Московский физико-технический институт icon

Московский физико-технический институт



НазваниеМосковский физико-технический институт
Дата конвертации05.11.2012
Размер179.71 Kb.
ТипЗадача
1. /Диплом (Десятов).docМосковский физико-технический институт


МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ФАКУЛЬТЕТ ОБЩЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ

КАФЕДРА СИСТЕМНОЙ ИНТЕГРАЦИИ И МЕНЕДЖМЕНТА


На правах рукописи


Десятов Иван Владимирович


ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ В МОДЕЛИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ИННОВАЦИОННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ


квалификационная работа магистра


Руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Малинецкий Г.Г.


Москва 2007

Аннотация

к квалификационной работе магистра на тему

«Применение метода обратной задачи теории бифуркаций

в динамических системах с шумом для обнаружения точки бифуркации

в модели деятельности малого инновационного предприятия»

студента Факультета Общей и Прикладной Физики

Десятова Ивана Владимировича


В данной работе рассматривается нелинейная модель деятельности малого инновационного предприятия [1]. К этой модели применяется метод решения обратной задачи теории бифуркаций в динамических системах с шумом [2].

Целью данного исследования является разработка метода обнаружения скрытого банкторства по аномальному усилению флуктуаций , путем применения метода решения обратной задачи, разаработанного для поиска таких точек в динамических нелинейных системах с шумом.

Предмет исследования – динамическая нелинейная модель деятельности малого инновационного предприятия.

Задача состоит в обнаружении точки бифуркации по данным численного эксперимента над возмущённой системой.

Важность: сегодня в России всеми понимается важность перехода экономики с экспортно-сырьевой ориентации на инновационно-ориентированную экономику. Это поддерживают и президент, и правительство, и законодательные органы и региональные элиты. В связи с этим остро встает вопрос о разработке методов эффективного управления такой экономикой, для чего, прежде всего, необходимо понимание на уровне хотя бы простых моделей.

Выбранная модель инновационного предприятия является одной из таких моделей, и демонстрирует неочевидное поведение – так называемое «скрытое» банкротство, которое происходит при прохождении системой точки бифуркации. Поэтому представляется важным найти эту точку заранее (предсказать), и принять соответствующие меры, во избежание банкротства предприятия.

Оглавление:


Оглавление: 3

Введение 4

Основные определения 6

Модель малого инновационного предприятия 7

Описание модели 7

Бифуркационный анализ 9

Случай когда предприятие берет кредит 13

Поиск точки бифуркации 15

Прямая и обратная задачи теории бифуркации 15

Проведение эксперимента 16

Коэффициент диффузии 20

Основные результаты 21

Литература: 22

Введение



Сегодня в России всеми понимается важность перехода экономики с экспортно-сырьевой ориентации на инновационно-ориентированную экономику.

В связи с этим остро встает вопрос об оптимальной траектории перехода и возможности наиболее эффективного управления такой инновационной экономикой. А это невозможно без понимания хотя бы простейших моделей новой инновационной экономики или, хотя бы ее базовых элементов - предприятий, описывающих и предсказывающих нетривиальное поведение столь сложной системы.

В настоящее время при анализе финансового положения предприятия проводится аудит или консалтинг по финансовой отчетности, в процессе которого рассчитывается множество показателей, выполняется сравнение с предыдущими значениями, и производится проверка на попадание в «критическую область». Такой подход для переходного процесса и новой инновационной экономики неприемлем. Потому что не позволяет предвидеть глобальных изменений, которые могут произойти в предприятии.

В физике же и других естественных науках многие сложные системы описываются на основе анализа аттрактора и выявления небольшого числа динамических переменных, влияние которых на динамику системы в целом является определяющим (так называемые параметры порядка). Попытка применения подобного подхода в микроэкономике заключается в построении простой динамической системы и качественном анализе её поведения (вместо отслеживания изменения отдельных показателей исходной сложной системы).

Одной из таких простых моделей, и предсказывающих нетривиальное поведение системы, , является «Математическая модель деятельности малого инновационного предприятия. Явление скрытого банкротства.» (Чернавский Д.С., Щербаков А.В., Соловьев С.А., Зайцев С.В.)[1].

Эта модель качественно описывает различные сценарии развития инновационно-ориентированного предприятия.

Из представленной модели видно, что существуют два принципиально различных сценария банкротства.

в первом случае существует устойчивое положение равновесия в области, соответствующей нормальному функционированию предприятия, и существует устойчивое положение равновесия вне её. Банкротство заключается в выходе из этой области. Его можно избежать, вернувшись обратно в область нормального функционирования, не меняя при этом структуры производства (например, взяв кредит).

Во втором случае в области нормального функционирования нет устойчивых положений равновесия, и чтобы сохранить предприятие необходимо изменить структуру производства (то есть, изменить параметры системы)

Смена угрозы банкротства по первому сценарию на банкротство по второму сценарию при изменении структуры производства, в терминах модели представляет собой переход системы через точку бифуркации при изменении параметров.

Поэтому, представляется важным уметь предсказывать такой переход. Это можно сделать, например, следуя методу, описанному в работе «Обратная задача теории бифуркаций в динамических системах с шумом» (Зульпукаров М.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В.) [2]. Данный метод основан на анализе изменения реакции нелинейной динамической системы на слабые флуктуации при изменении параметра. Для рассматриваемой экономической модели роль слабых флуктуаций могут играть колебания курса валют, непредвиденные задежки доставки товара (и связанные с этим расходы), и др.

Использование нелинейных моделей в исследовании сложных экономических, социальных и др. систем представляется перспективным направлением. Обнаружение «ключевых» точек, в которых ситуация может быть качественно изменена, является важной задачей.

Такие задачи всегда были и остаются актуальными, не только в теоретическом плане, но и во вполне практических приложениях, например, для МЧС по нахождению наиболее эффективных методов предсказания природных катастроф. В связи с этим данная работа представляется актуальной, так как катастрофы и являются именно таким явлением, которое существенно меняет поведение системы.


Основные определения



Под Динамической Системой подразумевают объект любой природы, состояние которого изменяется во времени в соответствии с некоторой динамической закономерностью. [3]


Фазовое пространство – множество всех возможных состояний динамической системы.[3]


Если в начальный момент динамическая система находилась в начальной точке фазового пространства, со временем эта точка двигалась и описывала линию (поверхность и т.п.), которая называется фазовой траекторией.[3]


Множество характерных фазовых траекторий в фазовом пространстве называется фазовым портретом динамической системы.[3]


Аттрактор – предельное множество точек, притягивающее фазовые траектории.[3]


Сепаратриса – граница областей фазового пространства с принципиально различным поведением фазовых траекторий.[3]


Бифуркация – изменение характера устойчивости того или иного предельного множества в фазовом пространстве системы, вызванное изменением параметров, приводящее к существенной перестройке фазового портрета.[3]


Точка бифуркации – значение параметра, при котором происходит бифуркация.[3]


Модель малого инновационного предприятия




Описание модели



Выбранная модель деятельности малого инновационного предприятия, моделирует экономическую систему. Рассмотренная модель представляет собой динамическую систему, которая позволяет качественно описать различные сценарии развития предприятия. Наиболее полно эта модель описана в препринте [1].

Рассмотрим предприятие, производящее один продукт. Динамической переменной является объем денежных оборотных средств М.

Уравнение баланса выглядит следующим образом(с бессрочным кредитом):

, (1)

где

W – выручка от реализации продукта;

- объем внешних заимствований;

- выплаты по кредиту;

- кредитная ставка;

K- капитальные вложения собственных средств (сюда входит расширение производства уже производимого продукта и разработка новых идей, включая НИР, НИОКР, а также затраты на поддержание инфраструктуры);

- затраты на хранение готового продукта на складе;

P – количество готового товара на складе, выраженное в рыночных ценах;

- доля оборотных средств, затрачиваемая на хранение единицы готовой продукции в единицу времени;

- производственные издержки, в которые входит:

  1. Доля затрат на сырье и комплектующие;

  2. Амортизация оборудования (затраты на ремонт и замену оборудования);

  3. Выплаты зарплаты;

  4. Транзакционные издержки (маркетинг особенно важен для предприятий, выпускающих принципиально новый продукт);

  5. Налоговые отчисления;

  6. Оплата услуг сторонних организаций;


- время оборота.


Выручка W равна количуству проданного товара по рыночной цене p за единицу времени:

.

Количество проданного товара зависит от количества товара складе P, а также от спроса на данный продукт. В случае, когда предложение превышает спрос, рынок насыщается, и производитель не может продать количество товара, превышающее некоторое значение . При этом, будем считать, что при пустом складе ничего нельзя продать. Тогда зависимость можно записать в следующем виде:

, (2)

где - некоторые константы


Сумма всех затрат за время оборота есть количество произведенного товара, выраженное во внутренних ценах . Величина является добавленной стоимостью.

;

Уравнение баланса для склада:

(3)


- кол-во товара, поступающего на склад, выраженное в рыночных ценах,

W – кол-во продаваемого товара.

Уравнения (1) и (4) составляют модель для случая одного продукта.


Система уравнений для случая одного продукта:

(4)

.


Путём замены



система (4) приводится к безразмерному виду

(5)

[1].


Бифуркационный анализ



Рассмотрим особые точки системы (5):

(6)

Или, в области где P>0, получим:



Условия существования положительных решений уравнения:

(7)

При выполнении этих условий система имеет два положения равновесия при P>0. Если эти условия не выполняются, то при P>0 положений равновесия нет.


В случае отрицательных P, уравнение (6) переписывается в виде:



Условие существования решений выглядит следующим образом:



Величина b отражает постоянные издержки, то есть положительна, величина тоже положительна. Значит, это условие выполняется всегда.,Так как произведение корней уравнения отрицательно, то всегда будет существовать отрицательное решение, то есть в области P<0 всегда существует одно положение равновесия.

Зафиксируем параметры , и будем варьировать параметр b.

Сначала b будет достаточно малым, и остальные параметры подобраны таким образом чтобы выполнялись условия (7).

Фазовый портрет системы для этого случая:



Рис. 1. Фазовый портрет динамической системы в случае существования положительного решения, четко видно положение двух аттракторов.


На рисунке 1 видно три положения равновесия: верхнее и нижнее – устойчивые, а также среднее – неустойчивое. Таким образом, у системы есть два аттрактора: благополучие (верхнее) и банкротство (нижнее). Через среднее равновесие проходит сепаратриса, разделяющая области притяжения двух аттракторов. В данном случае система достаточно быстро выходит на одно из положений равновесия, определяющееся начальными условиями (рис. 2).



Рис. 2. Зависимость динамических параметров системы M,P (объем денежных оборотных средств и кол-во готового товара на складе, выраженное в рыночных ценах) от времени.


При увеличении параметра b неравенство в условии существования положительного решения (7, первое неравенство) превратится в равенство, а потом перестанет выполняться. То есть, изоклины в месте положительного решения будут изменятся так, чтобы две точки пересечения, верхняя и средняя, сближались. При каком-то значении параметра b они совпадут, а потом перестанут пересекаться. Это значение параметра b – точка бифуркации. Фазовый портрет системы и зависимость от времени показаны на рис. 3.



Рис. 3. Показан случай, когда изоклины пересекаются только один раз – в точке нижнего равновесия. Верхняя и средняя точки пересечения изоклин (зеленая и синяя пунктирные линии) исчезают, и остается только одно - отрицательное положение равновесия (левый график). На правом графике показана временная зависимость динамических параметров от времени, хорошо виден лаг-период, после которого наступает «скрытое» банкротство.


Таким образом существует два сценария банкротства:

  1. Пар-ры системы неизменны, меняются только динамические переменные M и P, и система переходит в положение притяжения нижнего аттрактора (при этом верхнее равновесие не исчезает). Это может реализоваться, если потратить слишком много оборотных средств, или взять на себя слишком большие обязательства.

  2. Сами параметры меняются, причем так чтобы положительное положение равновесия исчезло – система перешла точку бифуркации, но находится вблизи нее. В этом случае наблюдается явление «скрытого» банкротства, когда динамические переменные находятся некоторое время в положительной области, прежде чем перейти в отрицательную. Такая ситуация хорошо видна из правого графика на рис.3. При этом чем ближе к точке бифуркации находится система, тем дольше в положительной области она находится. Время, через которое система в этом случае переходит в отрицательную область называется лаг-периодом. [1]



Рис. 4. Бифуркационная диаграмма системы (5). Сплошными линиями показаны устойчивые положения равновесия, штриховыми – неустойчивые.


На рис.4 изображена бифуркационная диаграмма системы (5), на которой четко видно, что при значении параметра b<0.2 (при этом все остальные параметры остаются неизменными) в системе существуют три положения равновесия, а при прохождении точки бифуркации остается только одно

.

Случай когда предприятие берет кредит



Рассмотрим случай когда предприятие берет кредит. В этом случае увеличивается M, но увеличивается и b, так как кредит нужно возвращять с процентами. Пусть b изменяется только за счет кредитной ставки, а остальные параметры остаются без изменения (предприятие привлекает средства со стороны).

Если есть три положения равновесия и система находится в верхнем, то взятие кредита не может улучшить положение предприятия. Ведь увеличивается и параметр b – а из-за этого понижается положение точки верхнего равновесия (идет приближение к точке бифуркации), при этом если система проходит точку бифуркации, то положительное равновесие исчезает совсем.

Если же система находится в нижнем равновесии и при этом существует верхнее, то с помощью кредита можно перескочить сеператрису, чтобы оказаться в области притяжения верхнего аттрактора – попасть в состояние благополучия. Но при этом нужен кредит с такой ставкой, чтобы не пройти точку бифуркации. [1]

Поиск точки бифуркации




Прямая и обратная задачи теории бифуркации



Задача теории бифуркации с шумом основывается на том, что по мере приближения системы с шумом к точке бифуркации уровень шума возрастает. Обратная задача [2] основана на том, что по наблюдаемому изменению шума (характер роста, уровень насыщения, плотность распределения) можно определить положение точки предстоящей бифуркации.

В качестве объекта исследования берется некоторая динамическая система, описывающаяся обыкновенным дифференциальным уравнением с параметром:

. (8)

Здесь x(t) – переменная состояния, t – время, - параметр, - некоторая нелинейная функция.

Решения уравнения (8), в зависимости от и начального условия могут вести себя следующим образом: либо стремиться к постоянному значению – аттрактору, либо неограниченно возрастать (убывать) за бесконечное или конечное время.

Далее рассматривается влияние шума в математической модели нелинейной системы. В случае непрерывного времени в качестве математической модели шума используют какой-либо случайный процесс. Обозначим его Тогда математической моделью системы будет стохастическое дифференциальное уравнение. Мы будет рассматривать аддитивный шум, который вводится в уравнение следующим образом:



Где , константа, обозначающая что шум мал.

Далее рассматривается -шум, действующий по следующей схеме. Пусть в определенные моменты времени переменная состояния x суммируется с реализацией некоторой случайной величины. Назовем это возмущением. Будем рассматривать только периодический -шум (то есть, возмущения проиходят с интервалом ). Полученная в результате сумма используется в качестве начального условия в задаче Коши для дифференциального уравнения (8). Система интегрируется в течение времени , затем происходит очередное возмущение, и т.д.

Будем исследовать влияние шума на развивающуюся систему. Параметр изменяется в пределах . Положим, изменение параметра во времени происходит дискретно, с постоянным шагом по и постоянныи интервалом по времени. Шаг по обозначим и наложим условие малости: << . Временной интервал между изменениями обозначим . Изучать наблюдаемый сигнал как установившийся процесс намного проще, поэтому нам понадобится, чтобы его интервал корреляции был мал по сравнению с временем изменения параметра. Для этого необходимо выполнение условия:

.

Прямая и обратная задачи ставятся следующим образом:

  1. Для случая одной из наиболее типичных бифуркаций требуется получить закон распределения наблюдаемого сигнала и выяснить характер его изменения по мере приближения параметра к точке бифуркации.

  2. Исходя из этого, требуется исследовать возможность решения обратной задачи: на основании изменения характеристик наблюдаемого сигнала в процессе продвижения системы оценить расстояние до точки бифуркации и сделать предположение относительно ее типа. [2]



Проведение эксперимента



С целью наблюдения явления предбифуркационного нарастания дисперсии наблюдаемого сигнала был поставлен ряд экспериментов. В этих экспериментах выполнялось численное моделирование поведения динамической системы, заданной дифференциальным уравнением (5) в присутствие δ-шума. При приближении к точке бифуркации наблюдается явление насыщения дисперсии наблюдаемого сигнала, см. рис.5. На достаточном удалении от точки бифуркации в логарифмическом масштабе зависимость линейная, то есть дисперсия зависит от расстояния до точки бифуркации как степенная функция.




Рис. 5. График теоретической зависимости дисперсии от расстояния до точки бифуркации в двойном логарифмическом масштабе.


В данном случае происходит бифуркация типа седло-узел, поэтому зависимость стандартного отклонения от расстояния до точки бифуркации на большом от нее расстоянии есть:

, где расстояние до точки бифуркации.

В экспериментах выполнялось численное моделирование динамической системы (5) в присутствие -шума. Была получена эмпирическая зависимость .

Эксперименты проводились следующим образом:

Бифуркационный параметр менялся от 0.1 до 0.3 с шагом 0.001 (т.е. было рассмотрено 200 точек). Для каждого такого значения выполнялось моделирование воздействия шума на систему. Для этого вблизи точки проводилось интегрирование системы в течение времени 0.01. В начальный момент модельного времени система помещалась в устойчивое положение равновесия, вычисляемое для данного . В начале каждого шага, в зависимости от параметров вносимого шума, установленных для данного эксперимента, производилось либо не производилось возмущение. В конце каждого шага положение системы регистрировалось как реализация случайной величины.

Выполнялось 100000 шагов интегрирования. Число шагов подобрано опытным путём таким образом, чтобы быть достаточным для сбора статистики во всех экспериментах для всех значений .

Для каждого значения параметра получался числовой ряд, по которому строились гистограммы:

по этим данным определялось стандартное отклонение для каждого значения .



Рис. 6. Гистограммы, построенные по данным 100000 итераций.


То есть, была получена экспериментальная завимость стандартного отклонения от параметра b, а также зависимость .

Поэтому можно было определить значение параметров A, b, n. Это делалось методом наименьших квадратов: сначала для параметра A, потом для n, потом для b. По этим данным определялось положение точки бифуркации b=0.1901 (истинное значение для данного набора параметров , , есть 0.2), и значение степени n=-0.23.

Также строилась зависимость от b, для которой проводилось фитирование прямой:



Рис. 6. Зависимось величины дисперсии от расстояния до точки бифуркации.


Коэффициент диффузии



Из графика на рис.5. видно, что для того чтобы использовать предложенный метод нам необходимо не попасть в область насыщения дисперсии наблюдаемого сигнала. Для проверки нужно выполнение следующего неравенства [2]:

(9)

Здесь - бифуркационное значение параметра,

- набор значений параметра, который мы рассматривали

k – коэффициент диффузии, который есть , где - параметр в уравнении прямой на рис.6 (график справа) .

При выбранных параметрах значение выражения (9) получилось равным ~. Значит выбранная нами область значений бифуркационного параметра попадает в нужную область.

Основные результаты





  1. Применяя метод обратной задачи теории бифуркаций для динамических систем с шумом, можно достаточно точно определять положение точки бифуркации, что важно для предотвращения банкротства.

  2. Используя данную модель, можно сказать, что, определив точку бифуркации, мы можем выяснить, насколько близко экономическая система находится к точке бифуркации, и постараться отстоять от нее как можно дальше и быть в положительном устойчивом положении равновесия – в этом заключается практическая значимость работы.

  3. Научная новизна работы заключается в применении нового метода решения обратной задачи теории бифуркаций для динамических систем с шумом для анализа модели деятельности малого инновационного предприятия с предсказанием точки бифуркации.

  4. В связи возможностью использования данного исследования при разработке методов эффективного предсказания природных катастроф - распространение методики, описанной в данной работе, представляется весьма перспективным.

Литература:


  1. Чернавский Д.С., Щербаков А.В., Соловьев С.А., Зайцев С.В. Математическая модель деятельности малого инновационного предприятия. Явление «скрытого» банкротства. Препринт №82, Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН, 2001г.

  2. Зульпукаров М.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Обратная задача теории бифуркаций в динамических системах с шумом. Препринт №39, Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН, 2005г.

  3. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы. 1999г.

  4. Владимиров В.А., Воробьев Ю.Л., Малинецкий Г.Г. и др. Управление риском. 2000г.

  5. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. 1997 г.

  6. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. Энергоиздат.:1996г.

  7. Режимы с обострением. Эволюция идеи. М.: Наука 1999г.

  8. Соловьев С.А. Математическое моделирование динамики инвестиций вдали от насыщения рынка. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН №21, 2001г.

  9. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988г.

  10. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983г.

  11. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Знание, 1983г.

  12. Базыкин А.Д., Кузнецов Ю.А., Хибник А.И. Бифуркационные диаграммы динамических систем на плоскости. Пущино, НЦБИ АН СССР, 1985г.

  13. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985г.






Похожие:

Московский физико-технический институт iconМосковский физико-технический институт 49-ая Выездная физико-математическая олимпиада мфти решения заданий по математике
Сумма квадратов равна нулю только если каждое слагаемое равно нулю, т е удовлетворяет исходной системе
Московский физико-технический институт iconОргкомитет всероссийского тренинга «путь к олимпу»
Благотворительный фонд наследия Менделеева, Химический факультет мгу им. М. В. Ломоносова, рхту им. Д. И. Менделеева, рхо им. Д....
Московский физико-технический институт iconМосковский физико-технический институт (государственный университет)
Целью данной работы является построение системы управления рисками, которая поможет автоматизировать процесс оценки рисков и построение...
Московский физико-технический институт iconМосковский физико-технический институт 49-ая Выездная физико-математическая олимпиада мфти задачи по математике
При этом предполагалось, что численность кур меняться не будет. Но так как в действительности число кур убывало на одну каждую неделю,...
Московский физико-технический институт iconМосковский Физико-технический Институт Факультет общей и прикладной физики
Рассматривается подход с использованием общеупотребительной лексики, причем этот подход без ограничения общности легко переносится...
Московский физико-технический институт iconМосковский физико-технический институт
Дорогие школьники романтики и прагматики, мечтатели и рационалисты! У вас сейчас интересная и ответственная пора в жизни. Вы учитесь:...
Московский физико-технический институт iconФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «московский физико-технический институт (государственный университет)»
Работа ставит своей целью создание конечного инструмента, оказывающего специалистам справочную помощь, а также помощь в поиске аналогий...
Московский физико-технический институт iconМинистерство образования российской фередации
Московский государственный институт радиотехники электроники и автоматики (технический университет)
Московский физико-технический институт iconСистемный программный комплекс для обеспечения учебного процесса кафедры мовс
Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)
Московский физико-технический институт iconМосковский физико технический институт (государственный университет) Сравнение некоторых современных методологий, применяемых для описания бизнес-процессов
Сравнение некоторых современных методологий, применяемых для описания бизнес-процессов
Московский физико-технический институт iconЛабораторная работа Вариант 12 по дисциплине
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный институт радиотехники,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов