Множества: О. Понятие множества – простейшее матем понятие, оно не определяется, это совокупность каких-то объектов

Название	Множества: О. Понятие множества – простейшее матем понятие, оно не определяется, это совокупность каких-то объектов
страница	1/7
Дата конвертации	20.07.2012
Размер	461.88 Kb.
Тип	Документы

1 2 3 4 5 6 7

1. /Шевченко (1 семестр).doc

Множества:

О. Понятие множества – простейшее матем. понятие, оно не определяется, это совокупность каких-то объектов.

О. Множество А наз. подмножеством множества В, если каждый элемент множества А одновременно элемент множества В.

А=В А

B&B

A

Множества бывают конечные (|А| - число элементов) и бесконечные (N

R)

|А|=0  А=Ø

Ø явл. подмножеством любого множества.

А с В и А≠Ø, то А – собственное подмножество.

Операции над множествами:

- подмножество множеств А и В

RxR – декартова система координат

Если

|AxB|=|A|x|B|

Отображения:

φ: А → В

О. φ – отображение мн-ва А в мн-во В, если для любого аА сущ. единственное bВ.

φ(а)=b

Если А=В, то φ – преобразование А

φ(а)=b – образ элемента а при отображении

φˉ¹( b)={а

А / φ(а)=b } –прообраз

Если φˉ¹( b)≠Ø для любого bВ, то отображение наз. сюръективным (S)
Если φ(а) ≠φ(а’) и а≠а’, то отображение наз.
инъективным (I)
Если отображение сюръективно и инъективно, то его наз. биективным.

| φˉ¹( b)|≥1  | φˉ¹( b)| ≠Ø
| φˉ¹( b)|≤1
| φˉ¹( b)|=1  B → A, A → B

(φ φˉ¹) b= φ (φˉ¹b)= φa=b – тождественное преобразование Е

для любого а

А Еа=а

Пусть φ и ψ – преобразования мн-ва А, тогда ψ φ – преобразование А

Ф(А) – мн-во всех преобразований мн-ва А.

φ

Ф(А) и ψ

Ф(А) => ψ φ

Ф(А)

(ψφ)а = ψ(φа)

- число k-элементных подмножеств n-множества.

Лемма.

Пусть J’ это k-элементные подмножества, где

=n, т.е J’={J /

=n }. Такие подмножества мы можем выбрать

(выбираем k-1 элементов из n-1 элементов). Пусть J’’ это k-элементные множества, в которых нет n-ого элемента, т.е. J’’={J /

способами (выбираем k элементов из n-1 элементов). Пересечение данных множеств пустое, т.к. в одном есть n-ый элемент а в другом нет. А их объединение равно всем k-элементным подмножествам. Тогда по Т.

Т.

При k=0 и k=1 верно

Пусть верно при 0≤k≤n. Докажем истинность при 0≤k≤n+1

Бином Ньютона.

Д-во: Утверждение верно при n=1. Пусть оно верно при n. Докажем его истинность при n+1

Мощность множества:

Об эквивалентных мн-вах говорят, что они обладают одинаковой мощностью.

Т.о., мощность является обобщением понятия число элементов, имеющего смысл для конечных мн-в.

Счетные мн-ва:

О. Если существует биекция мн-ва А на мн-во N={1,2,3…}, то А – счетное мн-во.

N, Z, Q – счетное мн-во

Z= 0,1,-1,2-2,3,-3…

Q: Расположим рац. числа в виде последовательности следующим образом. Сначала запишем числа с суммой модулей и числителя и знаменателя, равной 1 (0/1) и т.д. Мы всегда сможем дойти до рац. числа p/q

Мн-во всех многочленов с рац. коэффициентами – счетное.

Свойства счетных множеств.

1. Любое бесконечное множество содержит счетное множество.

2. Объединение конечного (счетного) числа счетных множеств есть множество счетное.

3. Любое бесконечное подмножество счетного множества счетное.

Т. Множество действительных чисел несчетно.

Д-во: Рассмотрим не все действительные числа, а лишь те, которые расположены между 0 и 1. Докажем, что данное множество несчетно.

Предположим, что оно счетное, и перенумеруем все входящие в него числа:

(*)

Каждое число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби. Запишем числа (*) в виде десятичных дробей:

1→0,

2→0,

…

m→0,

Возьмем, такое число b=0,

, что

n={1,2,…}; 0
След-но мн-во (0;1) несчетно, а потому и мн-во R несчетно.

О. Континуум – мощность множества всех действительных чисел.

|S(R)| - гиперконтинуум.

О. Континуальные множества – множества равномощные множеству R.

R² - континуально. Мощность мн-ва всех точек плоскости равна мощности мн-ва всех точек прямой.

M(x;y), 0≤x≤1, 0≤y≤1.

x=0,

, y=0,

(x,y) → Z=0,

Т.о. мы получили биективное отношение между т. плоскости и т. прямой.

Алгебраические числа – это числа, которые являются корнями алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами.

Лемма. Счетное объединение счетных множеств есть множество счетное.

Т.Множество алгебраических чисел счетное.

Д-во: Множество коэффициентов перед x

счетно, перед x

- счетно и так далее, поскольку множество степеней (1,2,..n) счетно, то и множество многочленов счетно. А у любого многочлена количество корней тоже счетно. Т.о. множество алгебраических чисел счетно.

Теорема Кантора.

Т. Мощность множества меньше мощности множества всех его подмножеств.

|A| S(A) |

Д-во:

Пусть |A=| S(A) |, т.е. существует сюръективное отображение φ: А→S(A)

a

А, Sa

S(А)

Для каждого элемента множества S(А) есть элемент из множества А, который явл. его прообразом.

Т

еперь создадим такое множество S, состоящие из элементов х, которые не принадлежат мн-вам, чьими прообразами они явл.

S={x | x

Sx}

Тогда ему должен соответствовать некий элемент с: S ~ c.

S=Sc.

Выясним принадлежит ли элемент с множеству S:

Пусть cS, тогда cS
Пусть cS, тогда cS

Получили противоречие. След-но наше предположение неверно

Числовые кольца и поля, примеры. Минимальность поля рац. чисел.

М, о – множество замкнуто относительно операции, т.е. если а

М и b

M, то и a o b

M

Операция обладает свойством неограниченной применимости на мн-ве М.

Пр-р Z замкнуто относительно +, -, *

О. Числовое кольцо – мн-во, замкнутое относительно +, -, *. (К)

Числовое кольцо содержит 0, т. к. а-а=0;

К={0} – минимальное числовое кольцо. Последующие К – бесконечны.

Пр-р Множество четных чисел – кольцо.

О. Числовое поле – если К не нулевое числовое кольцо и К\{0} замкнуто относительно деления.

К: а≠0 а/а=1

К => ZсК

Мн-во рац. чисел – минимальное числовое поле. Поле рациональных чисел содержится целиком во всяком числовом поле.

Мы получили, что мн-во целых чисел принадлежит полю, а следовательно и мн-во рац. чисел принадлежит полю (т.к. выполняется деление).

Q(

)=a+b

– числовое поле (a,b

Q)

Поле комплексных чисел.

Любое поле не замкнуто относительно операции извлечения корня. Возникает необходимость расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой эта операция определена для всех чисел.

(a,b) – упорядоченная пара вещественных чисел

C={(a,b) / a,bR} – множество комплексных чисел.

(a,b)=(c,d)  a=c, b=d

Операции над C

1.(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

Существует такая пара чисел (x,y), что любых a,b (a,b)+(x,y)=(a,b) => a+x=a, b+y=b => x=y=0

Комплексное число равно 0 – нейтральный элемент (0,0).

2. Назовем пару (x,y) разностью (a,b) и (c,d), если (c,d)+(x,y)=(a,b) => x=a-c, y=b-d

(a-c,b-d)=(a,b)-(c,d)

a). Коммутативность сложения (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)

б). Ассоциативность сложения (a,b)+(c,d)+(e,f)= (a,b)+((c,d)+(e,f))

3. (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

Назовем единицей такое (x,y), что (a,b)(x,y)=(a,b)=> ax-by=a, ay+bx=b => (x,y)=(1,0) – единица.

4. Частным (a,b) и (c,d) назовем такую пару, для которой выполняется

(c,d)(x,y)=(a,b)

а). Коммутативность умножения (a,b)(c,d)=(c,d)(a,b)

б). Ассоциативность умножения (a,b)(c,d)(e,f)= (a,b)((c,d)(e,f))

в). ((a,b)+(c,d))(e,f)= (a,b) (e,f)+(c,d)(e,f)

(a,o)=a

(0,b)=(b,0)(0,1)=bi

i=(0,1) – мнимая единица i²=(0,1)(0,1)=-1

Сопряженные числа .

Можно доказать, что

, где

- арифметическая операция.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Поставим в соответствие числу Z=a+bi т. корд. плоскости (a,b). Т.о. у нас задана биекция между точками плоскости и множеством комплексных чисел.

Ось Ox назовем действительной осью, ось Oy – мнимой осью.

Соединим т. (a,b) с началом координат направленным отрезком. Мы получили вектор. Т.о. любому комплексному числу соотв. радиус-вектор. Сумму и вычитание над комплексными числами можно производить в их векторном представлении. Число 0 – это нуль-вектор.

В

ычислим длину вектора |Z|=

=r - модуль комплексного числа Z.

|Z1+Z2|≤|Z1|+|Z2|

Угол φ наз. аргументом Z: φ=argZ

a=ReZ=rcosφ, b=ImZ=rsinφ

Т.о. a+bi=r(cosφ+ sinφ) – тригонометрическая запись числа.

r(cosφ+ sinφ)ρ(cosψ+ sinψ)= rρ(cos(φ+ψ)+ sin(φ+ψ))

|Z1*Z2|=|Z1|*|Z2|, arg(Z1*Z2)=argZ1+argZ2

Формула Муавра

Z=r(cosφ+ sinφ) => Zⁿ= rⁿ (cosnφ+ sinnφ)

Линейное (векторное) пространство. Примеры (геометрические радиус-векторы, арифметическое пространство, пространство многочленов). Простейшие следствия из аксиом.

О. Мн-во V наз. линейным (векторным) пространством над полем F, если из a,bV следует a+bV и при αF, aV αaV

Аксиомы сложения

aV и bV, тогда a+bV
(a+b)+c=a+(b+c)
a+b=b+a
ΘV, что Θ+a=a aV

Аксиомы умножения

αF, aV, тогда αaV
α(βa)= (αβ)a
1*a=a

Законы

(α+β)a=αa+βa
α(a+b)= αa+αb

Примеры пространств:

- пространство радиус-векторов. Очевидно, что для них выполняются все аксиомы.
Действительное линейное пространство: рассматриваются всевозможные последовательности действительных чисел.

Все аксиомы для них выполняются.

a =

и b=

и c=

, то a+b=

, λa=

(a+b)+c=a+(b+c) 

Пространство многочленов.

F[x] множество всех многочленов. F

[x] – множество многочленов степени не больше n

F

[x] – подпространство, т.к. оно замкнуто по сложению и умножению на число. Размерность данного пространства dimF

[x]=n+1

Т. F[x] – пространство всех многочленов от X – бесконечномерное

Д-во: Пусть F[x] – конечномерно, т.е. существует система

со степенями

соответственно. Пусть d=max{

}, тогда многочлен

нельзя выразить через

. Противоречие

V={Θ} – минимальное линейное пространство (нуль-пространство)

Линейное пространство матриц. Его размерность.

Поле F I={1,…,m}, J={1,…,n} IxJ={(i,j) | i

I, j

J}

Матрицей называется отображение IxJ на поле F

А={

}, где

- столбцы, т.е. мы имеем матрицу А

- множество матриц с количеством строк m, с количеством столбцов n.

Множество матриц

- линейное пространство.

Д-во:

: А

и B

, тогда С=А+В

, т.к.

F, тогда С=λА

, т.к.

Т. dim=mn

Д-во: Базисом данного пространства будет система из mn матриц:

. Очевидно, что любую матрицу можно представить как линейную комбинацию данной системы.

Следствия из аксиом

Θ – единственное:
Для всякого элемента а в V существует единственный противоположный элемент (–a)

a+b=0 a+b’=0 => b’+(a+b)=(b’+a)+b=a+b=b

Существует единственная разность a-b, x+a=b => b+(a+(-b))=a+(b+(-b))=a+0=a, a+x=a+x’| +(-a) x=x’
(-α)a=-αa αa+(-α)a=( α+(-α))a=0
αΘ= Θ αΘ=αa-αa=αa+(-αa)= Θ
0a=0
α(a-b)=αa-αb
(α-β)a= αa-βa

1 2 3 4 5 6 7

	Отрицания, множества, кванторы В условии приведено высказывание и заданы множества. Используя данные множества, записать высказывание и его отрицание на языке кванторов....		Программа экзамена по курсу «Теоретические основы начального курса математики» для студентов 4 курса (после 3 семестра). Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств Программа экзамена по курсу «Теоретические основы начального курса математики» для студентов 4 курса после 3
	Тема урока Цели урока Ввести понятия «множества» и «элемент множества». Научить определять принадлежность элемента множеству		Цинизм и кинизм: философско-этические аспекты Причем большинство людей используют это понятие в своей повседневной речи, подразумевая под ним лишь одно содержание и значение....
	Множество – совокупность каких либо объектов Множество – совокупность каких либо объектов		Облако Смита столкнётся с Млечным Путём Смита. Оказалось, что оно находится на расстоянии 8000 световых лет от нашей галактики и через 20-40 миллионов лет столкнётся с ней,...
	О смысле жизни, самоактуализации и акме проблема смысла… это последнее аналитическое понятие, венчающее общее учение о психике, так же как понятие личности венчает всю систему психологии Проблема смысла… это последнее аналитическое понятие, венчающее общее учение о психике, так же как понятие личности венчает всю систему...		Понятие Подумайте, с каким цветом у Вас ассоциируется то или иное понятие и поставьте галочку в соответствующую клетку
	Народ, народовластие (демократия) и общество Это слово, с одной стороны, имеет общее понятие как население, или совокупность людей, осуществляющих свою жизнедеятельность в пределах...		Владенов Новичок Сообщений: 6 Опыт преобразования общества в СССР Это слово, с одной стороны, имеет общее понятие как население, или совокупность людей, осуществляющих свою жизнедеятельность в пределах...
	Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением Пространство сигналов. Множества сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение...

Множества: О. Понятие множества – простейшее матем понятие, оно не определяется, это совокупность каких-то объектов

Похожие: