2006р комбінація кулі та призми icon

2006р комбінація кулі та призми



Название2006р комбінація кулі та призми
Дата конвертации29.09.2012
Размер81.95 Kb.
ТипМетодичні рекомендації
1. /Методичн_ рекомендац_х щодо розв'язання задач на комб_нац_ю геометричних т_л при вивченн_ стереометр_х в Х_ клас_.doc2006р комбінація кулі та призми

Навчально-виховний комплекс "Загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №25, природничо-математичний ліцей"


Методичні рекомендації щодо розв’язання задач на комбінацію геометричних тіл при вивченні стереометрії в ХІ класі


вчитель математики вищої категорії, вчитель-методист Сербіна Н.О.


Кіровоград

2006р

КОМБІНАЦІЯ КУЛІ ТА ПРИЗМИ

Аналіз екзаменаційних завдань з геометрії при вступних іспитах у вузи та випускних у загальноосвітній школі свідчить про широке включення задач на комбінацію многогранників та тіл обертання. Однак шкільний підручник не дає відповіді на питання: навколо якого многогранника можна описати кулю, чи у всякий многогранник можна вписати кулю. Не дається теоретичного обґрунтування розміщення центра вписаної чи описаної кулі, а це створює певні Труднощі для старшокласників при розв'язанні задач.

Перш ніж розв'язувати задачі на комбінацію призми і кулі, доцільно обґрунтувати й зафіксувати в зошитах учнів певні опорні твердження.

1. Призма, вписана в кулю.

Призма називається вписаною в кулю, якщо всі вершини її лежать на поверхні кулі. При цьому куля називається описаною навколо многокутника.

При розв'язуванні задач на вписану призму важливо вміти визначати положення центра списаної кулі як точки перетину певних геометричних місць.

Центром кулі, описаної навколо призми, є точка, рівновіддалена від усіх його вершин.

Теорема 1. Кулю можна описати тільки навколо прямої призми, в основі цієї призми має лежати многокутник, навколо якого можна описати коло.

Доведення. Для цього розглянемо два твердження.

І. Нехай навколо призми описано кулю (мал. І). Переріз кулі площиною, що містись основу призми, є коло, описане навколо многокутника, що служить основою призми. Доведемо, що дана призма пряма. Геометричним місцем точок простору, рівновіддалених від вершин нижньої основи призми, с перпендикуляр до площини основи, який проходить через центр кола, описаного навколо цієї основи. Оскільки основи призми лежать у паралельних площинах, то пряма \^ перпендикулярна і до верхньої основи.

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від вершин верхньої основі є перпендикуляр, що проходить через центр кола, описаного навколо цієї основи. Отже, обидва перпендикуляри співпадають.

При паралельному перенесенні на відрізок MN точка А перейде в точку А1, В — у В1, С — у С1.
Отже, призма пряма.

II. Нехай дано пряму призму. Доведемо, що навколо неї можна описати кулю. Знайдемо точку, рівновіддалену від усіх вершин прямої призми.

Розглянемо переріз кулі площинами основ призми. Основи призми рівні тому й утворені круги перерізів рівні (описані навколо рівних многокутників).

Геометричним місцем точок простору, рівновіддалених від вершії нижньої основи, є перпендикуляр MN, що проходить через центр кола описаного навколо цієї основи й перпендикулярно до цієї основі Аналогічно MN є геометричним місцем точок, рівновіддалених від верши верхньої основи. Отже, центр описаної кулі належить перпендикуляру МN Геометричним місцем точок простору, рівновіддалених від точок М і N. площина, перпендикулярна до МN, і проходить через його середину. Ця площина пройде через середину відрізків АА1, ВВ1, і СС1, так як призма пряма. Отже, площина буде геометричним місцем точок простору, рівновіддалених від точок А і А1, В і В1; С і С1. Таким чином, точкою рівновіддаленою від усіх вершин призми, буде точка перетину цієї площин і відрізка МN- Ця точка і буде центром кулі, описаної навколо прямої призми



__Наслідок. Центр кулі, описаної навколо прямої призми, лежить на середині відрізка, який сполучає центри кіл, описаних навколо основ призми.

Для розв'язування, звичайно, викорис­товуємо заштрихований трикутник, у якому: АО — радіус кулі, АN — радіус кола, описаного навколо нижньої основи призми,

ON = ½ МN (мал. 1).

Задача 1. У кулю радіуса R вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з меншою бічною гранню кут . Діагональ основи паралелепіпеда утворює, з більшою стороною основи кут . Визначити висоту паралелепіпеда.

Розв’язування Покажемо, що центром кулі, описаної навколо прямокутного парале­лепіпеда, є точка перетину його діагоналей. Нехай О — точка перетину діагоналей прямокутного паралелепіпеда АВСDA1B1C1D1 (.мал. 2). Оскільки всі діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні і точкою перетину діляться пополам, то точка рівновіддалена від усіх вершин прямокутного паралелепіпеда, тобто є центром описаної кулі, а кожна діагональ прямокутного паралелепіпеда є діаметром цієї кулі.

Враховуючи, що в прямокутному паралелепіпеді B1C1 СС1D1D дістаємо, що DС1 — проекція DB1 на площину СС1D1D. Отже, за умовою B1DC1 = .

Якщо DD1C1C менша бічна грань, то DС — менша сторона основи (а АD — більша). Тоді за умовою ВDА=, В1DC1 =. З прямокутного трикутника В1DC1 : В1С1 = DВ1sin =2Rsin. Але АD = В11 = 2Rsin Тоді з прямокут­ного трикутника DАВ : АВ = АD•tg = 2Rsintg.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. Отже, DB12 = АD2 + АВ2 + АА12.

Звідси:



Відповідь.

Зауваження. Після розв'язування цієї задачі доцільно записати учням, що центр кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда, лежить у точці перетину діагоналей паралелепіпеда, а кожна його діагональ є діаметром описаної кулі.

При розв'язуванні задач на призму, вписану в кулю, зручно використовувати формули:

де R — радіус описаного кола навколо трикутника з сторонами а, b і с, а S — площа даного трикутника.

вираження радіуса описаного кола навколо правильного многокутника через його сторону (а) і кількість сторін (n).

вираження радіуса описаного кола навколо довільного трикутника, через сторону цього трикутника і протилежний до цієї сторони кут.

вираження радіуса описаного кола навколо прямокутного трикутника з

гіпотенузою c.



Задача 2. Обчислити довжину ребра трикутної призми, в основі якої лежить прямокутний трикутник з гострим кутом , знаючи, що радіус R описаної навколо неї кулі, проведений у вершину призми з прямим кутом в основі, утворює кут  з бічною гранню, яка містить цю вершину.

Розв'язання. (мал. 3). АВСA1B1C1 — трикутна призма, ВСА = 90°, СВА=. (О; R) — описана куля. Так як основи — прямокутні трикутники, то центр кулі О лежить в грані АА1B1В, яка містить гіпотенузи трикутників. ОО1 = ОО2, де О1 і О2 — центри кіл описаних навколо основ призми.

Проведемо ОК С1А. Так як ОС1=ОА1 то С1К = КА і ОС1К = . З ОС1К : С1К = Rcos, С1А = 2Rcos.

Продовжимо C1О до перетину з поверхнею кулі в точці М, тоді С1М = 2R, а СМ = 2r, де r — радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника АВС.


З СС1М : СС12 = 4R2-СМ2 = 4R2-4r2, а з СС12 : СС12 = С1А2-СА2. Тоді 4R2-4г2 = С1А2-СА2, 4R2-4r2 = 4R2соs-4r2sin2. R2(1-соs2) = r2(1-sin2),




Відповідь.

Зауваження: Слід наголосити учням, що основа перпендикуляра, опущеного з центра кулі, описаної навколо призми, на будь-яку її бічну грань, є точкою перетину діагоналей цієї грані.

Якщо в основі прямої призми лежить прямокутний трикутник, то центром описаної кулі є точка перетину діагоналей грані, яка містить гіпотенузу прямокутного трикутника основи. Якщо в основі прямої призми — тупокутний трикутник, то центр кулі знаходиться поза призмою.

Питаннядляконтролю

Навколо якої призми можна описати кулю?

Який многокутник може бути в основі призми, якщо вона вписана в кулю?

Де знаходиться центр кулі, описаної навколо призми?

Чи завжди центр кулі знаходиться всередині призми? Від чого це залежить?

Як знайти центр кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда?

2. Куля, вписана в призму

Означення. Куля, вписана у призму, або призма, описана навколо кулі, якщо всі грані призми дотикаються до кулі.

Центр кулі, вписаної у призму, є точка перетину її бісекторних площин. Бісекторною площиною двогранного кута називається площина, яка проходить через ребро двогранного кута і ділить цей кут пополам.

Теорема 2. Центр кулі, вписаної в пряму призму, лежить на середині відрізка, що сполучає центри кіл, вписаних в основи призми (мал. 4). Радіус кулі дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми, а діаметр кулі дорівнює висоті призми.

Доведення. Спроектуємо комбінацію на площину нижньої основи. Проекцією кулі буде круг, радіус якого дорівнює радіусу кулі. Сама призма спроектується на свою нижню основу — многокутник. Оскільки куля вписана в призму, то круг буде вписано в многокутник основи, тобто радіус кулі буде дорівнювати радіусу кола, вписаного в основу призми. Якщо так само спроектувати комбінацію цих тіл на верхню основу і звернути увагу на те, що центр кулі проектується в центр вписаного кола, то дістанемо, що О — середина О1О2, причому О1, О2 точки дотику кулі до площини основ, а отже, О1О2 перпендикулярний до кожної з основ, тобто О1О2 — висота призми.

Задача 3. Навколо кулі описано пряму призму, основою якої є прямокутний трикутник. У цьому трикутнику перпендикуляр, опущений з

вершини прямого кута на гіпотенузу, дорівнює h і утворює з одним із катетів кут . Знайти об'єм призми.



Розв'язання, (мал 5) АBСA1B1С1 — пряма призма, АВС (С = 90°) — її нижня основа; НС АВ, НС = h, НСВ = .

V АСАA1B1С1 = SABCВВ1, де ВВ1=2ОО2=2r, де r — радіус вписаної в призму кулі, а значить і радіус кола вписаного в АВС. У АВС А = , В = 90°-. Використавши формулу



знайдемо радіус кола вписаного в основу призми АВСА,В,С,.











Зауваження

1. Кулю можна вписати у пряму призму, якщо її висота в два рази більша за радіус кола, вписаного в основу.

2. Кулю можна вписати і в деякі похилі призми. Якщо розглянути перпендикулярний переріз призми, який проходить через центр вписаної кулі, то дістанемо, що радіус кулі, вписаної у похилу призму, дорівнює радіусу кола, вписаного у перпендикулярний переріз, а діаметр кулі дорівнює висоті призми.

При розв'язуванні задач на призму, описану навколо кулі, зручно використовувати формули:







вираження радіуса вписаного кола в трикутник через його площу і півпериметр.







вираження радіуса вписаного кола в прямокутний трикутник через його катети а і в та гіпотенузу с.



вираження радіуса вписаного кола в трикутник з кутами А, В і С та радіусом описаного кола К.







вираження радіуса вписаного кола через кути трикутника та сторону, що лежить проти одного з них.



Обчислення кута між бісектрисами кутів В і С.













Похожие:

2006р комбінація кулі та призми iconІллєнко Юрій
ТіВі-гармати, палають стріхи мас-медіа, голосять вдовиці загиблих героїв по обидва береги телеекранів… Дитячі очі на лівому І правому...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов