Применение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве icon

Применение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве



НазваниеПрименение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве
Дата конвертации15.09.2012
Размер130.94 Kb.
ТипДокументы

Применение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве.


Беляев В.Б., Центр релятивистики и астрофизики,

Россия, Санкт-Петербург, 194355, а/я 185,

e-mail: wbelayev@yandex.ru .


Рассматривается вариация энергии светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве-времени, определен лагранжиан системы, обобщенные импульсы и силы. Уравнения критической кривой получены с помощью вариации ненулевого интеграла энергии в соответствии с принципами вариационного исчисления в механике. Найдены решения полученных уравнений для метрик Шварцшильда, Фридмана-Робертсона-Уокера для плоского пространства, Гёделя. Определено изменение эффективной массы светоподобной частицы в этих пространствах и изменение релятивистского аналога инертной массы для фотона в центральном гравитационном поле в пустом пространстве.


1. Введение


Одним из основных положений теории относительности является утверждение о том, что в гравитационном поле в отсутствие других сил материальные частицы и световые лучи движутся по геодезической линии. Она определяется как кривая, чей касательный вектор сохраняет свое значение при параллельном переносе вдоль нее [1]. Дифференциальные уравнения геодезической линии, являющейся путем экстремальной длины, могут быть найдены также с помощью вариационного метода отклонением координат на малую величину . Когда мы варьируем координату материальной частицы, то значение времени-подобного интервала, соответствующего ее движению, незначительно меняется. Однако это изменение оставляет интервал времени-подобным.

Получение дифференциальных уравнений светоподобной геодезической линии с помощью вариационного метода описано в [2]. В пространстве-времени с метрическими коэффициентами рассматривается вариация первого интеграла этих уравнений


, (1.1)


где - параметр, меняющийся вдоль геодезической линии [1]. При определении производной по координате мы должны допустить произвольные малые отклонения координат. Вариация интеграла от , разложенная в кратный ряд Тейлора, записывается в виде


(1.2)

где , gif" name="object9" align=absmiddle width=24 height=21> - значения параметра в точках, которые соединяет искомая геодезическая линия. При определении уравнений геодезической линии сумма членов разложения относительно малых величин и , содержащая их в первой степени, приравнивается к нулю, что дает уравнения геодезических в форме


, (1.3)


где - символы Кристоффеля:


. (1.4)


Запятая здесь обозначает частное дифференцирование.

Другие члены ряда в (1.2) , содержащие вариации координат и их производных по большего порядка или их произведений, которые могут иметь ненулевое значение, в расчет не принимаются. То есть, этот метод допускает нарушение условия , которое означает, что интервал при определенных значениях вариаций координат априори может стать времени-подобным или пространственно-подобным. Поскольку данному интервалу ставится в соответствие движение светового луча, это приводит к нарушению Лоренц-инвариантности величины скорости света в локальной области, а именно, анизотропии.

Возможность нарушения Лоренц-симметрии для фотона в вакууме благодаря эффектам в масштабах планковской длины изучается в [3,4]. Наоборот, для массивной частицы [5] показано, что фундаментальная дискретность пространства-времени не приводит к нарушению Лоренц-инвариантности, и дискретность причинного множества в действительности локально Лоренц-инвариантна. Однако, эксперименты [6] с исключительно высокой точностью подтвердили постоянство скорости света, согласующееся с локальной Лоренц-симметрией, и астрофизические наблюдения [4] не обнаружили нарушения его изотропии.

В вариационном исчислении в целом [7] вариации пути рассматриваются на многообразии вне зависимости от типа интервала, а не как траектория физической частицы. Такой подход выходит за рамки классического вариационного принципа в механике, где действительные движения системы сравниваются с кинематически возможными движениями.

Приближение значения времени-подобного интервала, соответствующего движению массивной частицы между фиксированными точками, к нулю приводит в физическом смысле к неограниченному возрастанию ее энергии, а пространственно-подобный интервал не соответствует движению какого-либо объекта. В этой связи следует обратить внимание на предположение о том, что дискретность в масштабе планковской длины обуславливает максимальную величину импульсов элементарных частиц [8].

Геодезические линии должны удовлетворять условию экстремальности [1], и движение частиц вдоль них имеет место лишь при отсутствии негравитационных сил. Если бы фотон все-таки обладал массой покоя, то вариации его пути не приводили бы к появлению соответствующих им траекторий различных типов, однако ее наличие не подтверждается экспериментально [9]. Мы исследуем возможность выбора энергии так, чтобы применение вариационного принципа для получения уравнений изотропной критической кривой не приводило к рассмотрению ненулевого интервала.


2. Определение энергии и ее вариация.


Интервал в римановом пространстве-времени записывается в виде


, (2.1)


где обозначает некоторую переменную, чье значение предполагается равным 1. Определяя координату как соответствующую времени, координаты с индексами как пространственные и рассматривая как энергию светоподобной частицы при , представим ее как


, (2.2)


где принимает значения ±1.

Используя обозначения для компонент четырех-вектора скорости , запишем вариацию энергии:


. (2.3)


После подстановки


(2.4)


частные производные по координатам будут


. (2.5)

Это выражение преобразовывается в


. (2.6)


Частные производные по компонентам четырех-вектора скорости могут быть записаны в виде


. (2.7)


Для частицы, движущейся в пустом пространстве, лагранжиан берется в виде


, (2.8)


и соответствует соотношению [5]:


, (2.9)


являющимся интегралом движения.

Полученные производные дают значения обобщенных импульсов


, (2.10)


и обобщенных сил


. (2.11)


Компоненты ассоциированного вектора обобщенных импульсов с верхними индексами записываются в виде


. (2.12)


Единицы измерения выбираются так, что для скорости света выполняется с=1. Компоненты четырех-вектора энергии-импульса фотона в пространстве Миньковского пропорциональны компонентам вектора четырех-скорости: с коэффициентом пропорциональности , который определяется как эффективная масса. Нормализованная эффективная масса свето-подобной частицы в римановом пространстве-времени определяется как коэффициент пропорциональности между вектором обобщенных импульсов и четырех-скоростью:


. (2.13)


Через коэффициент нормализации она может быть выражена как


. (2.14)


^ 3. Уравнения изотропной критической кривой.


Уравнения движения будут найдены из вариации интеграла энергии


. (3.1)


Величина ненулевая, ее вариации оставляют интервал светоподобным, и применение стандартной процедуры варьирования к ней дает уравнения Эйлера-Лагранжа


. (3.2)


Уравнения критической кривой получаются подстановкой в это уравнение частных производных (2.6) и (2.7). Для временной координаты имеем


. (3.3)


Для получения других трех уравнений второй член уравнений (3.2) записывается в виде


.

(3.4)


Замена здесь производной на ее выражение, получаемое из (3.3), и подстановка полученных членов в уравнения Эйлера-Лагранжа дает





, (3.5)


Эти уравнения содержат ускорения, соответствующие пространственным координатам. Вместе с уравнением (3.3) они описывают движение тестовой светоподобной частицы вдоль критической кривой. Полученные уравнения отличаются от стандартных уравнений изотропной геодезической линии (1.3).


^ 4. Динамика фотона в пространстве-времени Шварцшильда.


Центрально-симметричное гравитационное поле в пустоте описывается метрикой Шварцшильда. В сферических координатах линейный элемент пространства-времени есть


, (4.1)


где является постоянной. Запишем для этого пространства уравнения критической кривой интеграла энергии . Обобщенные импульсы (2.10) для циклических координат , будут постоянными движения:


, (4.2)


. (4.3)


Уравнения (3.5) для координат дают


, (4.4)


, (4.5)


Изотропной кривой соответствует получаемое из (4.1) уравнение


. (4.6)

Полагая , и рассматривая движение в плоскости , записываем значения производных циклических координат


, (4.7)


, (4.8)


Подставляя эти значения в (4.1), находим


. (4.9)


Найденные скорости совпадают с решениями стандартных уравнений нулевой геодезической линии (1.3) для пространства-времени Шварцшильда [2] с точностью до параметра дифференцирования:


, (4.10)


где соответствует стандартному решению.

Обобщенные импульсы (2.10) и силы (2.11) будут


, , , ; (4.11)

, . (4.12)

Запишем ненулевые компоненты ассоциированного вектора обобщенных импульсов:


, , . (4.13)


Сравнивая значения скоростей (4.7)-(4.9) и обобщенных импульсов, находим


. (4.14)

Эффективная масса фотона согласно (2.13) в центральном гравитационном поле меняется как


, (4.15)


где - эффективная масса фотона в отсутствии гравитации.

Ненулевой компонентой ассоциированного вектора обобщенных сил с верхними индексами будет


. (4.16)


Так как ньютоновский предел гравитационной теории требует , где - гравитационная постоянная и - масса, первый член обобщенной силы является удвоенной ньютоновской гравитационной силой. Это соответствует значению отклонения светового луча в центральном гравитационном поле [11], которое вдвое превышает даваемое теорией гравитации Ньютона.

Подставляя значения компонент вектора четырех-скорости в уравнение (4.4), получаем значение радиального ускорения


. (4.17)


Рассмотрим аналогию со вторым законом Ньютона, согласно которому массивное тело под действием силы испытывает ускорение , где - его инертная масса. Находим нормализованную инертную массу фотона как отношение обобщенной силы , действующей вдоль радиальной координаты, к радиальному ускорению:


. (4.18)

Таким образом, за исключением области, где знаки и совпадают, или одна из этих величин равна 0, инертная масса фотона оказывается отрицательной, то есть фотон испытывает антигравитационное воздействие. Это не противоречит тому, что траектория фотона отклоняется в сторону центра гравитации, поскольку при приближении к нему угловая скорость (4.8) уменьшается относительно быстрее радиальной, по сравнению с движением в отсутствии тяготения.

Выразим инертную массу фотона через его эффективную массу. Поскольку обобщенный импульс может быть представлен как , где нормализованная эффективная масса есть , уравнение Эйлера-Лагранжа


(4.19)


записываем в виде


. (4.20)


С учетом определения нормализованной инертной массы фотона получаем


. (4.21)


При с условием это уравнение приносит значение инертной массы фотона в центральном гравитационном поле, выраженное через его эффективную массу:


. (4.22)


При >> получаем .


^ 5. Экстремальные изотропные кривые в пространстве-времени Фридмана-Робертсона-Уокера.


Космологическая модель Фридмана-Робертсона-Уокера для плоского пространства в прямоугольных координатах описывается метрикой


, (5.1)


где - масштабный коэффициент длины.

Уравнение (3.3) преобразуется в


, (5.2)


где точка означает производную по времени. Уравнения Эйлера-Лагранжа для циклических координат дают постоянные движения


. (5.3)


Выделяя отсюда производные по пространственным координатам и подставляя их в уравнение (5.2), получаем


. (5.4)

Это уравнение имеет решение, которое при обозначении записывается в виде


, (5.5)


где - постоянная. Подставляя найденное значение первой компоненты вектора четырех-скорости в уравнение (5.3), находим


. (5.6)


Изотропной кривой соответствует следующее из (5.1) условие


. (5.7)


Оно дает значение , и компоненты вектора четырех-скорости оказываются


, (5.8)


. (5.9)


Они соответствуют решению стандартных уравнений нулевой геодезической линии в пространстве-времени Фридмана-Робертсона-Уолкера [2].

Обобщенными импульсами светоподобной частицы будут


(5.10)


и постоянные . Обобщенными силами будут


, . (5.11)


Их ассоциированные значения записываются как


, (5.12)


и


, . (5.13)

Значение нормализованной эффективной массы фотона в плоском пространстве оказывается


. (5.14)


^ 6. Экстремальные изотропные кривые в пространстве-времени Гёделя.


Стационарное решение уравнений Эйнштейна для поля при наличии космологической константы, найденное Гёделем, описывает гравитационное поле вращающейся однородной пылевой материи. В координатах оно имеет вид


, (6.1)


где - постоянная.

Обобщенные импульсы (2.10) для циклических координат , , будут постоянными движения. Они записываются в виде


, (6.2)


, (6.3)


. (6.4)


Эти уравнения вместе со следующим из (6.1) условием


(6.5)


приносят значения компонент вектора четырех-скорости


, (6.6)


, (6.7)


, (6.8)


. (6.9)

Они отличаются от решения стандартных уравнений нулевой геодезической линии в пространстве-времени Гёделя [12]. При имеет место сингулярность.

Обобщенным импульсом, соответствующим координате , будет


. (6.10)


Обобщенные силы имеют значения


, . (6.11)


Ассоциированными значениями обобщенных импульсов и сил будут


, (6.12)


, (6.13)


, (6.14)


, (6.15)


, . (6.16)


Нормализованная эффективная масса светоподобной частицы в пространстве-времени Гёделя есть


. (6.17)


7. Выводы.

Предложенное представление энергии светоподобной частицы позволяет использовать механику Лагранжа для анализа движения. Рассмотренная процедура получения уравнений движения с помощью варьирования интеграла энергии соответствует принципам вариационного исчисления в классической механике, согласно которым вариации движения должны быть кинематически возможными для системы. При данной постановке вариационной задачи виртуальные смещения координат не нарушают соответствия траектории светоподобной частицы в римановом пространстве-времени изотропному пути, то есть не приводят к нарушению Лоренц-инвариантности в локальной области. Решение полученных уравнений экстремальной изотропной кривой для пространства-времени Шварцшильда и Фридмана-Робертсона-Уокера для плоского пространства с точностью до параметра дифференцирования совпадает с решением уравнений геодезических в стандартной форме. Для пространства-времени Гёделя эти решения различны.

Для рассмотренных пространств существует нормализованная эффективная масса светоподобной частицы, определяемая как общий коэффициент пропорциональности между обобщенными импульсами и компонентами вектора четырех-скорости. В космологической модели Фридмана-Робертсона-Уокера для плоского пространства она меняется обратно пропорционально квадрату масштабного коэффициента длины. Релятивистский аналог ньютоновской инертной массы для фотона в пространстве-времени Шварцшильда имеет отрицательное значение для части траектории.


Литература



  1. Л.Д.Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория поля, шестое издание, М, «Наука», 1973.

  2. Г. К. Мак-Витти, Общая теория относительности и космология, Издательство иностранной литературы, М. 1961. (G. C. McVittie, General Relativity and Cosmology, London, Chapman and Hall Ltd. 1956.)

  3. A. Kostelecky and A. Pickering, Vacuum Photon Splitting in Lorentz-Violating Quantum Electrodynamics, Phys. Rev. Lett. 91, (2003) 031801, hep-ph/0212382; T. Jacobson, S. Liberati, D. Mattingly, F.W. Stecker, New limits on Planck scale Lorentz violation in QED, Phys.Rev.Lett. 93 (2004) 021101, astro-ph/0309681.

  4. A. Kostelecky, M. Mewes, Astrophysical Tests of Lorentz and CPT Violation with Photons, Astrophys.J.689:L1,2008, arXiv:0809.2846.

  5. F. Dowker, J. Henson, R. D. Sorkin, Quantum Gravity Phenomenology, Lorentz Invariance and Discreteness, Mod.Phys.Lett. A19 (2004) 1829-1840, gr-qc/0311055; L. Bombelli, J. Henson, R. D. Sorkin, Discreteness without symmetry breaking: a theorem, gr-qc/0605006.

  6. H. Mueller et al., Relativity tests by complementary rotating Michelson-Morley experiments, Phys.Rev.Lett. 99 (2007) 050401, arXiv:0706.2031; P. L. Stanwix et al., Improved test of Lorentz Invariance in Electrodynamics using Rotating Cryogenic Sapphire Oscillators, Phys.Rev. D74 (2006) 081101,gr-qc/0609072; Antonini et al., Test of constancy of speed of light with rotating cryogenic optical resonators, Phys. Rev. A. 71, (2005) 050101.

  7. M. Morse, The Calculus of Variations in the Large, Colloquium Publications of the American Mathematical Society, vol. 18. New York, 1934.

  8. G. Amelino-Camelia, Doubly Special Relativity, Nature 418, (2002) 34, gr-qc/0207049; J. Magueijo and L. Smolin, Lorentz invariance with an invariant energy scale, Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 190403, hep-th/0112090.

  9. A.S. Goldhaber and M.M. Nieto, Photon and Graviton Mass Limits, ArXiv:0809.1003.

  10. Л.Д.Ландау, Е.М. Лифшиц, Механика, Т.1, четвертое издание, М, «Наука», 1988.

  11. A. Einstein, Die Grundlage der allgemainen Relativitätstheorie, Ann. Phys. 49 (1916) 769-822.

  12. G.Dautcourt, M. Abdel-Megied, Revisiting the Light Cone of the Goedel Universe, Class.Quant.Grav. 23 (2006) 1269-1288, gr-qc/0511015; G.Dautcourt, The lightcone of Godel-like spacetimes, arXiv:1009.5231 .




Похожие:

Применение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве icon43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ
Основная задача механики голономных систем – определение закона движения решением уравнений движения Лагранжа
Применение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве icon43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ
Основная задача механики голономных систем – определение закона движения решением уравнений движения Лагранжа
Применение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве icon8. взаимодействие между движущимися частицами. Сила лоренца в настоящее время считается, что аналитическое выражение для силы Лоренца не выведено из уравнений Максвелла или специальной теории относительности
Обычно выражение для этой силы получают из уравнения Лагранжа для динамики частицы, в котором функция Лагранжа подбирается в таком...
Применение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве iconПрикладная физика, 2003, №3, с. 5-9
В рамках известной гидродинамической формулировки квантовой механики выведены уравнения эволюции плотности вероятности для частицы...
Применение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве iconМеханика для квантовой механики часть Две меры механической формы движения материи
Моделирование систем и оптимизация их параметров” вследствие чего нумерация формул и рисунков дана в нумерации принятой в книге....
Применение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве icon1. 4 законы сохранения и переноса энергии и момента импульса
Основная задача механики — определение закона движения системы материальных точек из уравнения движения по известному закону сил
Применение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве icon1. 4 основная задача механики сплошной среды
Основная задача механики — определение закона движения системы материальных точек каждой мтi системы уд по известному закону сил
Применение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве icon2. в спектре звезды линия, соответствующая длине волны 5,5 10
Видимые движения светил как следствие их собственного движения в пространстве, вращения Земли и ее обращения вок­руг Солнца
Применение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве icon17. Уравнение и интегралы движениЯ, основнаЯ задаЧа механики
Состояние движения материальной точки или тела изменяется вследствие взаимодействия с источниками сил, т е вследствие передачи телу...
Применение механики Лагранжа для анализа движения светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве iconНагрузки и напряжения
Основная задача механики состоит в представлении Эйлера-определения поля скоростей в каждый момент времени, а в представлении Лагранжа...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов