Математические основы теории физических структур введение icon

Математические основы теории физических структур введение



НазваниеМатематические основы теории физических структур введение
страница3/5
Дата конвертации30.08.2012
Размер0.51 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5
Определение 3.4. ^ Пару чисел назовем рангом физической структуры, а упорядоченные наборы объектов и кортами.

Для описания механического движения используются корты акселераторов и тел , а для описания электрической цепи – корты батареек и проводников .

Гипотеза 3.5. Количественное соотношение между кортами различных классов определяется соотношениями между характеристиками всевозможных пар составляющих их объектов и не зависит от выбора кортов.

Аксиома 3.5. На множестве матриц порядка существует функция Ф, удовлетворяющая равенству

. (3.1)

Величина представляет собой матрицу порядка , которую можно также интерпретировать как точку в евклидовом пространстве . Аксиома 3.5 говорит о том, что совокупность всех таких точек лежит в гиперповерхности в , т.е. многообразии размерности . В частности, для физической структуры механического движения существует функция Ф, определенная на множестве матриц порядка такая, что справедливо соотношение

(3.2)

Эта функция реализует связь между четырьмя измеряемыми ускорениями, не зависящую от выбора акселераторов и тел. Таким образом, множество gif" name="object158" align=absmiddle width=80 height=29> всевозможных четверок ускорений является трехмерным. Аналогично, для физической структуры электрической цепи ранга (2,3) существует функция Ф, определенная на множестве матриц порядка такая, что справедливо соотношение

(3.3)

Эта функция реализует связь между шестью измеряемыми силами тока, не зависящую от выбора батареек и проводников. Тем самым множество всевозможных шестерок сил тока оказывается пятимерным.

Замечание 3.4. В действительности может оказаться, что множество точек будет многообразием еще меньшей размерности, т.е. имеет более высокую коразмерность. Это реализуется при наличии нескольких, не сводящихся друг к другу, пар функций Ф и , удовлетворяющих соотношению (3.1) (см. ниже теорему 4.6 и замечание 4.7).

Определение 3.5. Функция Ф называется верификатором, а соотношение (3.1)уравнением физической структуры.

Верификаторы структур механического движения и электрической цепи определяются формулами (1.8) и (2.8), а уравнения соответствующих физических структур (3.2) и (3.3) совпадают с рассмотренными ранее соотношениями (1.6) и (2.6).

Замечание 3.5. Уравнение физической структуры следует понимать как задачу определения репрезентатора и верификатора.

Замечание 3.6. Существование решения уравнения физической структуры говорит о том, говорит о том, что для произвольного набора физических объектов обоих типов (кортов) соответствующие значения репрезентаторов (измеряемых характеристик процесса) не могут принимать совершенно произвольные значения. По крайней мере, одно из них выражается через другие посредством уравнения физической структуры. Именно это обстоятельство (причем вне зависимости от выбора физических объектов) и является признаком наличия в данной ситуации физического закона.

Теперь можно подвести некоторые итоги. Аксиомы 3.1 – 3.5 можно было бы назвать, соответственно, аксиомами классов физических объектов, характеристик и размерности, репрезентатора, ранга и верификатора. Поскольку эти аксиомы включают в себя десять объектов , их упорядоченный набор и назовем физической структурой.

Определение 3.6. При выполнении аксиом 3.1 – 3.5 десятка называется физической структурой размерности , ранга , на множествах физических объектов (N,M), характеристическими преобразованиями  и х, репрезентатором  и верификатором Ф.

В частности, множества акселераторов, имеющих одну характеристику – силу, и тел с одной характеристикой – массой, при выборе двух тел и двух акселераторов с репрезентатором, определяемым по формуле (1.7) (в частности, ускорением, задаваемым законом Ньютона), и верификатором, определяемым по формуле (1.8), образует физическую структуру механического движения размерности (1,1) ранга (2,2). Множества батареек, имеющих две характеристики – эдс и внутреннее сопротивление, и проводников с одной характеристикой – сопротивлением, при выборе двух батареек и трех проводников с репрезентатором, определяемым по формуле (2.7) (в частности, силой тока, задаваемой законом Ома), и верификатором, определяемым по формуле (2.8), образует структуру электрической цепи размерности (2,1) ранга (2,3).

Установим некоторые свойства физических структур.

^ 4. Свойства физических структур

По ходу определения физической структуры сразу бросается в глаза наличие определенной симметрии классов физических объектов. Непосредственно из ее определения вытекает

Теорема 4.1. Если является физической структурой, то также будет физической структурой, где отображения и определяются соотношениями





причем есть транспонированная матрица М.

Определение 4.1. Физическая структура называется двойственной к .

При переходе к двойственной структуре классы объектов и их характеристики меняются местами. Согласно принципу двойственности любому свойству исходной структуры сопутствует соответствующее двойственное свойство двойственной структуры. Исходная и двойственная структуры являются взаимно двойственными, т.е. двойственной к будет исходная структура .

Вывод 4.1. Всю информацию о двойственной физической структуре можно восстановить по известной информации об исходной структуре. Тем самым при анализе физических структур можно ограничиться, например, случаем

Попытаемся оценить, насколько существенными оказываются те или иные элементы, входящие в определение физической структуры. Пусть имеется некоторое преобразование , где , . Обозначим через композицию отображения Ф и преобразования, которое сопоставляет матрицам со столбцами и матрицу с общим членом , Дадим определение репрезентатора и верификатора физической структуры, связанные исключительно с понятиями ранга и размерности

Определение 4.2. Отображения и назовем репрезентатором и верификатором физической структуры размерности ранга , если справедливо соотношение

. (4.1)

Итак, значение функции Ф на матрице с общим членом равно нулю для любых значений , , где Отметим, что введенные понятия в точности совпадут с определенными ранее одноименными понятиями, если классы физических объектов являются соответствующими евклидовыми пространствами.

В частности, функция двух переменных

, (4.2)

аналогичная (1.7), и соответствующая ей функция от матрицы Ф, определяемая по формуле (1.8), будут репрезентатором и верификатором физической структуры ранга (2,2) для любых функций и и любой обратимой функции f. Аналогично, функция трех переменных

, (4.3)

аналогичная (2.7) с Ф, определяемой по формуле (2.8), будет репрезентатором и верификатором физической структуры ранга (2,3) для любых функций , и и любой обратимой функции f. Отметим, в определении 4.2 не упоминаются множества физических объектов, поскольку уравнение структуры связывает не сами объекты, а их числовые характеристики. В частности, можно определить физическую структуру участка электрической цепи на основе закона Ома Она также имеет ранг (2,2), а значит, определенные ранее функция двух переменных с соответствующей функцией Ф будут репрезентатором и верификатором и этой структуры.

Теорема 4.2. Для любых множеств M,N, преобразований , репрезентатором  и верификатором Ф (в смысле определения 4.2) физической структуры размерности ранга десятка является физической структурой.

Доказательство. Достаточно убедиться в справедливости соотношения (4.1). Из определения 4.2 следует, что значение функции Ф на матрице с общим членом равно нулю для любых значений , , где Определив , , установим, что значение Ф на матрице с общим членом равно нулю, т.е. справедливо условие (4.1). Теорема доказана.

Вывод 4.2. Репрезентатор и верификатор физической структуры определяются исключительно ее размерностью и рангом и не связаны с физическими объектами и их характеристиками.

Вывод 4.3. Уравнение физической структуры в форме (4.1) связывает исключительно ее репрезентатор и верификатор, которые в силу этого равенства оказываются в определенном смысле двойственными.

Согласно теореме 4.2 в качестве характеристических преобразований структуры размерности на (M,N) могут быть выбраны любые отображения , . Разные характеристические преобразования задают различные шкалы измерения физических объектов. В частности, произвольность функционалов и в формуле (1.7) означает свободу выбора измерительных шкал для сил и масс, а произвольность функционалов , и в формуле (2.7) означает свободу выбора измерительных шкал для эдс, внутреннего сопротивления батарейки и сопротивления проводника. Тем самым есть основания считать, что различные характеристические преобразования в этом случае задают одну и ту же структуру.

Замечание 4.1. Теорема 4.2 говорит о том, что величины, входящие в определение физической структуры можно разбить на два типа. Ранг и размерность физической структуры, а также репрезентатор и верификатор по сути своей являются математическими понятиями. А вот классы физических объектов и их характеристики скорее относятся к физике. Они проявляются фактически не при анализе уравнения физической структуры, а на стадии интерпретации результатов этого анализа.

Теорема 4.3. Если пара является репрезентатором и верификатором физической структуры размерности ранга , тогда для любой обратимой функции f и любых отображений , тем же свойством обладает и пара где ставит в соответствие векторам , число , а отображение ставит в соответствие матрице с общим элементом значение функции Ф от матрицы с общим элементом

Доказательство. Пусть для некоторой пары справедливо равенство (4.1). Тогда значение функции Ф на матрице с общим членом равно нулю для любых значений , , где Для величины определим такое преобразование из в , которое ставит в соответствие матрицам со столбцами и матрицу с общим членом . Значение от этой матрицы равно значению функции Ф от матрицы с общим членом где . Учитывая условия , , заключаем, что значение на матрице с общим членом равно нулю для всех , . Отсюда следует справедливость равенства , а значит, пара действительно является генератором физической структуры. Теорема доказана.

Доказанное утверждение характеризует целый класс репрезентаторов и верификаторов физической структуры.

Определение 4.3. Два пары репрезентатор-верификатор и физической структуры размерности одинакового ранга назовем эквивалентными, если существует такая обратимая функция f и обратимые отображения , , что справедливы равенства Соответствующий класс эквивалентности назовем генератором физической структуры данной размерности и ранга.

Физически конкретные репрезентаторы задают шкалу измерения соответствующих величин: для механического движения – ускорений, для электрической цепи – сил тока. Естественно отождествлять физические структуры с одними и теми же множествами физических объектов и рангами, если их репрезентаторы и верификаторы эквивалентны. В частности, формулы (4.2), (1.8) и (4.3), (2.8) задают репрезентаторы и верификаторы структур механического движения и электрической цепи для любых функций f, а значит, определяют генератор структуры в целом.

Вывод 4.4. Физическая структура данной размерности и ранга определяется не конкретными репрезентаторами и верификаторами, а генератором данной структуры.

На основе полученных результатов можно прийти к следующему заключению:

Вывод 4.5. Описание физической структуры фактически сводится к нахождению соответствующих им генераторов.

На основе проведенного анализа приходим к следующему понятию:

Определение 4.4. Физические структуры изоморфны, если они имеют одинаковые ранг, размерность и генератор.

Изоморфные физические структуры обладают одинаковыми математическими свойствами и могут различаться либо физической интерпретацией (классами физических объектов и их характеристиками), либо эквивалентностью репрезентаторов и верификаторов. В частности, изоморфны физические структуры (прямолинейного) механического движения и участка электрической цепи.

Вывод 4.6. Математическая классификация физической структуры осуществляется с точностью до определенного изоморфизма.

Замечание 4.2. При анализе закона Ньютона вместо массы мы могли бы с тем же успехом использовать величину, обратную к ней. При анализе закона Ома мы от естественных физических характеристик в целях опрощения выкладок делали замену переменных, фактически переходя к другой системе характеристик. Однако соответствующий физический закон и стоящая за ним физическая структура при этом не менялись. Фактически это говорит о том, что имеется определенная свобода выбора физических характеристик, а не только шкал их измерения. Получаемые в итоге физические структуры совпадают с точностью до изоморфизма, а значит, имеют одну и ту же смысловую нагрузку.

Установим некоторые соотношения между рангом и размерностью физической структуры.

Теорема 4.4. Если пара является репрезентатором и верификатором генератором физической структуры размерности ранга , то для любых натуральных чисел и существуют такие отображения и , что будет репрезентатором и верификатором физической структуры размерности ранга , а для физической структуры размерности ранга .

Доказательство. Очевидно, достаточно рассмотреть случаи и Пусть существует такая пара отображений и , что выполнено равенство (4.1), т.е.

, (4.4)

Определим функцию от матрицы с помощью равенства



В результате получаем



,

в силу условия (4.4). Тем самым пара действительно будет репрезентатором и верификатором соответствующей физической структуры.

Определим теперь отображение с помощью равенства



где – произвольное действительное число. Тогда справедливо соотношение



для всех в силу (4.4), т.е. есть репрезентатор и верификатор физической структуры ранга размерности . Теорема доказана.

Из теоремы 4.4 в силу принципа двойственности следует, что, если является репрезентатором и верификатором физической структуры размерности ранга , то для любого существует такая функция от матрицы соответствующего порядка, что будет репрезентатором и верификатором физической структуры той же размерности ранга , а для любого натурального числа существует такая функция соответствующего числа переменных, что будет репрезентатором и верификатором физической структуры того же ранга размерности

Вывод 4.6. Для любой физической структуры существует физическая структура той же размерности большего ранга с тем же репрезентатором и меньшей размерности с тем же верификатором, если, конечно, исходная размерность не равна (1,1).

Из теоремы 4.4 вытекает

Теорема 4.5. Если не существует репрезентатор и верификатор физической структуры для некоторых значений размерности и ранга, то они не существуют и для физической структуры той же размерности, но меньшего ранга, или того же ранга, но большей размерности.

Действительно, пусть не существуют репрезентатор и верификатор физической структуры для некоторой размерности и ранга . Если существуют репрезентатор и верификатор физической структуры той же размерности ранга для некоторого , то согласно теореме 4.4 они должны существовать для той же размерности ранга , что противоречит принятому ранее допущению. Остальные ситуации, предусмотренные теоремой 4.5, исследуются аналогично.

На основе полученных результатов, а также соотношения (4.1) можно придти к следующему заключению:

Вывод 4.7. Понятия размерности и репрезентатора физической структуры, с одной стороны, и понятия ее ранга и верификатора, с другой стороны, являются в некотором смысле двойственными.

Отметим, что репрезентатор является функцией характеристик объектов, а значит, связан с размерностью физической структуры, характеризующей число имеющихся характеристик у обоих классов объектов. С другой стороны, верификатор определен на матрице, порядок которой соответствует числу выбранных объектов того и другого сорта, что соответствует понятию ранга физической структуры.

Естественно, физические структуры более высоких рангов той же размерности или меньшей размерности того же ранга, получаемые на основе теоремы 4.4, тривиальны и едва ли имеют практический интерес. В частности, с практической точки зрения для структуры ранга мы ставим большее количество экспериментов для воспроизведения одного и того же физического закона, чем для структуры ранга при , не получая при этом дополнительной информации. Существование физической структуры того же ранга, но меньшей размерности, также следующее из теоремы 4.4, опять-таки говорит об избыточности информации, поскольку, по крайней мере, одна из имеющихся физических характеристик может быть исключена из описания физического закона.

В этой связи интерес представляет следующие классы генераторов физических структур:

Определение 4.4. Генератор физической структуры размерности ранга назовем нетривиальным, если не существует такого генератора физической структуры той же размерности ранга , что выполнены неравенства и по крайней мере, одно из которых является строгим, и такого генератора физической структуры того же ранга размерности , что выполнены неравенства и , по крайней мере, одно из которых является строгим.

Вывод 4.9. Интерес представляют лишь физические структуры с нетривиальными генераторами.

Ранее в качестве примеров были рассмотрены физические структуры механического движения размерности (1,1) ранга (2,2) и электрической цепи размерности (2,1) ранга (2,3). В обоих случаях размерность и ранг были связаны соотношениями . Характерно, что эти равенства непременно выполняются для всех встречающихся в приложениях физических структур, описанных Ю.И. Кулаковым (см. [10]). В этой связи приходим к следующему понятию:

^ Определение 4.5. Структурой Кулакова назовем такую физическую структуру, в которой ранг и размерность связаны равенствами .

Замечание 4.3. Ввиду наличия жесткой связи между рангом и размерностью структур Кулакова для их описания достаточно использовать лишь одну из этих характеристик.

Замечание 4.4. Наличие перекрестной связи между значениями элементов ранга и размерности структур Кулакова подобно соотношению (4.1), выражающему связь между репрезентатором и верификатором, служит еще одним подтверждением факта двойственности этих понятий.

Замечание 4.5. Для изоморфизма структур Кулакова достаточно совпадения их рангов и генераторов.

Существует достаточно естественный класс генераторов структур Кулакова, допускающий полное описание и охватывающий возникающие в приложениях (см., например, [10]) физические структуры.

Определение 4.6. Генератор структуры Кулакова назовем генератором Михайличенко, если входящие в его определение функции  и Ф являются достаточно гладкими, а также невырожденными в том смысле, для любых векторов отображения и , характеризуемые равенствами

, ,

имеют ранги r и s соответственно; и хотя бы одна частная производная от Ф отлична от нуля.

Из теоремы Михайличенко (см., [11], а также [22], с. 18) непосредственно следует

Теорема 4.6. Для структуры Кулакова ранга (2,2) существует единственный генератор Михайличенко, порожденный функциями

.

Для структуры Кулакова ранга (r,r), существует в точности два генератора Михайличенко, порожденные функциями

, ;

, .

^ Для структуры Кулакова ранга , существует единственный генератор Михайличенко, порожденный функциями

, .

Для структуры Кулакова ранга (2,4) существует единственный генератор Михайличенко, порожденный функциями

, .

Для всех других структур Кулакова ранга при генераторы Михайличенко не существуют.

В приведенной теореме под функциями, порождающими генератор Михайличенко, понимаются простейшие репрезентатор и верификатор, входящие в рассматриваемый класс эквивалентности.

Замечание 4.6. Доказательство существования физической структуры ранга (2,2) было дано Ю.И. Кулаковым [2].

Характеристика генераторов Михайличенко для структур ранга при следует из теоремы 4.5 и принципа двойственности.

Вывод 4.10. Теоремы 4.1 – 4.3 и 4.6 дают полное описание репрезентаторов и верификаторов структур Кулакова произвольного ранга при выполнении условий гладкости и невырожденности.

Из теоремы 4.6 непосредственно вытекает:

Вывод 4.11. Существуют единственные (с точностью до изоморфизма) структуры Кулакова ранга и (2,4) и две структуры ранга (r,r). Других структур Кулакова ранга при не существует.

Поскольку теорема 4.6 дает полное описание всевозможных генераторов Михайличенко, можно прийти к следующему заключению:

Вывод 4.12. Генераторы Михайличенко являются нетривиальными генераторами соответствующих физических структур.

Замечание 4.7. Существование двух генераторов Михайличенко для ранга (r,r) говорит о том, что множество всевозможных измеряемых значений соответствующей структуры Кулакова лежит на многообразии коразмерности 2. Для остальных структур Кулакова подобная коразмерность будет равна единицы.

Замечание 4.8. Существование нескольких генераторов физической структуры говорит о том, что в данной ситуации имеется соответствующее количество неизоморфных физических структур данного ранга и размерности. Если речь идет о восстановлении физического закона, то здесь мы найдем соответствующее количество потенциально возможных физических законов. Отдать предпочтение какому-то одному из них в рамках поставленной задачи, по-видимому, не представляется возможным. Здесь имеется некоторая аналогия с известной ситуацией, когда математическая модель процесса допускает неединственное решение. К примеру, в задаче об эйлеровом стержне мы можем рассчитать профиль, который примет вертикально расположенный стержень, на верхний конец которого действует определенная сила. Однако предугадать, вправо он отклонится или влево мы не можем в виду равноправия этих решений соответствующей краевой задачи.

Замечание 4.9. Конкретное число генераторов физической структуры представляется ее важнейшей характеристикой. Существование генератора, и стоящая за этим разрешимость уравнения физической структуры свидетельствуют о том, что в результате всевозможных взаимодействий выбранных произвольным образом физических объектов значения характеристик этих взаимодействий не могут оказаться совершенно произвольными. По крайней мере, одно из них выражается через другие посредством уравнения физической структуры. Наличие нескольких генераторов и связанная с этим коразмерность определяют количество зависимых характеристик процесса и, в некотором смысле, типа имеющегося физического закона.

Замечание 4.10. Можно задаться вопросом, что стоит за утверждениями теоремы 4.6 и связанной с ней теоремы Михайличенко. Пусть имеем структуру ранга . Тогда для получения физического закона выбираются r объектов первого сорта и s объектов второго сорта. Между ними существуют rs связей, т.е. получаем rs уравнений. Согласно заданному соотношению между рангом и размерностью объекты первого сорта имеют характеристик, объекты 2 сорта – . Таким образом, в принципе, нам неизвестны по характеристик для r объектов первого сорта и по характеристик для s объектов второго сорта, т.е. общее число неизвестных равно . Очевидно, число неизвестных, вообще говоря, превышает число уравнений. Нас в этой связи интересует, при каких условиях отношение числа неизвестных к числу уравнений будет минимально, т.е. где вероятность появления решений выше всего. Предположим, что общая сумма выбранных составляющих ранга фиксирована. Определим функцию , выражающую отношение числа неизвестных к числу уравнений при Справедливо равенство . Находим производную . Обращая ее в нуль, находим , а значит, . Очевидно, это именно точка минимума. Следовательно, отношение числа неизвестных к числу уравнений будет минимально именно на диагонали, т.е. при . Понятно, что связь между числом уравнений и неизвестных в данном случае носит достаточно сложный характер, тем более что уравнения у нас не алгебраические, а функциональные. Кроме того, их нельзя считать независимыми, хотя бы в силу наличия уравнения физической структуры. Физические характеристики объектов также не являются независимыми, коль скоро у нас в процессе анализа появляются эталонные объекты (см. законы Ньютона и Ома). Однако не случайно недоопределенность системы, выразившаяся в появлении двух неизоморфных решений, реализуется в точности там, где отношение числа неизвестных (вообще говоря, относительно большое) к числу уравнений (вообще говоря, меньшему) минимально. В непосредственной близости от диагонали, где превышение числа неизвестных над числом уравнений еще как следует не проявляется, мы получаем единственное решение. Ну а чем дальше мы отходим от диагонали, тем все более сильно проявляется превышение числа неизвестных над числом уравнений с неминуемой переопределенностью системы.

Замечание 4.11. Условия гладкости и невырожденности в приведенном утверждении носят принципиальный характер. В частности, для структуры Кулакова ранга (2,2) можно определить вырожденный генератор структуры, порождаемый функциями

,

и негладкий генератор структуры, порождаемый функциями

,

Замечание 4.12. Вопрос о том, как много существует нетривиальных генераторов структур Кулакова, не являющихся генераторами Михайличенко, и имеют ли они какой-то физический смысл, по-видимому, остается еще не исследованным.

Замечание 4.13. Физические структуры, не являющиеся структурами Кулакова, по-видимому, еще не исследовались. Неизвестно даже, обладают ли они нетривиальными генераторами.

1   2   3   4   5



Похожие:

Математические основы теории физических структур введение icon"Основы современного естествознания"
Михаила Елфимова по мотивам книги Ю. И. Кулакова – Теория Физических Структур (тфс). М., 2004г., 847 стр
Математические основы теории физических структур введение iconВведение Часть 2 Эфиродинамическая структура вещества
Отсутствие внутриатомной и, тем самым, внутриядерной среды вынудило физиков-ядерщиков и физиков-атомщиков искать абстрактно-математические...
Математические основы теории физических структур введение iconЯн Хакинг. Представление и вмешательство: Введение в философию естественных наук
Слабые взаимодействия физики малых частиц так же реальны, как влюбленность. Теории относительно структур молекул, содержащих генетический...
Математические основы теории физических структур введение iconТеоретические основы инженерной геологии
Теоретические основы инженерной геологии. Механико-математические основы/Под ред акад. Е. М. Сергеева.— М.: Недра, 1986. 254 с.,...
Математические основы теории физических структур введение iconВведение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи

Математические основы теории физических структур введение icon1. Введение Системы на основе продукционных баз знаний
Эволюционное проектирование электронных и электрических цепей новая область научных исследований, базирующаяся на исследованиях в...
Математические основы теории физических структур введение iconДокументы
1. /Роджерс Д.Математические основы машинной графики.1980.djvu
Математические основы теории физических структур введение iconОсновы буддизма
Вдохновенное введение в основы Учения Гаутамы Будды. Книга, над которой Елена Ивановна Рерих (1879―1955) работала в Индии четверть...
Математические основы теории физических структур введение iconК критике вихревой теории эфира
Как известно, те вихри, которые существуют в газах, образуются в результате следующих его физических, статических и динамических...
Математические основы теории физических структур введение iconК критике вихревой теории эфира
Как известно, те вихри, которые существуют в газах, образуются в результате следующих его физических, статических и динамических...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов