1. Определение энергии и ее вариация icon

1. Определение энергии и ее вариация



Название1. Определение энергии и ее вариация
Дата конвертации15.09.2012
Размер99.07 Kb.
ТипДокументы

Вариационный метод без нарушения изотропности светового пути и гравитационное смещение частоты фотона.


Беляев В.Б.,

Центр релятивистики и астрофизики,

e-mail: wbelayev@yandex.ru .


Рассматривается вариация энергии светоподобной частицы в псевдо-римановом пространстве-времени, определен лагранжиан системы, обобщенные импульсы и силы. Уравнения критической кривой найдены с помощью вариации ненулевого интеграла энергии в соответствии с принципами вариационного исчисления в механике. Получены преобразования импульсов для стационарных систем отсчета в пространстве-времени Шваршильда. Определен аффинный параметр дифференцирования в уравнениях движения, соответствующий экспериментальным данным гравитационного смещения частоты фотона.


^ 1. Определение энергии и ее вариация.


В [1] был предложен вариационный метод, не приводящий к нарушению изотропности светового пути. Интервал в римановом пространстве-времени с координатами и

метрическими коэффициентами :

(1.1)

после подстановок


, , , (1.2)


где обозначает некоторую переменную, чье значение предполагается близким к 1, а

координата определяется как соответствующая времени и координаты с индексами как пространственные, переписывается в виде


. (1.3)


Рассматривая как энергию светоподобной частицы при , представим ее как


, (1.4)


где - допустимый параметр, меняющийся вдоль траектории движения, и gif" name="object15" align=absmiddle width=19 height=18> принимает значения ±1.

Используя обозначения для компонент четырех-вектора скорости , запишем вариацию энергии:


. (1.5)


После подстановки


(1.6)


частные производные по координатам будут


. (1.7)

Это выражение преобразовывается в


. (1.8)


Частные производные по компонентам четырех-вектора скорости могут быть записаны в виде


. (1.9)


Для частицы, движущейся в пустом пространстве, лагранжиан берется в виде


, (1.10)


и соответствует соотношению


, (1.11)


являющимся интегралом движения.

Полученные производные дают значения обобщенных импульсов


, (1.12)


и обобщенных сил


. (1.13)


Компоненты ассоциированного вектора обобщенных импульсов с верхними индексами записываются в виде


. (1.14)


^ 2. Уравнения изотропной критической кривой.


Уравнения движения будут найдены из вариации интеграла энергии

, (2.1)

где , - значения аффинного параметра в 2х различных точках траектории движения.

Величина ненулевая, ее вариации оставляют интервал светоподобным, и применение стандартной процедуры варьирования к ней дает уравнения Эйлера-Лагранжа


. (2.2)


Уравнения критической кривой получаются подстановкой в это уравнение частных производных (1.8) и (1.9). Для временной координаты имеем


. (2.3)


Для получения других трех уравнений второй член уравнений (2.2) записывается в виде


.

(2.4)


Замена здесь производной на ее выражение, получаемое из (2.3), и подстановка полученных членов в уравнения Эйлера-Лагранжа дает





, (2.5)


Эти уравнения содержат ускорения, соответствующие пространственным координатам. Вместе с уравнением (2.3) они описывают движение тестовой светоподобной частицы вдоль критической кривой. Полученные уравнения отличаются от уравнений изотропной геодезической линии


, (2.6)


где - символы Кристоффеля.


^ 3. Аффинный параметр .


Как нетрудно заметить, обобщенные импульсы зависят от аффинного параметра. В литературе [2] он определяется как параметр, меняющийся вдоль геодезической линии, но при этом не связывается с какой-либо физической величиной, или в качестве него берется собственное время [3]. Однако собственным временем обладают только массивные частицы, движущиеся вдоль времени-подобного интервала, а у свето-подобной частицы его нет ввиду , так как величина интервала ее движения равна нулю.

Отметим, что математика нужна в физике для того, чтобы сравнивать одни физические величины с другими. При этом в качестве величины, с которой сравниваются другие, выбирается та, которая не меняется при переходе от одной системы координат к другой. В галилеевой системе такой величиной является время. Однако опыт Майкельсона по измерению скорости света, показавший ее независимость от системы отсчета, привел к созданию теории относительности, в которой величиной, одинаковой во всех системах отсчета, является интервал. Но, как это ни парадоксально, именно для описания движения света он не может быть использован, поскольку имеет в этом случае нулевое значение.

Мы выбираем в качестве аффинного параметра собственное время массивной частицы, находящейся в точке на удалении от источника гравитации и неподвижной относительно него, в которой ее действие предполагается отсутствующим. Мы покажем, что такой выбор позволяет связать полученные значения обобщенных импульсов с энергией и импульсом фотона в смысле специальной теории относительности в локальных координатных системах при переходе от одной системы координат к другой.


^ 4. Динамика фотона в пространстве-времени Шварцшильда.


Центрально-симметричное гравитационное поле в пустоте описывается метрикой Шварцшильда. Единицы измерения выбираются так, что для скорости света выполняется с=1. В сферических координатах линейный элемент пространства-времени есть


, (4.1)


где является постоянной. Запишем для этого пространства уравнения критической кривой интеграла энергии . Обобщенные импульсы (2.11) для циклических координат , будут постоянными движения:


, (4.2)


. (4.3)


Уравнения (4.5) для координат дают


, (4.4)


, (4.5)


Изотропной кривой соответствует получаемое из (4.1) уравнение


. (4.6)

Полагая в соответствии с выбором параметра , сделанном в п.2, и рассматривая движение в плоскости , записываем значения производных циклических координат


, (4.7)


, (4.8)


Подставляя эти значения в (4.1), находим


. (3.9)


Найденные скорости совпадают с решениями уравнений изотропной геодезической линии (2.6) для пространства-времени Шварцшильда [2] с точностью до параметра дифференцирования:


, (4.10)


где соответствует решению для геодезической.

Обобщенные импульсы (1.12) будут


, , , ; (4.11)


Запишем ненулевые компоненты ассоциированного вектора обобщенных импульсов с верхними индексами:


, , . (4.12)


Найденные значения обобщенных импульсов согласуются с теми, что приведены в [4].


^ 5. Частота и импульс фотона в локальных системах координат в пространстве-времени Шварцшильда


Определим величину смещения частоты фотона в гравитационном поле. Энергия (1.4)

в конкретной системе отсчета является постоянной и с точностью до постоянного коэффициента равна энергии фотона, выраженной через константу Планка : , где - частота фотона. Анализ, сделанный в предыдущем параграфе, проводился в системе отсчета, связанной с точкой, находящейся на удалении от источника гравитации и неподвижной относительно него, в которой ее действие предполагается отсутствующим. Частота может быть записана в виде


, (5.1)


где - число колебаний, - собственное время, присущее массивным частицам – атомам, для которых частота излучения-поглощения фотонов служит его эталоном. В системе, связанной с такой частицей, которая при этом неподвижна и находится на расстоянии от источника гравитации, наблюдаемая частота фотона оказывается


, (5.2)


что соответствует экспериментальным данным.

Покажем теперь как преобразуется вектор энергии-импульса фотона при переходе от одной системы координат к другой. Значения компонент вектора четырех-скорости и обобщенных импульсов свето-подобной частицы, полученные в предыдущем параграфе, соответствуют системе отсчета, связанной с точкой, находящейся на удалении от источника гравитации, в которой ее действие предполагается отсутствующим. Поскольку физическим координатам ставятся в соответствие компоненты вектора , то и вектор энергии-импульса фотона естественно связать с обобщенными импульсами с верхними индексами.

В общем случае обобщенные импульсы (1.14) не являются тензорами, и поэтому мы не можем перейти от одной системы отсчета к другой прямым преобразованием координат, но для метрики Шварцшильда для неподвижных систем отсчета это возможно. Будем предполагать, что фотон движется по радиальной траектории. Тогда его ненулевые импульсы (4.12) сведутся к

, . (5.3)

Переход от системы отсчета вне действия гравитации О () к системе отсчета на расстоянии от ее источника О', для которой параметры будут обозначаться штрихом, для малых смещений времени и расстояния осуществляется преобразованиями:


, . (5.4)


Ввиду того, что в качестве аффинного параметра, или эталона измерения изменений, взято время , то есть время на часах, находящихся вне действия гравитации, для ненулевых компонент вектора четырех-скорости фотона мы получим


, . (5.5)

Подставив полученные отсюда значения в (1.14), с учетом равенства находим


, . (5.6)


С другой стороны, для системы отсчета в гравитационном поле мы можем написать выражение для энергии, аналогичное (1.4) , и для обобщенных импульсов:


, (5.7)


хотя метрические коэффициенты здесь будут уже другие. Сравнивая выражения для импульсов в обеих системах координат, получаем


, . (5.8)


Уравнения (5.3) дают значения обобщенных импульсов в системе отсчета О в точке, с которой связана система отсчета О'. Из уравнений связи импульсов в обеих системах координат получаем их значения в системе отсчета О' в точке, связанной с ней:


, . (5.9)


Таким образом, фотон, испущенный вне действия гравитационного поля и имеющий в момент испускания в локальной системе отсчета значения вектора энергии-импульса в смысле специальной теории относительности , будет иметь в локальной системе отсчета в точке на расстоянии от источника гравитации вектор энергии-импульса


. (5.10)


Этот результат согласуется с экспериментальными данными для гравитационного смещения частоты света.


6. Выводы.

Предложенное представление энергии светоподобной частицы позволяет использовать механику Лагранжа для анализа движения. Рассмотренная процедура получения уравнений движения с помощью варьирования интеграла энергии соответствует принципам вариационного исчисления в классической механике, согласно которым вариации движения должны быть кинематически возможными для системы. При данной постановке вариационной задачи виртуальные смещения координат не нарушают соответствия траектории светоподобной частицы в римановом пространстве-времени изотропному пути. Решение полученных уравнений экстремальной изотропной кривой для пространства-времени Шварцшильда до параметра дифференцирования совпадает с решением уравнений геодезических.

Полученным значениям обобщенных импульсов в локальной системе отсчета ставится в соответствие вектор энергии-импульса фотона в смысле специальной теории относительности.при выборе в качестве аффинного параметра времени в точке, где гравитация отсутствует. Найденные преобразования обобщенных импульсов для неподвижных систем отсчета в пространства-времени Шварцшильда соответствуют экспериментальным данным гравитационного красного смещения.


Литература


1) W.B. Belayev, Variation of the light-like particle energy and its critical curve equations, arXiv:0806.3350; W.B. Belayev, Application of Lagrange mechanics for analysis of the light-like particle motion in pseudo-Riemann space, ArXiv: 0911.0614.

2) Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория поля, шестое издание, М, «Наука», 1973; Г.К. Мак-Витти, Общая теория относительности и космология, Издательство иностранной литературы, М. 1961 (G.C. McVittie, General Relativity and Cosmology, London, Chapman and Hall Ltd. 1956.)

3) Ч. Миснер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация, издательство «Мир», М. 1977 (C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler, Гравитация, W.H. Freeman and Company, San-Francisco, 1973.)

4) L.B. Okun, Photons and static gravity, Mod.Phys.Lett.A15:1941,2000, arXiv:hep-ph/0010120.




Похожие:

1. Определение энергии и ее вариация iconОбмен веществ и энергии у подростков
Определение расхода энергии у подростков и правила подбора оптимального пищевого рациона
1. Определение энергии и ее вариация icon1. 4 законы сохранения и переноса энергии и момента импульса
Основная задача механики — определение закона движения системы материальных точек из уравнения движения по известному закону сил
1. Определение энергии и ее вариация iconДокументы
1. /вариация.doc
1. Определение энергии и ее вариация iconЗакон сохранения энергии Цель: дать понятие полной механической энергии, закона сохранения энергии, практическое применение закона сохранения энергии Кинетическая энергия
Цель: дать понятие полной механической энергии, закона сохранения энергии, практическое применение закона сохранения энергии
1. Определение энергии и ее вариация iconДокументы
1. /КП01/readme.txt
2. /КП01/курсач.doc
1. Определение энергии и ее вариация iconДокументы
1. /Раухвергер. Вариация из балета Чолпон.pdf
1. Определение энергии и ее вариация iconНациональное Агентство по Сбережению Энергии А. О. Эффективное использование энергии в электрических приводах
Ес-25 на 200 билионов кВч., что обозначает уменьшение выбросов на 100 млн тонн в год
1. Определение энергии и ее вариация iconНаибольший общий делитель. Цели урока
Ввести определение наибольшего общего делителя, определение взаимно простых чисел, показать запись
1. Определение энергии и ее вариация icon и давление волн на стенки
В процессе обмена энергией между излучением и возбужденными атомами в конечном итоге должно установиться равновесие, т е количество...
1. Определение энергии и ее вариация iconУтверждаю
Выдвижение гипотез исследования. Определение актуальности темы, а также Объекта и Предмета исследования. Определение методологии...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов