Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей icon

Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей



НазваниеАлгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей
Дата конвертации10.07.2012
Размер66.51 Kb.
ТипДокументы

Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей


1. Привести все дроби к общему знаменателю; если они с самого начала имели одинаковые знаменатели, то этот шаг алгоритма опускают.
2. Выполнить сложение (вычитание) полученных дробей с одинаковыми знаменателями.


Пример 1. Выполнить действия:

а)   ;      б)   ;      в)   .


Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических дробей общий знаменатель был найден выше, в уроке "Основное свойство алгебраической дроби". Опираясь на указанный пример, получаем:

а)       ;

б)       ;

в)     

 .


Самое трудное в приведенном алгоритме — это, конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю. В примере 1 вы этой трудности, может быть, не ощутили, поскольку мы воспользовались готовыми результатами из § 2.
Чтобы выработать правило отыскания общего знаменателя, проанализируем пример 1.


Для дробей    и    общим знаменатель есть число 15 — оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным).

Для дробей    и    общим знаменателем является одночлен   . Он делится и на    и на   , т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей. Обратите внимание: число 12 — наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Переменная  png" name="graphics15" align=bottom width=7 height=13 border=0> входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель второй дроби — с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе.
Для дробей    и    общим знаменателем служит произведение    — оно делится и на знаменатель  и на знаменатель.
При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.
Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.


^ Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей

  1. Разложить все знаменатели на множители (числовые коэффициенты, степени переменных, двучлены, трехчлены).

  2. Найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов, имеющихся в разложениях на множители, составленных на первом шаге.

  3. Составить произведение, включив в него в качестве множителей все буквенные множители разложений, полученных на первом шаге алгоритма. Если некоторый множитель (степень переменной, двучлен, трехчлен) имеется в нескольких разложениях, то его следует взять с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся.

  4. Приписать к произведению, полученному на третьем шаге, числовой коэффициент, найденный на втором шаге; в итоге получится общий знаменатель.

Прежде чем двигаться дальше, попробуйте применить этот алгоритм к обоснованию поиска общего знаменателя для алгебраических дробей из примера 1.


Замечание. На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей    и    общим знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен  . Дело в том, что и 30, и 60, и    можно разделить как на 3, так и на 5.  Для дробей     и    общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена  , может быть и    и  . Чем же одночлен    лучше, чем  , чем  ? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм — это алгоритм отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя.


Снова вернемся к примеру 1, а. Чтобы сложить алгебраические дроби     и   , надо было не только найти общий знаменатель (число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные множители, которые позволили бы привести дроби к общему знаменателю. Для дроби   таким дополнительным множителем служит число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 5), для дроби    — число 3 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3). Дополнительный множитель есть частное от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби. 

Обычно используют следующую запись:

 .


Снова вернемся к примеру 1,6. Общим знаменателем для дробей    и    является одночлен   . Дополнительный множитель для первой дроби равен    (поскольку   ), для второй дроби он равен 2 (поскольку  ). Значит, решение примера 1,6 можно оформить так:

 .


Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт показывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся, поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку.

^ Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю

  1. Разложить все знаменатели на множители.

  2. Из первого знаменателя выписать произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.

  3. Найти дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.

  4. Найти для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.

  5. Записать каждую дробь с новым числителем и новым (общим) знаменателем.


Пример 2. Упростить выражение .

Решение.
Первый этап. Найдем общий знаменатель и дополнительные множители.
Имеем






Первый знаменатель берем целиком, а из второго — добавляем множитель , которого нет в первом знаменателе. Получим общий знаменатель   .

Удобно расположить записи в виде таблицы:

Знаменатели

Общий знаменатель

Дополнительные множители










Второй этап.
Выполним преобразования:



 .


При наличии некоторого опыта первый этап можно не выделять, выполняя его одновременно со вторым этапом.
В заключение рассмотрим более сложный пример (для желающих).

Пример 3. Упростить выражение




Решение. Первый этап.
Разложим все знаменатели на множители:

1)   ;

2)   ;

3)   .

Первый знаменатель берем целиком, из второго возьмем недостающие множители    и    (или   ), из третьего — недостающий множитель    (поскольку третий знаменатель содержит множитель  ).

Знаменатели

Общий знаменатель

Дополнительные множители











Заметим, что если у дополнительного множителя появляется знак «-», то его обычно ставят перед всей дробью, т. е. перед второй дробью придется поменять знак.

^ Второй этап.
Выполним преобразования:





 .


Отметим, что замена выражения, данного в примере 3, той алгебраической дробью, которая получилась в результате, есть тождественное преобразование при допустимых значениях переменных. В данном случае допустимыми являются любые значения переменных    и   , кроме   ,   ,    (в этих случаях знаменатели обращаются в нуль).




Похожие:

Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей iconСравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Цель урока: Продолжить отрабатывать навыки сравнения, сложения и вычитания дробей с разными знаменателями
Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей iconПравила сложения, вычитания, умножения, деления целых чисел, обыкновенных и десятичных дробей, чисел с разными знаками, порядка действий. С. р Выражения, тождества, уравнения
...
Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей iconПриемы устного сложения и вычитания чисел
Содержанием этой деятельности являются: Усвоение учащимися смысла сложения и вычитания,позволяет организовать их деятельность, направленную...
Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей iconУрок математики в 6 классе по теме
Учитель: Сегодня на уроке мы будем закреплять правила сложения и вычитания обыкновенных дробей. Сегодняшний урок будет помощью одному...
Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей iconУрок математика 2, 3 «В» с (К) к 7 вида
Цель: проверить вычислительные умения в письменных случаях сложения и вычитания в пределах 100
Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей iconУрок математики в 5 классе по теме «Сложение и вычитание обыкновенных дробей»
Учитель: Сегодня на уроке мы будем закреплять правила сложении и вычитания обыкновенных дробей. На сегодняшнем уроке вы будете помогать...
Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей iconСмысл действий сложения и вычитания Выполнила студентка 45гр
Например, детям предлагается картинка на которой Миша и Маша запускают рыбок в аквариум
Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей iconУрока: "Цветик-семицветик". Математика 1 класс Тема урока: Числа 1-10
Закрепление знаний состава чисел от 1 до 10, таблиц сложения и вычитания в пределах 10
Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей iconCells Arithmetic
Данная программа представляет собой инструмент для быстрого и удобного выполнения операций сложения-вычитания, умножения-деления...
Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей iconАвтор: Беляева Людмила Геннадьевна ((Еласовская средняя общеобразовательная школа Горномарийского района республики Марий Эл). Страницы веселой математики Тема
Цели: 1 Закреплять приемы сложения и вычитания двузначных чисел; продолжить подготовительную раоту к введению умножения
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов