Сложное высказывание icon

Сложное высказывание



НазваниеСложное высказывание
Дата конвертации15.07.2012
Размер137.58 Kb.
ТипДокументы

СЛОЖНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций, то такое высказывание называется сложным.

ПРИМЕРЫ:

Сложное высказывание

Составляющие простые высказывания

Форма сложного высказывания

Е = Идёт дождь, а у меня нет зонта

А=Идёт дождь
В = У меня есть зонт

Е = А  В

Е = Когда живётся весело, то и работа спорится

А = Живётся весело
В = Работа спорится

Е = А  В

Е = Идёт налево - песнь заводит, направо - сказку говорит

А = Идёт налево
В = Идёт направо
С = Песнь заводит
D = Сказку говорит

E=(A  C)V(B  D)

Мы всегда исходим из того, что для любого простого высказывания определено (известно), является ли оно истинным или ложным. По форме сложного высказывания и по таблицам истинности входящих в него логических операций всегда можно определить, истинное оно или ложное.

Реальную задачу, как правило, мы получаем в виде текста на естественном языке. И прежде, чем приступить к ее решению, мы должны выделить простые высказывания, отношения (связи) между ними и перевести их на язык формул (формализовать условие задачи, определить форму). Разберём примеры формализации сложных высказываний.

^ Определить форму сложного высказывания

  1. Е = " Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным"
    Составляющие высказывания:
    А = " Ваш приезд необходим ";
    В = " Ваш приезд желателен "

    E= A  B

  2. Е = " Поиски врага длились уже три часа, но результатов не было, притаившийся враг ничем себя не выдавал"
    Составляющие высказывания:
    А = "Поиски врага длились три часа"
    В = "Врага нашли (результат есть)"
    С = "Враг себя выдал".

    E= C  A  B

  3. E = " Если вчера было пасмурно, то сегодня ярко светит солнце"
    А = "Вчера было пасмурно";
    В = "Сегодня ярко светит сонце"

    Е = А  B

  4. Е = "И добродетель стать пороком может, когда ее неправильно приложат" (В.
    Шекспир)
    А = "Добродетель неправильно приложат"
    В = "Добродетель стать пороком может"

    Е = А  В

По форме высказывания получить фразу на естественном языке

  1. Е = (А  В)  (C  D)
    где А = "Человек с детства давал нервам властвовать над собой"
    В = "Человек в юности давал нервам властвовать над собой"
    С = "Нервы привыкнут раздражаться"
    D = "Нервы будут послушны"
    Ответ: Е = "Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны" (К.Д. Ушинский)


  2. Е = (В  С)  A
    где А = "Некто является врачом"
    В = "Больной поговорил с врачом"
    С = "Больному стало легче"
    Ответ: Е = "Если больному после разговора с врачом не становится легче, то это не врач" (В.М. Бехтерев)


ПРИОРИТЕТ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

Вычисление значений логических выражений выполняется в определенном порядке, согласно их приоритету:

  • инверсия

  • конъюнкция

  • дизъюнкция

  • импликация и эквивалентность

Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка дейcтвий используются скобки.

ПРИМЕР 1: А V (B  C)  D = A

Порядок выполнения:

  1. А - инверсия

  2. В  С - импликация

  3. (В  С)  D - конъюнкция

  4. А V (B  C)  D - дизъюнкция

  5. А V (B  C)  D = A - эквивалентность

ПРИМЕР 2: A V B  C  D = A

Порядок выполнения:

  1. А - инверсия

  2. С  D - конъюнкция

  3. A V B - дизъюнкция

  4. (A V B)  (С  D) - импликация

  5. (A V B  С  D) = А - эквивалентность

 


ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦ ИСТИННОСТИ СЛОЖНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Значение сложного высказывания определяется по таблице истинности.

Посмотрим, может ли сама форма высказывания “сказать” нам, истинно ли высказывание или ложно. Для этого рассмотрим пример.

ПРИМЕР 1. В классе оказалось разбито стекло. Учитель объясняет директору: “Это сделал Коля или Саша. Но Саша этого не делал, так как в это время сдавал мне зачёт. Следовательно, это сделал Коля”.

  1. Формализуем данное сложное высказывание. Для этого выделим составляющие простые высказывания и определим их количество (n).
    К = Это сделал Коля
    С = Это сделал Саша
    n = 2

  2. Определим форму высказывания E = (K V C)  C  K

  3. Определим количество строк и столбцов в таблице истинности. Так как каждое из высказываний может принимать всего два значения (0 или 1), то всего разных комбинаций 2n. Число строк в таблице равно 2n плюс две строки на заголовок. Число столбцов в таблице равно сумме числа простых высказываний (n) и числа логических операций, входящих в сложное высказывание.
    В нашем примере:
    число строк равно 22 + 2 = 6,
    число столбцов 2 + 4 = 6

  4. Рисуем таблицу:

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    K

    C

    C
    2

    K V C
    1 V 2

    (K V C)  C
    4  3

    (K V C)  C  K
    5  3

    0

    0

     

     

     

     

    0

    1

     

     

     

     

    1

    0

     

     

     

     

    1

    1

     

     

     

     

  5. Заполняем таблицу последовательно по столбцам (3, 4, 5, 6) в соответствии с определениями логических операций.

1

2

3

4

5

6

K

C

2

1 V 2

4  3

5  3

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

ВЫВОД: мы получили в 6 столбце все единицы. Это означает, что для любых значений простых высказываний К и С значение сложного высказывания всегда истинно. То есть сама форма показала, что учитель рассуждал логически правильно.

Примечание: конечно, это логическое высказывание нельзя считать доказательством вины Коли. Коля будет виновен, только если истинно высказывание KЪC. Учитель это высказывание никак не обосновал, а просто предложил принять на веру.

ПРИМЕР 2. ^ Построим таблицу истинности для высказывания

E = (A V B)  C

В высказывание Е входят три переменные: А, В, С ( n=3 ) и четыре логические операции: инверсия В, инверсия С, дизъюнкция, импликация.

Таблица истинности будет состоять из 23 + 2 (заголовок) = 8 +2 = 10 строк и 3 + 4 = 7 столбцов

1

2

3

4

5

6

7

A

B

C

B
2

C
3

A V B
1 V 4

A V B  C
6  5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АЛГОРИТМ ЗАПОЛНЕНИЯ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

(На примере n = 3)

Пусть сложное высказывание состоит из n простых . Тогда число строк в таблице истинности 2n (так как каждое высказывание может принимать лишь два значения - 0 или 1). Число столбцов в таблице равно сумме числа переменных и числа различных логических операций, входящих в высказывание.

Имеем 23 = 8 строк.

  1. 8 : 2 = 4

  2. 4 : 2 = 2

  3. 2 : 2 = 1

В столбце А чередуем 4 нуля и 4 единицы.
В столбце В чередуем 2 нуля и 2 единицы.
В столбце С чередуем 1 ноль и 1 единицу.

Таким образом, все возможные варианты учтены и никакие два не совпадают. Фактически такое заполнение столбцов соответствует двоичной записи чисел от 0 до 7. Столбцы с 4-го по 7-й заполняются в соответствии с таблицами истинности соответствующих логических операций, причём при заполнении каждого столбца операции выполняются над значениями одного или двух столбцов, указанных в строке заголовка таблицы.



1

2

3

4

5

6

7

A

B

C

B
2

C
3

A V B
1 V 4

A V B  C
6  5

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

Если в формулу входят 4 переменные, то таблица истинности для этой формулы, включающая все возможные комбинации истинности или ложности ее переменных в таблице, будет состоять из 24 = 16 строк; при 5 переменных в таблице имеем 25 = 32 строки; при n переменных - 2n строк.

Для любого сложного высказывания можно построить его таблицу истинности. Это следует из того, что число входящих в него переменных конечно и каждое из них может принимать всего два значения. Заметим, что для всех натуральных чисел, например, такую таблицу построить нельзя.

 ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННЫЕ И ТОЖДЕСТВЕННО ЛОЖНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ

Если сложное высказывание истинно для всех значений входящих в него переменных, то такое высказывание называется ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННЫМ или тавтологией (обозначается константой 1).

НАПРИМЕР высказывание: "Демократ - это человек, исповедующий демократические убеждения" - всегда истинно, то есть является тавтологией.

Все математические, физические и др. законы являются тавтологиями. Например: (а+b)2 = a2 + 2ab + b2

Прогноз погоды на завтра может быть, например, таким: "Дождь будет или дождя не будет". Такое предсказание будет всегда истинным, хотя вряд ли кого устроит. Его математическая запись:

А V А = 1

(по закону исключенного третьего всегда должно быть истинным либо суждение, либо его отрицание).

Проверить, является ли сложное высказывание тождественно истинным, можно по таблице истинности.

Этот пример показывает, что эффективность средств математической логики видна тогда, когда трудно установить, вытекает ли какое-либо следствие из данных посылок или нет.

^ Если сложное высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется ТОЖДЕСТВЕННО ЛОЖНЫМ ( обозначается константой 0 ).

НАПРИМЕР, высказывание: "Сегодня среда, а это - второй день недели" является тождественно ложным. Тождественно ложным является и следующее высказывание: "Компьютер включен и компьютер не включен (выключен)". Математическая запись его такова:

A  A = 0

(по закону противоречия: не могут быть одновременно истинны утверждение и его отрицание.)

Если значения сложных высказываний совпадают при всех возможных значениях входящих в них переменных ,то такие высказывания называют РАВНОСИЛЬНЫМИ, ТОЖДЕСТВЕННЫМИ, ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ

В качестве примера рассмотрим два высказывания:

^ X = "Не может быть,что Матроскин выиграл приз и отказался от него"

X = ( A  B )

Y = "Или Матроскин не отказался от приза или не выиграл его"

( Y = A V B )

Чтобы доказать равносильность (эквивалентность) X = Y, достаточно построить таблицу истинности сложного высказывания. Построим её.

1

2

3

4

5

6

7

8

A

B

1

2

1  2

5

3 V 4

6 = 7

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

Вывод о равносильности можно сделать по следующим признакам:

  1. Так как значения сложных высказываний X (столбик 5) и Y (столбик 6) совпадают для всех возможных значений входящих в них переменных, то по определению Х равносильно Y.

  2. Так как 7 столбец (раскрытие операции эквивалентности) содержит одни единицы, то тем самым доказано, что X = Y - есть тавтология.




Похожие:

Сложное высказывание iconСистемы счисления. Основы логики
Что такое простое и сложное суждения? Приведите пример, как из простых суждений образовать сложное
Сложное высказывание iconОтрицания, множества, кванторы
В условии приведено высказывание и заданы множества. Используя данные множества, записать высказывание и его отрицание на языке кванторов....
Сложное высказывание iconНечеткие знания
Назовем формальным знанием высказывание естественного языка, обладающее следующей структурой
Сложное высказывание iconСоответствие обозначений
...
Сложное высказывание iconПрочитайте высказывания
Напротив номера вопроса поставьте тот бал, на который вы оценили прочитанное мной высказывание
Сложное высказывание iconПроверочная работа по теме «Таблицы истинности логических выражений»
Выбрать составное высказывание, имеющее ту же таблицу истинно­сти, что и не (не а и не (В и С))
Сложное высказывание iconЗаконы алгебры логики
Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно высказывание истинно, а второе – ложно, третье не дано
Сложное высказывание icon«Это сложное слово нет»
Мбоу сош №9 в рамках профилактики наркомании для учащихся 8-10 классов был проведён Интернет – урок
Сложное высказывание iconТекстовая информация На дом: 9 в раб тетр упр. 35 стр. 38
Это любое словесное высказывание, напечатанное, написанное или существующее в устной форме
Сложное высказывание icon1-й (элементарный) уровень
Вещество, как бесконечно сложное. Современные представления о мире (на 03. 04 г., до сих пор актуально). Составлено с учётом ещё...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов