Решение: 1-е слагаемое в сумме равно 1, два следующих равны 2, три следующих равны 3, и т д icon

Решение: 1-е слагаемое в сумме равно 1, два следующих равны 2, три следующих равны 3, и т д



НазваниеРешение: 1-е слагаемое в сумме равно 1, два следующих равны 2, три следующих равны 3, и т д
Дата конвертации20.05.2012
Размер27.99 Kb.
ТипРешение

Матбой №3

9-11 класс

2009-2010

Решения


1. Ответ: 63(63+1)(263+1)/6 -90*12=84264.

Решение: 1-е слагаемое в сумме равно 1, два следующих равны 2, три следующих равны 3, и т.д.

Докажем гипотезу для любого n, т. е. докажем, что

если (1+2+…+р)+1  k  1+2+…+p+(p+1), то [+1/2]=p+1.

1+2+…+р =, 1+2+…+р+(р+1)= , поэтому +1 k, и  [+1/2]  ,

[+1/2]  [+1/2]  [+1/2],

p<[+1/2], [+1/2]>p+2, следовательно, [+1/2] =р+1.

.

Отсюда следует, что =n(n+1)(2n+1)/6 (последнее равенство легко доказывается по индукции).

63(63+1)/2=2016 – ближайшее число к 2004 вида 1+2+…+n. 2004=63(63+1)/2-12. [+1/2]=90.

Сумма равна 63(63+1)(263+1)/6 -=85344-(90*12)=84264.


2. Доказательство проведем методом от противного: предположим, что точки (х11), (х22) с целыми координатами лежат на окружности с центром в (,). Тогда

1 -)2 +(у1 -)2 = r2 и (х2 -gif" name="object22" align=absmiddle width=27 height=19>)2 +(у2 -)2 = r2 ,

следовательно, (х12 –х22) +(у12–у22) =21 –х2)+21 –у2).

Правая часть равенства является целым числом, левая - иррациональным числом. Значит, равенство не может иметь места.


3. Решение: ak+1/ak = (1+)2 . При небольших k ak+1/ak>1, т.е. сначала последовательность возрастает. С увеличением k значение ak+1/ak убывает, пока при некотором k ak+1/ak не станет меньше 1, начиная с этого k последовательность убывает. Значит, нужно найти наименьшее k, при котором ak+1/ak<1.


4. Ответ: а) F30 – 30-й член последовательности Фибоначчи;

б) F28 F31+F29 F30.

Решение: а) пусть kn - число способов, которым мы можем добраться на n-й этаж. Тогда

kn=kn-1+kn-2 . Т. к. k2 =1, k3 =2, то последовательность чисел kn является последовательностью Фибоначчи;

б) F28 – число способов добраться до 28-го этажа, F31 - число способов проехать 31 этажей с 30-го по 60-й. Значит, не останавливаясь на 29-м этаже, с 1-го на 60-й можно попасть

F28 F31 способами. Аналогично, не останавливаясь на 30-м этаже, с 1-го на 60-й можно попасть

F29 F30 способами.


5. Построим две касательные окружности к данной окружности, каждая из которых проходит через точки Аи В. Точка касания окружности меньшего радиуса и будет искомой.


6. Ответ: СТЕРЛИТАМАК.


7. Среди дробей выделим ту, знаменатель которой делится на тройку в наибольшей степени, обозначим показатель этой наибольшей степени через k. При приведении дробей к общему знаменателю, получим дробь, знаменатель которой делится на 3k , а числитель – не делится, т. к. на 3k делятся все слагаемые числителя, кроме того, которое соответствует выделенной дроби.

8. Ответ: да.

Решение: а1=1, а2 =2. Пусть k пар уже построено, найдем (k+1)-ю пару. Пусть d – наименьшее натуральное число, которое не является разностью двух чисел из множества { а1, а2 , …, а2k}. Следующая пара строится так: а2k+1=2а2k+1, a2k+2=2a2k+1+d+1.


9. 1=12=(x1 +x2 +x3 +x4 +x5)2 и 2хi xj . Число всевозможных расстановок пяти чисел по кругу равно 4! Сложим суммы вида x1x2 2x3 3x4 4х5+x5х1, взятые по каждой перестановке, получим сумму всех попарных произведений хixj , ij, умноженную на 12. Тогда по принципу Дирихле хотя бы одна из возможных сумм попарных произведений соседних чисел на окружности не больше, чем 12/(4!)=1/5.

10. Ответ: два цвета.

Решение: обозначим любой тетраэдр АВСD. Соседние с ним сохраняют те же обозначения по общей грани; 4-ю точку обозначим той же буквой, которая не участвует в обозначении общей грани. Соседние тетраэдры имеют различную ориентацию, что позволяет раскрасить тетраэдры в два цвета.




Похожие:

Решение: 1-е слагаемое в сумме равно 1, два следующих равны 2, три следующих равны 3, и т д iconОтношения 7,2 : 2,4 и 2,7 : 0,9 равны, так как значения частных тоже равны. Отношения 7,2 : 2,4 и 2,7 : 0,9 равны, так как значения частных тоже равны
Эти записи читаются так: «Отношение а к b равно отношению с к d» или «а так относится к b, как с относится к d»
Решение: 1-е слагаемое в сумме равно 1, два следующих равны 2, три следующих равны 3, и т д iconРавны читатели
Это наверное для святой матери Терезы все люди были абсолютно равны. Но разве не равны все и для самого крайнего мизантропа! Подавляющее...
Решение: 1-е слагаемое в сумме равно 1, два следующих равны 2, три следующих равны 3, и т д iconОтдел VIII о нахождении орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил
Льной силы движется как бы то ни было, другое же тело движется прямолинейно, прямо к центру или от центра, и скорости обоих тел в...
Решение: 1-е слагаемое в сумме равно 1, два следующих равны 2, три следующих равны 3, и т д iconЕгэ – 2011. Решите уравнение
...
Решение: 1-е слагаемое в сумме равно 1, два следующих равны 2, три следующих равны 3, и т д iconЗадачи с параметрами в одно арифметическое действие (1)
Первое слагаемое равно {a}, второе слагаемое равно {b}. Чему равна сумма? ({a} = {U}, {b} = {V}.) | {a} + {b} = {S}
Решение: 1-е слагаемое в сумме равно 1, два следующих равны 2, три следующих равны 3, и т д iconПризнаки равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны
Решение: 1-е слагаемое в сумме равно 1, два следующих равны 2, три следующих равны 3, и т д iconРеферат по математике. Исполнитель: фио, ученик класса
Думаю, многие хотя бы раз в жизни слышали подобные высказывания: «Все числа равны» или «два равно трём». Таких примеров может быть...
Решение: 1-е слагаемое в сумме равно 1, два следующих равны 2, три следующих равны 3, и т д iconКоэффициенты трения для цилиндров равны, т к. их поверхности выполнены из одинакового материала. На систему не действуют внешние силы. На цилиндры за время действуют равные внутренние силы
Автор изготовил замкнутую механическую систему изображенную на Рис. 12 Система состоит из трех тел – тележки на роликах и двух цилиндров...
Решение: 1-е слагаемое в сумме равно 1, два следующих равны 2, три следующих равны 3, и т д iconЗадачи в одно арифметическое действие (1)
Одно из слагаемых равно {U}, сумма равна {S}. Чему равно второе слагаемое? | {V}
Решение: 1-е слагаемое в сумме равно 1, два следующих равны 2, три следующих равны 3, и т д iconГустенков П. А. (Санкт-Петербург, ргпу им. А. И. Герцена) Штейн Б. М
«на кончике пера». В этом конструировании показательными являются два следующих примера из электродинамики
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов