Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие icon

Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие



НазваниеБесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие
страница10/10
Дата конвертации16.11.2012
Размер2.08 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
^

Статья 9.
Шесть замечательных точек геометрии окружностей. Угол между окружностями.

Краткое содержание статьи.


В статье открываются новые свойства шести точек пересечения трех ортогональных окружностей (или точек касания четырех взаимнокасающихся окружностей). Доказывается теорема, что с помощью нескольких композиций инверсий можно отобразить любые три данные точки в любые другие и изучаются свойства углов, образованных тремя пересекающимися окружностями.
^

Теорема об отображении трех точек.


В статье 6 было доказано, что если какое-то непрерывное отображение, сохраняющее окружности (т.е. переводящее точки, лежащие на одной окружности в точки, снова лежащие на одной окружности и наоборот) оставляет неподвижными три точки, то это – или инверсия или неподвижное движение. Сейчас мы докажем, что с помощью композиции инверсию любые три точки можно отобразить в любые другие. Сформулируем точнее

Пусть даны три точки А, В, С. Для любых трех точек F, E, D существует композиция инверсий f, такая, что f(A)=F, f(B)=E, f(C)=D. Доказательство будет состоять из двух этапов. сначала мы докажем, что три произвольные точки можно отобразить в три другие. при этом мы не обращаем внимания, в какую именно точку (из трех возможных) отобразится А, в какую В или С. Затем мы покажем, что с помощью композиции инверсий можно произвольно переставлять точки данной тройки. в совокупности эти два утверждения и дадут требуемое: мы отобразим А, В, С в F, E, D не заботясь о том в какие именно точки перейдут А, В, С, а потом – нужным образом переставим точки.

Докажем лемму:

Три взаимно касающиеся окружности S, T, H с помощью композиций трех инверсий можно отобразить в любые три взаимно касающиеся окружности S1, T1, H1. Доказательство.

Пусть I1 – инверсия, отображающая S в S1, I1(S)=S1. I1 – одна из двух биссектрис между S и S1. Между I1(T) и T1 есть две биссектрисы. Выберем I2 ту из них, которая ортогональна S1=I1(S). Такая биссектриса существует, т.к. S1 касается Т1 и I1(T) (первое по условию, а второе т.к. S касается T, то их образы при инверсии относительно I1 – касаются друг друга). тогда I2(I1(T))=T1, I2(I1(S))=I2(S1)=S1. Т.е I2*I1 отображает две из трех существующих окружностей в те, которые мы хотели. Третья, Н, перешла в I2(I1(H)). Эта окружность касается I2(I1(S))=S1 и I2(I1(Т))=Т1 (т.к. Н касается S и Т). Этих двух окружностей, по условию, касается и Н1. Итак, S1 и Т1 касаются друг друга, Н1 и I2(I1(H)). Нам в первую очередь важно, что S1 и Т1 касаются Н1 и I2(I1(H)) – отсюда следует, что S1 и Т1 – ортогональны каким-то биссектрисам между Н1 и I2(I1(H)). Если они обе ортогональны одной и той же биссектрисе – обозначим ее I3 – то I3(I2(I1(H))=H1 а т.к.
I3 – ортогональна S1 и Н1, то композиция инверсий W=I3*i2*i1 – и будет искомой: I3(I2(I1(H))=H1, I3(I2(I1(Т))=I3(T1)=T1, I3(I2(I1(S))= I3(I2(S1))=I3(S1)=S1. Что и требовалось.

Если же S1 и Т1 ортогональны разным биссектрисам между Н1 и I2(I1(H)), то S1 и Т1 лежат в разных семействах касательных окружностей к Н1 и I2(I1(H)). Легко видеть, что это невозможно. что и требовалось.

Заметим, что это доказательство несложно обобщается не трехмерное и многомерное пространство – n взаимнокасающихся сфер композицией инверсий можно отобразить в любые другие n взаимнокасающихся сфер.

С помощью леммы докажем первую часть теоремы о трех точках. Проведем через три данные точки А, В, С три, касающиеся друг друга в этих точках окружности S, T, H. Мы всегда можем это сделать. проведем через произвольные точки F, E, D – касающиеся друг друга в этих точках окружности S1, Т1, Н1. Как доказано в лемме, существует композиция инверсий (обозначим ее W), отображающая окружности S, T, H в S1, T1, H1. Следовательно W отображает точки касания S, T, H между собой в точки касания S1, T1, H1 между собой. Тем самым W отображает А, В, С в F, E, D. Правда, мы не знаем какую точку в какую именно, неизвестно W(A)=F или W(A)=E или W(A)=D. Теперь докажем, что с помощью композиций инверсий мы можем как угодно переставить три точки. По сути это уже было сделано в ст. 3 в теореме о тройственной симметрии. Для произвольных трех точек X, Y, Z существуют инверсии, любую одну из них неподвижной и меняющие местами две других. Композицией таких инверсий можно как угодно переставлять три данные точки. что и требовалось.

Теперь тривиально доказать сформулированную теорему.

1. Отобразим с помощью описанного ранее W точки А, В, С в точки F, E, D.

2. Если W(A)=F, W(B)=E, W(C)=D, то W и будет искомым отображением. Если нет, то мы переставим нужным образом точки F, E, D (или А, В, С) и получим искомое отображение. Что и требовалось.

Композиции четного числа инверсий называются «собственными движениями» У них есть важные отличия от движений, осуществляемых нечетным числом инверсий. Например, каждая инверсия меняет ориентацию. поэтому собственные движения оставляют ориентацию неизменной (они меняют ее четное число раз, а минус на минус дает плюс), а все несобственные движения – меняют ориентацию на противоположную. Заметим, что композиция двух собственных движений – снова собственное движение и тождественное движение (когда ничего не меняется) – также собственное движение (в нем участвует ноль инверсий или одна и та же дважды – в любом случае – четное число инверсий). Отсюда следует, что собственные движения образуют подгруппу в группе всех движений геометрии окружности (см. ст. 5).

Мы доказали, что существует композиция инверсий W, такая, что W(A)=F, W(B)=E, W(C)=D, каковы бы не были точки А, В, С, D, E, F. Докажем, что существует собственное движение, также отображающее также эти точки друг в друга. Если в W четное число инверсий, то W и будет искомым собственным движением. Если нечетное, то осуществим еще инверсию относительно окружности М, проходящую через F, E, D. M*W и будет искомым собственным движением, т.к W отобразит три точки нужным образом, а М – оставит их все на своих местах. M*W – собственное движение, т.к. если в W – нечетное число инверсий, то в М*W – четное (на единицу больше). Что и требовалось.

Теперь очень просто доказать теорему про однозначное задание собственного движения его действием на трех точках. Пусть даны три произвольные точки А, В, С и три произвольные точки F, E, D. Всегда найдется собственное движение W, такое, что W(A)=D, W(B)=E, W(C)=F и если V – другое собственное движение, значения которого совпадают на точках А, В, С со значениями W, то W=V (эти движения совпадают на всех точках). Доказательство.

Существование такого собственного движения W мы только что доказали. Пусть существует еще одно собственное движение V, такое, что V(A)=D, V(B)=E, V(C)=F. Рассмотрим движение W-1*V. Это – тоже собственное движение. W-1*V(А)=W-1(D)=A, W-1*V(B)=W-1(E)=B, W-1*V(C)=W-1(F)=C. Итак W-1*V оставляет неподвижными точки А, В, С. Значит, по теореме о трех неподвижных точках (ст. 6) – оно или инверсия или тождественное движение. Т.к. W-1*V – собственное движение, то оно не может быть инверсией, следовательно W-1*V – неподвижна на всех точках то есть тождественное движение, W(X)=V(X) для всех точек Х. Что и требовалось.

Заметим, что если среди W или V есть несобственные движения, то их композиция может быть инверсией.
^

Шесть замечательных точек.


Сейчас мы изучим шесть точек пересечения трех ортогональных окружностей. в том числе мы докажем, что это – те же самые точки, что и шесть точек касания четырех взаимнокасающихся окружностей, которые мы изучали в ст. 3.

Также в этом разделе мы будем подсчитывать углы между окружностями. Угол между окружностями X и Y я буду обозначать (
Рисунок 1.

(Взаимно ортогональные окружности D1, D2, D3. Точки пересечения D3 и D2 – A, B; точки пересечения D1 и D3 – С, D; точки пересечения D1 и D2 – E, F. Окружность S, проходящая через точки А, Е, D (точки Е и D – лежат внутри D3 и D2, точка А – в пересечении всех трех окружностей)).

В статье 6 мы уже рассматривали окружности, построенные на точках пересечения трех данных окружностях. Рассмотрим какую-нибудь такую окружность, например S и определим ее углы с исходными D1, D2, D3. проведем какую-нибудь биссектрису I между D2 и D3. Т.к. D1 изогональна к D2 и D3 (и т.к. она ортогональна им обоим, те. и всем окружностям пучка), то I ортогональна D1. I(D1)=D1, I(D2)=D3. Поэтому (чем мы многократно пользовались в ст. 8) I отображает точки пересечения D1 с D2 в точки пересечения D1 с D3 (но не известно какую именно точку в какую). Если же J – другая биссектриса между D2 и D3, то она отображает эти точки единственно оставшимся способом.. Пусть, например, I(E)=D, тогда I(S)=S и S – ортогональна I. Мы показали, что S ортогональна одной из биссектрис между D2 и D3, мы можем считать, что эта биссектриса обозначена I. Тогда угол между S и D2 равен углу между I(S) и I(D2) и равен углу между S и D3. Воспользуемся обозначением, введенным в начале раздела: (
Итак, мы вычислили угол между S и D2 и D3. совершенно аналогично показывается, что угол между S и D1 – тоже 45 градусов. Можно, например, рассмотреть биссектрису между D1 и D3, она оставит неподвижной точку D и поменяет местами точки А и Е. Рассмотрим теперь окружность Т, проходящую через А и С, F (две оставшиеся точки в пересечении D1 с D2 и D3). Точно такими же рассуждениями мы покажем, что она образует с D1, D2, D3 углы в 45 градусов. Но отсюда следует, что S касается T в точке А (нужно еще обратить внимание на взаимное расположение этих углов, или на то, что они касаются в А одной и той же биссектрисы между D2 и D3 и, значит – касаются между собой). Совершенно аналогично доказывается:

1. Любая из восьми возможных окружностей, построенных на точках пересечения D1, D2, D3 друг с другом образует с D1, D2, D3 углы в 45 градусов.

2. Если какие-то две из этих окружностей имеют только одну общую точку из числа шести точек пересечения (как S и Т имеют только одну общую точку А) – то они касаются в этой точке.

Возьмем окружность S и найдем три окружности, имеющие с ней по одной общей точке (из числа шести точек пересечения). S проходит через А, Е, D, Т – через А, С, F; Н – через F, D, B; К – через С, Е, В. Все эти четыре окружности и между собой имеют только по одной общей точке, и, по доказанному – касаются между собой. Оставшиеся 4 из восьми возможных окружностей также все касаются между собой, т.к. в этой четверке каждая окружность имеет с другой только по одной общей точке (из числа шести точек пересечения D1, D2, D3).

Заметим еще, что три ортогональные окружности D1, D2, D3 определяют коммутирующую с ними инверсию W. Эта инверсия отображает первую четверку окружностей во вторую, каждую окружность – в непересекающуюся с ней. Например окружность, проходящую через А, Е, D в окружность, проходящую через С F, B.

Мы показали, что шесть точек пересечения ортогональных окружностей есть шесть точек касания четырех взаимнокасающихся окружностей. Но мы не показали обратное. Возможно ли, что какие-то шесть точек касания четырех взаимнокасающихся окружностей – не есть точки пересечения каких-то трех взаимно ортогональных окружностей? Нет. Сейчас будет доказано, что все возможные шестерки точек касания любых четырех окружностей – «одинаковы», т.е. с помощью композиции инверсий можно любую шестерку точек касания четырех окружностей отобразить в любую другую шестерку точек касания других четырех окружностей.

Доказательство тривиально. В первой части статьи мы доказали, что три взаимно касающиеся окружности можно отобразить в любые другие три взаимно касающиеся окружности. Тогда четвертая, касающаяся трех исходных – перейдет в касающуюся их образов при этой композиции. Существует две окружности, касающиеся трех взаимно касающихся. Они симметричны, относительно окружности, проходящей через три точки касания.. Поэтому мы, при необходимости добавив инверсию относительно этой окружности можем отобразить четверку взаимно касающихся окружностей в любую другую четверку таких окружностей, с помощью композиции инверсий. (Сначала отображаем три окружности в три, а потом, если нужно, добавляем инверсию относительно окружности, проходящей через точки касания). При этом отображении шесть точек касания перейдут в шесть точек касания. что и требовалось.

Отсюда следует, что все шестерки точек касания «одинаковы» (или изоморфны, см. ст. 3), т.е. если какое-то свойство геометрии окружности есть у одной шестерки, то оно есть и у другой. Т.к., как было доказано, 6 точек пересечения трех взаимноортогональных окружностей – точки касания четырех окружностей, то их можно отобразить в точки касания других четырех окружностей. При композиции инверсий три исходные ортогональные окружности перейдут в три другие ортогональные окружности, на пересечении которых и лежат точки касания второй четверки взаимнокасающихся окружностей. итак мы доказали обратное: 6 точек касания четырех взаимно касающихся окружностей обязательно лежат на пересечении трех взаимноортогональных окружностей. Мы могли бы доказать это и другими, менее «абстрактными» способами. Но стоит обратить внимание на сам ход этого доказательства).

Чтобы еще лучше разобраться в устройстве этих шести точек – проведем какую-нибудь инверсию с центром в одной из точек пересечения, например в А. При этой инверсии, окружности, пересекающиеся в А перейдут в перпендикулярные прямые, третья окружность – в окружность с центром в точке пересечения этих прямых, А точка А – в бесконечно удаленную точку.

Рисунок 2.

(Две перпендикулярные прямые, окружность с центром в их точке пересечения, окружности, проходящие через две точки пересечения окружности с прямыми и центр окружности, прямые, проходящие через точки пересечения окружности и исходных прямых).

^

Подсчет углов в трехокружнике.



Сначала мы подсчитаем углы, в уже известном нам случае, когда три окружности D1, D2, D3 – все ортогональны друг другу. Определим углы между окружностью S (проходящей через А, Е, D –три точки пересечения окружностей D1, D2, D3 между собой) и окружностями D1, D2, D3 (см. рис. 1) не используя понятие биссектриса. Заметим что из трех точек А, Е, D – каждая лежит внутри хотя бы одной исходной окружности (такая тройка точек из шести точек пересечения существует хотя бы потому, что D1, D2, D3 – римановы окружности). Тогда из рисунка 1 получим три уравнения, связывающие углы (
Рассмотрим пересечение окружностей S, D2, D3 в точке А. Получим уравнение: (
(
(
(
Решив ее, находим (

Теперь мы подсчитаем углы в случае произвольного Риманова трехокружника. Пусть D1, D2, D3 –три произвольные римановы окружности, т.е. каждая окружность разделяет точки пересечения двух других.

Рисунок 3.

(Три римановы окружности D1, D2, D3. Точки пересечения D1 и D2 – А и В, точки пересечения D2 и D3 – Е и F, точки пересечения D1 и D3 – C и Н. Окружность S, проходящая через E, B, H.)

В этом случае вся плоскость будет разделена на 8 частей. Каждую из этих частей можно охарактеризовать, указывая вне или внутри окружности D1, D2, D3 она лежит (это не верно для случая, когда из окружностей – прямая. Не ясно, где у прямой внутренность, а где – внешность. Но этим исключением можно пренебречь в данном случае.) Иначе говоря – каждая из восьми частей есть пересечение внутренностей или внешностей этих трех окружностей. Заметим, что всего возможно 8 таких пересечений: от каждой окружности можно взять для пересечения внутренность или внешность. Всего окружностей три, значит возможных комбинаций 2х2х2=8. И все из этих 8 гипотетически возможных случаев – реализуются на плоскости. Если бы мы, например, взяли бы четыре окружности, то существовало бы 16 возможных случаев. Но некоторые из них не были бы реализованы, т.к. соответствующее пересечение было бы пусто – в нем не было бы точек плоскости.

Вернемся к подсчету углов. Выберем среди этих восьми областей плоскости ту, которая лежит внутри всех окружностей и проведем окружность S через «вершины» этого трехдужника (ограничивающего область): E, H, B. Найдем углы S с D1, D2, D3. Для этого использует тот же метод, что и для рассмотренного ранее случая. В точках Е, Н, В – сходятся по три окружности и сходятся таким образом, что сумма углов между этими тремя окружностями равна 180 градусам.

(
(
(
Т.к. мы считаем углы (
(
(
(
Рассмотрим теперь остальные 7 окружностей (напомним, что вместе с S их восемь) построенных на точках пересечения D1, D2, D3. Как было показано в ст. 2 и 6 есть мнимая инверсия I, коммутирующая с D1, D2, D3.I – меняет местами точки пересечения любых двух окружностей между собой. В ст. 6 было доказано, что две сопряженные мнимой инверсией окружности не могут иметь общих точек между собой. Отсюда сразу следует, что окружность, проведенная через какие-то три точки пересечения D1, D2, D3 не может иметь общие точки с окружностью, проведенной через оставшиеся три точки (т.к. первая тройка точек сопряжена со второй мнимой инверсией I). Из этой сопряженности сразу следует и то, что D1, D2, D3 – изогональны к этим сопряженным окружностям. Также мы можем проследить, как переходят при мнимой инверсии I дуги окружностей D1, D2, D3.

Вернемся к рассмотрению углов. Разберем теперь те углы окружностей D1, D2, D3 между собой, которые обращены внутрь восьми трехдужников. Вычисляя углы между S и D1, D2, D3 мы рассматривали те углы между D1, D2, D3, которые обращены внутрь трехдужника (пересечения внутренностей D1, D2, D3). Но мы можем рассматривать и дополнительные углы. Углом между D1 и D2 мы можем считать угол, лежащий внутри этого трехдужника, а можем и лежащий вне, равный 180 – (
На рис. 3 мы видим, что, например, трехдужник C, E, B отличается от трехдужника Е, В, Н – двумя углами. углы в точках Е и В изменились на дополнительные, а угол в точке Н равен углу в точке С (я рассматриваю углы, обращенный внутрь трехдужника). аналогично и с трехдужниками Е, А, Н и Н, В, F – сравнивая их с Е, В, Н мы видим, что два угла (при общей дуге) изменились, а третий – остался неизменным. Если же мы сравним сравним эти трехдужники, напр. Е, С, В и А, Е, Н – между собой, то увидим, что они отличаются на два угла. После мнимой инверсии относительно I четыре рассмотренных трехдужника перейдут в четыре сопряженные. И при этом углы в сопряженных трехдужниках будут одинаковы. Таким образом, фактически реализуется 4 комбинации углов. Как их найти. Можно воспользоваться методом, аналогичному тому, что мы рассмотрели, разбирая возможные комбинации биссектрис между тремя окружностями. (См. ст. 8)

Достаточно найти какую-то комбинацию основных и дополнительных углов, обращенных внутрь одного трехдужника. Заменив два угла на противоположные – мы снова получим набор углов, обращенных внутрь какого-то трехдужника. Четыре возможные комбинации исчерпывают все возможные случаи расположения углов.

Но почему возможно только 4 случая? Это связано с тем. что угол можно мыслить как совокупность точек. При этом пересечение внутренностей двух окружностей образует тот же угол, что и пересечение их внешностей. а пересечение внутренности одной с внешностью другой, тот же угол, что пересечение внешности первой с внутренностью второй. иначе говоря – один и тот же угол существует и вне и внутри окружности. При мнимой инверсии именно равенство этих углов и реализуется.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10



Похожие:

Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие iconЭстетическая геометрия или теория симметрий
Мне довелось обнаружить ряд фактов и наткнуться на новые методы, лежащие на границе разных дисциплин, и я считаю своей приятной обязанностью...
Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие iconКалендарно-тематический план на 2006 2007 уч год учителя Логуновой Л. В. Геометрия, 11 класс. Учебник «Геометрия 7 11», автор Погорелов А. В. Издательство «Просвещение», 2002. (68часов, 2 часа в неделю)
Учебник «Геометрия 7 – 11», автор Погорелов А. В. Издательство «Просвещение», 2002
Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие iconКалендарно-тематический план на 2006-2007 учебный год учителя Логуновой Л. В. Геометрия 7 Учебник: «Геометрия 7 9», автор Погорелов А. В. Москва, «Просвещение», 2003. (68 часов, 2 часа в неделю)
Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей – 2 часа
Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие iconКалендарно-тематический план на 2006-2007 учебный год учителя Логуновой Л. В. Геометрия 9 Учебник: Геометрия 7 9, автор Погорелов А. В. Москва, «Просвещение», 2003 г. (68 часов, 2 часа в неделю)
Журнал «Математика в школе» №6 – 2006 год («Планирование и контрольные работы по геометрии в 9 – 11 классах»)
Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие iconУрок №11 Тема урока: Геометрия архитектурной гармонии. Цель урока: Познакомиться с проявлением закона золотого сечения в архитектуре. План проведения урока
...
Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие iconДокументы
1. /квант геометрия/Дороднов И.И. ФКВ часть1.doc
2. /квант...

Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие iconДокументы
1. /геометрия 8/~$матическое планирование по геометрии 8.doc
2. /геометрия...

Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие iconУрок №3 Тема урока: Геометрия орнаментов, бордюров, паркетов. Цель урока: рассмотреть геометрические подходы при конструировании орнаментов, бордюров, паркетов
Объяснение нового материала ведётся в форме беседы учителя с учащимися. Рассказ учителя сопровождается показом презентации «Геометрия...
Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие iconКалендарно-тематическое планирование по геометрии в 7 классе 2010-11 учебный год Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7 9 классы. Составитель: Бурмистрова Т. А. М.: Просвещение, 2008
Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7 – 9 классы. Составитель: Бурмистрова Т. А. М.: Просвещение, 2008
Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие iconДокументы
1. /геометрия 9/Рабочая программа по геометрии дл 9 класс по учебнику Атанасяна.doc
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов