Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика icon

Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика



НазваниеТеорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика
Дата конвертации25.11.2012
Размер43.48 Kb.
ТипДокументы

Андрей Швец

Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика

Выгуливая вечером собаку, опять вспомнил о теореме Ферма. Ее простота прямо жаждет такого же простого доказательства. Решил, что не стоит даже пытаться подходить к этой задаче с различными арифметическими и алгебраическими преобразованиями. Слишком много умных голов это уже пробовали. То же самое и с доказательством через иррациональность. Если уж и пытаться, то как-то совсем по-другому. Вспомнив, что Ферма интересовался вопросами теории вероятности, попробовал отыскать доказательство, предположив, что решения данного уравнения на больших интервалах не противоречат законам случайных событий. Доказательство созрело очень быстро, но уж очень разные сферы. Однако при дальнейшем размышлении решил, что применение такого подхода вполне оправдано. Правда, не знаю, смогу ли я это толково объяснить, ведь я совсем не математик и даже не юрист.

Итак, напомню, что речь идет о следующем уравнении:

Аn+Bn=Cn (1)

Предположим, что имеется одно значение С, которое удовлетворяет данному уравнению и при этом является простым числом. Очевидно, что, умножая обе части равенства на Kn, где K - целое число, мы получим бесконечное число решений. Эти решения будут располагаться на выбранном нами интервале с определенной частотой. При увеличении интервала частота будет уменьшаться. Скажем, при удвоении интервала отношение частот будет равно

Оправправ2 прав1 (2)

где Оправ - Отношение частот значений правой части уравнения (1) при удвоении интервала, соответственно, Чправ2 - частота значений на удвоенном интервале, Чправ1 - частота значений на одинарном. Легко показать, что Оправ не зависит от значения С, которое мы взяли в качестве первого решения уравнения (1).

Мы предположили наличие одного простого решения уравнения, но при любом конечном числе таких решений и при стремлении рассматриваемого интервала к бесконечности, при его удвоении, соотношение частот останется таким же. Соотношение будет большим, если число простых решений бесконечно. Но оно не может быть меньшим, ведь мы его выводили для случая с одним простым решением. И если оно меньше, то это означает, что простых решений нет и, следовательно, нет решений вообще. То есть уравнение (1) не имеет целых решений при условии: Чреш1реш2прав (3)

где, Чреш1 - частота решений уравнения (1) на одинарном интервале, Чреш2 - частота решений на удвоенном интервале.


Предположим, что значения левой и правой частей нашего уравнения имеют свойства случайных чисел. Тогда можно сказать, что вероятность их совпадения равна произведению вероятностей для обеих частей равенства. То есть вероятность появления на числовой прямой числа, значение которого равно Аn + Вn следует умножить на вероятность появления числа, равного Сn, и тогда получим вероятность того, что эти значения совпадут. Перейдя на язык частот можно записать, что

Чрешправлев (4)

где Чреш - частота решений данного уравнения, Члев - частота (Аn + Вn) , Чправ - частота Сn . Теперь выражение (3) можно преобразовать:

Чреш1реш2прав1прав2

прав2лев2)/ (Чправ1лев1) <Чправ2прав1

Члев2лев1<1 (5)

Пусть Критерий=Члев2лев1 (6) Тогда если Критерий<0 то уравнение не имеет целых решений, если Критерий=0, то пожалуй нельзя определенно сказать о их наличии, если Критерий>0 то целые решения есть. Не стоит однако по выражению (6) делать вывод о том, что Критерий не зависит от правой части уравнения, если б она имела вид отличный от Сn, то критерий был бы другим.

Для вычисления Члев необходимо найти число всех комбинаций А и В при которых значение Аn + Вn не будет превышать Kn. Это можно сделать через интегральное исчисление, но мне больше нравится другой способ. Сначала определим наибольший интервал, на котором при любых значениях А и В выполняется условие Аnn<=Кn и при помощи формул комбинаторики легко найдем число всех возможных комбинаций на этом интервале. Оно будет пропорционально всему числу комбинаций. Однако нам не нужно находить этот коэфициент пропорциональности, потому что он взаимносократится при делении частот. И, таким образом, мы получим следующее выражение:

^ Критерий=22/n - 1 (7)

Из него следует, что при n>2 уравнение не целых решений.

Однако теперь предстоит самое трудное - доказать правомерность рассмотренного доказательства. И первый вопрос, который возникает: а при чем здесь целые числа? Не при чем. Главное не в том, что они целые, а в том, что таким образом ограничивается число решений. Если бы речь шла о любых числах, то на любом интервале имелось бы бесконечное число решений. Но поскольку числа только целые, то решениями являются лишь отдельные точки на числовой прямой. Впрочем, может быть стоит учитывать и тот факт, что в используемой здесь комбинаторике и теории вероятностей, целые значения переменных подразумевается.

Другое важное допущение заключается в том, что совпадение левой и правой части уравнения мы считаем случайным событием. Однако частота решений неслучайных пропорциональна частоте случайных решений на бесконечно больших интервалах. Потому при определении отношения частот они сокращаются. Даже если предположить непропорциональную зависимость, то критерий сохранит свою значимость. Таким образом, по отношению между частотами для случайных решений можно, в данном случае, судить и о неслучайных.

Все приведенные рассуждения можно применить и к более общему уравнению вида:

X1n+ X2n+…+ Xmn= Xm+1n (8)

Для него Критерий=2m/n -1 поэтому при m1), уравнение не имеет решения в целых числах. Но это было бы справедливо при равномерном изменении плотности решений на числовой прямой. Однако это не так, плотность меняется циклически. Это вызвано тем, что в начале числовой прямой плотность решений мала из-за небольшого числа возможных подстановок целых чисел. Вполне естественно, что эта область с пониженной плотностью повторится при умножении ее на Sn , где S- любое целое число. А если при определенном среднем значении, есть области с пониженной плотностью, то есть области и с повышенной плотностью. Амплитуда этих колебаний так зависит только от величины m, что при m>3 области повышенной плотности позволяют найти решения уравнения (8) в целых числах для любого значения n . Колебания плотности при m=3 абсолютно точно вписываются в средние значения изменения плотности решений, найденные по формуле (7), поэтому данный подход не позволяет сделать однозначный вывод при n=m=3. В дополнение к теореме Ферма можно предложить еще одну теорему: выражение (8) имеет решение в целых числах для всех m>3.

Впрочем, я не математик и наверняка что-то упустил. Но мне было весело. В конце концов, я просто выгуливал собаку.



Похожие:

Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика iconДокументы
1. /Теория графов и комбинаторика/Lecture01.doc
2. /Теория...

Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика iconДокументы
1. /Уроки Комбинаторика и теория вероятности/Урок 1 Комбинаторика и теория вероятности.doc
Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика iconВеликая теорема Ферма
Великая теорема Ферма знаменита очень простой формулировкой и невероятно сложным доказательством, на поиск которого ушло более 300...
Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика iconДокументы
1. /Кузнецов П.Г. Последняя теорема Ферма.pdf
Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика iconРешение планиметрических задач С4 Наумова Л. Г. Моу сош №3 Теория Теория Теорема
Отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон этого угла
Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика iconДокументы
1. /Теория Вероятностей - шпора.doc
Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика iconДокументы
1. /Теория вероятностей.DOC
Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика iconДокументы
1. /Теория вероятностей в заданиях и решениях.doc
Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика iconДокументы
...
Теорема Ферма, теория вероятностей и комбинаторика iconТеорема Пифагора Теорема в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Пусть авс данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту сd из вершины прямого угла С
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов