Процедура расщепления лагранжиана для группы so(3) icon

Процедура расщепления лагранжиана для группы so(3)



НазваниеПроцедура расщепления лагранжиана для группы so(3)
Дата конвертации01.12.2012
Размер53.36 Kb.
ТипДокументы

Китаев А.Е.

7. Процедура расщепления лагранжиана

для группы SO(3).


Поставим задачу так. В трехмерном пространстве (или в 4-мерном пространстве-времени – ведь есть еще и время) задан лагранжиан для волнового уравнения



В добавление к трехмерному пространству пусть имеется некоторое искривленное пространство, допустим двумерная сфера или трехмерная поверхность, соответствующая группе SO(3). Прибавим к лагранжиану l1 ланранжиан для сферы l2 (умноженный на некоторое число k) и домножим эту сумму на sin (это все немного напоминает конструкцию для цилиндрических координат в пространстве, рассмотренную в предыдущем разделе). Получим:



Если, применив уравнение Остроградского, найти волновое уравнение, соответствующее такой функции, оно будет иметь вид:



«Частью» этого уравнения является уравнение сферических функций (к нему можно прийти в процессе разделения переменных):



Одними из его решений являются такие функции (расположим их в виде матрицы-столбца):



Вспомним первый раздел, где мы пытались «уменьшать» лагранжиан, то-есть уменьшать количество независимых переменных. Там мы ввели процедуру расщепления. В применении к данному случаю она будет выглядеть так:



То-есть опять сопряжение матриц совмещается с комплексным сопряжением.

Вот моды, на которые мы будем расщеплять поле (туда сомножителями входят уже рассмотренные функции W):



Обратим внимание: функции, составляющие этот столбец, взяты в нормированном виде. Условие нормировки такое:



для каждой функции, входящей в столбец. Интегрирование в этой формуле – по всей сфере.

Для строки аналогично.

Подставим эти строки и столбцы в первое слагаемое суммы лагранжианов:



Мы хотим, чтобы получилось просто число.

Далее:



Если

gif" name="object11" align=absmiddle width=141 height=25>

то комбинацию амплитуд, зависящих от r,t можно вынести за скобку и квадраты синуса и косинуса в этом случае дадут единицу.



Члены, обозначенные тремя точками, будут выглядеть аналогично, только производные будут пространственными. Условием для того, чтобы члены с u(r,t) благополучно вынести за скобку (синусы и косинусы после этого сократятся) будет уже записанное выше равенство



Если амплитуды действительны, то



Подставим теперь строки и столбцы во второй лагранжиан (обращаю внимание – именно в лагражиан, а не в геометризованный лагранжиан):



Если выполняется вышеприведенное условие на амплитуды (зависящие от пространственных координат и времени), то



Итак, при выполнении условий на множители ui при угловых функциях-ортах, лагранжиан, уменьшенный на угловые координаты, равен



Обратим внимание, что появляется массовый член, пропорциональный 2. Кроме того требование, чтобы лагранжиан не зависел от угловых координат приводит к зависимости между тремя величинами ui (r,t) (только две из них оказываются независимыми).

Сделаю оговорку насчет получающихся условий на амплитуды. В первом разделе я уже касался этого вопроса. Я предполагаю, что они существенны лишь на этапе получения уменьшенного лагранжиана. В дальнейшем (при исследовании дифференциальных уравнений, получающихся из лагранжиана) эти условия можно игнорировать. Основанием для этого вывода служит то, что с амплитудами начального лагранжиана мы проводим достаточно рискованные операции, «расщепляя» его, и при этом получаем правильные результаты в виде дифференциальных уравнений, которые получаются из «уменьшенных» лагранжианов. Итак, пользуясь нашими нестрогими соображениями, мы получаем какой-либо лагранжиан. А потом обо всех сопутствующих обсьоятельствах забываем и считаем его аксиомой, как это часто делается в теоретической физике.

Теперь усложним задачу. Пусть теперь второй лагранжиан (обозначим его не l2 , а l3) - это не двумерный лагранжиан для сферы, а трехмерный лагранжиан для группы SO(3).



Если найти волновое уравнение, соответствующее такой функции, оно будет иметь вид:



С помощью процесса разделения переменных мы можем прийти к частичному уравнению, зависящему только от углов:



Можно проверить, что оно имеет решения, аналогичные решениям для предыдущего случая:



Используем для уменьшения лагранжиана функции, построенные на основе этого решения:



Обратим внимание, что нормировка уже другая. Нормированная функция теперь должна уже удовлетворять другому соотношению (так как поверхность другая – уже не сфера)



Интегрирование происходит по параметрам группы (по  - от 0 до , по  и  - от 0 до 2), элемент объема - sin, как и в случае сферы.


В результате мы получим точно так же, как и в предыдущем случае двумерной сферы, новый уменьшенный лагранжиан (с точностью до множителя, отличающегося из-за нормировки) и в дополнение к нему условие на амплитуды u(r,t):



или



Так как и ланранжиан, и волновое уравнение симметричны относительно замены углов  и , мы сразу запишем другое решение, функции, с помощью которых мы будем «уменьшать» лагранжиан, и сам уменьшенный лагранжиан (вместе с условием на амплитуды).




Но имеются и другие решения. В частности




Эти четыре функции удовлетворяют циклическим условиям особого рода



В отличие от предыдущих функций. Те удовлетворяли обычным циклическим условиям:



Будем расщеплять поле с помощью таких мод:



Расщепление выглядит так





При подставлении строки и столбца в расщепленный лагранжиан получится:



Если



то




При подставлении во второй лагранжиан получим:



Продолжим вычисления дальше



Если



то



Для суммарного лагранжиана: при выполнении условий на множители ei при угловых функциях-ортах, лагранжиан, уменьшенный на угловые координаты, равен



Так как мы все эти операции проводим именно с лагранжианом, а не с геометризованным лагранжианом, т.е. лагранжианом, домноженным на элемент объема (двумерной сферы или группы SO(3)), то может возникнуть вопрос – что делать с зависимость от углов (сосредоточенной в этом множителе – элементе объема)? Можно проинтегрировать геометризованный лагранжиан по двумерной сфере или по трехмерной поверхности (многообразию, как говорят математики), соответствующей группе SO(3)? И тогда зависимость от углов исчезнет окончательно.

Выпишем снова вместе и условия на амплитуды (повторюсь - я полагаю, что они существенны лишь на этапе вывода лагранжианов) , и уменьшенные (на угловые координаты) лагранжианы:




Если мы проварьируем эти лагранжианы (или применим к ним уравнение Остроградского), то мы получим волновые уравнения для 3+3+4=10 функций, которые подчиняются 3 дополнительным условиям. То-есть из 10 функций лишь 7 независимы.

Если считать все поля действительными, то уменьшенные лагранжианы принимают такой вид:



Наши первичные лагранжианы l1 (для четырехмерного пространства-времени) не включали массового члена, теперь он появился за счет дополнительного искривленного пространства. Но, конечно, в первичных лагранжианах можно учесть наличие массового члена, возникающего и по каким-либо другим причинам (об этом упоминалось еще в первом разделе).



Похожие:

Процедура расщепления лагранжиана для группы so(3) iconНелинейное уравнение
Составим суммарный лагранжиан из лагранжианов, полученных в конце раздела «Процедура расщепления лагранжиана для группы so(3)»
Процедура расщепления лагранжиана для группы so(3) iconПлан работы отряда «Волонтёр» (для детей группы соп)
Открытие лагеря, оформление аудитории, разделение на группы, оформление газеты своей группы, самопрезентация, самопредставление,...
Процедура расщепления лагранжиана для группы so(3) iconПоложение о порядке утверждения, хранения экзаменационных материалов моу гимназии №88
Экзаменующий учитель разрабатывает тексты и задания к практической части билетов для устных экзаменов каждого из параллельных классов:...
Процедура расщепления лагранжиана для группы so(3) iconНекоторые выкладки, касающиеся лагранжиана для распределенных систем
Лагранжа (главным образом для распределенных систем). Аналогичных выкладок в литературе по механике и вариационному исчислению я...
Процедура расщепления лагранжиана для группы so(3) iconЗанятость учащихся в летнее время в том числе ребят из «группы риска». Лагерь «Казачок» учащиеся из 7-8 классов Количество – 15 человек, в том числе ребята из «группы риска»
Ремонтное звено для строительных работ- количество -6 уч-ся, плюс 2 человека из «группы риска»
Процедура расщепления лагранжиана для группы so(3) iconПравила и процедура проведения егэ
Для достижения максимальной объективности оценивания знаний участника проведение егэ требует строгого соблюдения процедуры экзамена,...
Процедура расщепления лагранжиана для группы so(3) iconПравила и процедура проведения егэ
Для достижения максимальной объективности оценивания знаний участника проведение егэ требует строгого соблюдения процедуры экзамена,...
Процедура расщепления лагранжиана для группы so(3) iconЙоханнес штарк
«за открытие эффекта Допплера на каналовых лучах и расщепления спектральных линий в электрическом поле»
Процедура расщепления лагранжиана для группы so(3) iconСправка о работе с учащимися «группы риска» социального педагога моу – сош №4 к категории детей «группы риска»
К категории детей «группы риска», требующей особого внимания и постоянного контроля в нашей школе относят 3 группы учащихся
Процедура расщепления лагранжиана для группы so(3) iconДокументы
1. /Приказ процедуры ГИА-9.doc
2. /Процедура...

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов