Китаев А. Е.(kitaev a e@mail ru) О взаимосвязи вторичного квантования и нелинейности icon

Китаев А. Е.(kitaev a e@mail ru) О взаимосвязи вторичного квантования и нелинейности



НазваниеКитаев А. Е.(kitaev a e@mail ru) О взаимосвязи вторичного квантования и нелинейности
Дата конвертации01.12.2012
Размер62.16 Kb.
ТипДокументы

Китаев А.Е.(kitaev_a_e@mail.ru)


О взаимосвязи вторичного квантования и нелинейности.


В этой работе мы попробуем исследовать гипотезу о том, что множественность частиц, соответствующих какому-либо виду поля в квантовой механике, может являться в какой-то мере нелинейным эффектом.

Эта тема уже поднималась в работе «К вопросу о вторичном квантовании (и спонтанном излучении)» (см. ее на сайте science-nighny.narod.ru), где были проведены параллели между нелинейным трехволновым взаимодействием для случая распада высокочастотной волны и спонтанным излучением. На самом деле, развивая эту тему, можно даже поставить задачу так, как ставил ее Гейзенберг при исследовании атомных систем. Допустим, у нас имеется множество нелинейных осцилляторов, колеблющихся, скажем, со звуковой частотой. Мы не будем интересоваться координатой или фазой каждого отдельного осциллятора, а будем «смотреть» на макроскопические в каком-то смысле величины, в данном случае на частоту излучаемого осцилляторами звука. Пусть сначала квадратичная нелинейность в осцилляторах выключена. Тогда мы фиксируем звук на частоте основного тона, возбуждаемый множеством осцилляторов. Потом в некоторый момент времени нелинейность (квадратичная) включается. Результатом будет появление звука на двойной частоте – второй гармоники. Было бы интересно рассмотреть теорию, в которой вычислялось бы развитие во времени процесса появления второй гармоники, и «за бортом» как ненаблюдаемые оставались бы, например, зависимости от времени координат отдельных осцилляторов.

К дальнейшим исследованиям нас подтолкнула мысль, выраженная в книге Блохинцева [1, стр.514], о том, что гамильтониан теории вторичного квантования можно получить, рассмотрев в начале классическое поле с взаимодействием различных элементов (фактически с кубичной нелинейностью).

Изложим сперва (кратко) результаты, которые получаются при решении нелинейного дифференциального уравнения. Рассмотрим ангармоничные колебания осциллятора с кубичной и квадратичной нелинейностью.



В [2] можно посмотреть подробный вывод формулы для второй и третьей гармоники. Если в нулевом приближении колебание гармоническое

,

то выражение для второй гармоники выглядит так:



Для третьей гармоники (в случае равенства нулю коэффициента квадратичной нелинейности):



(помимо третьей гармоники наблюдается сдвиг частоты колебаний).

Если искать нулевое приближение уравнения с квадратичной нелинейностью

gif" name="object5" align=absmiddle width=92 height=21>

не в косинусоидальном, а в экспоненциальном виде, то получим такое выражение для амплитуды второй гармоники:



Для кубичной же нелинейности



получаем амплитуду третьей гармоники



Эти результаты можно получить, например, с помощью метода усреднения. Так как амплитуда при решении через экспоненты равна амплитуде косинусоидального решения, деленной на два, то эти результаты совпадают с формулами в книге [2].

Приступим теперь к обоснованию нашей гипотезы (см. начало работы). Основная идея – сопоставить нелинейному уравнению некоторое линейное, но для большего числа независимых переменных. Причем сопоставить таким образом, чтоб решения их каким-то образом соотносились друг с другом. Для простоты в данной работе мы будем иметь дело с уравнением осциллятора (т.е. обыкновенным дифференциальным уравнением), имеющим малую нелинейность второго или третьего порядка.

Начнем с нелинейности второго порядка.



Сопоставим этому уравнению такое линейное дифференциальное уравнение с частными производными



Здесь функция Y – это функция двух времен (t1 и t2). Таким образом, линейное уравнение для Y можно считать в какой-то мере уравнением для двух осцилляторов, каждый из которых движется в своем времени. Кроме того в состав этого уравнения входят интегральные операторы, которые можно считать проявлением своеобразной временной дисперсии.

Попробуем найти решения этого уравнения и исследовать – имеют ли они какое-то отношение к решениям нелинейной задачи.

Ищем решение в виде



Подставляем:




Домножим все на




Проинтегрируем теперь по t1 и по t2 (от минус-бесконечности до плюс-бесконечности). Получим



Произведем частичное суммирование (где оно легко производится):



Если , третье слагаемое зануляется. Для этого случая



Отсюда следует, что



Если (нулевое приближение), то



(остальные n0 равны нулю).



Компоненты этого вектор-столбца нумеруются значением n0.

В следующем приближении отлично от нуля лишь . Кроме того полагаем w равным w0.



Причем имеет смысл считать, что



Почему? Потому-что в нулевом приближении все коэффициенты C кроме этих равны нулю. Представление же C(1,1) в виде их произведения представляется вполне разумным, если вспомнить временную зависимость соответствующих функций.

Итак, мы получаем, что двухчастичное решение представляется в виде произведения двух одночастичных. Можно также записать, полагая амплитуды двухчастичных рещений равными (для обоснования этого привлечем постулат о неразличимости частиц, который принимают в теории вторичного квантования)



Таким образом



то есть (с учетом различия в знаке нелинейности) мы получили значение, совпадающее с решением нелинейной задачи для амплитуды второй нелинейной гармоники (см. выше).

Заметим также, что коэффициент (который мы с самого начала ввели на всякий случай) равен 1.

Таким образом получается, что c(2,0) – это вторая гармоника «одночастичного» решения, а c(1,0) – первая гармоника. Если считать уравнение для Y линейной моделью для нелинейной задачи, то выходит, что непосредственный физический смысл имеют подобные одночастичные решения. Двухчастичные решения c(n,k) появляются лишь в промежуточных выкладках.

Перейдем к нелинейности третьего порядка.



Сопоставим этому уравнению такое линейное дифференциальное уравнение с частными производными



Здесь функция Y – это функция уже 3-х времен (t1 , t2 и t3). Линейное уравнение для Y можно считать уравнением для трех осцилляторов, каждый из которых движется в своем времени.

Ищем решение в виде



Подставляем:




Домножим все на




Проинтегрируем теперь по 3-м временам



Если :



Отсюда следует, что



В нулевом приближении получаем тот же самый результат, что и раньше (для квадратичной нелинейности).

В следующем приближении

Причем имеет смысл считать, что



Можно также записать (считая частицы неразличимыми)



Таким образом



то есть (с учетом различия в знаке нелинейности) мы получили значение, совпадающее с амплитудой третьей нелинейной гармоники.

Коэффициент также равен 1.

Попробуем посмотреть, что будет в первом приближении с коэффициентом C(1,0,0) (то-есть попробуем учесть самовоздействие). То-есть, фактически, попробуем подобрать числа k,n,l так, чтобы в оба слагаемых входил коэффициент C(1,0,0).



(знак равенства здесь условен – смотри далее).

Отсюда




В сумме во втором слагаемом мы учли только один член C(1,1,-1). Но нужно еще учесть C(1,-1,1) и C(-1,1,1). За счет этого под знаком радикала (во втором слагаемом) появится тройка (чистая комбинаторика).



Эта процедура описывает нелинейный сдвиг частоты осциллятора. Полученный результат также совпадает с результатом, следующим из нелинейной теории.

Итак, делаем вывод – если при наличии нелинейности рассмотреть не исходную нелинейную задачу, а линейную, но с «размноженным» числом переменных (соответствующим степени нелинейности), то мы можем получить такие же результаты для некоторых величин. Это «размноженное» число зависимых переменных фактически означает переход к многочастичной задаче. А учет неразличимости частиц, производимый на определенном этапе (см. выше) фактически соответствует переходу к вторичному квантованию.

Таким образом, исследуя поведение многочастичной системы с парными взаимодействиями частиц, можно попытаться говорить о некотором физическом поле с квадратичной нелинейностью. Более того, если учесть, например, что между уравнением Шредингера для электрона в двумерном потенциальном ящике и аналогичным уравнением для пары электронов в одномерном ящике фактически нет разницы (за исключением симметрии к перестановкам двух частиц), можно попробовать и трехмерность пространства «объяснить» нелинейностью третьего порядка в одномерном уравнении. Можно использовать и размерности, свернутые в кольцо (или каким-либо другим образом). Этот вопрос, конечно, требует дальнейшего исследования.


Список литературы:


1) Д.И.Блохинцев «Основы квантовой механики» М. “Наука” 1976.


2) Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц «Механика» М. «Наука» 1988.


3) А.Найфэ «Введение в методы возмущений» М. «Мир» 1984.




Похожие:

Китаев А. Е.(kitaev a e@mail ru) О взаимосвязи вторичного квантования и нелинейности iconКитаев А. Е. (E-mail: kitaev a e@mail ru) К вопросу о вторичном квантовании
«нулевые колебания вакуума» для этой моды (с энергией ), если квант один – значит к этому «нулевому», но не равному нулю уровню добавляется...
Китаев А. Е.(kitaev a e@mail ru) О взаимосвязи вторичного квантования и нелинейности iconКитаев А. Е.(kitaev a e@mail ru) Модификация уравнения непрерывности
При этом можно рассмотреть два непересекающихся объема, каждый из которых включает одну из рожденных частиц. В каждом из этих двух...
Китаев А. Е.(kitaev a e@mail ru) О взаимосвязи вторичного квантования и нелинейности icon1993 год 12 января 1993 года. Источник контакта
Разума. Причем для каждого философского учения будут доминирующими, наиболее ярко проявленными свои взаимосвязи с другими точками...
Китаев А. Е.(kitaev a e@mail ru) О взаимосвязи вторичного квантования и нелинейности iconДокументы
1. /VB_mail.doc
2. /Windows-Script-Components.doc
Китаев А. Е.(kitaev a e@mail ru) О взаимосвязи вторичного квантования и нелинейности iconДокументы
1. /VB_mail.doc
2. /Windows-Script-Components.doc
Китаев А. Е.(kitaev a e@mail ru) О взаимосвязи вторичного квантования и нелинейности iconДокументы
1. /VB_mail.doc
2. /Windows-Script-Components.doc
Китаев А. Е.(kitaev a e@mail ru) О взаимосвязи вторичного квантования и нелинейности iconУправление по делам образования
Челябинск, ул. Володарского, 14 тел/факс: (8-351) 2 66-54-40, е-mail: gorono 74@mail ru
Китаев А. Е.(kitaev a e@mail ru) О взаимосвязи вторичного квантования и нелинейности iconТурклуб ”Берендеи”
Адрес руководителя – г. В. Новгород ул. Никольская д. 11 кв. 8 тел. 39-556 e-mail: ark@mail natm ru
Китаев А. Е.(kitaev a e@mail ru) О взаимосвязи вторичного квантования и нелинейности iconЛист бронирования
Калининград а/я 289 тел/факс (4012) 778374 моб.+79062155546 e-mail: coewg@mail ru
Китаев А. Е.(kitaev a e@mail ru) О взаимосвязи вторичного квантования и нелинейности iconПриказ №1961-од от 07. 11. 2011г по комп
Мира,20, 413112, г. Энгельс, Саратовская обл., тел. (8-845-3) 95-97-14 e-mail: engelssh20@ mail. Ru
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов