Математические основы теории физических структур введение icon

Математические основы теории физических структур введение



НазваниеМатематические основы теории физических структур введение
страница4/5
Дата конвертации30.08.2012
Размер0.51 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5

5. Дополнение

В заключении мы рассмотрим некоторые направления дальнейшего развития теории физических структур.

Прежде всего, отметим, что в определении 3.6 не исключается случай, когда рассматриваемые классы физических объектов совпадают. В силу равноправия всех объектов класса в этом случае размерность (число характеристик объекта) и ранг (число выбранных объектов) будут описываться не парами натуральных чисел, а отдельными числами. В результате приходим к следующему определению.

Определение 5.1. Пусть заданы некоторое множество N, натуральные числа n, r и отображения , и функция Ф от матрицы порядка такие, что справедливо соотношение

, (5.1)

где , , а есть матрица с компонентами , ^ Тогда шестерка называется физической структурой на множестве N размерности n ранга r с характеристическим преобразованием , репрезентатором  и верификатором Ф.

Приведем один содержательный пример подобной структуры, описанный
Ю.И. Кулаковым [10]. Задается евклидова плоскость, т.е. . Каждой точке (физическому объекту) ставится в соответствие две ее декартовы координаты (характеристики), обозначаемые вектором , а значит, В качестве репрезентатора (поддающейся экспериментальному определению характеристики взаимоотношения между двумя рассматриваемыми физическими объектами) выбирается расстояние между точками, т.е.

.


Известна формула Тартальи, выражающая квадрат объема тетраэдра через квадраты длин его сторон:

,

где есть квадрат расстояния между j-ой и k-ой вершинами тетраэдра. Естественно, в том случае, когда все четыре точки лежат в одной плоскости (т.е. принадлежат множеству N), этот объем будет равен нулю. Таким образом, полагая и выбирая в качестве функции Ф от квадратной матрицы четвертого порядка с компонентами определитель в правой части предшествующего равенства, установим справедливость соотношения (5.1). Тем самым определяется метрическая физическая структура на евклидовой плоскости размерности 2 ранга 4 с характеристиками "декартовы координаты", репрезентатором "расстояние" и верификатором, определяемым формулой Тартальи.

Как и в случае физических структур механического движения и электрической цепи, физическая структура на евклидовой плоскости позволяет осуществить экспериментальную проверку закона природы.

Вывод 5.1. Взяв произвольным образом четыре точки и вычисляя известное соотношение (формула Тартальи), связывающее экспериментально определяемые расстояния между ними, можно убедиться в том, что рассматриваемые точки лежат в одной плоскость, т.е. мы действительно работаем с двумерным объектом.

Замечание 5.1. Мы вновь столкнулись с ситуацией, когда, выбрав совершенно произвольным образом соответствующее количество точек на плоскости, мы не получим произвольный набор расстояний между этими точками. Одно из них будет непременно выражаться через остальные. Именно это обстоятельство позволяет считать эту связь уравнением физической структуры и относить метрические отношения на евклидовой плоскости и обобщающее это понятие из определения 5.1 к классу физических структур.

Аналогичные результаты можно получить для пространств любого числа измерений (См. Ю.И. Кулаков, [10], глава 7).

Замечание 5.2. То обстоятельство, что в рассмотренном выше примере и его обобщениях репрезентатор оказывается связанным с метрикой, послужило основанием для его интерпретации Г.Г. Михайличенко в качестве обобщенной метрики. Соответственно, физические структуры, в которых имеется несколько репрезентаторов (см. ниже) были названы полиметрическими (см., например, [19] – [21], [23]).

Имея физические структуры, определенные на одном и двух классах объектов, естественно перейти к рассмотрению структур на произвольном числе классов объектов.

Определение 5.2. Пусть заданы множества , натуральные числа и отображения , , и функция Ф от р-мерной матрицы порядка такие, что справедливо соотношение

, (5.2)

где есть р-мерная матрица с компонентами , . Тогда называется р-арной физической структурой на размерности ранга с характеристическими преобразованиями , репрезентатором  и верификатором Ф.

Замечание 5.3. Все рассмотренные ранее структуры кроме той, что задается определением 5.1, относятся к числу бинарных физических структур в смысле данного определения. Определение 5.1 и последующий пример структуры на евклидовой плоскости, казалось бы, соответствуют унарной структуре, поскольку имеется одно множество физических объектов. Однако там также речь идет о связи между парами объектов, хотя и одного и того же множества. Именно это обстоятельство, по-видимому, является решающим, вследствие чего мы структуры, задаваемые определением 5.1, будем считать бинарными.

Очевидно, для унарной физической структуры каждый объект связан только сам с собой. Тогда уравнение (5.2) принимает вид

,

где Ф и оказываются функциями одной переменной. Соответственно, по аналогии с определением 4.2, элементарным генератором такой структуры естественно назвать такую пару этих функций, которая удовлетворяет соотношению

(5.3)

Если каждая из этих функций является непрерывно дифференцируемой и не вырождена в том смысле, что отлична от константы на числовой оси, а Ф – на области значений функции , то данную пару естественно назвать элементарным генератором Михайличенко.

Теорема 5.1. Не существует элементарного генератора Михайличенко унарной физической структуры.

Доказательство. Действительно, предположив справедливость соотношения (5.3), из равенства для любого числа , после деления на и перехода к пределу при получаем, что для любого . Полученное равенство в силу произвольности говорит о том, что обращается в нуль либо производная от в произвольной точке, либо производная от Ф на множестве значений функции . Тем самым выполнено свойство вырожденности, т.е. мы не имеем элементарного генератора Михайличенко. Теорема доказана.

Следующий естественный шаг на пути обобщения физических структур соответствует случаю, когда не только физические объекты, но и результат их взаимодействия обладает произвольным числом характеристик. В этом случае значения репрезентатора оказываются не числами, а векторами той или иной размерности. Естественный пример физической структуры такого типа связан со вторым законом Ньютона в случае плоского движения тела [25].

Рассматриваются вновь множество всевозможных тел M и множество всевозможных акселераторов N. Каждое тело i обладает единственной характеристикой – массой , а каждый акселератор характеризуется составляющими вектора силы и . В результате действия акселератора на тело i последнее начинается двигаться, причем процесс движения характеризуется составляющими вектора ускорения Согласно второму закону Ньютона для движения тела на плоскости ускорение связано с массой и силой следующими соотношениями:



Взяв два тела и и два акселератора и , установим соотношения

,

где Исключая из предшествующих соотношений силы и массы, получаем равенства



аналогичные (1.3). Таким образом, существуют такие отображения и , где есть множество кубических матриц второго порядка (трехмерных матриц порядка ) такие, что справедливо соотношение

, (5.3)

где , , есть кубическая матрица второго порядка с компонентами В частности, справедливы равенства





а через А обозначена кубическая матрица второго порядка с компонентами . Соотношение (5.3) является векторным (двумерным) аналогом уравнения (3.2) физической структуры одномерного механического движения. Таким образом, мы имеем дело с физической структурой плоского механического движения.

Замечание 5.4. Мы могли бы здесь, как и при анализе структур, связанных с законом Ньютона в скалярной форме и законом Ома, поставить обратную задачу. Пусть требуется восстановить характер зависимости между двумя классами объектов, если известно, что для описания этой связи достаточно взять по два объекта каждого класса, причем имеется две характеристики, описывающие взаимодействие этих объектов. Так вот, как показано
Г.Г. Михайличенко [20], наряду с описанным выше случаем, когда характеристики процесса в уравнениях физической структуры разделяются (имеются отдельные связи между первыми компонентами и вторыми компонентами измеряемых величин), существует еще решение, когда различные компоненты не разделяются.

Теперь можно сказать, что на множествах всевозможных тел и акселераторов с характеристиками "масса тела" и "составляющие вектора силы", репрезентатором "составляющие вектора ускорения" и определенным выше верификатором (парой функций от кубических матриц второго порядка) определена двумерная (по числу характеристик процесса, т.е. размерности множества значений репрезентатора) бинарная (в силу наличия двух классов объектов) физическая структура размерности (2,1) (акселератор имеет две характеристики, а тело – одну) ранга (2,2) (выбрано по два объекта из каждого класса) порядка 2 (по числу независимых соотношений, связывающих измеряемые величины, т.е. размерности множества значений верификатора). Отталкиваясь от рассмотренного примера, можно дать определение физической структуры, обобщающей все предшествующие.

Определение 5.3. Пусть заданы множества , натуральные числа , q, s и отображения , , и Ф, ставящее в соответствие р-мерной матрице порядка q-мерный вектор, такие, что справедливо соотношение

, (5.4)

где есть упорядоченный набор из s
р-мерных матриц с компонентами, соответственно,
…, , Тогда выражение называется р-арной s-мерной физической структурой порядка q на размерности ранга с характеристическими преобразованиями , репрезентатором  и верификатором Ф.

Замечание 5.5. Общее определение физической структуры приводится в [24] (см.
с. 158)

Для анализа введенных понятий можно воспользоваться описанной ранее методикой. В частности, по аналогии с определением 4.2 можно ввести понятие элементарного генератора соответствующей физической структуры. Пусть задано некоторое отображение . Обозначим через композицию Ф и отображения, которое ставит в соответствие матрицам , упорядоченный набор
р-мерных матриц ,…,.

Определение 5.4. Отображения и назовем репрезентатором и верификатором р-арной s-мерной физической структуры размерности ранга порядка q, если справедливо соотношение

(5.5)

По аналогии с теоремой 4.2 доказывается

Теорема 5.2. Для любых множеств , преобразований , и пары репрезентатор-верификатор p-арной s-мерной физической структуры размерности ранга порядка s является соответствующей физической структурой.

Теорема 5.2 говорит о том, что, как и в рассмотренном ранее частном случае, фактическое описание физических структур не зависит от классов физических объектов и характеристических преобразований, а определяется исключительно объектами числовой природы. Далее, вводя по аналогии с определением 4.3 на множестве пар репрезентатор-верификатор физической структуры данного типа отношение эквивалентности, можно определить генератор физической структуры как соответствующий класс эквивалентности. Таким образом, весь дальнейший анализ может быть сведен к поиску и классификации генераторов физических структур.

Замечание 5.6. Еще один принцип обобщения понятия физической структуры может быть связан с рассмотрением случая, когда рассматривается m классов физических объектов, связанных р-арной связью, где (см. [24]). Таким образом, количество взаимодействующих объектов превышает число классов объектов, а значит, во взаимодействии принимают участие сразу несколько объектов, по крайней мере, одного класса. При этом задается вектор натуральных чисел таких, что . При этом считается, что объектов первого класса непосредственно взаимодействуют с второго класса и т.д., с объектами m-ого класса. В частности, в рассмотренной ранее метрической физической структуре на евклидовой плоскости у нас был один класс объектов, связанных бинарной связью, т.е. .

Одномерные физические структуры на одном множестве рассматриваются, например, в книге Ю.И. Кулакова [10]. Соответствующие многомерные физические структуры рассматривали Г.Г. Михайличенко [16], [20], [21], [23] – [25] и В.Х. Лев [27], [28]. В частности, полную классификацию двумерных физических структур на одном множестве дает Г.Г. Михайличенко [15], а для трехмерных структур – В.Х. Львом [28]. Многомерные бинарные физические структуры, а также обобщения на большее количество классов физических объектов осуществляется Г.Г. Михайличенко [12], [19], [23], [24] и В.А. Кыровым [39], [40]. Более общие результаты, а также классификация известных физических структур приводятся в книге Г.Г. Михайличенко [24]. Элементарное описание математического аппарата теории бинарных физических структур осуществляется в книге Г.Г. Михайличенко и Р.М. Мурадова [25].

Следующий шаг на пути обобщения понятия физической структуры связан с рассмотрением репрезентатора и верификатора на множестве комплексных чисел. Здесь следует указать, прежде всего, работы Ю.В. Владимирова в области бинарной геометрофизики [9], [32] – [34]. Применению аппарата комплексных чисел в теории физических структур посвящены также работы Г.Г. Михайличенко [19] и А.А. Литвинцева [37]. Отметим также работы Г.Г. Михайличенко и Р.М. Мурадова [25], [26], в которых для анализа физических структур применяются гиперкомплексные числа.

Анализ групповой симметрии физических структур осуществляется
Г.Г. Михайличенко (см. [16], [17], [24]) с использованием аппарата групп и алгебр Ли.

Еще одно направление данной области связано с отказом от построения физических структур на конкретных множествах и переходом к поиску подходящего класса алгебраических объектов, на которых можно было бы установить существование физических структур с определенным набором свойств. Первая работа в этом направлении принадлежит, по-видимому, В.К. Ионину [36]. Сюда же относятся глубокие результаты А.А. Симонова [30], [31], который дал представление физической структуры на основе обобщенного матричного умножения, т.е. умножения прямоугольных матриц. Им было показано, что физические структуры тесно связаны с алгеброй, работающей с матрицами над правыми почтиобластями. Отметим также работу А.Н. Бородина [38], в которой дается интерпретация бинарной физической структуры ранга (2,2) на основе понятия груды.

Теория физических структур, связанная с широким комплексом нестандартных математических проблем, относящихся к алгебре, геометрии, теории уравнений, математической физики, еще далека от завершения. Перечень ряда нерешенных задач этого направления приводится в книге Г.Г. Михайличенко [24]. Некоторые неисследованные проблемы упоминались выше. Более глубокий математический анализ проблем теории физических структур, возможно, позволил бы также приблизиться к пониманию общих принципов, лежащих в основе физических законов.


Благодарности

1   2   3   4   5



Похожие:

Математические основы теории физических структур введение icon"Основы современного естествознания"
Михаила Елфимова по мотивам книги Ю. И. Кулакова – Теория Физических Структур (тфс). М., 2004г., 847 стр
Математические основы теории физических структур введение iconВведение Часть 2 Эфиродинамическая структура вещества
Отсутствие внутриатомной и, тем самым, внутриядерной среды вынудило физиков-ядерщиков и физиков-атомщиков искать абстрактно-математические...
Математические основы теории физических структур введение iconЯн Хакинг. Представление и вмешательство: Введение в философию естественных наук
Слабые взаимодействия физики малых частиц так же реальны, как влюбленность. Теории относительно структур молекул, содержащих генетический...
Математические основы теории физических структур введение iconТеоретические основы инженерной геологии
Теоретические основы инженерной геологии. Механико-математические основы/Под ред акад. Е. М. Сергеева.— М.: Недра, 1986. 254 с.,...
Математические основы теории физических структур введение iconВведение в преобразование гильберта-хуанга и связанные с ним математические задачи

Математические основы теории физических структур введение icon1. Введение Системы на основе продукционных баз знаний
Эволюционное проектирование электронных и электрических цепей новая область научных исследований, базирующаяся на исследованиях в...
Математические основы теории физических структур введение iconДокументы
1. /Роджерс Д.Математические основы машинной графики.1980.djvu
Математические основы теории физических структур введение iconОсновы буддизма
Вдохновенное введение в основы Учения Гаутамы Будды. Книга, над которой Елена Ивановна Рерих (1879―1955) работала в Индии четверть...
Математические основы теории физических структур введение iconК критике вихревой теории эфира
Как известно, те вихри, которые существуют в газах, образуются в результате следующих его физических, статических и динамических...
Математические основы теории физических структур введение iconК критике вихревой теории эфира
Как известно, те вихри, которые существуют в газах, образуются в результате следующих его физических, статических и динамических...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы