Математическая логика icon

Математическая логика



НазваниеМатематическая логика
Дата конвертации05.07.2012
Размер296.23 Kb.
ТипРабочая программа

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Псковский государственный педагогический университет

имени С.М. Кирова


Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии


УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

учебной дисциплины

Математическая логика


Специальность 032100.00 Математика

с дополнительной специальностью физика


Физико-математический факультет

Форма обучения дневная

4 курс 7 семестр


Псков 2007

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Псковский государственный педагогический университет

имени С.М. Кирова

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

«Утверждаю»

Декан физико-математического факультета

_______________И.Н. Медведева

«_____»_____________200__г.

^ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

учебной дисциплины

Математическая логика

Специальность 032100.00 Математика

с дополнительной специальностью физика

Физико-математический факультет

Форма обучения дневная

4 курс: 7 семестр

Всего часов: 90

Лекции: 30

Практические работы: 16

Самостоятельная работа: 44

Экзамен: 7 семестр


Псков

2007

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 032100.00 Математика с дополнительной специальностью физика.


Номер государственной регистрации

№ 662 пед/сп (новый)

31» января 2005 г.


^ ДПП.Ф.09 Математическая логика


Рабочая программа принята на заседании кафедры алгебры и геометрии.


Протокол № ____ заседания кафедры

«____»____________ 200 __ г.


Программа разработана ассистентом кафедры алгебры и геометрии


__________________________ Д.С. Лобарёв


Заведующий кафедрой алгебры и геометрии

________________________ И.Н. Медведева


^ 1.
Пояснительная записка


1.1 Требования к содержанию учебной дисциплины из Государственного образовательного стандарта.

Введение. Дедуктивный характер математики. Предмет математической логики, ее роль в вопросах обоснования математики. Тенденции в развитии современной математической логики.

Логика высказывания. Логические операции над высказываниями. Язык логики высказываний, формулы. Истинностные значения формул. Равносильность. Равносильные преобразования формул. Представление истинностных функций формулами. Тавтологии – законы логики. Принципы построения исчислений высказываний (гильбертовского или генценовского типа). Классическое и конструктивное (интуиционистское) исчисления. Аксиомы, правила вывода. Доказуемость формул. Выводимость из гипотез. Производные правила. Теорема дедукции. Характеристики исчислений высказываний – непротиворечивость, полнота, разрешимость и связанные с ними теоремы. Независимость аксиом, правил вывода. Законы исключенного третьего и снятия двойного отрицания – законы классической логики. Эффективные и неэффективные доказательства.

Логика предикатов. Предикаты и кванторы. Язык логики предикатов. Термы и формулы. Языки первого порядка. Интерпретации. Значение формулы в интерпретации. Равносильность. Общезначимость и выполнимость формул. Проблема общезначимости, неразрешимость ее в общем случае. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, построение отрицаний предложений.

Формализованные математические теории. Теории первого порядка. Аксиомы теории, правила вывода. Доказательства в теории. Характеристики теорий: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Непротиворечивость исчисления предикатов. Модели теорий. Теорема о полноте для теорий. Формальная арифметика. Теоремы Геделя о неполноте. Формализация теории множеств. Обзор результатов о непротиворечивости и независимости в основаниях теории множеств. Проблемы оснований математики. Парадоксы теории множеств. Проблема непротиворечивости математики. Программа Гильберта. Метод формализации. Конструктивное направление в математике.


^ 1.2 Цели и задачи дисциплины.

Курс математической логики в педагогическом институте имеет своей целью изложить основы этой науки, а именно, познакомить студентов с формализацией математического языка, формализованным аксиоматическим методом построения математических теорий, охватывающим также и логические средства, с его основными частями: языком, аксиомами, правилами вывода в самой общей форме, проблемами непротиворечивости, полноты, разрешимости теорий.

Такой подход при изучении математических теорий характерен для современной математики.

Изучение математической логики, безусловно, будет способствовать более ясному представлению об общей структуре математических теорий.

Основная задача - уделить приложению логической науки к логико-математической практике (решение текстовых математических и геометрических задача, а также задач логического характера) и анализу и синтезу дискретных устройств, что является корнем понимания функционирования простейших и тем самым сложных электронно-вычислительных машин.

Курс математической логики имеет разнообразные межпредметные связи с курсами «Математика», «Основы абстрактной и компьютерной алгебры», «Теория алгоритмов», «Программирование» и другими.

В результате изучения курса студенты должны обладать техникой логических преобразований, особенно обращению с кванторами, научиться формально доказывать формулы исчисления высказываний (теоремы). При достаточном количестве производных правил уметь провести доказательство любой тавтологии т.п.


^ 2. Структура учебной дисциплины.

Тема


ЛК


ПР


СР


Всего


1. Дедуктивный характер математики

2




4

8

2. Алгебра логики


8


6


12


24


3. Исчисление высказываний


6


4


8


16


4. Логика предикатов


6


4


12


22


5. Исчисление предикатов


4

2


8


16


6. Формализованные математические теории

4

0




4

Итого


30


16


44


90



^ 3. Содержание учебной дисциплины

3.1 Содержание лекционного курса

№ лек.


Тема лекции


Содержание лекции


Вид контроля


1


Введение


Дедуктивный характер математики Предмет математической логики. Из истории возникновения логической науки.


коллоквиум


2

3

Высказывания

Формулы


Определение высказывания. Логические операции над высказываниями, примеры.

Определение формулы. Истинностные значения формул. Определение функции. Представления истинностных функций формулами.


коллоквиум


3


Тавтологии

Равносильные формулы.

Логическое следствие.

Определения тавтологии и противоречия. Закон контрапозиции, исключенного третьего, двойного отрицания и т.п.

Равносильность. Равносильные преобразования формул. Связь равносильностей с тавтологиями. Определение логического следствия.


коллоквиум


4


Нормальные формы

Совершенные нормальные формы Проблема разрешимости


Определения ДН-формы и КН-формы, приводимость всякой формулы к нормальной форме, примеры. Закон двойственности.

Определения СДН-формы и СКН-формы, их единственность, алгоритм нахождения.

Проблема разрешимости. Основные теоремы.

коллоквиум


5

Применения тавтологий. Приложение булевых функций

Некоторые применения тавтологий к логико-математической практике. Способ доказательства от противного, необходимые и достаточные условия теорем и т.д. Приложение булевых функций к анализу и синтезу дискретных устройств.

коллоквиум


6


Аксиоматическое построение логики высказываний


Определение формулы. Аксиомы и правила вывода. Доказуемость формул. Выводимость из гипотез, правила выводимости.


коллоквиум


7


Теорема дедукции


Свойства вывода из гипотез. Доказательство теоремы дедукции, правила логики выводимые из неё.


коллоквиум


8

Свойства исчисления высказываний


Непротиворечивость, полнота и разрешимость исчисления высказываний. Независимость аксиом.

коллоквиум


9


Предикаты


Понятие предиката. Операции над предикатами, примеры.





10


Формулы логики предикатов


Определение формулы, истинностные значения формул, равносильность, предваренная нормальная форма.





11


Общезначимость и выполнимость формул


Свойства. Проблема разрешения для общезначимости и выполнимости, неразрешимость ее в общем случае.





12


Язык логики предикатов


Применения языка логики предикатов для записи мат. предложений, определений, построение отрицаний предложений.





13


Аксиоматическое построение логики предикатов


Логические и специальные аксиомы. Правила вывода. Доказательства в теории. Теорема дедукции. Проблемы непротиворечивости, полноты, разрешимости теорий. Непротиворечивость.

Теоремы Геделя о неполноте





14

Формализованные математические теории

Формализованные математические теории. Теории первого порядка. Аксиомы теории, правила вывода. Доказательства в теории. Характеристики теорий: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Непротиворечивость исчисления предикатов. Модели теорий. Теорема о полноте для теорий. Формальная арифметика. Теоремы Геделя о неполноте. Формализация теории множеств. Обзор результатов о непротиворечивости и независимости в основаниях теории множеств.




15

Проблемы оснований математики

Проблемы оснований математики. Парадоксы теории множеств. Проблема непротиворечивости математики. Программа Гильберта. Метод формализации. Конструктивное направление в математике.





^ 3.2 Содержание практических занятий

№ занят.


Тема практического занятия


Содержание практического занятия


Вид контроля


1


Высказывания и операции над ними

Формулы алгебры высказываний

Тавтологии. Равносильные формулы


Задачи на определения высказываний, на определение значений высказываний, на операции над высказываниями.

Определение формул, составление таблиц истинности формул.

Определение тавтологии и равносильных формул, их связь. Задачи на применение равносильных преобразований.


Самостоят. работа


2



Нормальные и совершенные нормальные формы, проблема разрешимости формул


Приводимость всякой формулы к КН-форме или ДН-форме. Нахождение СДН-формы или СКН-формы по алгоритму.


Самостоят. работа


3


Логическое следствие.

Приложение тавтологий.

Построение доказательств


Задачи на логические следствия. Метод доказательства от противного. Прямые, обратные и противоположные теоремы, задачи. Построение доказательств, свойства выводимости, их доказательства.


Самостоят. работа

Индивид. задание


4



Теорема дедукции

Правила вывода


Применение теоремы дедукции при доказательстве утверждений и теорем.

Производные правила вывода, доказательства некоторых выводимостей.


Индивид. задание


5



Независимость системы аксиом

Контрольная работа


Задачи на доказательство независимости систем аксиом.

Контрольная работа по алгебре и исчислению высказываний


Самостоят. работа

Контр. работа


6


Понятие предиката и операции над ним

Множество истинности предиката

Задачи на определение предикатов. Истинностные значения предикатов. Построение высказываний с помощью кванторов.

Нахождение множества истинности предикатов. Записи на языке алгебры предикатов.


Самостоят. работа


7



Формулы алгебры предикатов

Тавтологии и равносильные преобразования формул


Выполнимость формул.

Определение тавтологий. Доказательства равносильностей. Задачи на применение равносильностей. Предваренная нормальная форма.


Индивид. задание

Контр.работа


8


Теорема дедукции исчисления предикатов

Правила вывода


Применение теоремы дедукции при доказательстве утверждений и теорем.

Производные правила вывода, доказательства некоторых выводимостей.


Индивидуальное задание.



^ 4. Методические материалы и рекомендации для преподавателя

Основным методом изучения тем, вынесенных в лекционный курс, является информационно-объяснительный метод с элементами проблемных ситуаций и заданий студентам. На практических занятиях основным является поисковый метод, связанный с решением различных типов задач.

^ Средствами обучения является базовый учебник, дополнительные пособия для организации самостоятельной работы студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы, сборники задач.

^ Приемами организации учебно-познавательной деятельности студентов являются приемы, направленные на осмысление и углубление предлагаемого содержания и приемы, направленные на развитие аналитико-поисковой и исследовательской деятельности.

Важно четко представлять структуру курса, уметь выделить в каждом разделе основные, базовые понятия, обозначенное минимумом содержания, определенного государственным образовательным стандартом.

Необходимо на каждом занятии рассматривать связь математической логики с другими дисциплинами, элементарной математикой, курсом методики преподавания математики, истории математики.

Данный курс должен сыграть большую роль в профессиональной подготовке будущего учителя.


^

4.1 Критерии оценок


В основе оценки знаний по предмету лежат следующие основные требования:

  • освоение всех разделов теоретического курса Программы;

  • умение применять полученные знания к решению конкретных задач.

Ответ заслуживает отличной оценки, если экзаменуемый показывает знания, в полной степени, отвечающие предъявляемым к ответу требованиям: это требование основных понятий и приемов решения задач. Отличная оценка характеризует свободную ориентацию экзаменуемого в предмете. Ответы на вопросы, в том числе и дополнительные, должны обнаруживать уверенное владение терминологией, основными умениями и навыками.

Хорошая оценка характеризует тот ответ, который не в полной степени удовлетворяет вышеперечисленным критериям, однако, экзаменуемый обнаруживает прочные знания в объеме курса. Ответ должен быть достаточно аргументирован, вопросы глубоко и осмысленно изложены.

Оценка «удовлетворительно» выставляется за то, что ответ экзаменуемого соотносится с основными требованиями, т.е. имеются в виду твердые знания в объеме учебной программы и умение владеть терминологией. Удовлетворительная оценка выставляется за знание в целом, однако, отдельные детали могут быть упущены.

Неудовлетворительная оценка выставляется, если ответ не удовлетворяет хотя бы одному из требований или отсутствуют знания основных понятий и методов решения задач.


^
4.2 Материалы по модульно-рейтинговой системе оценки знаний студентов по дисциплине
Общие положения

Дисциплина разбита на 4 модуля.

По каждому модулю проводится текущий и блочный контроль. Максимальное число баллов по каждому из видов контроля указано в технологической карте.

Уровень успеваемости задается 60% (оценка удовлетворительно)

Оценка «хорошо» - 75%.

Оценка «отлично» - 90%.

  1. Студент, пропустивший текущий рейтинг по уважительной причине имеет право написать его в другое время.

  2. При повторной сдаче коллоквиума, сдаче его не графику (без уважительных причин) максимальный балл снижается до 12.

  3. Если студент не имеет уровня успеваемости или хочет повысить рейтинговую оценку, он сдает экзамен. На экзамене предлагается два вопроса и тест. Каждое задание оценивается в 10 баллов. Итого (с учетом рейтинга) максимальное число баллов становится 130.

Если студент набрал 50% (65 баллов) - ставится оценка удовлетворительно, если 70% (91 балл) - оценка «хорошо», если 85% (110 баллов) - оценка «отлично».

^
Технологическая карта




Название блока (модуля)

Вид контроля, содержание

^ Возможное количество баллов

Контрольные сроки

Максимальное количество баллов по блоку

  1. ^ Алгебра логики.

Текущий

25

  1. Высказывания и операции над ними

0-3




  1. Формулы алгебры логики

3. Тавтологии

0-3

0-3




^ 4. Нормальные и совершенные формы

0-3




5. Приложение алгебры логики

0-3




Блочный

  1. Презентация/буклет

0-5




^ 2. Расчетно-графическая работа №1

0-5



  1. Исчисление высказываний.

Текущий

20

  1. Система аксиом и правила вывода

0-3




  1. Теорема о дедукции

  2. Правила вывода

0-3




  1. Непротиворечивость и полнота ИВ

0-3




Блочный

  1. Коллоквиум №1

(теория, устно)

0-11




  1. Алгебра предикатов.

Текущий

15

  1. Предикат, операции, кванторы

0-3




  1. Формулы АП

0-3




  1. ^ Ощезначимость и выполнимость

0-3




Блочный

Расчетно-графическая работа №2

0-6




  1. Исчисление предикатов.

  1. Аксиомы и правила вывода ИП

  2. Теорема о дедукции

  3. Непротиворечивость

  4. Теорема Геделя о неполноте

0-10




10

  1. 1-4.

Семестровый контроль

0-30




30

Итого

100


Примечание. Технологическая карта выдается студентам на первом занятии с указанием конкретных сроков прохождения контроля и правил начисления баллов. В дальнейшем правила игры не меняются.


^ 4.3 Примерный перечень контрольных вопросов и заданий

к коллоквиуму.

1. Предмет математической логики.

2. Определение высказывания. Логические операции над высказываниями, примеры.

3. Определение формулы. Истинностные значения формул. Определение функции. Представления истинностных функций формулами.

4. Определения тавтологии и противоречия. Закон контрапозиции, исключенного третьего, двойного отрицания.

5. Равносильность. Равносильные преобразования формул. Связь равносильностей с тавтологиями.

6. Определения ДН-формы и КН-формы, приводимость всякой формулы к нормальной форме, примеры.

7. Логическое следствие

8. Закон двойственности.

9. Определения СДН-формы и СКН-формы, алгоритм нахождения.

10. Аксиомы исчисления высказываний и правила вывода. Доказуемость формул. Выводимость из гипотез, правила выводимости.

11. Теоремы дедукции.

12. Непротиворечивость исчисления высказываний.

13. Полнота и разрешимость исчисления высказываний.

14. Независимость аксиом.


^ 4.4 Примерный вариант тестовых заданий.

  1. Укажите, какой ученый является основателем формальной логики?

  1. Буль

  2. Евклид

  3. Аристотель

  4. Колмогоров

  5. Лейбниц

  1. Какие из следующих предложений являются высказываниями?

  1. Какое чудесное утро!



  2. Треугольник называется равнобедренным, если его боковые стороны равны.

  3. Число x не превосходит единицы.

  4. Если треугольник равнобедренный, то высота, опущенная на основание, одновременно является медианой и биссектрисой.

  1. Укажите ложное высказывания:

  1. 210 < 1000.

  2. Уравнение не имеет действительных корней.

  3. >14.

  4. Луна – естественный спутник Земли.

  5. Существуют действительные иррациональные числа.

  1. Укажите отрицание высказывания: «Существуют иррациональные числа»

  1. Все числа иррациональные.

  2. Все числа рациональные.

  3. Существуют рациональные числа.

  4. Все числа нерациональные.

  5. Нет иррациональных чисел.

  1. Укажите унарную алгебраическую операцию:











  1. Сформулируйте и запишите в виде конъюнкции или дизъюнкции условие истинности высказывания |a| > 3 (а, b  R).











  1. Укажите, какие из предложенных последовательностей символов – формула.











  1. Формула, итоговый столбец которой состоит из одних нулей, является:

    1. тождественно-истинной

    2. выполнимой

    3. опровержимой

    4. тождественно-ложной

    5. общезначимой

  2. Укажите тавтологию.











  1. Укажите верное утверждение:

    1. Равносильность является операцией алгебры логики

    2. Отношение равносильности обладает свойством симметричности

    3. Отношение равносильности обладает свойством антирефлексивности

    4. Равносильность является операцией алгебры предикатов

    5. Отношение равносильности обладает свойством полноты

  2. Формулой равносильной к является.

  1. 0







  2. 1

  1. Укажите, какая выводимость (логическое следствие) имеет место.

  1. ,

  2. 1╞

  3. ╞ r



  4. 0╞ ()

  1. Укажите, в каких высказываниях вместо многоточия необходимо вставить выражение (достаточно, но необходимо), чтобы оно было истинным:

  1. Для того, чтобы четырёхугольник был параллелограммом, … , чтобы все его стороны были равны

  2. - четное число … для того, чтобы было четным числом .

  3. … для того, чтобы

  4. Для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, … , чтобы все его углы были равны.

  5. Для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, … , чтобы его диагонали были равны.

  1. Сколько различных приведенных форм имеет формула: .

  1. 3

  2. 1

  3. 0

  4. 2



  1. Укажите операции, являющиеся двойственными

1. и

2. и

3. и отрицание

4. отрицание и

5. и

  1. В основе, какой из равносильностей лежит принцип доказательства «методом контрапозиции»

1.

2.

3.

4.

5.

  1. Укажите, какие формулы являются КН – формами

1.

2.

3.

4.

5.

  1. Теорема, противоположная для :

1.

2.

3.

4.

5.


  1. СДНФ формулы алгебры логики:







  1. 1

  2. 0

  1. Для доказательства теоремы на основании теоремы о дедукции необходимо доказать вывод:

  1. ,



  2. ,

  3. ,

  4. ,

  1. Дан список аксиом:

a.

b.

c.

d.

Непротиворечивыми являются:

  1. a,b,c

  2. c,d

  3. a,b,d

  4. a,b,c,d

  5. b,с,d

  1. Правило силлогизма имеет вид:

1.

2.

3.

4.

5.

  1. Укажите выражения, которые не являются предикатами.

  1. ,

  2. (- столица России), множеству наименований европейских городов

  3. ( - множество прямых плоскости)

  4. ,

  5. и ( - множество наименований европейских городов)

  1. Укажите тождественно-ложный предикат

  1. (- ромб)(- параллелограмм) , где множеству четырехугольников

  2. , .

  3. , где

  4. точка равноудалена от точек , где множеству точек плоскости

  5. , где

  1. Укажите предикат на N, который задает множество степеней двойки:

1.

2.

3.

4.

5.


  1. Пусть (), (), . Укажите выражение на языке алгебры предикатов высказывания: «Некоторые натуральные числа кратные 12 не являются кратными 3».











  1. Переведите на русский язык следующую символьную запись: , где , - простые числа.

  1. Каждое, четное число >2, есть сумма двух чисел, из которых одно простое.

  2. Всякое натуральное число, кратное двум и >2 есть сумма двух чисел, из которых одно простое.

  3. Некоторые четное числа >2 являются суммой двух простых.

  4. Всякое натуральное четное число, >2 является суммой двух простых.

  5. Всякое натуральное число, >2 является суммой двух простых.

  1. Формулой равносильной к является.











  1. Предваренной формой к формуле является.











  1. Укажите тавтологию алгебры предикатов (общезначимую формулу).












^ 5. Формы и методы самостоятельной работы

1. Изучение литературы при подготовке презентаций и буклетов

2. Подготовка рефератов в форме презентаций или электронных публикаций (перечень тем см. ниже)

3. Изучение доказательств лемм, теорем.

4. Доказательство по аналогии.

5. Работа с Интернет-ресурсами.

6. Работа с электронными учебниками (см. Наглядные пособия)Анализ школьных учебников

7. Выполнение расчетно-графической работы.

При организации самостоятельной работы применяются типы работ:

-воспроизводящие самостоятельные работы (по образцу)

-реконструктивные самостоятельные работы

-эвристические самостоятельные работы

-исследовательские самостоятельные работы


^ 5.1 Примерный перечень тем рефератов по курсу.

    1. Предмет математической логики

    2. Понятия, экспликации, суждения и умозаключения

    3. Логические и семантические парадоксы

    4. Теоретико-множественные операции

    5. Континуум

    6. Логико-математический язык

    7. Кванторы

    8. Принцип дедукции

    9. Формальный вывод и разрешимая формула

    10. Метод резолюций

    11. Диаграммы Венна

    12. Модальная логика

    13. Темпоральная и нечеткая логика

    14. Нечеткие множества

    15. Нечеткие отношения

    16. Лингвистическая переменная

    17. Синтаксические и семантические правила

    18. Логико-лингвистический подход

    19. Аксиоматический метод

    20. Аксиоматико-дедуктивный метод в математике

    21. Неформальная аксиоматика

    22. Программа Гильберта

    23. Понятие о метаязыке и метатеории

    24. Формальные системы

    25. Формализация теории, интерпретация и представление системы

    26. Фразы

    27. Грамматики

    28. Финитные и дефинитные методы

    29. Этапы становления математической логики

    30. Логика Аристотеля


^ 6. Формы текущего, промежуточного и итогового контроля.

Текущий контроль:

- Самостоятельные работы

- Индивидуальные задания

- Опрос студентов

^ Промежуточный контроль:

- Коллоквиум по алгебре и исчислению высказываний

- Контрольный тест по алгебре и исчислению высказываний

- Контрольная работа по алгебре и исчислению предикатов

- Расчетно-графическая работа

Итоговый контроль:

- Экзамен


^ 7. Список литературы

Основная

  1. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 448 с.

  2. Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике. – М.:1986.

  3. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. – М., 1975.

  4. Мендельсон Э. Введение в математическую логику: Пер. с англ. – М.,1976.

  5. Мощенский В.А. Лекции по математической логике. – Минск, 1973.


Дополнительная

  1. Аристотель. Сочинения: В 4 т. – М., 1976-1981.

  2. Бойко А.П. Краткий курс логики. – М., 1995.

  3. Ефремов Г.О. Алгебра логики и контактные схемы. – М., 1969.

  4. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М., 1973.

  5. Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории: Пер. с анг. – М.,1968.




Ресурсы сети Интернет

  1. Плиско В. Е. Математическая логика: Курс лекций. -- 86 с. -- http://lpcs.math.msu.su/~plisko/matlog.pdf, http://lpcs.math.msu.su/~plisko/matlog.ps

  2. Плиско В. Е. Теория алгоритмов: Курс лекций. -- 38 с. -- http://lpcs.math.msu.su/~plisko/ta.pdf, http://lpcs.math.msu.su/~plisko/ta.ps

  3. Bilaniuk S. A Problem Course in Mathematical Logic. -- 2003. -- XII, 152 p. -- http://www.trentu.ca/mathematics/sb/pcml/




Похожие:

Математическая логика iconДокументы
1. /Математическая логика - 1ч Логика высказываний, логика предикатов.doc
2. /Математическая...

Математическая логика iconДокументы
1. /Математическая логика и материалистическая диалектика.djvu
Математическая логика iconДокументы
1. /djvu-student.narod.ru/Математическая логика. Глава 5.pdf
Математическая логика iconДокументы
1. /djvu-student.narod.ru/Математическая логика. Глава 3.pdf
Математическая логика iconДокументы
1. /djvu-student.narod.ru/Математическая логика. Глава 4.pdf
Математическая логика iconДокументы
1. /djvu-student.narod.ru/Математическая логика. Глава 1.pdf
Математическая логика iconДокументы
1. /djvu-student.narod.ru/Математическая логика. Глава 2.pdf
Математическая логика iconДокументы
1. /djvu-student.narod.ru/Математическая логика. Глава 6.pdf
Математическая логика iconДокументы
1. /djvu-student.narod.ru/Математическая логика. Глава 7.pdf
Математическая логика iconМатематическая логика
Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов