Математические основы теории физических структур введение icon

Математические основы теории физических структур введение



НазваниеМатематические основы теории физических структур введение
страница1/5
Дата конвертации30.08.2012
Размер0.51 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ СТРУКТУР

Введение

Вся история развития как физики, так и математики шла в направлении поиска, по возможности, минимального набора средств для описания максимального класса изучаемых явлений. Оригинальной попыткой переосмысления и унификации физических законов является предложенный Ю.И. Кулаковым подход, основанный на понятии физической структуры (см. [1] – [10]). Теория физических структур поставила целый комплекс глубоких и нестандартных математических задач, требующих решения. Значительные результаты в этом направлении были получены как самим Кулаковым (см. [3], [5], [7], [10]), так и его учениками Г.Г. Михайличенко (см. [11] – [26]), В.Х. Львом (см. [27] – [29]), А.А. Симоновым (см. [30], [31]) и другими исследователями (см., например, [32] – [40]). Однако данное научное направление, зародившееся в среде физиков, к сожалению, еще не получило должного внимания среди математиков.

Настоящая работа призвана, в определенной степени восполнить, имеющийся пробел. В ней предпринимается попытка дать систематическое изложение математических основ теории физических структур и подводятся определенные итоги ее развития. Прежде всего, следуя методике, предложенной Кулаковым [10], описываются простейшие физические примеры (второй закон Ньютона и закон Ома для всей цепи), естественным образом выводящие на понятие физической структуры. В результате формализации этих результатов дается расширенное определение физической структуры. Описываются важнейшие свойства физических структур, на основе которых осуществляется их характеризация. В заключительной части работы рассматриваются различные обобщения.

^ 1. Физическая структура механического движения

Рассмотрим процесс прямолинейного механического движения. Под влиянием некоторого внешнего воздействия тело движется, причем меняется как его положение в пространстве, так и скорость. Этот процесс описывается вторым законом Ньютона

,

где F – сила, m – масса, a – ускорение. Фиксируя пространственные и временные интервалы, можно измерить скорость, а значит, и ускорение – важнейшую характеристику исследуемого процесса. В то же время принцип измерения силы и массы, являющихся индивидуальными характеристиками исследуемых физических объектов не столь очевиден.

Вопрос 1.1. Можно ли на основе измеряемых пространственно-временных характеристик проверить справедливость второго закона Ньютона?

В известное соотношение наряду с измеряемым ускорением входят также сила и масса, которые, как мы полагаем, не поддаются прямому измерению.
Для того чтобы осуществить в этих условиях проверку справедливости закона Ньютона, надо исключить из имеющегося соотношения силу и массу. Однако закон Ньютона связывает две неизвестных величины m и F в левой части равенства

(1.1)

с единственной известной величиной а в его правой части. При этом у нас имеется два физических объекта – тело и источник энергии, который мы будем называть акселератором. Очевидно, наличия двух объектов с неизвестными характеристиками и одного соотношения (1.1) еще не достаточно для решения поставленной задачи.

Если взять два разных тела и подействовать на них одним и тем же акселератором, то получим два уравнения и , содержащие наряду с измеряемыми
(а значит, известными) ускорениями и еще три неизвестных величины – , и F. Тем самым число неизвестных пока превосходит число уравнений, а значит, имеющейся информации еще не достаточно для достижения желаемой цели. Если же, наконец, мы возьмем два тела и два акселератора, то получаем уже четыре уравнения

(1.2)

содержащих ровно четыре неизвестных величины , , и наряду с четырьмя измеряемыми ускорениями .

Из соотношений



следует равенство

(1.3)

Оно связывает исключительно ускорения, т.е. величины, допускающие, как мы предполагаем, непосредственное экспериментальное определение.

Вывод 1.1. Для экспериментальной проверки закона Ньютона достаточно взять два тела и два акселератора и, измерив четыре соответствующих значения ускорения, убедиться в справедливости условия (1.3).

Соотношение (1.3) следует тем самым понимать как некоторый эквивалент закона Ньютона, допускающий прямую экспериментальную проверку.

Важно отметить, что соотношение (1.3), связывающее четыре измеряемых ускорения, выполняется не для каких-то конкретных пар тел и акселераторов, а для произвольных пар физических объектов. Это обстоятельство, собственно, и свидетельствует о том, что мы имеем дело с физическим законом, который носит универсальный характер.

Вывод 1.2. Четыре ускорения, характеризующие возможные взаимодействия между произвольными парами тел и акселераторов, не могут оказаться произвольными. Одно из них непременно выражается через три остальных, что и является проявлением физического закона.

Отметим, что, имея, казалось бы, четыре уравнения (1.2) относительно четырех неизвестных характеристик физических объектов, мы не выразили их через известные (измеряемые) величины, а получили связь между этими величинами.

Вывод 1.3. Для экспериментальной проверки закона Ньютона можно не только не измерять массу и силу, но даже вообще не обращаться к этим понятиям.

Теперь нам хотелось бы воспользоваться полученными результатами при анализе характеристик исследуемых объектов, т.е. массы и силы.

Вопрос 1.2. Как измерить массу и силу, если прямому измерению поддается лишь ускорение?

На первый взгляд, мы имеем систему четырех линейных алгебраических уравнений



с четырьмя неизвестными (по две силы и массы), а значит, могли бы выразить отсюда все искомые характеристики через известные ускорения, измерив тем самым искомые силы и массы на основе уже имеющейся экспериментальной информации. Однако это система однородна, а значит, наверняка имеет нулевое решение. Нетрудно убедиться, что условие (1.3) соответствует случаю, когда определитель этой системы обращается в нуль, вследствие чего данная задача имеет бесконечное множество решений. И мы вновь приходим к проблеме практического нахождения значений сил и масс из соотношений (1.2).

Возьмем один акселератор и два тела. Тогда из равенств, например,



можно найти отношение Выбирая теперь величину в качестве эталона массы (единицы измерения) и определив экспериментально два ускорения и , можно найти относительное значение массы , т.е. узнать, насколько велика масса данного тела по сравнению с выбранным эталоном. В частности, пусть, подействовав на данное тело каким-то акселератором, мы получаем ускорение, вдвое большее, чем для тела эталонной массы при том же акселераторе. Тогда наше тело обладает некой характеристикой, вдвое меньшей эталонной. Эту характеристику естественно и считать массой.

Сила измеряется аналогично. В частности, имея одно тело с двумя акселераторами, получаем соотношения

.

Отсюда определяем . Выбирая величину в качестве эталона силы и определив экспериментально соответствующие ускорения, можно найти относительное значение силы, т.е. узнать, насколько велика будет данная сила в сравнении с эталонной.

Вывод 1.4. Сила и масса могут быть определены посредством измеряемых значений ускорения с точностью до выбора единиц измерения.

Замечание 1.1. Обратим внимание на то, что у нас была изначально система четырех уравнений (1.2) с четырьмя неизвестными. Наличие одного условия связи (1.3) говорит о том, что в действительности лишь три из них могут считаться независимыми. Тем самым фактически система (1.2) дает нам три условия относительно четырех неизвестных сил и масс. Если зафиксировать одно из этих значений, то, как будто, остальные три мы уже сможем выразить через него и известные ускорения. Однако ранее мы говорили о выборе двух фиксированных (эталонных) значений силы и массы . Связывающее их соотношение не включает в себя неизвестные и , а значит, может быть исключено из системы. Тем самым остаются три уравнения (1.2), из которых одно выражается через остальные с помощью условия связи (1.3), относительно двух неизвестных. Тогда мы можем выразить эти два неизвестных значения через эталонные характеристики и измеряемые величины, что и было сделано.

Ранее предполагалось, что нам заранее известна классическая форма закона Ньютона (1.1).

Вопрос 1.3. Можно ли восстановить закон Ньютона исключительно по характеру связи между телами и акселераторами?

Перед нами стоит обратная задача. Требуется выяснить, как могут быть, в принципе, связаны между собой произвольные акселератор и тело i, если предположить, что для установления искомого закона достаточно взять два тела и два акселератора, поставив тем самым четыре эксперимента. В результате мы получаем значения

(1.4)

Итак, под действием акселератора тело приобретает ускорение . Здесь величина , сопоставляющее телу и акселератору соответствующее ускорение, подлежит нахождению. Естественно предположить, что искомая зависимость должна носить универсальный характер, т.е. результат никак не должен зависеть от выбора тел и акселераторов.

Таким образом, мы имеем четыре известных значения (ускорения), образующие матрицу порядка . Эти величины должны быть связаны между собой некоторым соотношением, не зависящим от выбора тел и акселераторов. Указанное свойство будет реализовано, если на множестве подобных матриц будет определена такая нетривиальная (т.е. не равная тождественно нулю) функция Ф, что имеет место равенство

(1.5)

где А есть известная матрица ускорений:



Соотношение (1.5) должно выполняться для любой пары тел и акселераторов, определяющих соответствующие ускорения.

Обозначим через M множество всех тел, а через N – множество всевозможных акселераторов. Тогда пара акселераторов образует некоторый элемент множества , а пара тел – некоторый элемент множества . В результате соотношение (1.5), выражающее связь между рассматриваемыми физическими объектами, принимает вид

(1.6)

где



Соотношение (1.6) можно рассматривать как специфическое уравнение относительно преобразований и Ф. Характерно, что оно охватывает полученное ранее равенство (1.3), устанавливающее связь между измеряемыми ускорениями, но выведено исключительно из предположения о наличии универсальной связи между парами тел и акселераторов без априорного знания второго закона Ньютона.

Вывод 1.5. Равенство, устанавливающее соотношение между четырьмя измеряемыми ускорениями, выводится исходя лишь из предположения о наличии единого закона, связывающего всевозможные пары тел и акселераторов.

На основании проведенного анализа приходим к центральному понятию описываемой теории [10].

Определение 1.1. Соотношение (1.6) назовем уравнением физической структуры механического движения.

Общее определение физической структуры будет дано ниже. Пока лишь отметим, что рассматриваемой физической структуре мы приписываем два классификационных признака [10]. Один из них назовем размерностью и положим равным (1,1) по числу характеристик обоих типов объектов (масса тела и сила акселератора), входящих в полученное уравнение. Второй признак назовем рангом и положим равным (2,2) по числу физических объектов (тел и акселераторов), входящих в рассматриваемое соотношение.

Содержательность полученного уравнения определяется следующим вопросом:

Вопрос 1.4. Насколько широк класс отображений  и Ф, удовлетворяющих условию (1.6)?

Анализ показывает (см. ниже), что при некоторых достаточно естественных предположениях функционал определяется исключительно равенством

, (1.7)

где функционалы и , определенные на множествах N и M соответственно, а также обратимая функция f произвольны. Величину можно интерпретировать как силу акселератора , а – как величину, обратную массе тела i. Таким образом, справедливы равенства



Функция матричного аргумента Ф при этом может быть определена по формуле



или, что то же самое,

(1.8)

Здесь матрица определяется по формуле



а в правой части равенства (1.8) находится ее определитель. Тогда установленное ранее соотношение (1.3) между четырьмя измеряемыми ускорениями получается из равенства (1.6), если в качестве f выбрать тождественную функцию.

Естественно, следует проверить, как отразится имеющаяся произвольность выбора решений уравнения (1.3) на его практическом использовании, в частности, на определении силы и массы. Имея два тела и один акселератор, установим равенства



Учитывая обратимость функции f, имеем



Разделив одно из этих равенств на другое, получаем



Здесь величины и можно интерпретировать как результаты измерения соответствующих ускорений, причем произвольность функции f предполагает свободу выбора шкалы измерения ускорения. Выбирая теперь первое тело в качестве эталона массы, можно найти значение массы второго тела в данной системе измерения масс. Аналогичным образом можно осуществить измерение силы. Таким образом, сила и масса могут быть определены на основе уравнения физической структуры механического движения однозначно с точностью до выбора соответствующих единиц измерения.

Вывод 1.6. Исключительно из предположения о существовании единого закона, связывающего произвольные 2 тела и 2 акселератора, получено уравнение физической структуры механического движения ранга (2,2), являющееся аналогом второго закона Ньютона и допускающее единственное решение с точностью до выбора единиц измерения рассматриваемых физических объектов.

Вывод 1.7. Предположив существование универсальной связи между парами тел и акселераторов, мы пришли к заключению о том, что каждый из объектов обоих типов обладает единственной числовой характеристикой, а значит, размерность данной физической структуры получена как следствие заранее выбранного ранга.

Закон Ньютона дает естественный пример физической структуры для случая, когда взаимодействующие физические объекты (в данном случае, тела и акселераторы) имеют в точности по одной характеристике (масса и сила). Наличие же у объектов нескольких характеристик приводит к физическим структурам более высокой размерности [10].

^ 2. Физическая структура электрической цепи

Рассмотрим электрическую цепь. Подключая проводник к источнику тока (будем считать, к примеру, что это батарейка), можно наблюдать ток в цепи. Этот процесс описывается законом Ома для полной цепи

,

где I – сила тока, E – электродвижущая сила (эдс) батарейки, – ее внутреннее сопротивление, R – сопротивление проводника.

В данном случае мы вновь имеем дело с двумя классами физических объектов – батарейками и проводниками. Сила тока является результатом взаимодействия рассматриваемых объектов, характеризует исследуемый процесс в целом и допускает непосредственное измерение. В то же время эдс и внутреннее сопротивление являются свойствами батарейки, а сопротивление R – свойством проводника, т.е. описывают индивидуальные характеристики рассматриваемых физических объектов.

По аналогии с проводимым ранее анализом зададимся следующим вопросом.

Вопрос 2.1. Можно ли на основе лишь измеряемых значений силы тока проверить справедливость закона Ома для всей цепи?

Перепишем закон Ома в следующем виде:



Для упрощения выкладок сделаем следующую замену переменных:



При этом любой батарейке ставится в соответствие две характеристики и , а любому проводнику i – одна характеристика . Закон Ома в форме

(2.1)

связывает три неизвестных характеристики рассматриваемых объектов с единственной измеряемой величиной а и в этом смысле аналогичен соотношению (1.1).

Нам хотелось бы подобрать такое количество физических объектов, чтобы из закона Ома можно было бы исключить все их характеристики, оставляя лишь измеряемые значения сил тока. Нетрудно убедиться (непосредственной проверкой), что для этого достаточно взять две батарейки и три проводника. В результате приходим к соотношениям

(2.2)

аналогичным равенствам (1.2).

  1   2   3   4   5




Похожие:

Математические основы теории физических структур введение icon"Основы современного естествознания"
Михаила Елфимова по мотивам книги Ю. И. Кулакова – Теория Физических Структур (тфс). М., 2004г., 847 стр
Математические основы теории физических структур введение iconВведение Часть 2 Эфиродинамическая структура вещества
Отсутствие внутриатомной и, тем самым, внутриядерной среды вынудило физиков-ядерщиков и физиков-атомщиков искать абстрактно-математические...
Математические основы теории физических структур введение iconЯн Хакинг. Представление и вмешательство: Введение в философию естественных наук
Слабые взаимодействия физики малых частиц так же реальны, как влюбленность. Теории относительно структур молекул, содержащих генетический...
Математические основы теории физических структур введение iconТеоретические основы инженерной геологии
Теоретические основы инженерной геологии. Механико-математические основы/Под ред акад. Е. М. Сергеева.— М.: Недра, 1986. 254 с.,...
Математические основы теории физических структур введение iconВведение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи

Математические основы теории физических структур введение icon1. Введение Системы на основе продукционных баз знаний
Эволюционное проектирование электронных и электрических цепей новая область научных исследований, базирующаяся на исследованиях в...
Математические основы теории физических структур введение iconДокументы
1. /Роджерс Д.Математические основы машинной графики.1980.djvu
Математические основы теории физических структур введение iconОсновы буддизма
Вдохновенное введение в основы Учения Гаутамы Будды. Книга, над которой Елена Ивановна Рерих (1879―1955) работала в Индии четверть...
Математические основы теории физических структур введение iconК критике вихревой теории эфира
Как известно, те вихри, которые существуют в газах, образуются в результате следующих его физических, статических и динамических...
Математические основы теории физических структур введение iconК критике вихревой теории эфира
Как известно, те вихри, которые существуют в газах, образуются в результате следующих его физических, статических и динамических...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов