Элементы теории множеств icon

Элементы теории множеств



НазваниеЭлементы теории множеств
Хомутова Л.Ю
Дата конвертации15.07.2012
Размер84.91 Kb.
ТипМетодическое пособие



МОСКОВСКИЙ КОМИТЕТ ОБРАЗОВАНИЯ

ЮЖНЫЙ АДМИНИСТРАТИВНЫЙ ОКРУГ

ГОУ Лицей №1523

Элементы теории множеств

(Методическое пособие для учащихся

9-х классов физико-математического профиля)


Автор: Хомутова Л.Ю.

Москва

2006 год

«Множество есть многое,
мыслимое нами как единое».


Г. Кантор

1. Множества и их элементы


В повседневной жизни постоянно различные совокупности предметов называют одним словом. Совокупность документов называют архивом, собрание музыкантов – оркестром, группу лошадей – табуном, собрание книг – библиотекой и т. д.

Математическим понятием, отражающим объединение некоторых объектов, предметов или понятий в единую совокупность, является понятие множества. Это понятие в математике является первичным, не определяемым, таким же, как понятие точки и прямой в геометрии, – к более простым понятиям оно не сводится.

Приведем примеры множеств:

  • Множество всех людей, живущих в настоящее время на Земле.

  • Множество всех рыб в Тихом океане.

  • Множество звезд в Галактике.

  • Множество всех натуральных чисел.

  • Множество всех действительных чисел , удовлетворяющих условию .

  • Множество учащихся данной школы.

Предметы, объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, Александр I является элементом множества российских императоров, а число 9 – элементом множества натуральных чисел, а число не является элементом множества целых чисел.

Обычно множества обозначаются латинскими прописными буквами A, B, C, D ,X ,Y ,W и т. д., а их элементы – строчными буквами a, b, c, d, x, y, w и т. д. То обстоятельство, что объект a является элементом множества А, записывают так: . Если объект а не является элементом множества А, то пишут: .

Множества А и В называются равными, если они содержат одни и те же элементы. Например, равны множества и
gif" name="object7" align=absmiddle width=89 height=20>. Равенство множеств А и В записывают в виде А=В.

^

2. Характеристическое свойство множества



Различают множества конечные и бесконечные. Конечным называется множество, состоящее из конечного числа элементов. Среди конечных множеств выделяют пустое множество, не имеющего ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают символом . Примерами пустых множеств являются множество людей выше трех метров роста, множество нечетных чисел, делящихся на два, и т. д. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным множеством.

Имеется два существенно различных способа задания множества. Первый способ состоит в том, что множество задается указанием всех его элементов. В этом случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов, или списком элементов.

Перечислением элементов можно задать лишь конечные множества. И даже для них это не всегда легко сделать: трудно перечислить все элементы конечного множества, состоящего из всех людей, живущих на Земле.

Второй способ задания множества применим как к конечным, так и к бесконечным множествам. Он состоит в том, указывается свойство, которым обладают все элементы рассматриваемого множества и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характеристическим свойством множества. Если множество А задано характеристическим свойством Р, то пишут:

.

Эту запись читают так: множество ^ А состоит из тех и только тех элементов, которые обладают свойством Р.

означает, что множество В состоит из всех нечетных натуральных чисел.

3. Подмножества



Множество ^ В является подмножеством множества А, если каждый элемент х из множества В является вместе с тем и элементом множества А. В этом случае пишут: . Здесь знак является знаком включения одного множества в другое.

Рассмотрим множества:

  1. В – множество всех четырехугольников,

  2. С – множество всех параллелограммов,

  3. D – множество всех прямоугольников,

  4. Е – множество всех квадратов.

В смысле множества фигура каждого следующего типа является частным случаем фигуры предыдущего типа (параллелограмм – частный случай четырехугольника, прямоугольник – параллелограмма, квадрат – прямоугольника). Это означает, что каждое следующее множество является подмножеством предыдущего. Поэтому

.

Для иллюстрации соотношения между множествами пользуются схемами, называемыми диаграммами Эйлера – Венна, на которых множества изображаются овалами, в частности кругами.

Леонард Эйлер (1707 – 1783) – один из величайших математиков {VIII в., швейцарец; Дж. Венн (1834 – 1923) – английский математик.

На рисунке 1 с помощью кругов показано соотношение между множествами B, С, D, Е.






Рис. 1


^

4. Операции над множествами




4.1. Пересечение множеств


Если даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств. Например, общей частью множеств будет множество , которое называют пересечением множеств А и В.


Определение. Пересечением множеств А и В называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно и в множество А, и в множество В.


Пересечение множеств А и В обозначают :

.

Например, если А – множество всех прямоугольников, В – множество всех ромбов, то – множество всех квадратов.

Геометрическую иллюстрацию операции пересечения множеств А и В дают диаграммы Эйлера – Венна (рис. 2).





а) б)

Рис. 2


На рисунке 2,а заштриховано множество , на рисунке 2,б множества А и В не пересекаются, т. е. .

Операция пересечения множеств применяется там, где требуется найти элементы, удовлетворяющие сразу двум условиям. Например, множество натуральных чисел, кратных 15, – это пересечение множества натуральных чисел, кратных 3, и множества натуральных чисел, кратных 5, т. е.

.
^

4.2. Объединение множеств


Из двух множеств А и В можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества А и все элементы множества В. Например, объединяя элементы множества с элементами множества , получим новое множество , которое называют объединением множеств А и В. При этом общие элементы 3 и 5 входят в объединение один раз.


Определение. Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или в множество В.


Объединение множеств А и В обозначают :

.




а) б)

Рис. 3.


Диаграммы Эйлера – Венна, соответствующие операции объединения множеств А и В, построены на рисунке 3. На них заштрихованы множества .
^

4.3. Разность множеств


Определение. Разностью двух множеств А и В называют такое множество, в которое входят элементы из множества А, не принадлежащие множеству В.


Разность множеств А и В обозначают А/В. Диаграммы Эйлера – Венна, соответствующие операции вычитания множеств А и В, построены на рисунке 4. На нем заштрихованы множества А/В. Если А=В, то А/В=.

А


а) б) в)

Рис. 4.


В случае, когда В есть подмножество множества А, разность А/В называют дополнением множества В в множестве А и обозначают . Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел.

^

5. Формулы включений и исключений



Проиллюстрируем теперь применение операций над множествами для решения задач о нахождении числа элементов, заданных несколькими условиями. Ниже будем рассматривать только конечные множества А и через обозначать число их элементов.

При решении задач будем пользоваться формулой включений и исключений для двух конечных множеств А и В:

,

и формулой включений и исключений для трех конечных множеств А, В и С:

.


Задача.

На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии – 700, по стереометрии – 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии – 500, по планиметрии и стереометрии – 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?

Решение. Пусть

  1. U – множество всех абитуриентов,

  2. А – множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре,

  3. В – множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии,

  4. С – множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии.

По условию задачи составим таблицу числа элементов множеств (таблица 1).


Таблица 1.

Множества

Обозначение числа элементов множества

Число элементов множества

Множество всех абитуриентов.



1000

Множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре.



800

Множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии.



700

Множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии.



600

Множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре и планиметрии.



600

Множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре и стереометрии.



500

Множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии и стереометрии.



400

Множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре, планиметрии и стереометрии.



300


В множество включены все абитуриенты, решившие хотя бы одну задачу. По формуле включений и исключений для трех конечных множеств имеем . Отсюда следует, что не все поступившие решили хотя бы одну задачу. Ни одной задачи не решили (абитуриентов).



Рис.5.


На рисунке 5 это решение проиллюстрировано с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

Вернуться к конспектам уроков

Оглавление


Элементы теории множеств 1

(Методическое пособие для учащихся 1

9-х классов физико-математического профиля) 1

1. Множества и их элементы 2

2. Характеристическое свойство множества 3

3. Подмножества 4

4. Операции над множествами 5

4.1. Пересечение множеств 5

4.2. Объединение множеств 5

4.3. Разность множеств 6

5. Формулы включений и исключений 7

Оглавление 9






Похожие:

Элементы теории множеств iconКлючевые понятия теории нечетких множеств
Однако некоторые важные формализмы, которые необходимы для нашего рассмотрения, опущены. Поэтому оказывается необходимым в порядке...
Элементы теории множеств iconПредложение по дополнению в удк в части оснований математики, логики и теории множеств (в процессе обсуждения)
Предложение по дополнению в удк в части оснований математики, логики и теории множеств
Элементы теории множеств iconЗамятин А. П., Ливчак А. Б. Элементы математической теории информационных систем: выразимость и вычислимость

Элементы теории множеств iconЗамятин А. П., Ливчак А. Б. Элементы математической теории информационных систем: выразимость и вычислимость. Стр. 40-60. Начало см

Элементы теории множеств iconЗамятин А. П., Ливчак А. Б. Элементы математической теории информационных систем: выразимость и вычислимость. Стр. 8-39. Начало см

Элементы теории множеств iconЗамятин А. П., Ливчак А. Б. Элементы математической теории информационных систем: выразимость и вычислимость. Стр. 61-81. Начало см

Элементы теории множеств iconЗамятин А. П., Ливчак А. Б. Элементы математической теории информационных систем: выразимость и вычислимость. Стр. 82-105. Начало см

Элементы теории множеств iconЭлементы институционально-эволюцио­ННой теории в социальной философии М. К. Пет­рова
Творчество М. К. Петрова «представляется на сегодняшний день сферой малоизученной» (8, с. 7)
Элементы теории множеств iconДокументы
1. /МРБ 0263. Казарян Р.А., Кувшинов Б.И., Назаров М.В. Элементы общей теории связи.djvu
Элементы теории множеств iconК истории Зимней Математической Школы (УрГУ, Мат-Мех) Саша Ливчак
Идея зимней школы зародилась в недрах кружка по аксиоматической теории множеств, который вел Юрий Шлемович (далее Основатель). Он...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов