Отдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил icon

Отдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил



НазваниеОтдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил
страница1/6
Дата конвертации08.09.2012
Размер0.95 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6

ОТДЕЛ VIII

О НАХОЖДЕНИИ ОРБИТ, ПО КОТОРЫМ ОБРАЩАЮТСЯ ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАКИХ УГОДНО ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫХ

СИЛ

Предложение XL. Теорема XIII

Если тело под действием какой угодно центростремительной силы движется как бы то ни было, другое же тело движется прямолинейно, прямо к центру или от центра, и скорости обоих тел в некотором их положе­нии, в котором они равно удалены от центра сил, равны, то эти скорости бу­дут равны и но всяких других положениях обоих тел, равно удаленных от центра.

Пусть одно тело дви­жется из точки ^ А (фиг. 83) к центру С по прямой линии, другое же — из точки V по какой-либо кривой VJKk. Опишем из точки С произ­вольными радиусами CD и СЕ два концентрических круга DJ и КЕ, пересекающих прямую АС в точках D и Е, кривую же в точках J и К. Проведем CJ, и пусть N есть точка пересечения CJ к ЕК; опустим из этой точки нормаль NT. Положим теперь, что разность радиусов CD и СЕ, т. е. ED или JN, весьма мала и что скорости обоих тел, когда одно из них в D, другое в J, равны. Так как расстояние CD=CJ, то и центро­стремительные силы в точках D и J равны. Представим эти силы равными отрезочками DE и JN Силу JN разложим (след. II законов) на две, NT и JT. Сила NT, действуя перпендикулярно пути JTK тела, не будет изменять величины скорости тела, а будет лишь уклонять его от прямолинейного пути и заставлять, непрерывно отступая от касательной к орбите, описывать




— 176 —

криволинейный путь ^ JTKk. Вся эта сила и поглощается на производ­ство этого действия. Вторая же сила JT, действующая по направлению движения тела, будет целиком его ускорять, и в течение заданного, весьма малого, промежутка времени произведет приращение92 скорости, пропор­циональное своей величине; поэтому приращения скорости тел в точках В и J, происходящие в продолжение равных, весьма малых, промежутков вре­мени, будут пропорциональны длинам BE и JT (при этом предполагается, что берутся лишь начальные предельные отношения длин BE, JN, JK, JT, NT); при неравных же промежутках времени приращения скорости будут пропорциональны этим длинам и самим промежуткам времени.
Но промежутки времени, в продолжение которых проходятся пути BE и JK, по равенству скоростей пропорциональны пройденным путям BE и JK, следо­вательно приращения скорости при пробеге телом длин BE и JK относятся между собою, как произведения DE2:JTJK. Произведение же JT•JK=JN2=DE2, следовательно происходящие при переходе тел от D до J и от Е до К приращения скорости равны, значит и скорости в точках Е и К будут равны. Рассуждая таким же образом, убедимся, что эти скорости окажутся равными и для всех последующих положений тел, равно отстоя­щих от центра.

Совершенно так же тела, обладающие равными скоростями и движу­щиеся от центра, будут при равных расстояниях одинаково замедляться, и скорости их будут оставаться равными.

Следствие 1. Поэтому, если одно тело качается, будучи подвешено на нити или же вынуждается каким-нибудь совершенно гладким и скользким препятствием двигаться по кривой линии, другое же тело движется свободно, приближаясь или удаляясь от центра по прямой линии, и скорости обоих тел в каком-либо одинаковом расстоянии их от центра равны, то эти скорости останутся между собою равными и на любых равных расстояниях. Ибо натяжение нити или упор абсолютно скользкого препятствия оказывает то же самое действие, как и поперечная слагающая сила NT — тело от этого действия не ускоряется и не замедляется, а лишь побуждается укло­няться от прямолинейного пути.

Следствие 2. Пусть Р есть наибольшее расстояние от центра, на ко­торое может удаляться качающееся или обращающееся по какой-либо тра­ектории тело, если бы его в какой-либо ее точке подбросить прямо от центра

_______________

92 В тексте «Начал» везде приращения скорости называются «ускорениями»—«accele­ratio», но чтобы точно передать смысл, пришлось слово «ускорение», как имеющее теперь со­вершенно иное значение, заменить современным термином «приращение скорости».


— 177 —

с тою скоростью, которою оно в этой точке обладает; пусть ^ А есть расстоя­ние какой-либо другой точки орбиты, и пусть центростремительная сила пропорциональна какой-либо степени Аn-1, коей показатель n—1 есть лю­бое число n, уменьшенное на 1, тогда при всяком расстоянии А скорость тела будет пропорциональна (PnAn), т. е. известна, ибо скорость прямолиней­ного движения к центру или от центра пропорциональна этой величине, как показано в предложении XXXIX.93

Предложение ХLI. Задача XXVIII

Предполагая центростремительную силу какою угодно и допуская квадратуру кривых, требуется найти как траекторию, по которой бу­дет двигаться тело, так и закон его движения по найденной траектории.

Пусть какая-либо сила направлена к центру ^ С (фиг. 84) и требуется найти траекторию VJKk.

Точкою С, как центром, и начальным радиусом CV описывается круг RV, тем же центром и двумя какими-либо произвольными радиу­сами JD и КЕ описываются круги, пересекающие траекторию в точках J и К, прямую же СV в точках D и Е. Проведи прямую CNJX, пересе­кающую круги КЕ, VR в N и X, а также прямую CKY, пересекающую круг RV в Y. Пусть точки J и .K весьма близки друг к другу, и пусть тело переходит из V через J и К в k. Возьмем точку А так, что если тело начало бы из нее падать к центру, то придя в D, оно обладало бы такою же скоростью, какою обладает движущееся по орбите тело в J. Сохраняя обозна­чения предложения XXXIX, получим, что отрезочек JK, проходимый в про­должение постоянного, весьма малого, промежутка времени, пропорционален скорости, а следовательно, стороне квадрата, равномерного с площадью ABFD. Площадь треугольника JCK пропорциональна тому же промежутку

___________________

93 В этой теореме закон живых сил распространен на любое движение под действием центральной силы, и в следствии 2 дается и алгебраическое выражение этого закона для случая притяжения, пропорционального (n—l)-ой степени расстояния, причем n может быть какое угодно. В самом деле, при современных обозначениях, имеем



где h — произвольная постоянная. Ньютон ее определяет из условия, что при расстоянии r=r0 скорость v=0, значит будет



или, делая принятые в тексте обозначения r0=Р, r=A и замечая, что (2/n) — есть постоянный коэффициент, получим, что скорость v пропорциональна (PnAn).


— 178 —

времени, следовательно, KN обратно пропорционально расстоянию CJ, т. е. если взять какую-либо постоянную величину Q и обозначить длину CJ через А,

то KN будет пропорционально Q/A. Обозначим это количество через Z и положим, что величина Q выбрана так, что при каком-нибудь одном положе­нии тела



тогда и при всяком его положении будет



и значит,



отсюда



следовательно



и так как



то будет



Но так как



то



Следовательно, если по перпендикуляру ^ DF откладывать длины Db и Dc, соответственно равные



и



и провести кривые аb и ас, на которых постоянно лежат точки b и с, затем из точки V восставить к прямой АС перпендикуляр Va, ограничивающий криволинейные площади VDba, VDca, и провести ординаты Еz и Ех, то так как




— 179 —

т. е. что бесконечно малые приращения площадей VDba и VJC, а именно DbzE и JCK, и приращения площадей VDca и VCX, а именно DсхЕ и ХСY, соответственно равны, то и самые эти площади равны, т. е будет:

VDba=VJC и VDca=VCX

а так как площадь VJC пропорциональна времени, то и VDba будет про­порциональна времени. Следовательно, если задать время, протекшее после прохождения тела через точку V, то будет известна и пропорциональная



ему площадь ^ VDba, следовательно найдется расстояние CD или CJ тела до центра, а также и площадь VDca или равный ей сектор VCX, или, что то же, соответствующий ему угол VCJ. Когда же известны угол VCJ и расстояние CJ, то известно и место J, в котором тело находится в рас­сматриваемый момент времени.94

____________________

94 В этой задаче дается общий способ определения движения тела под действием цен­тральной силы, причем этот способ лишь с внешней стороны и обозначениями отличается от теперешнего.

В самом деле, будем пользоваться обычными теперь обозначениями; пусть CJ=r и угол VCJ=, начальное расстояние СV=r0 и начальная скорость v0, притягательная сила 2f(r), тогда по закону живых сил будет

(1)


— 180 —

Следствие 1. На основании вышеизложенного можно находить весьма просто наибольшие и наименьшие удаления тела от центра, т. е. вершины (апсиды) его орбиты. В самом деле, вершины суть те точки, в которых про­ходящая через центр прямая нормальна к траектории VJK, а это будет там, где прямые JK и JN между собою равны, следовательно, там где площадь ABFD равна Z2.

Следствие 2. Легко находится также и угол KJN, под которым тра­ектория пересекается в любом месте с прямою JC, по известному рассто­янию JC, стоит только взять синус этого угла равным отношению KN к JK, т. е. отношению Z к стороне квадрата, равномерного с площадью ABFD.

Ньютон берет расстояние СА=а так, чтобы было



и поэтому будет

(2)

т. е. v2 пропорционально площади ABFD.

С другой стороны, по закону площадей будет

(3)

или

(3')

но величина rd=EN, и следовательно, равенство Z=Q/A, при наших обозначениях, равносильно равенству



При теперешних обозначениях пишут



и, исключая dt, на основании равенства (3), выражающего закон площадей, получают



откуда

(4)

и затем



т. е.

(5)


— 181 —

Следствие 3. Если, приняв точку С (фиг. 85) за центр и точку V за главную вершину, описать какое-либо коническое сечение VRS и в какой-либо его точке R провести к нему касательную, пересекающую продолже­ние оси в точке Т, и, соединив CR, провести прямую СР так, чтобы было СР=СТ и чтобы угол VCP был пропорционален сектору VCR, то если к центру направлена сила, обратно пропорциональная кубу расстояний, и тело выходит из точки V со скоростью, направленной по прямой перпендикуляр­ной CV, то это тело будет двигаться по траектории VPQ, представляющей геоме­трическое место точек Р. Поэтому, если коническое сечение — гипербола, то тело приближается к центру, если — эллипс, то удаляется и уходит в бесконечность. Наобо­рот, если тело выходит из точки V с какою бы то ни было скоростью, то сообразно тому, начинает ли оно наискосок удаляться от центра, или приближаться к центру, фигура VRS будет или эллипс, или гипер­бола, и траектория может быть найдена увеличивая или уменьшая угол VCP в некотором заданном отношении. При изменении силы из центростремительной в центробежную, тело будет косвенно удаляться от центра по траектории VPQ, которая получится беря угол VCP пропорционально эллиптическому

___________________________

Равенство (4) и написано у Ньютона так:

(6)

В самом деле,

XY=XC•d, JN=dr, Q=c, c/r=Z

и



ясно, что формулы (4) и (6) отличаются лишь обозначениями. Вместо формулы (5) Ньютон берет формулу

(7)

выражающую пропорциональность площади сектора VJC времени. Понятно, что знаки инте­гралов у Ньютона заменены площадями соответствующих кривых.




— 182 —

сектору VRC, длину же СР равною длине СТ, как и раньше. Все это следует из предыдущего предложения и может быть найдено при помощи квадра­туры некоторой кривой; эту квадратуру, в виду достаточной ее легкости, я для краткости опускаю.95

_______________

95 Так как в этом случае будет



сообразно тому, притягательная или отталкивательная сила, то квадратуры, упоминаемые в этом следствии, выражаемые формулами (4) и (5) примечание 94, легко выполняются. Необ­ходимо при этом заметить, что в таблице формул, приложенных к сочинению Ньютона — «De quadratura curvarum», находятся все типичные интегралы простейших алгебраических функций, выражающиеся в конечном виде, и показаны способы разложения в ряды для не выра­жающихся в конечном виде.

Движение тела под действием силы, обратно пропорциональной кубу расстояния, по­дробно исследовано Котесом в его «Harmonia Mensurarum».

Но, чтобы получить эти результаты проще, можно воспользоваться формулою



приведенной в примечании 42.

Полагая 1/r = и обозначая коэффициент притяжения через 2, будем иметь уравнение



иначе



откуда следует:



причем постоянные произвольные определяются по начальным условиям, в подробное рассмо­трение чего входить не будем.

Нетрудно видеть, что траектория, указываемая в тексте, относится к этим типам. В са­мом деле, для случая эллипса вообразим, что из центра С радиусом CV описан круг, и пусть точке R эллипса на этом круге соответствует точка R1; тогда площади эллиптического и кру­гового секторов VCR и VCR1 будут находиться в постоянном отношении, значит и угол VCP= будет находиться в постоянном отношении к углу VCR1=; пусть будет =n. Очевидно, что подкасательная СТ для круга и эллипса одна и та же:



полагая



получаем уравнение траектории



заключающееся в формуле (1) при



Точно так же для гиперболы увидим, что траектории, даваемые построением Ньютона, заключаются в формуле (2).


— 183 —

Предложение XLII. Задача XXIX

^ При заданном законе центростремительной силы требуется опре­делить движение тела, выходящего из заданного места с заданною по ве­личине и направлению скоростью.

Сохраняя все так, как в предыдущих трех предложениях, положим, что тело выходит из заданного места ^ J (фиг. 86) по направлению отрезочка JK с такою скоростью, которую другое тело, падая под действием по­стоянной центростремительной силы из точки Р, приобрело бы, придя в D,



и пусть эта постоянная сила так относится к силе, действующей на первое тело в точке J, как DR к DF. Пусть тело пришло в точку k. Точкою С, как центром, и радиусом Сk опишем круг kе, пересекающий прямую РD в е, и проведем ординаты eg, ev, ew кривых BFg, abv, acw. По заданным прямоугольнику PDRQ и закону центростремительной силы, действующей на первое тело, найдется кривая BFg, по построению задачи XXVII и по ее следствию 1. Затем по заданному углу CJK будет известно начальное отношение бесконечно малых JK и KN, следовательно по построению за­дачи XXVIII найдется количество Q, а значит, и кривые abv и acw, следо­вательно, по истечении какого-либо заданного времени Dbve, найдется как

Траекторию формулы (1) Ньютон дает еще и в следствии 6 предложения XLIV, указывая и более простое и очевидное построение формулы




— 184 —

расстояние тела Се или Сk, так и площадь Dcwe, равная площади сек­тора ХСу, значит найдется и угол JCk, т. е. и то место k, в которое тело пришло.96

Во всех этих предложениях предполагается, что центростремительная сила изменяется при удалении от центра по любому закону, какой кому угодно будет вообразить, но при одинаковых от центра расстояниях она должна быть везде одна и та же.97

Однако до сих пор движение тел по неподвижным орбитам рассмо­трено достаточно, остается еще немного кое чего добавить о движении тел по орбитам, обращающимся около центра сил.

ОТДЕЛ IX

^ О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ ПО ПОДВИЖНЫМ ОРБИТАМ И О ПЕРЕМЕЩЕНИИ АПСИД

Предложение ХLIII. Задача XXX

Требуется заставить тело двигаться по заданной вращающейся около центра сил траектории одинаково с другим телом, движущимся по та­кой же покоящейся траектории.

Пусть по заданной неподвижной орбите ^ VPK (фиг. 87) обращается тело Р, двигаясь от V к К. Из центра С проводится прямая Ср, равная СР, так, чтобы угол VCp, ею составляемый с прямою CV, был постоянно про­порционален углу VCP; тогда площадь, описываемая прямою Ср, будет так относиться к площади VCP, описываемой одновременно с нею прямою СР, как угловая скорость описывающей прямой Ср к скорости прямой СР, т, е. как угол VCp к углу VCP, т. е. будет в постоянном отношении к этой по­следней, следовательно площадь VCp будет пропорциональна времени.

Таким образом площадь, описываемая прямою Ср на неподвижной плоскости, пропорциональна времени, следовательно тело при действии над­лежащей центростремительной силы может двигаться так, чтобы постоянно совпадать с точкою р, описывая на неподвижной плоскости но вышеприве­денному закону ту же кривую, как и эта точка.

Пусть угол ^ VCu равен углу РСр и длина Сu равна длине CV; тогда фигура uСр будет равна фигуре VCP и тело, находящееся постоянно в р,

____________________________

96 В этой теореме выясняется главным образом, как определяются величина 2 в выра­жении притягательной силы и постоянная площадей с, что необходимо для применения формул предыдущей задачи, чтобы от пропорций перейти к уравнениям, в которых «коэффици­енты пропорциональности» известны.

97 Этою оговоркою устанавливается, что закон живых сил применим лишь для сил :«центральных», как их называют теперь, т. е. зависящих только от расстояния до центра.


— 185 —

будет двигаться по вращающейся кривой uСр и опишет на ней дугу up в то же самое время, в какое другое тело Р описывает равную и подобную дугу на неподвижной кривой VPK, поэтому стоит только определить (предл. VI, след. 5) центростремительную силу, под действием которой тело могло бы описывать на неподвижной плоскости ту кривую, которую описы­вает на ней точка р, и задача будет решена.

Предложение XLIV. Теорема XIV

Разность сил, заставляющих двигаться одно тело по неподвижной орбите, другое по такой же орбите, но равномерно вращающейся, обратно пропорциональна третьей степени расстояния этих тел до центра.




Пусть части up и рk (фиг. 88 а) вращающейся орбиты соответственно подобны и равны частям ^ VP, РК орбиты неподвижной, причем расстоя­ние РК точек Р и К предполагается весьма малым. Из точки k опускается на прямую рС перпендикуляр kr и продолжается до точки m так, чтобы было

mr:kr=VCp:VCP.

Так как постоянно расстояние РС=рС и КС=kС, то и приращения длин РС и рС будут постоянно между собою равны; поэтому, если движение тел Р и р разложить (след. II законов) на два, из которых одно направлено к центру, т. е. по прямым РС и рС, другое же — к этим линиям соответ­ственно перпендикулярно, то перемещения по направлению к центру будут


— 186 —

между собою равны, перпендикулярные же перемещения будут относиться друг к другу, как угловые перемещения прямых Ср и СР, т. е. как углы VCp и VCP; поэтому в продолжение того времени, в которое тело, вслед­ствие обоих своих движений, переходит в точку К, тело р, сделав равное перемещение по направлению к центру С, придет к концу того же проме­жутка времени куда-нибудь на прямую mkr, проходящую через k и перпен­дикулярную к рС, вследствие же поперечного перемещения удалится от прямой рС на величину, которая так относится к поперечному перемеще­нию тела Р, как поперечные скорости этих тел, а так как поперечное пере­мещение тела Р есть kr, то поперечное перемещение mr тела р опреде­лится пропорцией

mr:kr=VCp:VCP.

Следовательно, по прошествии сказанного промежутка времени тело р оказалось бы в точке m. Так оно бы и было, если бы тела Р и р двигались одинаково по прямым рС и РС, т. е. находились бы под действием равных сил, направленных по этим прямым. Но если взять угол рСn так, чтобы было

pCn:pCk=VCp:VCP и

nС=kС

то в точке n получится то истинное место тела р, куда оно на самом деле приходит. Отсюда видно, что если угол рСn больше угла рСk, т. е. когда орбита uрk вращается в ту же сторону, как и радиус РС, или в сторону обратную, но со скоростью, более, нежели в два раза, превосходящею ско­рость радиуса СР, то тело р находится под действием силы большей нежели тело Р, и под действием силы меньшей, нежели тело Р, когда орбита вра­щается в сторону обратную со скоростью меньшею, нежели удвоенная скорость радиуса СР. Разность сил пропорциональна расстоянию mn между теми местами тела р, на которое тело в продолжение заданного промежутка времени перемещается под действием силы.

Центром С и радиусом Сn или Сk описывается круг, пересекающий продолжение прямых mr и nm в точках s и t; тогда будет

mn:mk=ms:mt следовательно

mn=mk•ms/mt


— 187 —

так как при постоянной величине промежутка времени площади рСk и рСn также постоянны, то длины kr и mr, а также и их разность и сумма обратно пропорциональны расстоянию рС, следовательно произведение mk•ms обратно

пропорционально квадрату расстояния рС. Но mt пропорционально 1/2mt, т. е.

расстоянию рС, следовательно величина mk•ms/mt, т. е. отрезочек mn, обратно

пропорциональна кубу расстояния рС. Все эти отношения суть предельные, поэтому и пропорциональная величине mn разность сил обратно пропорцио­нальна кубу 98 расстояния рС.

Следствие 1. Разность сил в точках Р и р или в точках К и k так относится к силе, под действием которой тело могло бы, обращаясь по кругу, прийти из R в К в то же самое время, в которое, двигаясь по неподвижной

__________________

98 Обозначал через  — бесконечно малый промежуток времени и через  — ускорение той силы, от действия которой происходит отклонение mn, будем иметь



пусть для площадей VCp и VCP соответствующие постоянные суть с1 и с и расстояние

Ср=СР=А как оно обозначено ниже у Ньютона. Тогда будет:



Затем




следовательно



Ньютон полагает



на основании этого будет

(1)

причем с есть постоянная площадей для неподвижной орбиты.

Величине c2/A3 в следствии 1 придается механическое толкование, именно как такой

силы, под действием которой тело может двигаться по кругу равномерно, причем постоянная площадей равна с; в самом деле, для такого кругового движения будет



следовательно



и значит,

(2)


— 188 —

орбите, оно описывает дугу РК, как бесконечно малый отрезочек mn от­носится к синусу верзусу бесконечно малой дуги RK, т. е. как



т. е. в пределе как mk•ms:rk2. Следовательно, если угол

VCP:Vcp=F:G то предыдущее отношение будет



Поэтому, если из центра С радиусом CP или Ср описать сектор, равный площади VCP, описываемой радиусом СР, то разность сил, действующих на тела Р и р и заставляющих первое из них описывать неподвижную ор­биту, второе — подвижную, так относится к такой центростремительной силе, под действием которой любое из этих тел, двигаясь равномерно по кругу, описывало бы его радиусом в одинаковое время сектор, коего площадь равна площади VPC, как (G2F2):F2, ибо сказанный сектор и площадь рСk относятся друг к другу, как времена описания их.

Следствие 2. Если орбита VPK есть эллипс, коего фокус С и даль­няя вершина V, и берется равный и подобный ему эллипс uрk так, чтобы было постоянно

рС=РС

и

VCp:VCP=G:F

расстояние же РС или обозначить через A и параметр эллипса — через 2R, то сила, под действием которой тело может обращаться по подвижному эллипсу, будет пропорциональна количеству



и наоборот.99 Действительно, если силу, под действием которой тело обращается по неподвижному эллипсу, выразить количеством F2/A2, тогда сила,

______________________

99 В примечании 45 приведено выражение силы, обратно пропорциональной квадрату расстояний, под действием которой тело описывает коническое сечение

Но в данном случае полагается



p=R


— 189 —

действующая в точке V, будет F2/CV2. Сила же, под действием которой тело

при расстоянии CV могло бы двигаться по кругу с такою же скоростью, какую имеет тело, движущееся по эллипсу в вершине V, так относится к силе, действующей в этой вершине, как полупараметр эллипса к полудиаметру CV круга, и следовательно, составит F2•R/CV3, сила же, относящаяся

к ней, как (G2F2):F2, составит (G2F2)•R/CV3,но эта последняя сила

(по след. 1) равна разности сил, действующих в точке V на тело Р, движу­щееся по неподвижному эллипсу VPK, и на р, движущееся по подвижному эллипсу uрk.

Но так как при расстоянии А эта разность относится к таковой же при

расстоянии CV, как 1/A3:1/CV3, то она составит (G2F2)•R/A3 и приложится

к той силе F2/A2, под действием которой тело обращается по неподвижному

эллипсу, так что полная сила, которая может заставить тело обращаться по подвижному эллипсу uрk в такое же время, как предыдущая по непо­движному, составит



Следствие 3. Таким же образом получится, что если неподвижная орбита VPK есть эллипс, коего центр ^ С совпадает с центром сил С, по­движная же орбита uрk равна и подобна неподвижной и 2R есть параметр этого эллипса, 2Т — его большая ось и отношение VCp:VCP=G:F, то силы, под действием коих одно тело будет обращаться по неподвижному эллипсу, другое в то же самое время — по подвижному, относятся 100 между собою, как



________________

значит будет



следовательно



Это и есть формула следствия 2, ибо c2/RF2 есть постоянная.

100 На основании формулы (*) примечания 44, будем иметь



следовательно будет




— 190 —

Следствие 4. Вообще, если наибольшее удаление CV тела обозначить через ^ Т, радиус кривизны орбиты VPK в точке V обозначить через R и центростремительную силу, под действием которой тело могло бы описы­вать какую-либо неподвижную траекторию, положить для точки V равной



во всяком же другом месте Р обозначить через X, расстояние СР обозна­чить через A и взять по-прежнему G:F=VCp:VCP, то центростреми­тельная сила, под действием которой тело могло бы обращаться по той же

траектории uрk, но равномерно вращающейся, описывая ее в одинаковое время, будет выра­жаться 101 суммою



Следствие 5. Когда движение тела по какой-либо неподвижной орбите задано, то можно увеличивать или уменьшать угловое его движение около центра сил в заданном отношении и находить новые неподвижные орбиты, по которым тело будет обращаться под действием новых центро­стремительных сил.

Следствие 6. Если провести неограниченную прямую VP (фиг. 88 b) перпендикулярно к заданной по положению прямой CV и, соединяя СР, откла­дывать равную ей длину Ср под углом VCp к прямой CV, находящимся к углу VCP в постоянном отношении, то сила, под действием которой тело р может двигаться по этой кривой Vpk, будет обратно пропорциональна кубу расстояния Ср, ибо тело по прямой VP может двигаться по инерции без действия какой-либо силы. Следовательно, когда приложенная сила, напра-



____________________

101 При сделанных обозначениях, полагая скорость тела в точке V равной v, будем иметь



и

следовательно будет



и



а так как 1=X, то и получится приведенная в тексте формула.


— 191 —

вленная к центру, обратно пропорциональна кубу расстояния СР или Ср, то по только что доказанному прямолинейное движение обратится в криволиней­ное по Vpk. Эта кривая Vpk одинакова с тою VPQ, которая найдена выше {предл. XLI, след. 3) и по которой, как там указано, тело под действием такого рода силы движется косвенно, удаляясь от центра.

Предложение XLV. Задача XXXI

^ Требуется определить движение вершин (апсид) орбит, весьма близ­ких к кругу.

Эта задача решается вычислением, распоряжаясь так, чтобы орбита, описываемая на неподвижной плоскости движущимся по неподвижному эллипсу телом, приближалась по своему виду к той, движение вершин кото­рой ищется, и определяя затем вершины этой описываемой на неподвижной плоскости орбиты. Орбиты же получаются одинакового вида, если при сра­внении центростремительных сил, под действием которых они описываются, окажется, что эти силы, при одинаковых расстояниях, между собою пропор­циональны.

Пусть точка ^ V есть дальняя вершина орбиты; обозначим через A — рас­стояние СР или Ср, через Т— наибольшее расстояние CV, через X— разность расстояний CVСР. Сила, под действием которой тело может двигаться по вращающемуся около своего центра С эллипсу, выражается (предл. XLVI. след. 2) так:



Подставляя в числителе ТX вместо A, получим



Также и выражение всякой другой центростремительной силы надо привести к виду дроби, коей знаменатель был бы A3, после чего, собрав подобные члены, положить, что числитель этой дроби и дроби (*) пропор­циональны.102 На примерах дело становится очевидным.

_____________________

102 Это место высказано столь кратко, что для правильного его понимания надо сперва прочесть указанные примеры, и тогда обнаружится, что предлагаемое правило можно выска­зать подробнее так: для орбиты, весьма близкой к кругу, описываемой под действием заданной центростремительной силы, надо представить выражение, показывающее зависимость этой силы от расстояния A в виде дроби, знаменатель которой A3. В числителе полученной дроби написать Т X вместо A и разложить его в ряд по степеням буквы X. Пусть полученное разложение будет




или, что то же,




— 192 —

Пример 1. Положим, что центростремительная сила — постоянная, т. е.

пропорциональная A3/A3 или, написав в числителе ТX вместо A,



Собирая и сравнивая члены, содержащие и не содержащие букву X, имеем пропорцию



так как орбита предполагается весьма близкой к кругу, то в пределе, когда она сольется с кругом, надо взять R=Т и X бесконечно малым, и предель­ные отношения будут



или



т. е.



и значит,



Так как тело, при движении по неподвижному эллипсу, при переходе от дальней до ближней вершины описывает угол VCP (если можно так вы­разиться) в 180°, то другое тело, движущееся по подвижному эллипсу, а значит, и по той неподвижной орбите, о которой идет речь, при переходе

от дальней до ближней вершины опишет угол ^ VCp, равный 180°/3. Это происходит от подобия орбиты, описываемой телом под действием постоянной центростремительной силы, и орбиты, которую описывает тело на неподвижной плоскости, совершая обороты по вращающемуся эллипсу. При помощи вышеуказанного приведения членов подобие орбит достигается не вообще,

________________________

Условие пропорциональности этой дроби и дроби (*) будет



Так как орбита весьма близка к кругу, то в пределе будет



обозначая через M0 и N0 — величины, в которые обратятся M и N, когда в них будет положено Т=R, получим RG2:M0=F2:N0. Откуда и найдется искомое отношение




— 193 —

а лишь в том случае, когда они обе весьма близки к кругу. Итак, тело, обращающееся под действием постоянной центростремительной силы по орбите, весьма близкой к кругу, будет описывать между дальнею и ближнею

вершиною угол при центре в 180°/3=103°55'23", т. е. при переходе тела

из дальней вершины в ближнюю радиус, проведенный к телу, описывает этот угол, затем при переходе от ближней вершины до дальней опять опи­сывается этот угол и т. д. до бесконечности.

Пример 2. Положим, что центростремительная сила пропорциональна

какой-либо (n—3)-ей степени расстояния A, т. е. An-3 или An/A3, причем

показатели n и n—3 могут быть какие угодно числа,103 положительные, отрицательные, целые или дробные, рациональные или иррациональные. При разложении числителя дроби An или (ТX)n по нашему ряду, получим



При сличении этих членов с членами числителя дроби (*)



получим



переходя к пределу, когда орбиты круговые, будем иметь



или



Откуда следует



и значит,



Так как при движении по эллипсу угол ^ VCP, описываемый при пере­ходе от дальней вершины до ближней, составляет 180°, то угол VCp между

_____________________

103 Обобщение понятия о степени и ее показателе на какие угодно числа принадлежит Ньютону. Следует также обратить внимание на то, что разложение величины (ТХ)n по формуле «бинома», которую он называет «наш ряд», пишется для всякого показателя n. Указания, каким образом такие разложения производить, находятся в сочинении Ньютона — «Analysis per aequationes numero terminorum infinitas», которое было сообщено в рукописи Барроу

в 1669 г., но не было издано до 1711 г. Это есть один из примеров, где Ньютон — пользуется в своих «Началах» математическими методами, ему известными, но не опубликованными.


—194—

апсидами орбиты, весьма близкой к кругу, описываемой под действием центро­стремительной силы, пропорциональной степени n—3 расстояния, т. е. An-3,

составит 180°/n. По повторении этого угла, тело перейдет из ближней вершины опять в дальнюю и т. д. до бесконечности. Таким образом, если центро­стремительная сила пропорциональна первой степени расстояния, т. е. А

или A4/A3, то n=4, и n=2, и угол между вершинами равен 90°, так что

тело, совершив четверть оборота, придет из дальней вершины в ближнюю, по совершении еще одной четверти — опять в дальнюю и т. д. поочередно до бесконечности. Это подтверждается также предложением X, ибо под действием такой силы тело описывает неподвижный эллипс, коего центр совпадает с центром сил.

Когда сила обратно пропорциональна расстоянию, т. е. 1/A или A2/A3

то n=2, и расстояние между вершинами составит



поэтому тело, обращающееся под действием такой силы, будет переходить от одной вершины к другой, постоянно повторяя этот угол.

Далее, если центростремительная сила будет обратно пропорциональна



то



поэтому тело, выйдя из дальней вершины, будет все время приближаться к центру и, совершив полный оборот, придет в ближнюю вершину, затем будет все время удаляться от центра и, совершив полный оборот, придет опять в дальнюю вершину и т. д. до бесконечности.

Пример 3. Пусть m и n суть два какие угодно заданных показателя, b и с — два каких-либо числа; положим, что центростремительная сила про­порциональна

т. е.




— 195 —

разложение в сходящийся ряд будет



по приведении и сличении членов получим



и по переходе к пределу, когда орбита весьма близка к кругу, получим



и значит, будет



приняв в этой пропорции CV, т. е. Т за 1, имеем



Так как угол ^ VCP между дальней и ближней вершиною при движении по эллипсу составляет 180°, то угол VCp между вершинами при движении тела по орбите, весьма близкой к кругу, под действием центростремительной силы, пропорциональной величине равен



Рассуждая совершенно так же, увидим, что когда центростремительная сила пропорциональнато угол между вершинами будет



Подобным же образом задача решается и в более трудных случаях: величина, которой пропорциональна центростремительная сила, должна быть разлагаема в ряд и должна иметь своим знаменателем A3. Затем, в числи­теле члены, не содержащие буквы X и содержащие таковую, полагаются пропорциональными R(G2F2)+F2T и —F2X; отбросив уничтожаю­щиеся члены и заменив Т через 1 и получим отношение G к F.


— 196 —

Следствие 1. Поэтому, если центростремительная сила пропорцио­нальна какой-либо степени расстояния, то эту степень можно определить по движению апсид, и наоборот. Именно, если полное угловое перемещение тела, после которого оно возвращается вновь в ту же вершину, так отно­сится к полному его обороту или 360°, как число m к n, расстояние же обозначить через А, то сила пропорциональна Ap, причем показатель сте­пени р равен n2/m2—3, как это доказано во втором примере.

Отсюда следует, что сила эта не может уменьшаться при удаление от центра в отношении большем, нежели куб расстояния, ибо тело, обращаю­щееся под действием силы, обратно пропорциональной кубу расстояния, если начнет, после прохождения через вершину, приближаться к центру, описы­вая ту кривую, о которой сказано в предложении XLI, следствии 3, то оно никогда не дойдет до ближней вершины, т. е. до наименьшего расстояния, но будет постоянно приближаться к центру. Если же оно, пройдя вершину, начнет хотя бы ничтожно удаляться, то оно будет продолжать удаляться в бесконечность, никогда не достигая дальней вершины, и будет описывать ту кривую, о которой сказано как в вышеупомянутом следствии предложе­ния XLI, так и в следствии 6 предложения XLIV. Подобно этому, когда сила убывает при удалении от центра в отношении большем, нежели куб расстояния, то тело, пройдя вершину, если начнет приближаться или удаляться от центра, то и будет или приближаться, пока не достигнет центра, или же будет удаляться в бесконечность.

Если же сила, при увеличении расстояния от центра, или убывает в отношении, меньшем куба расстояния, или возрастает с расстоянием в ка­ком угодно отношении, то тело приближается к центру лишь до тех пор, пока не достигнет ближней вершины; и обратно, если тело переходит от одной вершины к другой, поочередно приближаясь и удаляясь от центра, не достигая его, то сила или возрастает вместе с расстоянием от центра, или же убывает, но в отношении, меньшем куба расстояний; при этом, чем чаще тело переходит из одной вершины в другую, тем более отступает пропорциональность силы от указанной кубичной.

Так, если тело проходит через дальнюю вершину через каждые 8,4, 2,

или 1 — полных оборота, поочередно приближаясь и удаляясь от центра, т. е. если m/n равно или 8, 4, 2, или 11/2 то n2/m2—3 будет соответственно:

1/64—3, 1/16—3, 1/4—3, 4/9—3


— 197 —

и сила будет пропорциональна или



т. е. обратно пропорциональна



Если тело после каждого оборота будет возвращаться в ту же самую вер­шину, которая, следовательно, остается неподвижной, так что m/n=1, то

будет



т. е. сила обратно пропорциональна квадрату расстояния, как это уже по­казано выше.

Если же тело возвращается в ту же самую вершину после



полного оборота, то m/n равно или

2/4, 2/3, 1/3, или 1/ 4

и значит, будет или



т. е. сила будет или обратно пропорциональна А11/9 или А3/4, или же она будет прямо пропорциональна А6 или А13. Поэтому, если тело, при переходе из даль­ней вершины в дальнюю же, делает, сверх полного оборота, еще 3°, иначе — за время полного оборота тела эта вершина перемещается в сторону дви­жения на 3°, то будет

m:n=363:360=121:120,

и следовательно,



т. е. сила обратно пропорциональна А29523/14640 или приблизительно

следо­вательно, в этом случае центростремительная сила убывает в отношении


— 198 —

немного большем, нежели квадрат расстояния, но это отношение в 593/4 раза

ближе к квадрату, нежели к кубу.

Следствие 2. Таким образом, если тело под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, обращается по эллипсу, имеющему свой фокус в центре сил, и к этой центростремительной силе или будет при­бавлена, или от нее будет отнята, какая-либо внешняя сила, то можно найти (по примеру 3) движение апсид, происходящее от этой внешней силы, и наобо­рот. Так, если сила, вследствие которой тело движется по эллипсу, пропорциональна 1/A2, отнимаемая же внешняя сила пропорциональна расстоянию, т. е.

выражается формулою сА, так что остающаяся сила будет пропорциональна (AcA4)/A3, то при обозначениях примера (3) будет:

b=1, m=1, m=4 и значит, угловое расстояние между апсидами будет



Положим, что эта внешняя сила в 357,45 раза слабее, нежели сила, заста­вляющая тело описывать эллипс,* т. е. возьмем



то при

А=Т=1

будет

т. е. тело, пройдя через дальнюю вершину и описав по орбите угол в 180° 45' 44", придет в ближнюю вершину, по удвоении же этого угла опять вернется в дальнюю вершину, следовательно перемещение дальней вершины за один оборот составит 1° 31' 28". Движение апсид Луны прибли­зительно вдвое быстрее.

О движении тел по таким орбитам, коих плоскости проходят через центр сил, сказанного достаточно. Остается определить движение тел в пло­скостях, не проходящих через центр сил. Авторы, рассматривающие дви-

___________________

* В таком отношении находится так называемая постоянная часть возмущающей силы Солнца к силе притяжения Луны Землею.


— 199 —

жение тяжелых тел, разбирают обыкновенно восходящее и нисходящее движение по заданным наклонным плоскостям, как косвенное, так и прямое; соответственно этому следует рассмотреть и движение тел под действием сил, направленных к постоянному центру, происходящее в плоскостях, не проходящих через этот центр. Мы будем предполагать, что эти плоскости совершенно гладки и скользки, так что они нисколько не замедляют дви­жения. Кроме того, при следующих ниже доказательствах, вместо тех плоскостей, на которые опираются тела, касаясь их, будем брать плоскости, им параллельные, по которым движутся центры тел, описывая при этом движении некоторые орбиты. Таким же образом мы будем затем рассматри­вать и движение тел по кривым поверхностям.

ОТДЕЛ X

  1   2   3   4   5   6




Похожие:

Отдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил iconЗакон Ньютона. Решение задач о движении тела под действием нескольких сил
Цели и задачи: организовать деятельность учащихся по изучению второго закона Ньютона; содействовать формированию умений решать задачи...
Отдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил iconОтдел V о нахождении орбит, когда ни одного фокуса не задано 65
В, cd, ас, db четырехугольника, если надо продолженным, то произведения pq•pr и ps•pt отрезков, проведенных к противоположным сторонам,...
Отдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил icon2. Тело массой 4 кг под действием некоторой силы приобрело ускорение 2 м/с
Какую массу имеет лодка, если под действием силы 100 н она движется с ускорением 0,5 м/с2?
Отдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил iconДокументы
1. /Пожарский/V 20 правил игры в эндшпиле.doc
2. /Пожарский/V-1...

Отдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил iconДепартамент образования Ярославской области Центр образования школьников «Олимп» Всероссийская олимпиада школьников 2008-2009 учебного года Физика, 11 класс, муниципальный этап
Санки движутся по наклонной плоскости горки под действием сил тяжести, трения и реакции опоры
Отдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил iconСамостоятельная работа «Законы Ньютона» Вариант 1 Тело массой 0,5 кг движется под действием силы 35 н из состояния покоя. Какова его скорость в первые 4 с движения?
Тело массой 0,5 кг движется под действием силы 35 н из состояния покоя. Какова его
Отдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил iconФилософия космической реальности*
Лучшие умы обращаются к факторам взаимодействия Космических Сил с судьбами земных народов
Отдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил icon«Я» ученик «Я» ученик
Ресурсом называют запас или источник средств, к которым обращаются в нужном случае
Отдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил iconЛабораторная работа №8 Выяснение условий плавания тела в жидкости Цель работы : на опыте выяснить условия, при которых тело плавает и при которых тонет
...
Отдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил iconУрок №1 /15. Тема урока: Сила как характеристика взаимодействия. Динамометр. Ньютон единица измерения силы. Цели урока
Сформировать понятие силы как количественной характеристики действия одного тела на другое. Познакомить с основными видами сил: сила...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов