Прикладная физика, 2003, №3, с. 5-9 icon

Прикладная физика, 2003, №3, с. 5-9



НазваниеПрикладная физика, 2003, №3, с. 5-9
Дата конвертации10.09.2012
Размер95.38 Kb.
ТипДокументы

Прикладная физика, 2003, № 3, с. 5-9

УДК 530.145

Гидродинамическая формулировка уравнения Паули

М. А. Микаэлян

Институт общей физики РАН, Москва, Россия

В рамках известной гидродинамической формулировки квантовой механики выведены уравнения эволюции плотности вероятности для частицы со спином 1/2. С помощью этих уравнений рассмотрен ряд методических вопросов.

О гидродинамической формулировке квантовой механики

Гидродинамическая формулировка квантовой механики была предложена Маделунгом [1] и с формальной точки зрения сводится к написанию системы уравнений, описывающей эволюцию плотности вероятности y*y как течение сплошной среды. Указанные уравнения выводятся из уравнения для y-функции и по форме оказываются схожими с гидродинамическими.

Первоначально гидродинамическая формулировка рассматривалась как интерпретация квантовой механики (наряду с электродинамической интерпретацией Шредингера и вероятностной – Борна), и в настоящее время к ней все еще возвращаются в дискуссиях об основах квантовой механики [2]. Если же отвлечься от общефизического аспекта, то использование гидродинамических уравнений (которые сами по себе представляют лишь методический интерес) в ряде случаев облегчает рассмотрение и оказывается весьма эффективным [3—5].

В данной статье вначале приведены результаты, касающиеся частицы без спина [1], а далее выведены гидродинамические уравнения для частицы со спином 1/2[1].

^ Гидродинамические уравнения для частицы с нулевым спином

Уравнение Шредингера для бесспиновой частицы в электромагнитном поле имеет вид

, (1)

где  — оператор обобщенного импульса. Выражения для плотности вероятности и плотности потока вероятности выглядят соответственно:

r = y*y;

 (2)

Рассматривая эволюцию r как течение сплошной среды, удобно ввести "скорость течения"

v º J/r. (3)

Подставив (2) в (3) и представив волновую функцию в виде

 (4)

будем иметь

 (5)

Подставив (4) в (1) и отделив действительную и мнимую части, получим два уравнения, одно из которых есть уравнение непрерывности

png" name="graphics6" align=bottom width=104 height=36 border=0> (6)

где:

v дается в (5).

Второе уравнение определяет производную по времени фазы F; взяв градиент от его обеих частей и воспользовавшись (5), после тождественных преобразований будем иметь

 (7)

где "тензор напряжений" Tik равен

 (8)

 (9)

Случаю собственно гидродинамики отвечало бы Tik = –pdik (p — давление), и (7) имело бы вид уравнения Эйлера.

Таким образом, гидродинамическую формулировку уравнения Шредингера составляет система уравнений (6) и (7), в которых v удовлетворяет условию rot v = –(e/mc)H (получаемому взятием ротора от обеих частей (5) с учетом (9)); в тензорных обозначениях оно имеет вид

 (10)

где eijk — абсолютно антисимметричный тензор.

В рамках гидродинамического подхода вместо эволюции y-функции рассматривается совместная эволюция r(x) и v(x).Знание этих величин позволяет, в частности, находить квантовомеханические средние

 (11)

Второе из написанных равенств получается дифференцированием по времени первого (– по определению [7]) с использованием уравнения непрерывности (6) и последующим интегрированием по частям.

^ Гидродинамические уравнения для частицы со спином 1/2

Прежде чем переходить к рассмотрению частицы со спином, отметим, что при гидродинамическом рассмотрении удобно для каждой физической величины (которой в общем случае отвечает некоторый линейный эрмитов опера- тор ) формально определить ее гидродинамическое значение L(x). Сделаем это так, чтобы "скорость течения" v(x) подпадала под такое определение. Для этого заметим, что выражение (11) для v таково, как если бы частица в случае ее обнаружения в окрестности точки х (с вероятностью r(х)dV) имела при этом скорость v(x). Требуя выполнимость этого формального свойства, для произвольной физической величины, имеем

. (12)

С другой стороны, квантовомеханическое среднее  равно , или, что то же самое,

. (13)

Приравнивая подынтегральные выражения в (12) и (13), получаем общее определение гидродинамического значения L(x)

. (14)

В частности, для скорости, оператор которой равен , (14) принимает вид (3),

где:

J дается в выражении (2).

Следует отметить, что гидродинамическое значение L(x) принципиально наблюдаемо, как видно из определения (14), оно инвариантно относительно умножения волновой функции на фазовый множитель. В частном случае, когда y — собственная функция оператора , гидродинамическое значение совпадает с непосредственно наблюдаемым собственным значением.

Перейдем к рассмотрению частицы со спином 1/2, волновая функция которой есть спинор y – матрица-столбец с компонентами yn, n = 1, 2; сопряженный спинор y* – матрица-строка с компонентами .

В этом случае кроме динамических переменных r(x) и v(x) появляется еще одна – гидродинамическое значение спина s(x), для определения которого подставим в (14) вместо  оператор спина , где s – вектор, компоненты которого суть матрицы Паули sl (l = x, y, z). Ввиду эрмитовости последних вектор W º y*sy чисто вещественный, и (14) принимает вид s = n/2, (15)

где:

n º W/r; Wl º y*sly (l = x, y, z). (16)

Используя известное тождество

, (17)

имеем: W2 =  = r2, откуда вытекает, что n – единичный вектор.

Таким образом, гидродинамическое значение спина s (15) есть вектор с фиксированным модулем s(x) º 1/2, направление которого n(x) определяется (16). В частном случае, когда проекция спина на некоторое направление, задаваемое единичным вектором I, имеет определенное значение (т. е. y – собственная функция оператора ), имеем: n(x) º I и, соответственно, s(x) º I/2.

Уравнение Паули имеет вид

, (18)

где оператор собственного магнитного момента равен . Подставив выражение (18) в (14) вместо , для гидродинамического значения m(х) с учетом (15), будем иметь

, (19)

где:

n дается в (16).

Как легко проверить, для уравнения Паули плотность потока вероятности J совпадает по форме с (2) (при этом  — спинор). Но следует оговориться, что величина J определена неоднозначно: в уравнение непрерывности она входит под знаком дивергенции, и в рассматриваемом случае* к ней может быть добавлено слагаемое  rot . Однако для J удобно использовать именно выражение (2) — в этом случае конечный вид искомых уравнений, в которые входит "скорость течения" J/, оказывается наиболее простым. Отметим, что только для указанного J "скорость течения" J/ совпадает с гидродинамической скоростью, определяемой однозначно (и независимо от J) общей формулой (14) с .

Выведем гидродинамические уравнения для свободной частицы,  = 0, А = 0. В тензорных обозначениях уравнение (18) и сопряженное с ним выражение (2) выглядят, соответственно:

 (20)

 (21)

Дифференцируя Ji (21) по времени с учетом (20), будем иметь

 (22)

С использованием тождества (17) квадратная скобка легко выражается через , J и  (см. (21) и (16)), после чего (22) принимает вид



Подставив сюда J = v и воспользовавшись (6), а затем проведя подстановку  = 2s (см. (15), (16)),

где:

s(x)  1/2, получим (ср. (7), (8)):

 (23)

где "тензор напряжений"  равен

. (24)

 в (24) отличается от Tik в (8) наличием дополнительного слагаемого.

Дифференцируя i (16) по времени с учетом (20), будем иметь

 (25)

С использованием тождества*

 (26)

квадратная скобка в (25) легко выражается через  в (16) и v = J/, где  и J даются в (21), после чего (25) принимает вид

.

Подставив сюда  = 2s (см. (15), (16)) и воспользовавшись (6), получим:

. (27)

Проведя аналогичное рассмотрение в присутствии электромагнитного поля, вместо уравнений (23) и (27) будем иметь*:

 (28)

(29)

Как и в отсутствие спина, скорость v — величина непроизвольная (ср. (10)):

. (30)

Это соотношение легко проверяется посредством подстановок v = J/ и s = /2, где , J и  даются в (2) и в (16), а также использования выражения (9) и тождеств (17) и (26).

Таким образом, гидродинамическую формулировку уравнения Паули составляет система уравнений (6), (28) и (29), в которых  = s (см. (19)), s(x)  1/2, а v(x) удовлетворяет условию (30).

^ Использование гидродинамических уравнений квантовой механики при рассмотрении ряда методических вопросов

Гидродинамические уравнения особенно удобны для проведения перехода к классическому пределу – движению узких волновых пакетов по классическим траекториям. Проинтегрируем по всему пространству уравнения (28) и (29): первые слагаемые в их правых частях (как дивергенции тензоров) вклада в интегралы не дают; при интегрировании же их левых частей воспользуемся общей формулой



получающейся в результате дифференцирования (12) с учетом (6). В итоге получим уравнения, которые после умножения на m и , соответственно, имеют вид

 (31)

 (32)

Пусть   0 в области пространства настолько малой, что внутри нее поля E, H и их первые производные по координатам можно считать постоянными (это корректно, поскольку в нерелятивистской квантовой механике электромагнитное поле рассматривается лишь как внешнее [7]); тогда указанные величины могут быть вынесены из-под знака интеграла в уравнениях (31) и (32), которые после этого с учетом (12) принимают вид уравнений классической механики* (см. ту же сноску):

,

.

В рамках гидродинамического подхода легко получить известное выражение для плотности электрического тока [7]

 (33)

посредством приведения правой части (31) к виду "интеграл от объемной плотности силы Лоренца":

 (34)

Это достигается с помощью тождественного преобразования (в котором используются (19), (16) и уравнение div H = 0)



с учетом которого (31) принимает вид (34), где



Последнее, с учетом (2) и (16), совпадает с (33).

Заключение

Вывод гидродинамических уравнений можно рассматривать как "замену переменных" – переход от языка y-функции к языку наблюдаемых функций, (определяемых формулой (14). Заметим, однако, что факт локальности получаемых при этом уравнений заранее не очевиден: несмотря на локальность "исходного" волнового уравнения, сама y-функция выражается через наблюдаемые нелокальным образом; так, для бесспиновой частицы в отсутствие поля на основании (4) и (5) имеем  = .

Литература

1.   Madelung E. Z. Physic, 1926. V. 40. P. 322.

2.   Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. — М.: Наука, 1985.

3.   Bialynicki-Birula I., Bialynicka-Birula Z.//Phys. Rev. D., 1971. V. 3. P. 2410.

4.   Киржниц Д. А.//ЖЭТФ, 1990. Т. 98. С. 769.

5.   Кузелев М. В., Рухадзе А. А.//УФН, 1999. Т. 169. № 6. С. 687.

6.   Takabayasi T.//Progr. Theor. Phys., 1955. V. 14. P. 283.

7.   Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1974.

__________________________

Автор благодарит А. А. Рухадзе и участников руководимого им семинара за полезные обсуждения.

Автор признателен Е. Л. Фейнбергу за проявленное внимание к работе и выражает благодарность С. М. Апенко, которым была найдена оригинальная статья Такабаяси [6], где впервые были выведены гидродинамические уравнения для частицы со спином.

^ Hydrodynamical formulation of Pauli equation

M. A. Mikaelyan

Institute of General Physics, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

In the framework of well-known hydrodynamical formulation of quantum mechanics the evolution equations of probability density for the spinning particle are derived. With the help of these equations some methodological issues are considered.

© Микаэлян М. А., 2003




[1] Когда статья была подготовлена к печати, автору стало известно, что такие уравнения уже выводились Такабаяси [6], однако существенно более сложным способом. Поэтому данную статью следует рассматривать как методическую.

* Любопытно отметить, что чисто формально — посредством добавления в (2) слагаемого Js = (/4m) rot мы можем связать спиновый момент с пространственным движением, понимая под этим (по аналогии с орбитальным моментом) выполнимость соотношения  последнее проверяется взятием интеграла по частям.

* Для доказательства тождества (26) подставим в его левую часть  (коммутационные соотношения для -матриц); далее учтем, что , а затем воспользуемся (17).

* Присутствующая в (28) наряду с силой Лоренца комбинация ()H + [ rot H] — есть общее выражение для силы, действующей на точечный магнитный момент во внешнем поле H. В частном случае, когда внешние токи j постоянны (при этом rot H = 4j/c) и, кроме того, магнитный момент расположен вне области локализации токов (т. е. где j = 0), второе слагаемое обращается в нуль, и выражение для силы принимает "привычный" вид.




Похожие:

Прикладная физика, 2003, №3, с. 5-9 iconДокументы
1. /1.docx
2. /4.doc
3. /4.txt
Прикладная физика, 2003, №3, с. 5-9 iconФизика русский вариант Учебник 3 – Физика вычислительная 2008 год Антонов В. М. Физика
Антонов В. М. Физика. Русский вариант / Учебник 3 – Физика вычислительная. 2008. 108 с
Прикладная физика, 2003, №3, с. 5-9 iconДокументы
1. /Занимательная физика/Бойль и.doc
2. /Занимательная...

Прикладная физика, 2003, №3, с. 5-9 iconОтказалась от ценностей старой
«Новая физика» это физика инвариантов. Сказанное означает, что только то является ценным объектом для «новой физики», что есть инвариант...
Прикладная физика, 2003, №3, с. 5-9 iconДокументы
1. /Физика/Физика.doc
Прикладная физика, 2003, №3, с. 5-9 iconСписок книг по физике издательства «Экзамен» Сборник задач по физике: 7–9 кл.: к учебникам А. В. Перышкина и др. «Физика. 7 класс»
Сборник задач по физике: 7–9 кл.: к учебникам А. В. Перышкина и др. «Физика. 7 класс», «Физика. 8 класс», «Физика. 9 класс» / А....
Прикладная физика, 2003, №3, с. 5-9 iconЧто изучает физика ? Физика – наука о природе

Прикладная физика, 2003, №3, с. 5-9 iconЗакон от 7 июля 2003 г. N 126-фз о связи (с изменениями от 23 декабря 2003 г., 22 августа, 2 ноября 2004 г., 9 мая 2005 г.) Принят Государственной Думой 18 июня 2003 года Одобрен Советом Федерации 25 июня 2003 года
Статья Организация деятельности, связанной с размещением сооружений связи и средств связи
Прикладная физика, 2003, №3, с. 5-9 iconФизика. 7-9 Классы авторы программы: Е. М. Гутник, А. В. Перышкин
Печатается по сборнику Программы для общеобразовательных учреждений. Физика Астрономия
Прикладная физика, 2003, №3, с. 5-9 iconМетодические рекомендации к учебникам "Физика. 10 класс" и "Физика. 11 класс " под редакцией А. А. Пинского и О. Ф. Кабардина

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов