Первые долгожданные всходы… icon

Первые долгожданные всходы…



НазваниеПервые долгожданные всходы…
Дата конвертации17.07.2012
Размер214.16 Kb.
ТипДокументы


Первые долгожданные всходы…


Я могу быть не согласен с Вашим мнением, но я готов жизнь отдать за Ваше право высказывать его.

Вольтер

Наконец-то появился первый долгожданный росток посеянных когда-то зерен. О его значимости следует судить не по тому, какой на нем будет колос, а именно по тому, что он первый. Доктор Плахтиенко Н.П. любезно согласился поместить на сайте свои первые результаты по одной из проблем, поднятых в учебном пособии «Парадоксы механики сплошных сред». Однако его статья, опубликованная в журнале «Прикладная механика», издаваемом институтом механики НАНУ, не содержит ссылки на это пособие. Видимо, у доктора Плахтиенко Н.П. были для этого веские основания. Я его хорошо понимаю и считаю такой шаг вполне оправданным. Опасения, что статья не увидит свет при наличии подобной ссылки в период жесткой дискуссии и язвительных замечаний пессимистов по затронутым проблемам, видимо, и послужили поводом не приводить ее. Теперь же, после публикации этой первой статьи, посвященной уже не учебным классическим задачам, а проблемам, имеющим важное научное и практическое значение, следует ожидать решений новых задач, выполненных на основе корректных постановок, не приводящих к описанным в пособии парадоксам. Поэтому остается пожелать их авторам творческого вдохновения и успехов. И следует помнить, что устранение упущений и ошибок в работах наших предшественников означает, что с нашими работами потомки поступят так же. Не будь работ наших предшественников, не было бы и наших. По отношению к предшественникам не следует забывать, что колесо изобрести было гораздо труднее, чем автомобиль. Поэтому работы нашего выдающегося соотечественника С.П. Тимошенко, первопроходца по колебаниям стержней, подвергнутые пересмотру в учебном пособии, при всех их недостатках, навсегда останутся классическими примерами виртуозного мастерства на пути поисков научной Истины. Истины относительной, поскольку абсолютная Истина подвластна только Богу.


^ А. Козачок


О трактате Козачка А.А. "Парадоксы механики сплошных сред"

Вопрос о построении и трактовке решений волнового уравнения, начиная с 18 века был, неоднократно темой оживленных дискуссий среди ученых в области механики и математики. Автор трактата к.т.н. Козачок А.А. обратился к этой дискуссии в конце 20-го века. Поводом для этого послужил, установленный им, на основе метода Фурье закон движения свободного конца тонкой консоли после мгновенного снятия растягивающего усилия. Процесс продольного движения любого сечения такой консоли после начального возмущения описывается классическим волновым уравнением, возникшим в связи с исследованием колебаний струны. Закон во времени продольного движения концевого сечения консоли оказался таким, что не позволяет вычислить его ускорение в виде конечной величины.
По-видимому, этот факт оставался практически мало или полностью неизвестным и непонятным для многих даже высококвалифицированных специалистов в области динамики систем с распределенными параметрами. Ниже прилагается опубликованная автором этих строк статья, объясняющая обнаруженный феномен. Объяснение получено, опираясь на фундаментальные законы механики для консервативных волновых систем, именно:

- закона сохранения энергии в замкнутой системе;

- закона об отсутствии дисперсии волн в ограниченной среде с распределенными параметрами, описываемый волновым уравнением.

Как известно, классическое волновое одномерное уравнение появляется, когда начальная распределенная вдоль пространственной координаты нагрузка, заменяется распределенными таким же образом силами инерции. Если начальная распределенная нагрузка имела дельтаобразный характер, то на основании законов сохранения имеет место два фактора.

1) Распределенное нагружение сохраняет дельтаобразный характер и во все последующее время в форме произведения погонной массы на ускорение. При этом оно перемещается вдоль стержня (струны) до его края в прямом и обратном направлении, изменяя знак после отражения в точке заделки стержня (струны). Такое движение типично для виброударных систем*.

2) Тригонометрические ряды в решении волнового уравнения в форме Фурье имеют порядок уменьшения его членов ~ , где – номер члена ряда. Такие ряды при двухкратном дифференцировании по времени или пространственной координате порождают обобщенные дельта-функции Дирака, т.е. сходимость рядов имеет место в обобщенном смысле.

Кроме того для случая описания продольных колебаний стержней одномерным волновым уравнением имеется известное ограничение на длину тригонометрических рядов, т.е. они не могут быть бесконечными, ибо одномерное волновое уравнение для продольных колебаний стержней справедливо пока длинна полуволны соответствующей гармоники значительно больше поперечного размера стержня (см. Тимошенко С.П. "Колебания в инженерном деле"). В противном случае одномерное уравнение не является адекватным реальному пространственному процессу колебаний стержня.

Для крутильных колебаний однородных круглых стержней и поперечных колебаний струн это ограничение не имеет места и для них можно применять бесконечные ряды для вычисления перемещений, скоростей и ускорений.

Большинство решений методом Фурье примеров о продольных колебаниях стержней, представленных в учебно-методической литературе для вузов и выраженных тригонометрическими рядами, имеют порядок членов ~ . Это неизбежно приводит к обобщенным суммам рядов для ускорений. Вместе с тем при вычислении сил инерции, которые нагружают стержень в любом конечном сечении, возникают тригонометрические ряды, сходящиеся в обычном смысле.

Заключение.

1) Названные автором "парадоксы" являются строго механико-математической закономерностью и соответствующее слово следовало бы взять в кавычки.

2) "Методологическим парадоксом" можно считать отсутствие в методической литературе по колебаниям упругих систем для вузов четкого объяснения всех свойств решений волновых уравнений, порожденных дельта-образными начальными возмущениями.

3) Классические динамические уравнения Ламе при вычислении ускорений точек упругой среды являются основой эффективных методик локализации землетрясений и атомных подземных взрывов.

4) Эффективность коррекции динамических уравнений Ламе добавлением конвективной составляющей ускорений требует солидных экспериментальных данных, отличных от теории и практики комулятивного взрыва, где твердое тело фактически уподобляется жидкой среде и учет конвективной составляющей становится неизбежным.

5) С целью нейтрализации "методологического парадокса" следует рекомендовать кафедрам динамики и прочности машин технических вузов статью "К определению механических величин при продольных колебаниях консольных стержней" (Прикл. механика. – 2005. – 41, № 5) для включения в методические пособия по колебаниям упругих систем.


* Плахтієнко М.П. Ромбічні функції, початки теорії та прикладні задачі. Київ. – 2005.


Действительный член Нью-Йоркской академии наук,

доктор физико-математических наук Плахтиенко Н.П.


2005_______________^ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА__________Том 41, № 5


УДК534.11З

©2005 Н.П.Плахтиенко


К определению механических величин
при продольных колебаниях консольных стержней


Введение. Консольный стержень является основной конструктивной и расчетной схемой высотных зданий, возводимых на сейсмоактивных территориях. Как показали последствия сильного землетрясения (Ломо-Приета 17 октября 1989 г.) в Калифорнии, современные высотные здания столбчатого типа обнаружили высокую сейсмостойкость. До настоящего времени в странах СНГ оценку инерционной нагруженности конструктивных элементов сооружений столбчатого типа производят на основе резонансно-колеба-тельной теории сейсмостойкости, вытекающей из теории малых колебаний цепных систем – сосредоточенных масс, закрепленных на невесомом стержне [7].

В конце прошлого века были предприняты попытки некоторую неполноту и недостатки резонансно-колебательной теории сейсмостойкости компенсировать переходом к построению волновой теории сейсмостойкости [4, 6]. В зависимости от типа возбуждения консольный стержень можно рассматривать как объект, описываемый волновым уравнением и (или) уравнением 4-го порядка. К такого рода математическим расчетным моделям относятся строительные конструктивные элементы в виде балок, ригелей, колонн, панелей перекрытия и др. В связи с наметившимся волновым подходом в теории сейсмостойкости сооружений неизбежно возникает проблема вычисления ускорений сечений стержней для оценки инерционной нагруженности конструкций. Не исключено при этом использование для прикладных расчетов в качестве опорных имеющихся решений задач о волновых движениях твердых тел [1 – 3, 8 – 12, 14, 15]. Как известно [8], многие из таких решений представимы бесконечными тригонометрическими рядами с заданным порядком уменьшения их членов .

Такой порядок явно не достаточен для определения ускорений или скоростей в обычном смысле, т.е. как некоторых конечных величин. При бесконечные ряды для производных от таких решений могут определять обобщенные функции. С помощью этих функций вычисление интегральных механических величин, таких как импульс или силы инерции конечных частей стержня, не представляет затруднений. Однако использование бесконечных рядов Фурье ограничено уровнем адекватности одномерных волновых уравнений. Одномерное волновое уравнение колебаний однородных тонких стержней справедливо, если длина волны процесса движения значительно больше поперечных размеров стержня [8]. В связи с этим становится актуальным решение некоторых вопросов, связанных с ограничением рядов тригонометрических функций, включая построение решений одномерных волновых движений консольных стержней с порядком уменьшения членов тригонометрических рядов (). Это позволяет для решения прикладных задач использовать конечные суммы с небольшим числом членов.

Ниже дана постановка краевой задачи для получения функции начального возмущения консоли, обеспечивающего произвольный целый порядок уменьшения членов ряда Фурье. Установлено, что наличие обобщенной суммы для бесконечного ряда, определяющего ускорение консоли, обусловлено дельтаобразностью интенсивности ее начального нагружения. Предложены некоторые способы ограничения бесконечных сумм рядов, включая содержащих гиббсову «помеху», согласованные с условием адекватности волнового уравнения, как модели динамики стержневого конструктивного элемента.

§ 1. О тригонометрической форме решений одномерного волнового уравнения. 1.1 Решение для струны. Рассмотрим собственные колебания металлической струны с током полностью помещенной в однородное электромагнитное поле с вектором индукции , перпендикулярным направлению струны, после выключения тока в струне и электромагните. На проводник с током в магнитном поле действует сила Лоренца [11]. Обозначим через отклонение струны в плоскости, перпендикулярной плоскости, содержащей вектор индукции и ось , совпадающей с направлением струны. Тогда для изучения колебаний струны используется волновое уравнение

(1.1)

с такими краевыми и начальными условиями:

(1.2)

(1.3)

где ; ; – длина струны; ; – натяжение, площадь поперечного сечения и массовая плотность материала струны.

Заметим, что является дважды непрерывно дифференцируемой функцией, удовлетворяющей однородным краевым условиям и статическому одномерному уравнению второго порядка, полученному заменой в (1.1) на . Принимая во внимание краевые условия (1.2), решение уравнения (1.1) следует записать в виде

, (1.4)

где – постоянные, определяемые из начальных условий.

Параметр – частота колебаний определяется из условия , где – целое число, обеспечивающее выполнение второго краевого условия (1.2). Полагая получаем частоты .

Общее решение уравнения (1.1) будет иметь вид

. (1.5)

Постоянные определяются с учетом начальных условий (1.3), которые приводят к выражениям

; .

Отсюда следует равенство

. (1.6)

Интегрируя соотношение (1.6) дважды по частям, приходим к формуле

, (1.7)

связывающей величины с интенсивностью начальной статической распределенной нагрузки, действующей на струну.

Таким образом, имеем значения

, ; , .

Тогда общее решение уравнения (1.1) в форме (1.5) принимает вид

. (1.8)

Если начальное условие для волнового уравнения определяется его статическим решением при , то члены ряда Фурье типа (1.8) уменьшаются со скоростью ~ . Уменьшение членов этого ряда с такой скоростью обеспечивает сходимость функции , ее первых и вторых производных. В решении (1.8) ряд является бесконечным, поскольку адекватность уравнения (1.1) для малых колебаний струны ничем не ограничена. Другая ситуация имеет место при моделировании продольных колебаний стержней.




Рис. 1
1.2. Решение для консоли. Рассмотрим волновые процессы в консоли – столбчатой модели высотного здания при различных начальных условиях. Пусть тонкий стержень одним концом заделан в весьма большую массу, которая без трения может скользить в вертикальных направлениях (рис. 1). Определить продольные колебания стержня относительно массы М, возникающие после начала вертикального движения массы с ускорением , где , м/с2, – параметр бальности землетрясения. Располагая начало оси в месте заделки стержня, перемещение его сечения в произвольной точке обозначим через . Функция удовлетворяет волновому уравнению (1.1) в котором величина выражается через упруго-инерционные параметры материала стержня , где – модуль упругости и плотность материала стержня [8].

Краевые и начальные условия имеют вид

(1.9)

, . (1.10)

Функция оприсывает статическое растяжение или сжатие стержня под действием изменения на . Оно удовлетворяет условиям (1.9) и статическому уравнению, получаемому заменой в (1.1) на .

Решение уравнения (1.1) при условиях (1.9) имеет вид

. (1.11)

Первое начальное условие (1.10) дает , второе – после двукратного интегрирования по частям с учетом (1.9) также выражается через интенсивность начальной статической нагрузки

,

.

Таким образом, общее решение волнового уравнения в форме (1.11) запишем в виде

. (1.12)

Как видим, начальное отклонение в виде дважды непрерывно дифференцируемой функции, удовлетворяющей краевым условиям (1.9) и статическому уравнению типа (1.1) при , обеспечивает ускоренную сходимость частичных сумм ряда (1.12) при и сходимость рядов для всех производных, в уравнении (1.1).

Применяя алгоритм ()-кратного интегрирования по частям, можно показать, что для получения ряда со скоростью убывания членов ~ функция начального растяжения (сжатия) консоли должна удовлетворять дифференциальному уравнению , ( – интегрируемая по Риману функция) с такими краевыми условиями:



Высший порядок производной в их соотношениях равен , число уравнений в нем равно , т.е. числу констант интегрирования, что обеспечивает единственное решение краевой задачи. Для обоснования этого положения непосредственной проверкой убеждаемся, что начальное перемещение в виде , где порождает .

Следует отметить, что для описания динамики продольных смещений сечений стержня область адекватности волнового уравнения (1.1) ограничено длиною волн, которые значительно больше поперечных размеров стержня [8]. Поэтому в формуле (1.12) следует принимать , где – минимальный диаметр сечения стержня.

Оценим необходимое число членов ряда (1.12) для вычисления перемещения, скорости и ускорения свободного конца консоли с относительной погрешностью %. В соответствии с формулой (1.12) имеем

; . (1.13)

Ряд функции быстро сходится при . С относительной погрешностью функцию можно представить одним слагаемым , при этом



при , .

Для скорости торца консоли получаем равенства

, ; . (1.14)

Ряд функции при сходится при любых . Он определяет непрерывную нечетную недифференцируемую функцию – треугольный синус с периодом по равным 4: . Для этой функции .

Представляя функцию четырьмя членами ряда, скорость торцевого сечения консоли можно представить в виде

.

При этом относительная погрешность определяется формулой

.

Этот ряд сходится при , так как

.

Оценкой может быть величина . Однако, с учетом условия адекватности положим , тогда будет , что достаточно хорошо согласуется с “точным” значением , вычисленным при игнорировании условия адекватности.

Ускорение торца стержня определяется равенством

; ; . (1.15)

Ряд функции при медленно сходится при любых . Он определяет разрывную четную функцию аргумента – прямоугольный косинус [10]. Максимальное амплитудное значение ее модуля равно . С учетом эффекта Гиббса для получения ускорения с погрешностью 5% в ряде (1.15) необходимо удерживать 11 членов. Заметим, что при усреднении «погрешности» Гиббса величину можно представить при .

Отметим, что если интенсивность начальной нагрузки имеет дельтаобразный характер, тогда убывание членов рядов типа (1.12) имеет порядок .

Выпишем решение уравнения (1.1), описывающее процесс колебаний консоли, растянутой силой в сечении , возникающий при внезапном снятии растягивающей силы [8]. В этом случае , а краевые условия имеют вид (1.9), – площадь поперечного сечения стержня. Функция начального отклонения является решением краевой задачи для статического уравнения второго порядка, полученного из (1.1) заменой на и на , где – обобщенная функция Дирака. Соответствующее решение представим в виде

. (1.16)

Если в этом ряде формально , то выражение (1.16) не обеспечивает сходимости рядов для и в обычном смысле. Это естественно, ибо интенсивность начальной статической нагрузки имеет дельтаобразный характер, что и определяет на скорость сходимости ряда (1.16).

Действительно при ряд (1.16)



при описывает функцию треугольного косинуса (с периодом по ) [10, с.453] и двукратное дифференцирование этой функции по приводит к разрыву .

Однако, указанный недостаток ряда (1.13) не является препятствием для вычисления сил инерции, обусловливающих напряженное состояние в некотором сечении стержня. Действительно, ряд для ускорения концевого сечения стержня определяет при обобщенную функцию Дирака, которая периодически перемещается с конца в начало стержня и назад с периодом по . Таким образом, имеет место своеобразный принцип сохранения – начальное статическое дельта-возмущение концевого сечения порождает при перемещающееся вдоль стержня дельтаобразное ускорение всех его сечений. С помощью дельта-функции вычисляются интегральные механические величины. Проинтегрируем уравнение (1.1) по от до . В результате получим

.

Интеграл в правой части этого соотношения определяет величину силы инерции части стержня длиной. Указанная сила уравновешивается силой упругости в сечении и выражается сходящимся рядом

.

Этот ряд при медленно сходится. Таким образом, при вычислении механических величин, в том числе и зависящих от ускорения, сходимость рядов для функции с темпом убывания является вполне достаточной для получения результатов, соответствующих механической постановке задач.

1.3 Решение для консоли при ударном возмущении. Рассмотрим еще одну постановку задачи, в которой начальные условия задаются с использованием обобщенной функции. Построим формальное решение уравнения (1.1) в форме ряда типа (1.5) для случая, когда покоящийся консольный стержень выводится из положения равновесия, если придать начальный импульс его концевому сечению. При некоторых ограничениях [8, c.402] такое начальное условие можно приближенно реализовать осевым ударом по свободному концу стержня твердым телом, движущимся со скоростью , превышающей скорость звука () с его мгновенным отскоком (такая ситуация является чисто гипотетической и физически трудно реализуемой). В этом случае имеют место краевые условия (1.9). Начальные условия запишем в виде

; , . (1.17)

При этом в решении (1.11) следует принять во внимание равенства

; , ;

, . (1.18)

Ряд (1.18) сходится достаточно медленно к разрывной по и функции. При любых фиксированных (или ) ряд (1.18) при определяет разрывные функции по типа прямоугольного синуса (или по – разрывные функции типа функций Хевисайда). Это в совокупности при переменных , определяет бегущую волну сжатия от конца стержня к его началу при и волну растяжения при . Для последующих процесс повторяется. Естественно, ряды для первых и вторых производных в силу (1.18) не могут сходится в обычном смысле, что полностью соответствует физической картине происходящего процесса. Это особенно становится ясно из анализа поведения импульса стержня. Действительно, в соответствии с решением (1.18) вычислим импульс стержня по формуле

.

В результате получим для импульса стержня выражение

. (1.19)

При правая часть формулы (1.19) описывает периодическую с периодом функцию прямоугольного косинуса [10]. При любом конечном функция перестает быть разрывной.

Как известно, для решений последней задачи применяется метод Даламбера как не оперирующий с бесконечными рядами [8]. Однако, при решении конкретных задач метод разделения переменных имеет определенные преимущества, если необходимую точность решений согласовать с погрешностью измерений. Это объективно приводит к ограничению числа членов рядов.

§ 2. Об ограничении числа членов тригонометрического ряда при решении волнового уравнения. Пусть функция, описывающая продольные перемещения стержня, полученная на основании использования уточненной модели колебаний, например, с использованием трехмерной теории волновых процессов в твердых телах [2]. Обозначим через функцию, описывающую волновой процесс в стержне согласно уравнению (1.1) и представимой рядом типа (1.5) с конечным числом членов. Относительную погрешность от замены точной математической модели приближенной, обозначим через

. (2.1)

Величина является немонотонной зависимостью от аргумента . Действительно при малых величина в числителе формулы (2.1) в начальный момент времени является большой из-за невозможности аппроксимации начального отклонения тригонометрическим рядом с небольшим числом членов. При больших , когда длина полуволны соизмерима с толщиной стержня, возникает различие между и из-за возникновения трехмерного волнового процесса. Следовательно, существует минимальное значение при . Пусть . Величину условимся называть мерой адекватности математической модели колебательно-волнового объекта, а значение , обеспечивающее минимум величины , назовем оптимальным числом членов ряда. Точное определение величин и для различных объектов сложно, так как требует решения трехмерных задач распространения волн в твердых телах [2, 12, 13, 15]. Для тел канонической конфигурации вычисление величин может быть выполнено аналитически или численно. Наряду с этим критерием можно сконструировать и другие подходы для ограничения числа .

Вычислим максимальную относительную погрешность аппроксимации текущего значения величины при переходе от ряда с к ряду с слагаемыми

. (2.2)

Определим также относительную погрешность аппроксимации начального состояния волнового объекта с использованием членов ряда Фурье

. (2.3)

Систему соотношений для определения чисел зададим в виде

; , (2.4)

где – целая часть числа .

Целая часть числа является предельным числом членов рядов типа (1.8), (1.12), (1.16), (1.18), граничащим с нарушением адекватности одномерной волновой модели типа (1.1). При строгом равенстве система уравнений (1.4) дает возможность определения чисел и лишь в случае, если линии и пересекаются. Если указанные кривые не пересекаются, ограничение числа членов ряда можно осуществить из соображений ограниченной точности измерений физико-механических или геометрических параметров колебательного процесса. В этом случае вместо следует принять величину допустимой относительной погрешности измерений перемещения, напряжения или других механических величин, представляющих интерес для исследования. Если найденное число , полученное решение с ограниченным числом членов ряда является физически состоятельным, согласованным с адекватностью одномерной модели волновых процессов в стержне.

Определим числа применительно к стержню в начальный момент, растянутого силой , если . В силу расходимости ряда для целесообразно ограничить число его членов. В этом случае на основании формулы


(2.2) допустимое число членов ряда (1.13) можно определить как аргумент , при котором кусочно-линейные кривые , пересекаются или совпадают.




Рис. 2



Рис. 3
На рис. 2 изображены графики величин , , определяющие , при этом отвечает относительной погрешности в измерения перемещения .

Рассмотрим вопрос о выборе числа для медленно сходящихся рядов типа (1.18), (1.19), описывающих при разрывные функции. В этом случае из-за проявления эффекта Гиббса выбор числа с использованием максимальных отклонений не может привести к удовлетворительным результатам. Учитывая колебательно-затухающий характер гиббсовой «помехи», будем пользоваться средним значением модуля величины (или ) за один период их колебаний около нулевого положения. Произведем вычисления применительно к импульсу, задаваемому формулой (1.19). На рис.3 показан график величин при . При проявляется «помеха» Гиббса. Обозначим среднее значениемодуля через

.

Тогда, используя формулу (1.19), находим

.

При знакопостоянный ряд, определяемый последней суммой, стремится к [10]. Следовательно, при любом конечном имеем . Обозначим через – относительную погрешность измерения модуля импульса. Тогда необходимое число членов ряда (1.19) определим из условия

.

На рис. 4 показан график величины . Как видим, при имеем . Такие значения весьма хорошо согласуются с условием адекватности одномерного волнового уравнения для продольных колебаний тонких стержней, сформулированных С.П. Тимошенко [8].

Если же относительную инструментальную погрешность измерения перемещений сечений стержня положить равной , тогда, полагая , получим . Таким образом, величины являются малыми по сравнению с предельным значением . Следовательно, можно принимать ряд (1.18) с четырьмя членами, что достаточно для описания волнового процесса.




Рис. 4
Изложенный подход проиллюстрирован на одномерном волновом уравнении. Однако, он без ограничений приложим к волновым уравнениям большей размерности, а также для колебательных объектов, описываемых уравнениями 4-го порядка.


РЕЗЮМЕ. Розглянуто задачі для механічних коливальних систем, що описуються одновимірним хвильовим рівнянням. Побудовано розв’язки у вигляді рядів Фурье із заданою швидкістю зменшення членів рядів. Встановлено зв’язок між швидкістю збіжності рядів та інтенсивністю початкового статичного збурюючого навантаження. Запропоновано підхід для оцінки необхідної кількості членів рядів, узгоджений з мірою адекватності математичної моделі коливально-хвильового об’єкту. Обгрунтовано спосіб мінімізації похибки, зумовленої проявом эффекту Гіббса для розривних періодичних процесів.


SUMMARY. The problems for mechanical oscillatory systems describing by the one-dimensional wave equation are considered. The solutions are built in the form of Fourier series. The link between the rate of convergence of series and intensity of the initial statical perturbed load is established. An approach for estimation of the necessary number of series members which is matched with a measure of adequacy of the proposed mathematical model is offered. A way of minimization of the error caused by a Gibbs’s effect manifestation for the discontinuous periodic processes if grounded.


Key words: cantilever rod, wave motion, level of adequacy, minimization of the error.


1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1976. – 512 с.

2. Гринченко В.Т. Равновесие и установившееся колебания упругих тел конечных размеров. – К.: Наук. думка, 1978. – 264 с.

3. Журавлев В.П., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. – М.: Наука, 1985. – 150 с.

4. Курзанов А.М. Расчет зданий на сейсмическую нагрузку методом бегущей волны // Пром. и гражд. стр-во. – 1996. – № 6. – С. 53 – 55.

5. Плахтієнко М.П. Деякі питання створення Міждержавних норм сейсмостійкого будівництва для країн СНД // Будівництво і стандартизація. – 2001. – № 1. – С. 2 – 8.

6. Смирнов С.Б. Особенности работы и прочностного расчета зданий при импульсных сейсмических воздействиях // Жилищное строительство. – 1995. – № 3. – С. 14 – 16.

7. Cтроительные нормы и правила. Строительство в сейсмических районах. СНиП ІІ- 7- 81*. Минстрой России. – М.: – 1995. – 14 с.

8. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. – М.: Наука, 1967. – 444 с.

9. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. – М.: Физматгиз, 1959. – 364 с.

10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. 3. М.: Наука, 1969. – 655 с.

11. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики. Т.2. Электрические и электромагнитные явления. – М.: ГИТТЛ, 1973. – 504 с.

12. Guz A.N., Kubenko V.D., Babaev A.E. Dynamics of the System of Shell interacting with a Liquid // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 3. – P. 260 – 301.

13. Guz I.A., Rushchitsky J.J. Comparing the Evolution Characteristics of Wave in Nonlinearly Elastic Micro and Nanocomposites with Carbon Fillers // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 7. – P. 785 – 793.

14. Lugovoy P.Z. Propagation of Harmоnic Waves in an Orthotropic Cylindrical Shell on Elastic Foundation // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 3. – P. 297 – 303.

15. Shulga N.A., Ratushnyak T.V. Oscillation Modes of Magnetoelastic Love-Type Waves in Periodic Ferrite-Dielectric Media // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 8. – P. 886 – 892.


Ин-т механики им. С.П. Тимошенко

НАН Украины, Киев (Украина) Поступила 22.12.2003





Похожие:

Первые долгожданные всходы… iconКонкурс «Компьютерная презентация»
Здравствуйте, дорогие друзья! Наступили весенние деньки и уже не за горами долгожданные каникулы!
Первые долгожданные всходы… iconШкольный компонент «Подготовка к олимпиадам»
«Если запастись терпением и проявить старание, то посеянные семена знания непременно дадут добрые всходы. Ученья корень горек, да...
Первые долгожданные всходы… iconПервые итоги закон
Закончилась первая четверть учебного года, а значит, можно подвести первые итоги
Первые долгожданные всходы… iconВосточные славяне в древности первые свидетельства о славянах
Нач. I тыс н э. – первые письменные свидетельства: греческие, римские (Плиний Старший, Тацит, Птолемей Клавдий) арабские, византийские...
Первые долгожданные всходы… iconТопик гайд (фокус группа) Для оперативных рабочих пометок Знакомство
Какие явления, феномены, события городской жизни всплывают у Вас в памяти при упоминании Вашего города (первые несколько, которые...
Первые долгожданные всходы… iconДокументы
1. /Для профи/10.DOC
2. /Для профи/11.DOC
Первые долгожданные всходы… iconНеделя необычных открытий
В последние дни марта в Тагарской школе традиционно проходят творческие отчеты. На этот раз форма отчета была весьма необычной –...
Первые долгожданные всходы… iconПаспортные данные пациента
Мама 22 года. Мама девочки здорова. Ребенок от первой беременности. Роды первые, срочные, в 39 недель. Роды проходили без осложнений....
Первые долгожданные всходы… iconУчиться в соответствии с требованиями завтрашнего дня. Первые результаты pisa-2003
В декабре 2004 года были подведены первые итоги второго трехгодичного этапа Программы международной оценки образовательных достижений...
Первые долгожданные всходы… iconУчиться в соответствии с требованиями завтрашнего дня. Первые результаты pisa-2003
В декабре 2004 года были подведены первые итоги второго трехгодичного этапа Программы международной оценки образовательных достижений...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов