Решения матбоя №2 icon

Решения матбоя №2



НазваниеРешения матбоя №2
Дата конвертации20.05.2012
Размер34.21 Kb.
ТипДокументы

Решения матбоя № 2

5-8 классы

2009/2010


1. Двузначное простое число не может оканчиваться четной цифрой и пятеркой. Число тем больше, чем больше в нем цифр, поэтому одна из этих цифр должна быть в начале, и искомое число не может содержать более пяти цифр (еще 4 нечетных). Кроме того, число тем больше, чем больше каждая его цифра. Поэтому выберем 8 в качестве первой цифры. 83, 89 – простые, выбираем 89. 97 – единственное простое, начиающееся на 9. 71, 73, 79 – простые, т.к. цифры должны быть различны, то подходит нам 73. 31, 37 – простые, берем 31. Искомое число 89731.


2. Проведем высоту ED  AEC.  AEC – равнобедренный, следовательно, ED является медианой. Т.к. АС=2АВ, то AD=DC=АВ.  AED =  АВЕ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда АВЕ=АDE=90.


3. Заданную шахматную раскраску можно получить, проведя сначала горизонтальные прямые и раскрасив полосы доски в шахматном порядке, а потом проведя вертикальные прямые и обратив цвета в четных вертикальных полосах. При обращении цветов четность черных клеток меняться не будет. Действительно, так как в любой полосе число клеток кратно 1000, т. е. четно, то четность черных и белых клеток в ней совпадает, и значит, при обращении цветов останется той же. Так как после раскраски горизонтальных полос черные клетки занимают целиком некоторые полосы, то число черных клеток четно. При перекрашивании некоторых столбцов четность черных клеток в них не меняется, значит, не меняется и четность черных клеток во всей таблице, то есть после окончания раскраски число черных клеток будет четно.


4. Существует. Рассмотрим первые десять простых чисел 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29. Обозначим их через р1 , р2 , … , р10 . Введем числа

а1 = р1 р22  …  р102 , а2 = р12 р2 р32 …  р102 , … , а10 = р12  р22  …  р92 р10.

a i не делится на а j при ij. Но ai 2 делится на аj2 при любых i, j.


5. Рассмотрим первых 20 спортсменов. Среди них может быть не более десяти в красных костюмах. Действительно, если i-й спортсмен в красном костюме, то (i+10)-й спортсмен должен быть в синем.
Значит, i-му спортсмену в красном в 1-й десятке соответствует (i+10)-й спортсмен в синем во 2-й десятке, и если (i+10)-й спортсмен во второй десятке в красном, то i-й спорсмен должен быть в синем, иначе (i+10)-й в синем. Тогда среди 100 спортсменов в красных костюмах не более 50.


6. Построим  ABF= ADL. При этом точка F будет лежать на ВК, так как АВК+АBF=90+90=180, BF=LD, AF=AL.

KAF=10+40=50, AKF=90- 40=50, т. е. KAF=AKF.

Тогда AFK – равнобедренный, и AL=AF=FK=FB+BK=LD+КВ.


7. Рассмотрим наименьшее из стоящих в вершинах куба чисел, если таких чисел несколько, то одно из них. Не нарушая общности, считаем, что это число стоит в вершине А, обозначим его через а. Тогда в вершинах Е, D, В могут стоять только числа а или (а+1). Если все числа в вершинах Е, D, В равны а, то в С может стоять а или (а+1), и (Е, С) – искомая пара вершин.

Если все числа в вершинах Е, D, В равны (а+1), то в С может стоять а, (а+1), (а+2), и (Е, С) – искомая пара вершин.

Если в вершинах Е, D, В есть различные числа, то можем считать, что в В стоит (а+1), а в Е – а, в D –или а, или (а+1). Тогда в F может стоять или а, или (а+1). (D,F) – искомая.


8. Несколько утверждений не могут быть верными, так как количеству верных утверждений соответствует число, и оно однозначно определено. Т. е. существует одно верное утверждение, значит, в тетради 99 неверных утверждений, и верно 99-е утверждение.


9. Чтобы при любом включении лампы хотя бы один штырек попадал в свое гнездо, необходимо чтобы при данном фиксированном включении расстояния (длины дуг, соединяющих i-й штырек и i-е гнездо) от каждого штырька до соответствующего ему гнезда были различны. Действительно, при каждом положении, нужно чтобы хотя бы одно расстояние обращалось в ноль. Всего 10 положений, и 10 расстояний, значит, все расстояния должны быть различны и равны 0, 1, 2 , … , 9. Их сумма равна 1+2+…+9=45 – нечетное число. Но эта же сумма расстояний представима как сумма модулей разности номеров штырьков и номеров лампочек, т. е. она получается, если расставить «+» и «-» между числами 0, 1, 2, 3, … 8, 9, 0, 2, 3, … 9. Сумма этих чисел четна, значит, и знакопеременная сумма должна быть четна, т. е. она не может быть равна 45.


10. Требуемое расположение показано на рисунке. Нужно только доказать, что квадрат 2 не перекрывается с квадратами 3 и 7 (аналогично, квадрат 5 не перекрывается с квадратами 4 и 6). Для этого докажем, что верхний угол квадрата 7 лежит ниже нижней стороны квадрата 2. Рассмотрим выносной чертеж. На диагонали АЕ квадрата 1 отложим отрезок АС, равный стороне квадрата. АС составляет с m угол в 45. Если бы вершина В квадрата 7 совпадала бы с А, то САD был бы равнобедренным прямоугольным треугольником, и Dm. Но В «чуть» выше (на ) и «чуть» (на /2) левее А, поэтому D на  выше m. Нижняя сторона квадрата 2 на  ниже верхней стороны квадрата 1. Выбирая  таким, чтобы 2 было меньше расстояния отm до верхней стороны квадрата 1, получим требуемое расположение.




Похожие:

Решения матбоя №2 iconРешения матбоя №1
Пусть сначала мальчиков было Х, тогда, так как мальчиков было 50% от числа всех учащихся, то
Решения матбоя №2 iconРешения матбоя №3
Поэтому, чтобы выполнялось требование в условии задачи, необходимо, чтобы все числа в таблице имели одинаковый остаток от деления...
Решения матбоя №2 iconРешения матбоя №4
Пусть Х – длина пути по ровному месту dc, тогда ad+CB=9-x. Участки ad и cb турист проходит дважды, один раз в гору со скоростью 4...
Решения матбоя №2 iconРешения матбоя 4
Поделив 1 на 1996, мы получим 0,00050100 Зачеркиванием первой цифры после запятой мы получим число (1/1996 — 1/2000) • 10. Чтобы...
Решения матбоя №2 iconНестандартные методы решения иррациональных уравнений и неравенств. 1-й метод решения

Решения матбоя №2 iconРешение еспч по делу Вожигов против России от 26 апреля 2007 года., №5953/02 (полный текст решения о приемлемости, обзор решения по существу)

Решения матбоя №2 iconДокументы
1. /олимпада решения/2010 8кл г.doc
2. /олимпада...

Решения матбоя №2 iconЦентральному комитету кпрф
Решения XIII съезда партии безусловно будут в основе нашей практической работы. Но соответствуют ли решения съезда и деятельность...
Решения матбоя №2 iconПриказ №116г. От 01. 09. 2011г. «Об утверждении Основной образовательной программы начального общего образования (ооп ноо) моу юдинской оош» На основании решения Педагогического Совета школы (протокол №1 от 29.
...
Решения матбоя №2 iconЭкологические проблемы современной россии и пути их решения
Ознакомьтесь с деятельностью Гринпис в современной России, подумайте и предложите свои решения экологических проблем
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов