Решение задачи с помощью алгебры логики icon

Решение задачи с помощью алгебры логики



НазваниеРешение задачи с помощью алгебры логики
Дата конвертации15.07.2012
Размер43.21 Kb.
ТипРешение

ЗАДАЧА 1

Алеша, Боря и Гриша нашли в земле сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:

Алеша: "Это сосуд греческий и изготовлен в V веке."

Борис: "Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке."

Гриша: "Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке."

Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений.

Где и в каком веке изготовлен сосуд?

Решение задачи с помощью алгебры логики

В условии нам даны высказывания школьников и учителя, некоторые из них противоречат друг другу. Решить задачу - значит найти истинное высказывание, отвечающее на поставленный в задаче вопрос.

Примем следующие обозначения:

Г - "это сосуд греческий"

Ф - "это сосуд финикийский"

Т - "сосуд изготовлен в III в."

Ч - "сосуд изготовлен в IV в."

П - "сосуд изготовлен в V в."

Запишем в данных обозначениях условия задачи (формализуем её).

Алёша сказал: "Это сосуд греческий и изготовлен в 5 веке" - такое сложное высказывание можно записать так: Г  П. В дальнейшем для сокращения записи знак “” будем опускать и называть умножением по аналогии с обычной алгеброй.

Из слов учителя следует, что это высказывание ложно (ГП=0), ведь Алёша прав только в чем-то одном: или Г=1, или П=1. Таким образом, истинным будет высказывание

ГП V ГП = 1

Аналогично, из слов Бори и учителя следует, что ФТ V ФТ= 1;

а из слов Гриши и учителя: ГЧ V ГЧ = 1 то есть ГЧVГЧ = 1.

Кроме того, ясно, что сосуд может быть изготовлен только в одном из веков и только в одной из стран. Эти условия можно записать так:

ТЧП V ТЧП V ТЧП = 1 и ФГ V ФГ = 1

Итак, мы получили пять тождественно истинных высказываний. Их нужно логически перемножить. Результат должен быть также тождественно истинным высказыванием.
Получим исходную формулу

(ГП V ГП)  (ФТ V ФТ)  (ГЧ V ГЧ)  (ФГ V ФГ)  (ТЧП V ТЧП V ТЧП) =

Упростим ее: сначала перемножим 1 и 3 скобки и 2 и 4 скобки:

= (ГПГЧ VГПГЧ V ГП ГЧVГП ГЧ)( ФТ ФГ V

V ФТ ФГ V ФТФГ VФТФГ) (ТЧП V ТЧП V ТЧП) =

приведем подобные и упростим выражения в 1 и 2 скобках, учитывая, что, например, ГГ = 0, ГГ=Г, ГГ=Г :

=(ГПЧ V ГПЧ)(ФТГ V ФТГ)(ТЧП V ТЧП V ТЧП) =

перемножим 1 и 2 скобки и упростим произведение:

= (ГПЧ ФТГ VГПЧФТГ V ГП ЧГП ЧФТГ V ГП Ч

ФТГ) (ТЧП V ТЧП V ТЧП) = (ГПЧ ФТ V ГП ЧФТ) (ТЧП V ТЧП V ТЧП) =

перемножим оставшиеся скобки и упростим полученное выражение:

=ГПЧ ФТТЧП V ГПЧ ФТТЧП VГПЧ ФТТЧП V

V ГП ЧФТ ТЧП V ГП ЧФТТЧП V ГП ЧФТ ТЧП = 1

Иначе говоря,  Г Ф  Т  Ч П = 1

То есть,  Г = 1 и Ф = 1 и  Т = 1 и  Ч = 1 и П = 1

Таким образом, сосуд финикийский и изготовлен в 5 веке.



ЗАДАЧА 2

На соревнованиях по легкой атлетике Андрей, Борис, Сергей и Володя заняли первые четыре места. Но когда девочки стали вспоминать, как эти места распределились между победителями, то мнения разошлись.

Даша сказала: "Андрей был первым, а Володя - вторым".

Галя утверждала: "Андрей был вторым, а Борис - третьим".

Лена считала: "Борис был четвертым, а Сергей - вторым".

Ася, которая была судьей на этих соревнованиях и хорошо помнила, как распределились места, сказала, что каждая из девочек сделала одно правильное и одно неправильное заявление.

Кто из мальчиков какое место занял?

Решение с помощью алгебры высказываний

Введем следующие обозначения: буквой и цифрой обозначим имя мальчика и место, которое он занял. Например, А1 означает, что Андрей занял 1-ое место, а С4 - Сережа занял 4-ое место.

Из слов Аси следует, что Даша в одном из предположений была права, а в другом ошибалась, то есть

Д = А1  В2 V А1  В2 = 1

Аналогично можно записать, что

Г = А2  Б3 V А2  Б3 = 1

Л = Б4С2 V Б4 С2 = 1

Кроме того, по условиям задачи один и тот же мальчик не может занять два места и одно место не может быть занято двумя мальчиками одновременно. Формально это следует записать так:

(1)А1 А2  А3  А4 V А1  А2  А3  А4 V А1  А2  А3  А4 V А1  А2  А3  А4 = 1

(2)А1Б1В1С1VА1Б1В1С1VА1Б1В1С1V А1Б1В1С1 = 1

и т.п. для каждого мальчика и для каждого места. Но для более краткой записи решения задачи можно при упрощении выражения пользоваться следующими свойствами:

двое не могут занять одно и то же место, т.е. А1Б1 = 0 и т.п.

один мальчик не может занять два места, то есть А1А2 = 0 и т.п.

Кроме того,

(3) А1 = А2 V А3 V А4.

Голубым фоном мы будем помечать тождественно ложные высказывания.

Теперь можем записать решение задачи:

(А1В2 V А1В2)  (А2Б3 V А2Б3)  (Б4С2 V Б4С2) =

= (

А1А2В2Б3

V А1А2В2Б3 V

А1А2В2Б3

V

V А1А2В2Б3)  (Б4С2 V Б4С2) =

= (А1А2В2Б3 V А1А2В2Б3)  (Б4С2 V Б4С2) =

с учетом равенств (1), (2) и (3)

=(А1Б3В4VА4В2Б3)(Б4С2VБ4С2) =

=

А1Б3В4Б4С2

V А1Б3В4Б4С2 V

А4Б3В2Б4С2 V



V

А4Б3В2Б4С2

= А1С2Б3В4

Таким образом, Андрей занял первое место, Сергей - второе, Борис - третье, Володя - четвертое.




Похожие:

Решение задачи с помощью алгебры логики iconI. Решение логических задач средствами алгебры логики
Пример Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок
Решение задачи с помощью алгебры логики iconТема урока: «Основы логики. Алгебра высказываний»
Цель урока: обучающая Познакомить учащихся с основными понятиями логики, алгебры высказываний, с основными законами логики при упрощении...
Решение задачи с помощью алгебры логики iconТема урока: «Основы логики. Алгебра высказываний»
Цель урока: обучающая Познакомить учащихся с основными понятиями логики, алгебры высказываний, с основными законами логики при упрощении...
Решение задачи с помощью алгебры логики iconЗаконы алгебры логики
Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно высказывание истинно, а второе – ложно, третье не дано
Решение задачи с помощью алгебры логики iconАлгебра логики. Основные понятия. Область применения алгебры- логики. Логические функции. Таблицы истинности
Логика (гр logos — мысль, слово, речь, разум) — это наука о законах и формах мышления, направленная на познание объективного мира....
Решение задачи с помощью алгебры логики iconОсновные законы логики
Для того, чтобы использовать какие-либо законы в практике, необходимо быть уверенным в их правильности. Доказать закон алгебры высказываний...
Решение задачи с помощью алгебры логики iconТеоремы алгебры логики Свойства констант
В задачах данного раздела требуется упростить логическую функцию F(X1,X2,X3) и построить таблицу истинности. В решениях в фигурных...
Решение задачи с помощью алгебры логики iconУрок немецкого языка в 7 классе по теме
Задачи Учить работать в группах, совместно искать и находить решение поставленной задачи
Решение задачи с помощью алгебры логики iconКонтрольная работа №1 «Посторенние курса алгебры 8-9 классов». 1 вариант. При каких целых значениях q существует целое решение уравнения ?

Решение задачи с помощью алгебры логики iconХарактеристика текстовой задачи и методика работы с ней (лекция)
Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащихся. Поэтому...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов