9-11 классы icon

9-11 классы



Название9-11 классы
Дата конвертации20.05.2012
Размер52.03 Kb.
ТипДокументы

Матбой №2,

Решения

9-11 классы

2009-2010


  1. Из тождества sin(sin+)=cos(/2-sin-)

следует, что данное равенство выполняется в двух случаях:

а) 2n+/2-sin-=cos-, nZ;

б) 2n+/2-sin-=-cos, nZ.

В случае а) получаем равенство sin+cos=2n+/2. Но это равенство невозможно, так как |sin+cos|=|sin(+/4)| </2(2n+/2).

В случае б) получаем

2+ 2sin-cos=/2+2n. (1)

Рассмотрим функцию f(x)=2x+2sin(x)-cos(x) на промежутке [0, /2]. На этом промежутке она строго возрастает (как сумма возрастающих функций). Следовательно, выполняются неравенства -1=f(0)

2. Отложим какую-нибудь монету, а оставшиеся 24 монеты разделим на две группы по 12 монет и разложим их на разные чашки весов. Если весы уравновесились, то отложенная монета фальшивая, причем на каждой чашке весов лежит ровно по одной фальшивой монете. Если весы не уравновесились, то на той чашке, которая перевесила, находится не более одной фальшивой монеты. Разделим 12 монет, содержащие не более одной фальшивой, на две группы по 6 монет и сравним их веса. Если какая-то чашка перетянет, то на ней лежат 6 настоящих монет. Если весы уравновесились, то на каждой чашке находятся 6 настоящих монет.


3. Треугольники АЕС и ВDС подобны, так как ЕСА=BDC и ЕАС=DCB.

Пусть h и H – длины перпендикуляров, опущенных из точек Е и В на прямую АС. Тогда в силу подобия указанных треугольников имеем h/AC=H/DC. Значит, hDC=HAC, и SDEC=SABС.


4. Первый игрок может обеспечить себе по крайней мере ничью. (Если все 2002 вектора равны, то ничья будет, как бы ни играли игроки, так что добиться победы ему не всегда удастся).

Пусть сумма всех 2002-х векторов равна вектору А. Введем на плоскости декартову систему координат так, чтобы ось абсцисс была сонаправлена с вектором А (если А=0, то ось абсцисс выбираем произвольным образом). Начинающий каждым своим ходом может выбирать из оставшихся к этому моменту векторов тот вектор, который имеет наибольшую абсциссу.
Тогда в конце игры у него сумма векторов будет иметь не меньшую абсциссу, чем у противника, причем и по абсолютной величине у него абсцисса будет не меньше, а ордината v такая же, как у противника (так как сумма всех абсцисс неотрицательна, а сумма всех ординат равна 0). Следовательно, начинающий при такой игре заведомо не проиграет.


5. Примем некоторую точку окружности за начало отсчета. Пусть аi – длина дуги от начала отсчета до i–й вишенки по часовой стрелке. Рассмотрим числа bi=ai-i.

|bm-bk|=|(am-ak)-(m-k)|=|(am-ak)-(m-k-1)-1|,

где (am-ak) – длина дуги между m-й и k-й вишенками, (m-k-1) – количество вишенок между ними. Т. к. количество вишенок на этой дуге меньше, чем ее длина в метрах, то

(am-ak)-(m-k-1)>0, и |bm-bk||(am-ak)-(m-k-1)-1|<1, для любых m, к. Пусть bs – наименьшее из них, тогда 0|bi-bs|<1 для любого i. Отсюда следует, что существует такое число х, что хi

6. Пусть f(x)=ax2+bx+c – квадратный трехчлен (с дискриминантом b2-4ac). В результате выполнения первой операции трехчлен f(x) меняется на трехчлен (a+b+c)x2+(b+2a)x+a с дискриминантом (b+2a)2-4a(a+b+c)=b2-4ac. В результате выполнения 2-й операции трехчлен f(x) меняется на трехчлен сx2+(b-2с)x+(a-b+c) с дискриминантом (b-2c)2-4c(a-b+c)=b2-4ac. Т. е. при проведении любой из операций дискриминант не меняется. Дискриминант трехчлена x2+4х+3 равен 16-12=4, дискриминант трехчлена х2+10х+9 равен 100-36=64. Получить из первого трехчлена второй с помощью этих двух операций не получится.


7. Совместим сначала окружности так, чтобы одна из точек 1-й окружности (обозначим ее S1) попала в начало одной из дуг (обозначим ее d1) 2-й окружности S2. Будем вращать S1 вокруг ее центра в направлении продолжения дуги d1. Предположим, что утверждение задачи неверно и что в любом положении S1 относительно S2 хотя бы одна точка S1 лежит на некоторой дуге S2. При повороте S1 на 360 вокруг ее центра каждая точка S1 проходит все дуги S2. Тогда длина S1 не больше, чем 100(d1+…+d100)<100, так как возможно, что одновременно несколько точек S1 принадлежат некоторым дугам S2 -противоречие.


8. Радиус наибольшего круга равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 2*R, т. е. 2R/. (Возьмем такой треугольник и на его сторонах, как на диаметрах построим окружности.) Для любой окружности большего радиуса, если бы она была покрыта данными кругами, нашлась бы дуга не меньше, чем в 120, покрытая данным кругом, но такая дуга содержит, больше 2R - противоречие.

В общем случае, если существует остроугольный треугольник со сторонами 2R1, 2R2, 2R 3 , то радиус описанной около него окружности будет искомым. Во всех остальных случаях радиус наибольшего круга совпадает с радиусом наибольшего из данных кругов.


9. Докажем утверждение от противного. Пусть верх квадрата склеен с низом. Возьмем раскраску, невозможность которой утверждается в условии. Пусть имеется горизонтальная линия со всеми n черными клетками. Тогда n вертикалей и n диагоналей каждого направления должны иметь по 1, 2, … , n черных клеток. Тогда n горизонталей тоже имеют по n черных клеток, так как они пересекают вертикаль с n черными клетками (на ней нет пустых клеток).

Пронумеруем горизонтали, начиная с той, на которой n черных клеток, от 0 до n-1, а вертикали – от 0 до n-1, начиная с вертикали с n черными клетками.

Каждая диагональ пересекает по одному разу горизонталь и вертикаль c n черными клетками. Поэтому диагонали с одной черной клеткой должны проходить через клетку их пересечения – клетку (0,0). Итак, все клетки (i,i) и (n-i, i), i>0 – пустые.

Здесь удобно нарисовать картинку.

Если n нечетно, в каждом столбце, кроме 0, получаем не менее двух пустых клеток (с координатами (i,i) и (n-i,i)) и столбца с n-1 черными клетками не найдется. Значит, найдутся хотя бы два столбца с одинаковым числом черных клеток.

Если n=2m, то строка m должна иметь по n-1 черную клетку(любые другие строки, кроме нулевой имеют не менее двух свободных клеток, а по предположению все строки имеют разное количество черных клеток). Тогда и столбец m имеет n-1 закрашенную клетку, (столбцы с другими номерами пересекают нулевую и m-ю строки, в которых остальные клетки покрашены). Но тогда нет столбца с одной черной клеткой. Учитывая, что столбцы могут иметь от 1 до n клеток, получаем опять, что хотя бы два имеют одинаковое число покрашенных клеток.

Если изначально не было горизонтали с n черными клетками, то была горизонталь без черных клеток, и можно провести те же рассуждения, поменяв ролями покрашенные и некрашеные клетки.


10. Умножим многочлены х4433+ x22 +x11+1 и х43+ x2 +x1+1 на х-1, от этого их свойство делимости (неделимости) не нарушится.

4433+ x22 +x11+1)(х-1) =х4534+ x23 +x12+х – (х4433+ x22 +x11+1)=

=(х45-1)-(х4434)-(х3323)-(х2212)-(х11-х)= (х45-1)-х3410-1)-х2310-1)- х1210-1)-х(х10-1).

43+ x2 +x1+1)(х-1)=х5-1.

4433+ x22 +x11+1)(х-1) =(х45-1)-х3410-1)-х2310-1)-х1210-1)-х(х10-1)=

=( х5-1)[(x40+x35+…+1)-x34(x5+1)-x23(x5+1)-x12(x5+1)-x(x5+1)]=

=( х44+x33+x22+x11+1)(x-1)[(x40+x35+…+1)-x34(x5+1)-x23(x5+1)-x12(x5+1)-x(x5+1)].




Похожие:

9-11 классы iconНа 1 сентября 2009 года в школе обучается 1298 детей: 1-4 классы-573,5-9 классы-585,10-11 классы-140. Всего 53 класса-комплекта

9-11 классы iconИтоги конкурса чтецов, проведённого 6 мая 2011 года в моу «сош №8» в конкурсе принимали участие обучающиеся трёх возрастных групп : 1-4 классы 5-7 классы 8-11 классы
Объявить благодарность за подготовку и проведение литературно-музыкальной композиции «Победный май» следующим обучающимся
9-11 классы iconКлассы авторы программы: Н. С. Пурышева, Н. Е. Важеевская
Печатается по сборнику Программы для общеобразовательных учреждений. Физика Астрономия, 7-11 классы, Москва, Дрофа, 2008г
9-11 классы iconК Положению об оплате труда работников муниципального общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа№16»
...
9-11 классы iconДокументы
1. /11 классы/ПОЛНЫЕ НАЗВАНИЯ ДОКУМЕНТОВ.doc
2. /11...

9-11 классы iconРабочая программа по алгебре 7 класс базовый уровень учитель математики 1 квалификационной категории
...
9-11 классы iconДокументы
1. /r_pr_himiya_8-11 классы/Рабочая программа 10 класс/1. Титульный лист.doc
2.
9-11 классы iconОбъявление учителей физкультуры!
Юноши 600, 400, 300 м – 5-11 классы. Девушки 400,200 м – 5-11 классы. Приглашаются для отбора все желающие. Учащиеся с наилучшими...
9-11 классы iconМастер-классы учителей физики
Липецка состоялись мастер-классы для учителей, которые провели лучшие учителя физики области – победители пнпо «Образование»
9-11 классы iconПрограмма по химии для 8-11 классов общеобразовательных учреждений
Н. Е. Кузнецовой имеют гриф «Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации». Доработанный вариант программы, соответствующий...
9-11 классы icon№7 качество процесса "среднее", качество результата "среднее
Управляющий Совет школы. Обучается 105учащихся в одну смену, 1-4 классы по пятидневной учебной неделе, 5-11 классы по шестидневной...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов