312

-0.314

-0.715

-0.312

1.119

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

0.92

0.999

1.046

1.295

1.411

1.884

2.835




3.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

0.484

0.628

0.282

0.676

1.482

1.207

1.301

1.463

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

1.919

2.149

2.176

2.425

2.727

2.568

2.96




4.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

-0.139

0.661

1.404

0.928

1.736

1.762

1.765

2.617

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

2.787

2.735

2.72

3.312

3.502

4.082

4.195




Продолжение табл. 6.1

5.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

2.016

2.073

2.442

2.708

2.956

2.907

3.315

3.493

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

3.457

3.971

4.12

3.939

4.681

4.4.924

4.221




6.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

2.318

2.451

2.917

2.954

3486

3.725

4.106

4.936

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

4.678

4.859

5.611

6.017

5.46

6.568

6.15




7.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

3.911

3.893

4.704

4.993

4.935

5.477

5.384

5.489

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

5.202

5.714

6.524

6.348

6.516

7.136

7.069




8.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

3.972

4.811

4.923

5.355

5.821

5.789

6.266

6.857

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

6.206

6.857

7.366

7.527

7.962

8.402

8.569




9.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

2.258

0.738

1.479

1.094

1.177

1.126

0.523

0.741

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

-0.364

0.673

0.259

-0.378

-0.568

-1.266

-1.376




10.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

2.235

2.849

2.237

2.63

1.761

2.163

1.813

1.707

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

1.137

1.348

0.799

0.997

0.273

0.057

-0.321




11.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

4.005

3.637

2.987

3.19

3.102

3.236

2.68

2.241

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

2.258

2.249

1.958

1.188

1.501

1.035

0.911




12.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

4.592

4.775

4.487

4.204

3.147

3.943

3.543

3.622

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

2.608

2.776

2.767

2.509

2.732

1.804

2.016




13.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

5.892

5.103

5.624

5.197

4.749

4.653

4.253

4.249

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

4.555

3.955

4.076

3.869

3.241

2.782

2.667





Продолжение табл. 6.1

14.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

7.689

7.513

7.314

6.951

6.632

6.515

5.653

5.61

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

5.076

4.768

4.503

4.224

3.35

3.869

3.405




15.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

4.874

4.996

5.073

5.438

5.356

5.214

5.502

5.64

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

6.088

5.798

5.916

6.357

6.077

6.859

6.416




16.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

10.217

9.632

8.604

9.345

8.472

8.207

7.739

7.278

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

7.208

6.73

6.933

6.434

6.15

5.736

6.092




17.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

-2.83

-2.633

-2.227

-1.281

-2.609

-1.574

-1.986

-1.48

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

-0.829

-1.305

-1.065

-0.552

-0.941

-0.550

0.168




18.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

-3.388

-3.367

-3.459

-3.025

-2.191

-1.763

-1.605

-1.658

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

-1.433

-1.135

-0.824

-0.663

0.591

0.038

0.321




19.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

-3.831

-3.335

-2.974

-3.287

-2.876

-2.821

-2.409

-2.421

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

-2.257

-2.209

-1.634

-1.222

-1.333

-1.676

-1.006




20.

x

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

y

-5.315

-5.622

-5.509

-4.718

-4.679

-4.235

-3.742

-3.459

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




y

-2.848

-3.381

-3.083

-2.167

-1.688

-1.325

-1.641



Рекомендованная литература




При самостоятельной проработке материала методических указаний необходимо использовать приведенный ниже список литературы.


  1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учебник для вузов по спец. «Автоматизированные системы управления». – М.: ВШ, 1985.– 271с.,ил.

  2. Колесников Д.Н., Сиднев А.Г., Юрганов А.А. Моделирование случайных факторов в задачах автоматики и вычислительной техники. Уч. Пособие. – СПб, СПбГТУ, 1994.

  3. Дьяконов В. MathCAD 8/2000: специальный справочник – СПб: Изд. "Питер", 2000. – 592 с.: ил.

  4. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 7.0 в математике, физике и в Internet. – М.: «Нолидж», 1999.–352с., ил.

  5. Плис А.И., Сливина Н.А. MathCAD 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 656 с.: ил.







Похожие:

Лабораторная работа №6 iconДокументы
1. /OOP/Лабораторная работа ь00-Введение.doc
2. /OOP/Лабораторная...

Лабораторная работа №6 iconЛабораторная работа: создание мини-презентации «Памятники Кремля»
Лабораторная работа проводится в компьютерном классе, с подключением к сети Internet
Лабораторная работа №6 iconДокументы
1. /Lab1/Лабораторная работа 1.doc
2. /Lab2/Лабораторная...

Лабораторная работа №6 iconИ я забуду Покажи мне и я запомню, Дай мне действовать самому и я научусь. Китайская мудрость Тема: Лабораторная работа
Тема: «Лабораторная работа «Измерение работы и мощности тока в электрической лампочке»
Лабораторная работа №6 iconДокументы
1. /Nash/lab1/Лабораторная работа ь1.doc
2. /Nash/lab10/Лабораторная...

Лабораторная работа №6 iconЛабораторная работа №2 «Система безопасности Windows xp»
Лабораторная работа №2 «Система безопасности Windows xp» Цель работы: Изучить систему безопасности Windows xp
Лабораторная работа №6 iconЛабораторная работа «Работа в Windows c помощью основного меню. Использование технологии ole»
Запишите размер папки, выраженный в Мб (мегабайтах) в текстовый редактор блокнот
Лабораторная работа №6 iconЛабораторная работа «Работа с текстовыми фрагментами без помощи мыши»
Скопируйте последнее слово получившегося текста и вставьте его в начало текста один раз
Лабораторная работа №6 iconДокументы
1. /Базовые задачи на обработку массива.doc
2. /ЗадачиНаЛиниВетвление.doc
Лабораторная работа №6 iconДокументы
1. /laba/Лабораторная работа ь1.doc
2. /laba/Лабораторная...

Лабораторная работа №6 iconДокументы
1. /механизация/~$б работа ь4.doc
2. /механизация/~$бораторная...

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов