Отдел XII о притягательных силах сферических тел icon

Отдел XII о притягательных силах сферических тел



НазваниеОтдел XII о притягательных силах сферических тел
страница1/4
Дата конвертации08.09.2012
Размер0.74 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4

ОТДЕЛ XII

О ПРИТЯГАТЕЛЬНЫХ СИЛАХ СФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Предложение LXX. Теорема XXX

Если к отдельным точкам сферической поверхности направлены равные центростремительные силы, убывающие в отношении квадратов расстояний до этих точек, то частица,118 помещенная внутри этой поверхности, от таких сил ни в какую сторону притяжения не испытывает.

_____________________

118 Под словом «точки» (puncta) сферической поверхности надо разуметь бесконечно малые элементы этой поверхности, причем притяжение каждым элементом предполагается пропорциональным его площади, так что притяжения элементами, равными по площади, равны; это и выражается словами: «к отдельным точкам поверхности направляются равные центростремительные силы».

Когда же говорится о «точках» тела, то надо разуметь бесконечно малые элементы его объема в принимать притяжение пропорциональным величине этого объема (для однородных тел).

Притягиваемую массу Ньютон обозначает словом «corpusculum» — «тельце»; в переводе принято слово «частица», «тело» или «масса», причем надо иметь в виду, что размеры этой притягиваемой частицы предполагаются бесконечно малыми, так что при теперешней терминологии эти слова равносильны термину «материальная точка».


— 245 —

Пусть ^ HJKL (фиг. 102) — сказанная сферическая поверхность, Р— частица, внутри ее находящаяся; проведем через Р две прямые НК и JL, заключающие весьма малые дуги HJ, KL; так как треугольники HPJ и LPK (лем. VII, след. 3) подобны, то эти весьма малые дуги будут пропорцио­нальны расстояниям HP и PL, и весьма малые части сферической поверхности, прилегающие к HJ и KL и ограниченные прямыми, проведенными через точку Р, будут находиться в отношении квадратов длин РН и РК, следовательно силы притяжения этих малых частей поверхности на точку Р между собою равны, ибо эти силы прямо пропорциональны этим частям поверхности и об­ратно пропорциональны квадратам расстояний. Эти же два отношения по перемножении дают 1, следовательно эти притяжения, направленные в противоположные стороны, взаимно уничтожаются. Из этого рассуждения следует, что притяжение всей сферической поверхности, как состоящее из противоположных элементов, уничтожается, следовательно частица Р ни в какую сторону этим притяжением к движению не побу­ждается.

Предложение LXXI. Теорема XXXI

При тех же предположениях утверждаю, что частица, находящаяся вне сферической поверхности, притягивается к центру сферы с силою, обратно пропорциональною квадрату ее расстояния до центра сферы.

jpg" name="graphics1" align=bottom width=129 height=143 border=0>


Пусть AHKB, ahkb (фиг. 103) — две равных сферических поверхности, описанных из центров S и s на диаметрах АВ и аb, Р и p — частицы, лежащие на продолжении этих диаметров. Проведем через Р и р прямые РНК, PJL,


— 246 —

phk, pil, отсекающие от больших кругов AHB и ahb равные дуги HK и hk, JL и il, и опустим на эти прямые перпендикуляры SD и sd, SE и se, JR и ir, из коих SD и sd пересекают PL и pl в F и f. Опустим также на диа­метры перпендикуляры JQ и iq. Когда углы DPE и dpe бесконечно малые, то в виду равенств

DS=ds и ES=es

длины РЕ с PF и ре с pf и отрезочки DF с df можно счесть за равные, ибо предельные их отношения, при совместном исчезании углов DPE и dpe, равны единице. На основании этого будет:

PJ:PF=RJ:DF

pf: pi=df:ri=DF:ri.

Отсюда

(лем. VII, след. 3). (1)

С другой стороны,

^ PJ:PS =JQ:SE

ps:pi=se:iq=SE:iq. Откуда

PJ•ps:PS•pi=JQ:iq. (2)

По перемножении пропорций (1) и (2) получится



последнее же отношение равно отношению частей сферических поверхностей (шаровых поясов), описываемых дугами JH и ih при обращении полукругов AKB и аkb около диаметров и аb. Силы же, с которыми отдельные элементы этих поясов притягивают к себе частицы Р и р, по предположению пропорциональны величине этих элементов и обратно пропорциональны квадратам расстояний до них, т. е. относятся друг к другу, как

pf•ps:PF•PS.

Но эти силы так относятся к своим составляющим (след. II законов), направлен­ным по прямым PS и ps к центрам шаров, как PJ:PQ и как pi:pq, т. е., в виду подобия треугольников PJQ и PSF, piq и psf, как PS:PF и как ps:pf. Отсюда следует, что притяжение частицы Р к центру S относится к притя­жению р к s, как




— 247 —

На основании такого же рассуждения и притяжения поясов, описанных дугами, KL и kl находятся друг к другу в том же отношении ps2:PS2, сле­довательно в этом же отношении будут находиться и притяжения всех шаровых поясов, на которые разобьется каждая из сферических поверх­ностей, если брать постоянно:

sd=SD и se=SE.

Слагая, получим, что и силы притяжения упомянутых частиц Р и р целыми сферическими поверхностями будут находиться в том же отношении.

Предложение LXXII. Теорема XXXII

Если к отдельным точкам какого угодно шара направляются равные центростремительные силы, убывающие пропорционально квадратам рас­стояний до этих точек, и задается плотность шара и отношение его диа­метра к расстоянию частицы до его центра, то я утверждаю, что ча­стица притягивается пропорционально полудиаметру шара.

Вообрази, что две частицы, каждая в отдельности, притягиваются двумя шарами, одна — одним, другая — другим, что расстояния частиц про­порциональны диаметрам соответствующих шаров и что эти шары разделены подобным образом на весьма малые элементарные объемы, расположенные по­добным образом относительно притягиваемых частиц; тогда отношение при­тяжения одной частицы к отдельным элементам притягивающего ее шара к притяжению другой частицы к соответствующим элементам другого шара равно произведению прямого отношения этих элементарных объемов на обратное отношение квадратов расстояний до них. Но эти элементарные объемы пропорциональны полным объемам самих шаров, т. е. кубам диа­метров, расстояния же по условию пропорциональны диаметрам, поэтому произведение вышеупомянутых прямого и обратного отношений равно отно­шению диаметров.

Следствие 1. Поэтому, если частицы обращаются по кругам вокруг шаров, состоящих из вещества, притягивающего одинаково, и расстояния частиц до центров шаров пропорциональны диаметрам, то времена обраще­ния равны.

Следствие 2. Обратно, если времена обращения равны, то расстояния пропорциональны диаметрам. Оба эти следствия имеют место на основании следствия 3. предложения IV.

Следствие 3. Если к отдельным точкам двух каких угодно тел, между собою подобных, однородных и одинаковой плотности, направляются рав­ные центростремительные силы, убывающие пропорционально квадратам


— 248 —

расстояний, то силы, с которыми этими телами притягиваются частицы, сходственным образом расположенные, пропорциональны линейным раз­мерам тел.

Предложение LXXIII. Теорема XXXIII

^ Если к отдельным точкам какого-либо шара направляются равные центростремительные силы, убывающие пропорционально квадратам рас­стояний до точек, то я утверждаю, что частица, находящаяся внутри

шара, притягивается пропорционально ее расстоянию до центра шара.

Пусть в шаре ABCD (фиг. 104), опи­санном из центра ^ S, помещена частица Р. Вообрази, что из центра S радиусом SP опи­сана внутренняя сферическая поверхность PEQF. Очевидно (по предл. LXX), что кон­центрические сферические поверхности, из которых состоит слой AEBF, представляю­щий разность объемов шаров ABCD и PEQF, не оказывают на частицу Р никакого дей­ствия, ибо их притяжения уравновешиваются.

Остается только притяжение внутреннего шара, которое, по предложе­нию LXXII, пропорционально расстоянию ^ PS.

ПОУЧЕНИЕ

Поверхности, из коих слагаются тела, надо здесь разуметь не как по­верхности чисто математические, а как чрезвычайно тонкие сферические слои, коих толщина как бы равна нулю, точнее говоря — как слои исчезаю­щей толщины, из которых в пределе состоит шар, когда число этих слоев увеличивается, толщина же их уменьшается до бесконечности.

Подобно этому, под словом точки, из которых рассматриваются как бы состоящими линии, поверхности и тела, надо разуметь равные между собою частицы пренебрежимо малой величины.

Предложение LXXIV. Теорема XXXIV

^ При тех же предположениях утверждаю, что частица, расположен­ная вне шара, притягивается с силою, обратно пропорциональною квадрату ее расстояния до центра шара.




— 249 —

Ибо если рассматривать, что шар состоит как бы из бесчисленного множества концентрических слоев, то притяжение каждого слоя обратно пропорционально квадрату расстояния частицы до центра шара (предл. LXXI). Слагая, получим, что и сумма этих притяжений, т. е. полное притяжение частицы шаром, следует той же пропорции.

Следствие 1. Поэтому в равных расстояниях от центров однородных шаров притяжения пропорциональны объемам этих шаров, ибо по предложе­нию LXXII, когда расстояния пропорциональны диаметрам шаров, то силы притяжения пропорциональны этим же диаметрам. Если бо'льшее расстояние уменьшить в этом отношении, после чего расстояния станут равными, то сила притяжения увеличится в отношении, равном второй степени предыду­щего, и следовательно, притяжения шаров будут относиться друг к другу, как кубы диаметров, т. е. как объемы шаров.

Следствие 2. При любых расстояниях, притяжения шаров пропорцио­нальны объемам шаров, разделенным на квадраты расстояний.

Следствие 3. Если частица, находящаяся вне однородного шара, при­тягивается силою, обратно пропорциональною квадрату расстояния до его центра, и шар состоит из притягивающих частиц, то сила притяжения каждой частицы убывает пропорционально квадрату расстояния до этой частицы.

Предложение LXXV. Теорема ХХХV

Если к отдельным точкам заданного шара направляются равные центростремительные силы, убывающие пропорционально квадратам рас­стояний до этих точек, то я утверждаю, что любой такой шар притя­гивается первым с силою, обратно пропорциональною квадрату расстояния между центрами шаров.

Притяжение каждой отдельной частицы обратно пропорционально ква­драту ее расстояния до центра притягивающего шара (предл. LXXIV) и, сле­довательно, такое же, как будто бы оно происходило от одной частицы, поме­щенной в центре шара. Полное же притяжение всего шара такое же, как и обратное ему притяжение сказанной частицы, если рассматривать, что она притягивается каждою частицею второго шара с такою же силою, с какою юна сама притягивает эту частицу. Но это притяжение частицы шаром обратно пропорционально квадрату ее расстояния до центра шара, следовательно и равное ему притяжение шаров следует той же про­порции.


— 250 —

Следствие 1. Притяжения шарами других однородных шаров пропор­циональны объемам119 (массам) притягивающих шаров, разделенным на квадраты расстояний их центров до центров притягиваемых шаров.

Следствие 2. То же самое имеет место и в том случае, когда притя­гиваемый шар сам притягивает. Так как отдельные его точка притягивают отдельные точки другого с тою же самою силою, с какою сами притягива­ются ими, ибо по закону III во всяком притяжении одинаково побуждается как точка притягиваемая, так и притягивающая, то и будут образовываться две взаимные притягательные силы, сохраняющие ту же пропорцию.

Следствие 3. Все что было доказано выше относительно движения тел вокруг фокуса конических сечений имеет место и в том случае, когда в фокусе находится притягивающий шар и тела движутся вне шара.

Следствие 4. Все же доказанное относительно движения тел вокруг центра конических сечений имеет место, когда движение совершается вну­три шара.

Предложение LXXVI. Теорема ХХХVI

Если плотность и притягательная сила вещества неоднородного шара, при переходе от его центра к поверхности, изменяются как угодно, в равных же удалениях от центра повсюду одни и те же, притягатель­ная же сила каждой отдельной точки убывает пропорционально квадра­там расстояний до притягиваемою тела, то я утверждаю, что полная сила, с которою такой шар притягивает другой такой же, обратно про­порциональна квадрату расстояния между центрами шаров.

Пусть АВ, CD, ЕF (фиг. 105) суть какие-либо шары одноцентренные и одинаковой плотности, тогда, прилагая внутренние к наружным, получим шар, плотность вещества которого возрастает по направлению к центру, вычи­тая же их получим шар, коего плотность убывает к центру. Такие шары, каждый в отдельности, по предложению LXXV, притягивают любые другие однородные шары GL, JK, LM с силою, обратно пропорциональною квадрату расстояния SP между центрами. Слагая или вычитая, получим, что сумма или разность сказанных притяжений будет находиться в том же отношении, т. е. что полные силы, с которыми притягиваются шары АВ и GH, соста­вленные из сумм или разностей концентрически однородных шаров, находятся в сказанном отношении. Увеличивая число концентрических шаров до бес­конечности так, чтобы плотность вместе с притягательною силою возрастала

_______________

119 В тексте сказано: «ut sphaerae», что можно перевести и словами «пропорциональны объемам шаров» или «массам шаров».


— 251 —

или убывала по какому угодно закону от поверхности к центру, и заполняя материей, не обладающей притягательной силой, те места, где плотность оказалась бы отрицательной, получим шар любого желаемого строения. Притяжение таким шаром другого, подобным же образом составлен­ного, будет по-прежнему, на основании рассуждения, изложенного выше, обратно пропорционально квадрату расстояния между их цен­трами.

Следствие 1. Поэтому, если несколько подобного рода шаров притяги­ваются взаимно, то ускорительные силы притяжения каждым отдельным шаром другого будут, в равных от центра расстояниях, пропорциональны массам притягивающих шаров.

Следствие 2. При различных же расстояниях эти силы пропорцио­нальны массам, разделенным на квадраты расстояний до центров.

Следствие 3. Дви­жущие силы притяже­ний, иначе — веса одного шара на другом при рав­ных расстояниях между центрами, будут пропор­циональны произведе­ниям масс притягиваю­щего и притягиваемого шара.

Следствие 4. При неравных расстояниях эти силы прямо пропорциональны сказанному произведению масс и обратно пропорциональны квадратам расстояний.

Следствие 5. То же самое имеет место и тогда, когда притяжение происходит оттого, что оба шара одарены притягательною способностью и действуют взаимно друг на друга. Ибо притяжение будет образовываться обеими силами и пропорция останется прежней.

Следствие 6. Если шары такого рода обращаются около других тако­вых же, каждый порознь около другого ему соответствующего, находяще­гося в покое, и расстояния между центрами шаров, покоящихся и обра­щающихся, пропорциональны диаметрам покоящихся, то времена обращения будут одинаковы.

Следствие 7. Наоборот, если времена обращения равны, то расстояния пропорциональны диаметрам.




— 252—

Следствие 8. Все доказанное выше относительно движения тел вокруг фокусов конических сечений имеет место и в том случае, когда в фокусах помещаются шары описанного выше вида и строения.

Следствие 9. То же будет и тогда, когда обращающиеся тела суть также притягивающие шары описанного вида и строения.

Предложение LXXVII. Теорема ХХХVII

Если к отдельным точкам шаров направляются центростремитель­ные силы, пропорциональные расстояниям точек до притягиваемых тел, то я утверждаю, что полное взаимное притяжение двух таких шаров пропорционально расстоянию между центрами их.

Случай 1. Пусть AEBF (фиг. 106) — шар, S — его центр, Р — при­тягиваемая частица, PASB — ось шара, проходящая через центр частицы, EF и ef — две плоскости, перпендикулярные к оси, равноудаленные от центра шара и пересекающие шар, G, g — точки пересечения оси и этих плоскостей, Н — любая точка плоскости EF.

Сила, с которою точка ^ Н действует на частицу Р, пропорциональна расстоянию РН, следовательно ее слагающая, направленная к центру S по прямой PG, пропорциональна длине PG, значит притяжение всех точек плоскости EF, т. е. полная сила притяжения частицы Р этою плоскостью по направлению к центру S, пропорциональна длине РG, умноженной на число точек, т. е. пропорциональна объему цилиндра, коего основание равно EF и высота PG. Подобно этому и притяжение частицы Р плоскостью ef, направленное к центру S, пропорционально произведению площади cf на длину Рg, т. е. и. произведению равной ей площади EF на длину Рg. Сумма сил, происходящих от обеих плоскостей, будет пропорциональна площади EF, умноженной на сумму PG+Рg, т. е. величине 2EFPS или (EF+ef)PS. Рассуждая таким же образом, получим, что силы, происходящие от всех прочих сечений шара, произведенных равноудаленными от центра плоскостями, пропорциональны сумме площадей этих сечений, умноженных на расстояние PS, т. е. пропорциональны массе всего шара и расстоянию PS.

Случай 2. Если частица Р притягивает шар AEBF, то рассуждая подобным же образом докажем, что сила, с которою этот шар ею притяги­вается, пропорциональна расстоянию PS.

Случай 3. Пусть второй шар состоит из бесчисленного множества таких частиц, как ^ Р, так как сила, с которою каждая отдельная его частица притягивается к центру первого шара, пропорциональна массе этого шара и расстоянию до его центра S, то это притяжение такое же, какое происхо-


— 253 —

дило бы от одной частицы, расположенной в этом центре S. Полная сила, с которою притягиваются все частицы второго шара, т. е. сила, с которою притягивается этот второй шар, та же самая, как если бы это притяжение происходило от одной частицы, помещенной в центре первого шара; поэтому это притяжение пропорционально расстоянию между центрами шаров.

Случай 4. Если оба шара притягивают друг друга, то и обе соединен­ные силы следуют той же пропорции.

Случай 5. Положим теперь, что частица р расположена внутри шара ^ AEBF (фиг. 107). Так как сила притяжения частицы р плоскостью ef про­порциональна произведению ef•pg и обратно ей направленная сила притяже­ния плоскостью EF пропорциональна произведению EF•pg, то сила, соста-



вленная из этих двух, пропорциональна разности этих произведений, иначе — сумме двух равных площадей сечения на полуразность расстояний, т. е. про­порциональна произведению этой суммы на расстояние pS частицы до центра шара. Совершенно так же притяжение всех таких сечений, как EF и ef, во всем шаре, т. е. притяжение всего шара, пропорционально сумме всех площадей, т. е. массе всего шара и расстоянию pS частицы до его центра. Случай 6. Если из бесчисленного множества частиц таких, как р, со­ставляется новый шар, расположенный внутри первого AEBF (фиг. 107), то, подобно предыдущему, можно доказать, что притяжения как простое одним шаром другого, так и взаимное их друг другом, пропорциональны расстоянию pS между центрами шаров.

Предложение LХХТIII. Теорема ХХХVIII

Если плотность и притягательная сила вещества не однородного шара, при переходе от его центра к поверхности, изменяются как угодно, в равных же удалениях от центра повсюду одинаковы, притяжение же всякой точки пропорционально расстоянию притягиваемою тела до нее,


— 254 —

то я утверждаю, что сила, с которою два шара такого рода притягивают друг друга, пропорциональна расстоянию между центрами их.

Это предложение можно доказать, на основании предыдущего, совер­шенно так же, как предложение LXXVI доказано на основании LXXV.

Следствие. Доказанное выше в предложениях X и LXIV о движе­нии тел вокруг центра конических сечений имеет место и в том случае, когда все притяжения происходят от шаров описанных выше свойств и при­тягиваемые тела также — шары таких же свойств.

ПОУЧЕНИЕ

Я дал изложение двух замечательнейших случаев притяжения, а именно когда центростремительные силы или убывают пропорционально квадратам расстояний, или же возрастают пропорционально расстояниям. Вследствие таких притяжений, тела в обоих случаях обращаются по коническим сечениям, и полные составные притяжения тел шаровой формы следуют тем же зако­нам возрастания или убывания при удалении от центра, как и силы между двумя частицами, что достойно того, чтобы быть замеченным. Разбирать в подробностях прочие случаи, приводящие к менее изящным выводам, было бы длинно. Я предпочитаю их объять и определить все совместно сле­дующим общим методом.120

Лемма XXIX

^ Если из центра S описать какой-либо круг AЕВ и из центра Рдва круга EF и ef, пересекающие первый в точках Е и е, прямую же РS в F и f, и на РS опустить перпендикуляры ED и еd, то я утверждаю, что если расстояние между дугами EF и ef уменьшать до бесконечности, то предельное отношение исчезающих длин Dd и Ff равно отношению РЕ к РS.

Ибо, если прямая ^ Ре (фиг. 108) пересекает дугу EF в q и прямая Ее, которая совпадает с исчезающей дугой Ее, по продолжении пересекает прямую РS в Т, и из точки S опускается на РЕ нормаль SG, то по подобию треугольников DTE, dTe, DES будет

Dd:Ee=DT:ТЕ=DЕ:ЕS

и по подобию треугольников Eeq, ESG (лем. VIII и лем. VII, след. 3) будет Ee:eq=Ee:Ff=ES:SG

________________________

120 В предыдущих предложениях учение о притяжении шаров изложено чисто геометрически — общий метод, на который указывается в этом поучении, применяемый в дальней­шем, состоит в приведении задачи к квадратурам.


— 255 —

по перемножении этих пропорций получается

Dd:Ff=DE:SG

откуда, по подобию треугольников РDЕ и ^ PGS, следует

Dd:Ff=DE:SG=PE:PS.



Предложение LXXIX. Теорема XXXIX

Если площадь EFef, коей ширина Ff, уменьшаясь до бесконечности, почти исчезает, описывает при своем обращении около оси PS сферическое выпукло-вогнутое тело, и к отдельным равным его частицам направляются равные центростремительные силы, то я утверждаю, что это тело при­тягивает массу, находящуюся в точке Р, с силою, пропорциональною про­изведению DE2•Ff и той силе, с которою заданная частица тела, будучи по­мещена в Ff, притягивала бы массу Р.

Рассмотрим сперва «илу притяжения сферической поверхности, обра­зуемой вращением дуги ^ FE {фиг. 109). Пусть эта дуга пересекается прямою de в r, тогда элемент Еr произве­дет при вращении шаровой пояс, поверхность коего при заданном радиусе РЕ пропорциональна Dd, как это доказано Архимедом в книге: «О шаре и цилиндре». Силы притяжения элементов поверхности этого пояса, напра­вленные по производящим конуса РЕ или Рr, пропорциональны поверхности пояса, т. е. длине Dd, составляющие же этих сил по направлению PS




— 256 —

меньше самих сил в отношении ^ PD/PE, т. е. эти составляющие пропорциональны PDBd. Если вообразить, что линия DF разделена на бесчисленное множество равных частей, из коих какая-нибудь обозначена через Dd, то и поверхность EF разобьется на столько же равных поясов, коих сила притяжения будет пропорциональна сумме всех произведений РD•Dd; эта же сумма равна



т. е.



значит сказанное притяжение пропорционально DE2.

Если поверхность FE умножить на высоту Ff, то получится, что при­тяжение массы Р объемом EFef пропорционально DE2•Ff, предполагая, что когда задана частица Ff, то задана и сила, с которою она действует на массу Р, если же эта сила не задается, то притяжение тела EFef будет пропорционально произведению DE2•Ff и той силе, с которою частица Ff притягивает массу Р.

Предложение LXXX. Теорема XL

Если к отдельным частицам шара ABE, коего центр S, направля­ются равные центростремительные силы, и к оси шара АВ, на коей лежит масса Р, проводятся в точках В перпендикуляры BE, пересекающие по­верхность шара в Е, и по ним откладываются длины BN, пропорциональные величине DE2PS/PE и силе, с которою частица шара, лежащая на оси

в расстоянии РЕ, действует на массу Р, то я утверждаю, что полная сила притяжения массы Р шаром пропорциональна площади ANB, огра­ниченной осью АВ и кривою ANB, на которой постоянно лежит точка N.

Сохраняя обозначения и построения предыдущих леммы и теоремы, вообрази, что ось шара ^ АВ (фиг. 110) разделена на бесчисленное множество равных частей Dd и что шар разделен на такое же число выпукло-вогну­тых слоев EFfe, и проведи перпендикуляр dn.

По предыдущей теореме сила, с которою слой EFfe притягивает массу Р, пропорциональна DE2•Ff и силе притяжения одной частицы при расстоянии РЕ или PF. Но по последней лемме имеем

Bd:Ff=PE:PS


— 257 —

следовательно



и



значит притяжение слоя EFfe пропорционально величине



и силе притяжения одной частицы при расстоянии ^ PF, т. е. по предположе­нию, величине DN•Dd, представляющей исчезающую площадку DNnd. Следовательно, притяжение массы Р всеми слоями пропорционально сумме площадок DNnd, т. е. всей площади ANB.



Следствие 1. Так, напр., если центростремительная сила к отдель­ным частицам одна и та же при всяком расстоянии и ордината DN берется

пропорциональной DE2PS/PE, то полная сила будет пропорциональна пло­щади ANB.

Следствие 2. Если центростремительная сила к каждой отдельной ча­стице обратно пропорциональна расстоянию ее до притягиваемой массы Р,

то взяв ординату DN пропорциональнополучим, что притяжение

массы ^ Р шаром будет пропорционально площади ANB.

Следствие 3. Если центростремительная сила к каждой отдельной ча­стице будет обратно пропорциональна кубу расстояния ее до притягиваемой

массы ^ Р, то взяв ординату DN пропорциональнополучим, что

притяжение этой массы шаром будет пропорционально площади ^ АNВ.


— 258 —

Следствие 4. Вообще, если центростремительная сила, направляющаяся к каждой отдельной частице шара, обратно пропорциональна величине V

и ордината DN пропорциональна то полное притяжение

массы ^ Р шаром будет пропорционально площади ANB.

Предложение LXXXI. Задача XLI

Сохраняя предыдущие обозначения, требуется измерить площадь

АNB.



Из точки Р (фиг. 111) проводится к шару касательная РН, из точки ^ Н на ось опускается перпендикуляр HJ, и длина PJ разделяется точкою L по­полам, тогда будет (предл. XII, кн. II Элем.)

РЕ2=PS2+SE2+2PS•SD, но по подобию треугольник в SPH и SHJ

SE2=SH2=PS•SJ, следовательно

2= S(PS+SJ+2SD)=PS(2LS+2SD)= 2PSLD, а так как

2=SE2SD2=SE2LS2+2SL•LDLD2=2SL•LD—LD2—AL•LB, ибо

LS2—SE2=LS2—SH2=L•LB (предл. VI, кн. II Элем.),


— 259 — то написав вместо DE2 вышеприведенную равную ему величину, получим



Если подставить в это последнее выражение вместо ^ V обратную величину центростремительной силы и вместо РЕ его величину (2PS•LD), то каждый из трех членов предыдущего выражения, по представлении его ординатою отдельной кривой, даст такую площадь, которая находится по обыкновен­ным правилам.121

_____________________

121 Этою теоремою устанавливается выражение слагающей притяжения тех элемен­тарных объемов, на которые шар разбивается по оси, направленной от притягиваемой точки к центру шара, чтобы свести таким образом вычисление этого притяжения к квадратурам.

Обозначая через q — плотность, через r — расстояние РЕ до притягиваемой точки от притягивающей частицы dm, через f() — силу притяжения между двумя массами, равными 1 при расстоянии , и полагая



и обозначая через ^ X полное притяжение на 1 массы в точке Р, можем написать на основании доказанного в теореме:

(1)

и следовательно,

(2)

Выражение у2 в функции r и преобразование его к новой переменной приводится В теореме XL. Даваемые здесь формулы можно получить несколько иначе: величина DE=y есть высота треугольника PES; поэтому, обозначив его площадь через Q, имеем



с другой стороны,



следовательно будет



и значит,

(3)

Ньютон вводит новую переменную

(4)

тогда полагая для краткости

(5)

будем иметь



(6)


— 260 —

Пример 1. Сила притяжения отдельной частицы обратно пропорцио­нальна расстоянию.

В этом случае вместо ^ V надо в выражении DN написать РЕ и затем вместо РЕ2— величину 2PSLD; будем иметь



Возьми вместо DN удвоенную его величину



тогда: часть 2^ SL полной ординаты DN, при проведении ее по основанию АВ, опишет площадь прямоугольника 2SLАВ; переменная часть LD, при про­ведении ее вдоль no AB непрерывным движением так, чтобы эта ордината была постоянно нормальна к АВ и длина ее постоянно равнялась бы расстоянию LD ее основания до точки L, опишет площадь (LB2LA2)/2, т. е.

площадь SL•АВ; третья частьAL•LB/LD, при проведении вдоль по АВ от А

до В, опишет гиперболическую площадь, которая, по вычитании из площади SL•АВ, и доставит искомую площадь ANB. Отсюда следует такое построе­ние: в точках L, А и В (фиг. 112) восставь перпендикуляры Ll, Аа, Вb и отложи

Aa=LB, Bb=LA

Это и есть та формула, которая дана в тексте. В самом деле, по построению фиг. 111 имеем:



значит

(7)

и в предложении LXXXI показано, что

РЕ2=2PSLD иначе,

r2=2lLD, (8)

что, по сличении с формулою (4), показывает, что

x=LD,

следовательно

(H+h)x=2SLLD; x2=LD2; Hh=ALLB,

и вместе с тем, при сделанном обозначении:



Примеры предложения LXXXI состоят в вычислении интеграла (6) при разных зада­ниях функции f(r). Множителя q Ньютон не пишет, ибо вычисляет лишь величину, пропор­циональную притяжению.


— 261—

и через точки а и b проведи гиперболу аb с асимптотами Ll и LB; хорда ab и замкнет искомую площадь acba=ANB.

Пример 2. Если сила притяжения отдельных частиц обратно пропор­циональна кубу расстояния, или, что то же самое, отношению этого куба

к какой-либо заданной площади, то вместо V подставь PE3/2SA2 и вместо РE2

2PSLD, тогда DN будет пропорционально



а так как

AS2=PSSJ



то DN будет пропорционально



По проведении этих трех частей ординаты DN вдоль по прямой АВ

от A до В, первая часть LS•SJ/LD произведет гиперболическую площадь, вторая даст прямоугольник 1/2АВSJ, третья даст площадь



Вычтя из первой площади вторую и третью, получим искомую пло­щадь ^ ANB. Отсюда следует такое построение: в точках L, A, S, B (фиг. 113) восставь перпендикуляры: Ll, Aa, Ss, Bb, из коих Ss равен SJ, после чего через точку S проведи гиперболу asb, имеющую асимптотами Ll и LB и пересекающую перпендикуляры Аа и Вb в точках а и b; по вычитании


— 262 —

из гиперболической площади AasbB площади прямоугольника 2AS•SJ и останется искомая площадь ANB.

Пример 3. Если центростремительная сила к отдельным частицам шара убывает пропорционально четвертой степени расстояния до частицы

то написав PE4/2AS3 вместо V и (2PS•LD) вместо РЕ, получим, что орди­ната DN пропорциональна величине



По проведении этой ординаты вдоль прямой АВ, полученная площадь



отдельные части которой образуются соответствующими частями орди­наты DN, что, по надлежащем упрощении, дает



Следовательно, полное притяжение массы ^ Р шаром пропорционально SJ3/PJ

т. е. обратно пропорционально PS3PJ.

Подобным же образом могло бы быть найдено и притяжение массы, лежащей внутри шара, но это делается проще при помощи следующей теоремы.

Предложение LXXXII. Теорема ХLI

^ Если для шара, коего центр S и радиус SA, взять расстояния SJ и SP так, чтобы было

SJ:SA=SA:SP

то отношение притяжения шаром внутренней точки J к притяжению внешней точки Р равно произведению отношения SJ:SP на корень квадратный из отношения притяжений точек Р и J центром шара.122

__________________________

122 Эта теорема послужила В. Томсону (лорду Кельвину) основанием того преобразова­ния, которое им названо «построение» электрического изображения»; именно, так им названа точка J no отношению к точке P, и обратно.


— 263 —

По этой теореме, если притяжения отдельных частиц шара обратно пропорциональны расстоянию, то отношение силы, с которою масса, поме­щенная в J (фиг. 114), притягивается шаром, к той силе, с которою она им притягивалась бы, будучи помещенной в Р, равно



т. е. эти притяжения равны.

Подобным же образом увидим, что когда притяжение частиц обратно пропорционально квадратам расстояний, то отношение притяжения в точке 3 к притяжению в точке Р равно отношению SP к SA. Если притяжение частиц обратно пропор­ционально кубу расстоя­ний, то отношение притя­жения в точке J к при­тяжению в точке Р равно SP2:SA2. Если притяжение частиц об­ратно пропорционально четвертой степени рас­стояний, то сказанное от­ношение равно SP3:SA3; но для этого последнего случая уже было найдено, что притяжение на точку Р обратно пропорционально SP3•PJ, следовательно притяжение на точку J будет обратно пропорционально SA3PJ, т. е. обратно пропор­ционально PJ, ибо SA постоянно. Подобным образом надо поступать и для всякого другого случая.

Теорема эта доказывается так: сохраняя прежние построения и пред­полагая, что притягиваемая масса помещена в ^ Р, было найдено, что ордината DN пропорциональна DE2PS/PE•V. Поэтому, если провести JE, то когда

притягиваемая масса будет помещена в J, сказанная ордината будет пропорциональна DE•JS/JE•V. Предположим, что притягательные силы частиц

шара, исходящие из какой-либо его точки Е в расстояниях JE и РЕ,




— 264 —

относятся между собою, как РЕn:JEn; тогда сказанные ординаты будут соответственно пропорциональны



и



коих отношение равно

PS•JE•JEn:JS•PE•PEn

но так как, в виду пропорции

SJ:SE=SE:SP

треугольники SPE и SEJ подобны, то

JE:PE=JS:SE=JS:SA (*)

и предыдущее отношение, по замене произведения РЕ•JS равным ему про­изведением JE•SA, обратится в такое:

PS•JEn:SA•PEn;

но отношение

P8:SA=PS:JS

и отношение

JEn:PEn

в виду пропорции (*) равно корню квадратному из отношения сил в рас­стояниях PS и JS. Следовательно, ординаты DN, а значит, и площади кри­вых ANB, коим притяжения пропорциональны, будут находиться в этом отношении.

Предложение LXXXIII Задача XLII

^ Найти силу, с которою масса, помещенная в центре шара, притя­гивается его сегментом.

Пусть Р (фиг. 115) есть масса, помещенная в центре шара, RBSD— сегмент этого шара, заключенный между плоскостью RSD и частью шаровой поверхности RBS. Пусть DB пересекается с шаровой поверхностью EFG, описанной из центра Р в точке F, так что сегмент разделяется на части BREFGS и FEDG. Пусть, кроме того, эта поверхность не математическая, а физическая, имеющая весьма малую толщину h, тогда объем такого слоя (по доказанному Архимедом) будет пропорционален PF•DF•h. Положим,


— 265 —

кроме того, что притяжение частиц шара обратно пропорционально n-ой степени расстояния; тогда, по предложению LXXIX, притяжение массы Р

этим слоем будет пропорциональнот. е. количеству



Пусть ордината FN, уложенная на А, пропорциональна предыдущей величине; тогда криволинейная площадь, происходящая от продвижения орди­наты FN по длине DB, будет пропорциональна полной силе притяжения массы Р сегментом RBSD.



Предложение LXXXIV. Задача ХLIII

^ Найти силу, с которою притягивается масса, расположенная на оси сегмента вне его центра, этим сегментом.

Пусть масса Р (фиг. 116), лежащая на оси ADВ, притягивается сегментом ЕВК. Из центра Р радиусом РЕ опиши шаровую поверхность EFK, которая разделит сегмент на две части EBKFE и EFKDE. Притя­жение первой части найдется по предложению LXXXI, второй — по предло­жению LXXXIII; их сумма и будет притяжение сегмента.

ПОУЧЕНИЕ

После объяснения притяжения тел сферических следовало бы перейти к законам притяжения других тел, составленных из притягивающих частиц,


— 266 —

подобно толу как это предполагалось выше, но подробное рассмотрение такого вопроса имеет лишь малое отношение к цели этого сочинения. Доста­точно будет привести лишь некоторые общие предложения о притягательных силах тел подобного рода и о движениях, от этих сил происходящих, в виду некоторых их применений в физике.

ОТДЕЛ XIII

  1   2   3   4




Похожие:

Отдел XII о притягательных силах сферических тел iconК. П. Станюкович взаимодействия двух тел, «излучающих» потоки газа доклад
Пусть имеются два неподвижных сферических тела, массы которых М1 и М2, находящихся на расстоянии r0 друг от друга. Газ, испускаемый...
Отдел XII о притягательных силах сферических тел iconОтдел по образованию
Воронежская область, р п. Кантемировка, ул. Победы,17, тел./факс 3-19-06, е-mail: kant-rono@icmail ru
Отдел XII о притягательных силах сферических тел iconОтдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил
Льной силы движется как бы то ни было, другое же тело движется прямолинейно, прямо к центру или от центра, и скорости обоих тел в...
Отдел XII о притягательных силах сферических тел iconЭкскурсия по теме «Древнерусское государство в IX – XII вв.» (Зал №8). Древнерусское государство в IX – XII веках. Киевский зал
Зал представляет памятники времени образования Древнерусского государства в IX – первой половине XII в
Отдел XII о притягательных силах сферических тел iconЭкскурсия по теме «Древнерусское государство в IX – XII вв.» (Зал №8). Древнерусское государство в IX – XII веках. Киевский зал
Зал представляет памятники времени образования Древнерусского государства в IX – первой половине XII в
Отдел XII о притягательных силах сферических тел iconИнструкция по делопроизводству
Му «Отдел образовании администрации муниципального района Миякинский район рб» (далее – Отдел образования)
Отдел XII о притягательных силах сферических тел iconТема: Тел һәм тел гыйлеме. Кереш
Максат: Телнең кешеләр арасында аралашу, җәмгыятьне үстерү коралы булуы турында мәгълүмат бирү, төрки телләр гаиләсе “вәкилләре”...
Отдел XII о притягательных силах сферических тел iconТема урока : «Русь в конце XI – начале XII вв. Владимир Мономах»
Тема урока : «Русь в конце XI начале XII вв. Владимир Мономах» Проверка домашнего задания по теме: «Русская Православная церковь...
Отдел XII о притягательных силах сферических тел iconПриглашение на XII научно-педагогическую конференцию
Уральское отделение Международной Ассоциации «Мир через Культуру» проводит XII ежегодную конференцию «Идеи Нового Мира в современной...
Отдел XII о притягательных силах сферических тел iconЭлектромагнитная природа масс и гравитации заев Н. Е
Приведены расчётные обоснования электромагнитной природы инертной массы тел. Гравитационная сила, определяемая только через силу...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов