Стр. 283 18 Кинематические волны icon

Стр. 283 18 Кинематические волны



НазваниеСтр. 283 18 Кинематические волны
Дата конвертации10.09.2012
Размер81.43 Kb.
ТипДокументы

[вернуться к содержанию сайта]


Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.

М.: Наука, 1984 (фрагменты из книги)


стр. 283

18.1. Кинематические волны.

(Глава 18. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ И ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ)


Для нелинейных систем с сосредоточенными параметрами основной моделью, как мы видели, является нелинейный осциллятор, описываемый уравнением (гл. 13). Решение этого уравнения для многих задач служит основой, на которой можно строить приближённые решения при учёте возмущающих факторов – внешних воздействий, положительной или отрицательной диссипации (гл. 15–17), нестационарности параметров и т.д. В теории нелинейных волн таких основных моделей несколько. Прежде всего это модель так называемого одноволнового приближения – уравнение

u/∂t+V(u)∂u/∂x=0, (18.1)

описывающее плоскую бегущую волну в нелинейной среде без диссипации и дисперсии; уравнение Бюргерса для сред с затуханием:

u/∂t+V(u)∂u/∂x–α∂2u/∂x2 =0; (18.2)

обобщённое уравнение Кортевега – де Вриза (КдВ) для бегущей волны в среде с дисперсией в области высоких частот:

u/∂t+V(u)∂u/∂x+β∂3u/∂x3 =0. (18.3)

Среди моделей, в которых учитывается взаимодействие встречных волн, одной из наиболее распространённых служит модель, описываемая уравнением Клейна–Гордона (для сред с дисперсией в области низких частот):

2u/∂t2–V22u/∂x2 +F (u)=0. (18.4)

В этой и последующих главах мы обсудим задачи, приводящие к этим моделям, явления и эффекты, которые ими описываются [1-6, 14-16].

Прежде чем переходить собственно к волнам в сплошной среде, рассмотрим одну простую модель, хорошо известную в электронике. Пусть вдоль оси х движется пучок невзаимодействующих частиц так, что в эйлеровых переменных их скорость удовлетворяет уравнению

dv/dt = ∂v/∂t+vv/∂x = 0. (18.5)

В электронике (18.5) описывает в рамках так называемой кинематической теории поведение электронного потока в трубе дрейфа приборов клистронного типа (простейший пролётный двухрезонаторный клистрон обсуждался нами качественно в гл. 1). Различие в скоростях электронов приводит в трубе дрейфа к образованию электронных уплотнений – группированию электронного потока. Внешне уравнение (18.5) очень похоже на уравнение простой волны, хотя, конечно, пучок невзаимодействующих частиц не является нелинейной средой.


Рассмотрим вначале волны малой амплитуды, когда v = v0 +v', v' ~ exp{it–kx)} (v0>>v'). Из (18.5) в этом приближении находим, что ∂v'/∂t+v0v'/∂x =0 и, следовательно, ω = v0k (v0=const), т. е. в линейном случае в системе дисперсии нет. Пусть теперь в момент времени t = 0 пучок оказывается возмущённым по скорости по закону a sin kx. Перейдём в движущуюся со скоростью v0 систему и рассмотрим эволюцию начального возмущения. Введём х = xст v0t и v = v0 + и. Опуская индекс, в этой системе получим ∂u/∂t+uu/∂x=0. Решение этого нелинейного уравнения имеет вид так называемой простой волны и=U(t–х/и), где выражение для U определяется начальным возмущением. При распространении такой волны в нелинейной среде её профиль меняется со временем, поскольку разные точки на профиле волны бегут с различной скоростью. В случае пучка это есть следствие того, что частицы смещаются друг относительно друга из-за разных скоростей, причём одни частицы могут обогнать другие, в результате функция u(x, t) станет неоднозначной [7]. Проследим за пучком на фазовой плоскости (u, х), на которой каждая точка смещается со своей собственной скоростью. Верхней полуплоскости (и > 0) соответствует движение вправо, а нижней (и < 0) – влево, причём скорость каждой точки пропорциональна её удалению от оси х. Рис. 18.1 иллюстрирует процесс эволюции пучка на фазовой плоскости (и, х). Начальное состояние пучка – синусоида a sinkx на плоскости (u, х); здесь же штриховой линией показана зависимость плотности объёмного заряда пучка от х (рис. 18.1, а). С течением времени происходит искажение профиля волны: частицы с и > 0 уходят вперёд, а с и < 0 отстают от волны. Одновременно образуются сгущения частиц вблизи точек 1 и 2, где и = 0, происходит группирование пучка (рис. 18.1, б). Волна постепенно становится всё круче, и в конце концов производная ∂и/х на её переднем фронте обращается в бесконечность (в бесконечность обращается в этой точке и плотность ρ(х) объёмного заряда пучка). В следующий момент происходит опрокидывание волны, и функция и(х, t) перестаёт быть однозначной (рис. 18.1, в, г), у неё появляется точка поворота, т. е. образуются встречные пучки. После опрокидывания волны функция ρ(х) имеет удвоенное число особенностей (рис. 18.1, в, г). С дальнейшим увеличением времени t структура потока ещё более усложняется, возникает многопотоковость, однако мы на этом останавливаться не будем [2, 4].



Рис. 18.1. Эволюция во времени синусоидального возмущения в пучке невзаимодействующих частиц (скорость и – сплошные кривые, плотность ρ – штриховые кривые); a) начальное состояние пучка, соответствующее начальному возмущению скорости; б) образование электронных уплотнений – группирование частиц вблизи точек 1 и 2; в), г) опрокидывание «волны» скорости и образование удвоенного числа особенностей на кривой ρ = ρ(х).


В сверхвысокочастотной электронике для описания процесса группирования электронов в пространстве дрейфа отказываются от переменных Эйлера (х, t) и переходят к переменным Лагранжа (t, t0) или (х, t0), где t0 начальный момент влёта электрона в трубу дрейфа. В рамках кинематического подхода время пребывания электронов в пространстве группирования (трубе дрейфа) определяется как , где l – длина дрейфа, х – текущая переменная интегрирования. Сгруппированный ток можно найти из закона сохранения заряда, I(0, t0)dt0=I(x, t)dt, в котором dt0 время прохождения группой электронов плоскости х = 0, a dt – плоскости х. Предположим, что действие устройства, создающего модуляцию по скорости перед трубой дрейфа (гл. I), описывается выражением

mv2/2 = тv02/2 +еV1 sin ωt0,

где v – скорость на входе в трубу дрейфа, v0 скорость в отсутствие управляющего высокочастотного воздействия, V1 – амплитуда высокочастотного управляющего напряжения, т и е – масса и заряд электрона, ω – круговая частота гармонического управляющего воздействия. Тогда при V1/V0 = ξ << 1

v = v0{1 +(1/2)ξ sin ωt0},

где V0= тv02/2e. Очевидно, что в этом приближении

t = t0 + l/v ≈ t0 + (l/v0){1 – (1/2)ξ sin ωt0}

или для угла пролёта в пространстве дрейфа

ωt – ωt0 = θ = ωl/v0lξ/2v0) sin ωt0.

Величина ξθ0/2, где θ0l/v0, характеризует разницу во времени пребывания различных электронов в трубе дрейфа; её называют параметром группирования (детали кинематической теории группирования прекрасно изложены в [8]).



Рис. 18.2. Пространственно-временная диаграмма группирования электронов в пространстве дрейфа: 1 – электрон, который тормозится полем; 2 – электрон, не испытывающий воздействия со стороны поля; 3 – электрон, который ускоряется полем. Рисунки справа показывают соответствие «волнового» (рис. 18.1) и корпускулярного подхода к описанию процесса группирования.


Наглядное представление о группировании в трубе дрейфа даёт, так называемая пространственно-временная диаграмма на плоскости (х, ωt0) (рис. 18.2). Поскольку до пересечения потока с плоскостью модулирующего устройства поток был однородным по скорости и плотности, траектории электронов до этого устройства разделены одинаковыми временными (угловыми) интервалами (поток однороден по плотности) и имеют одинаковый наклон (поток однороден по скорости). Воздействие управляющего напряжения приводит к модуляции скорости электронов – периодическому изменению наклона траекторий. Для электронов типа 2 на рис. 18.2 наклон прямой не меняется, поскольку они пересекают плоскость модулятора в тот момент, когда управляющее напряжение равно нулю. Для электронов типа 1, попадающих в тормозящую фазу поля, наклон траекторий уменьшается, для электронов типа 3 – увеличивается (они попадают в ускоряющую фазу поля). За период высокочастотного воздействия траектории сходятся (образуется уплотнение частиц) или расходятся (образуется разрежение частиц), что и иллюстрирует процесс группирования. Иногда вместо группирования говорят о фазовой фокусировке по аналогии с фокусировкой пучка световых лучей в геометрической оптике. Если воспользоваться законом сохранения заряда и выражением для времени пролёта (t–t0), то dt/dt0, = 1 - (θ0ξ/2) cos ωt0 в и сгруппированный ток

I = I(0, t0)/[1 – (θ0ξ/2) cos ωt0].




Рис. 18.3. а) – д) Зависимость тока сгруппированного в пространстве дрейфа пучка от начальной фазы влёта электронов и от длины дрейфа. е) Траектории фазового фокуса, который образуется в плоскости l0 = 2v0/ξω.


Заметим, что хотя мы полагали ξ << 1, параметр группирования X = θ0ξ/2 может быть и не малым, поскольку θ0 принимает любые значения. Поведение сгруппированного тока от ωt0 и от параметра X, пропорционального длине l трубы дрейфа, иллюстрирует рис. 18.3, взятый из [8]. Из сравнения зависимостей плотности от координаты (рис. 18.1) и зависимостей на рис. 18.3 легко установить соответствие "волнового" и "корпускулярного" подходов к описанию процесса группирования. Условия ∂u/∂x→∞ и ρ→∞ в "волновой" картине соответствуют X=1 и I→∞ в "корпускулярной". Из последнего условия Xl0ξ/2v0=1 находим, что фазовый фокус – уплотнение бесконечно большой величины – образуется на расстоянии l0= 2v0/ξω. Траектории таких фокусов представлены на рис. 18.3, е.


Стр. 27 (Глава 1, пример с клистроном)



Рис. 1.10. Схематическое изображение двухрезонаторного клистрона: 1 – входной и выходной объёмные резонаторы; 2 – электронная пушка; 3 – электронный поток; 4 – коллектор, собирающий электроны; 5 – труба дрейфа; V0 – потенциал трубы дрейфа; P1 и Р2 мощности входного и выходного сигналов; I0 – постоянная составляющая тока пучка; e и m – заряд и масса электрона.


Явление резонанса лежит в основе принципа действия сверхвысокочастотных электронных приборов, в которых используются высокодобротные объёмные резонаторы. Типичными приборами этого класса являются клистроны, а простейшим из них можно назвать двухрезонаторный пролётный усилительный клистрон (рис. 1.10) [8]. Входной сигнал от внешнего источника с частотой, близкой к собственной частоте ω0 резонатора, воздействует на электронный пучок внутри высокочастотного зазора. Поэтому на входе в трубу дрейфа электроны имеют разные скорости. Труба дрейфа – пространство, свободное от внешних высокочастотных полей. В этом пространстве из-за конечного времени пролёта электроны, покинувшие резонатор с большими скоростями, догоняют электроны, вылетевшие раньше с меньшими скоростями. Это приводит к группированию электронов, образованию электронных сгустков – уплотнений и в результате – к возникновению переменной составляющей тока ([7], гл. II). Если частота возбуждения входного резонатора близка к собственной частоте выходного, то электронные сгустки будут возбуждать его резонансным образом, что приведёт к усилению входного сигнала. Когда входной сигнал велик, в пучке начинают сказываться нелинейные процессы и возникают гармоники тока частоты ω. Такие гармоники будут эффективно возбуждать колебания в выходном резонаторе опять-таки при выполнении условий резонанса во времени, которые для n-й гармоники запишутся в виде nω≈ nω0 (n – целое). Это будет уже клистрон – умножитель частоты.


Литература к главе 18:

1. Гапонов А.В., Островский Л.А., Рабинович М.И. Одномерные волны в линейных системах с дисперсией. – Изв. вузов: Радиофиз., 1970, т. 13, с. 164–213.

2. Кадомцев Б.Б., Карпман В.И. Нелинейные волны. – УФН, 1971, т. 103, с. 193–232.

3. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. – М.:Наука, 1973.

4. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. – М.: Наука, 1976.

5. Скотт Э. Волны в активных нелинейных средах в приложении к электронике. – М.: Сов. радио, 1977.

6. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. – М.: Мир, 1977.

7. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. – М.: Сов. Радио, 1973.

8. Шевчик В.Н. Основы электроники сверхвысоких частот. – М.: Сов. радио, 1959.


Дата установки: 07.07.2007

[вернуться к содержанию сайта]







Похожие:

Стр. 283 18 Кинематические волны icon2 «а», 2 «г» классы
Математика. Уч стр. 104 №14,стр. 105 №17,18,стр. 106 №21,22стр. 108 №37 стр. 109 №40,43. стр. 112 №53. стр. 14 №2
Стр. 283 18 Кинематические волны iconI. Вступление: -краткие данные о планете Земля
Наиболее важные и часто встречающиеся виды волн упругие волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны
Стр. 283 18 Кинематические волны iconСамост раб.(8 кл)(механ колебания и волны)
Частота колебания морских волн 2 Гц Найти скорость распространения волны, если длина волны 3 м
Стр. 283 18 Кинематические волны iconКонтрольная работа №4 по теме «Механические колебания и волны. Звук»
Частота колебания морских волн 2 Гц. Найти скорость распространения волны, если длина волны 3 м
Стр. 283 18 Кинематические волны iconДомашнее задание
...
Стр. 283 18 Кинематические волны icon6а предмет
Англ стр. 78 упр. Д, стр. 79 №1-2, стр. 82 № ав, стр. 84 читать, стр. 85 №1, 2, 4
Стр. 283 18 Кинематические волны iconПравила выучить, тетрадь с печатной основой: стр. 36-45. Чтение : стр. 73-74 вопрос Окруж мир : стр. 46-58 пересказывать, отвечать на вопросы, тетрадь стр. 19-21
Лит чт уч. Стр. 23-34, хрест. Стр. 117-121 – все произведения А. А. Блока и К. Д. Бальмонт чит выразительно, ответить на вопросы...
Стр. 283 18 Кинематические волны icon1. Найти скорость распространения волны, если частота колебаний частиц в волне 340 Гц, а длина волны 1 м
Лодка качается на волне с частотой 0,5 Гц. Какова скорость этой волны, если расстояние между соседними гребнями равно 3 м?
Стр. 283 18 Кинематические волны iconДлины волн и инертность электрона
Ридберга; – модуль заряда электрона; V – скорость поступательного движения; собственная длина волны электрона; и длина волны и комптоновский...
Стр. 283 18 Кинематические волны iconOverview стр. 1 стр. 2 стр. 3 Лист1 Sheet 1: стр. 1

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов