Геометрия и Алгебра icon

Геометрия и Алгебра



НазваниеГеометрия и Алгебра
страница1/3
Дата конвертации21.07.2012
Размер401.25 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3
1. /Шевченко (3 семестр).docГеометрия и Алгебра

Геометрия и Алгебра

III семестр


φ – самосопряженное. Оно наз. неотрицательным, если все собственные числа неотрицательны. Если все собственные числа строго положительные, то φ наз. положительным.

Теорема. Для любого неотрицательного самосопряженного преобразования существует корень квадратный, причем единственный.

φ неотр. единтсв. неотр. ψ / ψ²=φ

Д-во: 1) - базис из собственных векторов. - собственные числа.

Пусть (j=1,..,n).

Преобразование ψ определим следующим образом: ψee

ψ²e=ψ(ψe)=ψ(μe)=μ²ee

2) λ - различные собственные числа

d - геометрическая кратность λ, n - алгебраическая кратность

Для унитарного преобразования, а значит и для самосопряженного d=n и gif" name="object25" align=absmiddle width=67 height=45>

(φ-λε)x=0 x – собственный вектор xKerφ

Ker(φ-λε)=W V= - прямая.

xKer(ψ-με) (Для него d=n). А тогда xKer(φ-λε)

Имеем n=, n= и (j=1,..,m). Отсюда

Т.о. корень единственный, т.к. ядра совпадают.

Теорема. Любое невырожденное преобразование φ можно представить единственным образом φ=ψχ, где ψ- положительное самосопряженное преобразование и χ – унитарное

Д-во: φ٭=χ٭ψ٭

φφ٭=ψχχ*ψ*=ψ²

(φx,φx)>0 x≠0 φ – невырожденное.

Все собственные числа положительные, следовательно φφ٭ - неотрицательное самосопряженное. Следовательно по предыдущей теореме можно извлечь корень из этого преобразования.

Легко проверить, что χ=ψφ – унитарное.

Единственность следует из единственности квадратного корня.

АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА



О. Алгебраическая система (алгебра, абстрактная алгебра) – это множество М, на котором заданы бинарные операции (1),…,(s)

(i) aM и bM следует, что a(i)bM  {M, (1),…,(s)} – замкнутая

Пример

{N,+,-,*} – незамкнутая система

{Z,+,-,*} – замкнутая система

О. Подалгебра – это алгебра {M’, (1),…,(s)}, где М’ – подмножество М и {M’, (1),…,(s)} – замкнута.

Заметим, что пересечение подалгебр есть подалгебра. (док-ся тривиально)

О. Гомоморфизм. Пусть даны две алгебры {M, (1),…,(s)} и {M’, [1],…,[s]}.

Если существует отображение φ: M→M’, сохраняющее операции, т.е. i=1,..,s φ(a(i)b)=φa[i]φb.

{φ(M), [1],…,[s]} – гомоморфный образ

Если φ – биекция, то гомоморфизм наз. изоморфизмом.

Лемма. Гомоморфный образ алгебры есть алгебра.

Д-во: Рассмотрим гомоморфный образ алгебры М. Докажем, что он замкнут относительно операций второй алгебры. a,bφ(М) a’, b’М / φ(a’)=a, φ(b’)=b => a[i]b=φ(a(i)φ(b)) => a[i]bφ(M), т.е. замкнуто.

Если число операций s=1, то алгебра наз. моноидом

О. Моноид наз. полугруппой, если операция ассоциативна, т.е. (ab)c=a(bc)

Теорема 1. (об обобщенной ассоциативности) (см. 1 семестр)

О. Полугруппа наз. коммутативной (абелевой), если ab=ba.

Пример не абелевой полугруппы - полугруппа матриц.

Теорема 2. (об обобщенной коммутативности) (см .1 семестр)


Рассмотрим два моноида (М, ○) и (М’, □)

Теорема. Если первый – полугруппа, то гомоморфный образ (φМ, □) есть полугруппа.

Д-во: a’, b’, c’φM => a, b, cM / φa=a’, φb=b’, φc=c’

a’□(b’□c’)=(a’□b’)□c’

a’□(b’□c’)=φa□(φb□φc)=φa□φ(b○c)=φ(a○(b○c))=φ((a○b)○c)=φ(a○b)□φc=(φa□φb)□φc=(a’□b’)□c’


О. е – левый нейтральный элемент, если ea=a aM

e’ – правый нейтральный элемент, если ae’=a aM

Лемма 1. Если в полугруппе есть левый и правый нейтральный элементы, то они равны и единственные. Если она мультипликативная – то 1, если аддитивная – 0.

Д-во: e=ee’=e’


Если ab=e, то b наз. правый обратный (в аддитивной - противоположный). Аналогично – левый.

Лемма 2. Если в абелевой полугруппе существуют правый и левый обратный, то они совпадают и единственные.

Д-во: b=eb=(ca)b=c(ab)=ce=c


О. G –группа, если 1) оно содержит е, 2) для любого элемента существует обратный.

Лемма. в группе имеет единственное решение

!!! В любой группе из ax=ax’ следует, что x=x’

Теорема. Если в непустой полугруппе уравнения (3) имеют решение, то она группа.

Д-во: aM

Рассмотрим ax=a, для него x- решение. x=e’ – это правая единица. Докажем, что bx=b

bx=(ya)x=y(ax)=ya=b

ya=a y=e – аналогично левая единица. Следовательно по лемме это просто единица.

Рассмотрим ax=e, ya=e => сущ. обратный. Т.о. это группа.


О. Полугруппа наз. полугруппой с сокращениями, если из ax=ax’ следует, что x=x’, а из ya=y’a => y=y’.

Лемма. Если G – конечная полугруппа с сокращением {|G|<}, тогда она группа.

Д-во: G={}

, т.к. замкнуто. Но все элементы различны (следует из определения), а всего их n штук, следовательно

Отсюда j k / Т.о. каждое уравнение ax=b имеет решение. (a=, b=)

Для ya=b аналогично:


Рассмотрим Ø≠HG

Теорема. Непустое множество Н в группе является подгруппой, если:

а) aH и bH => abH

и б) aH => aH

в) aH и bH => abH

г) |H|< + (а)

Д-во: ассоциативность в Н следует из ассоциативности в G.

а) и б) Н – непустое, следовательно, aH => из пункта б) следует, что aH => еH. По опред. Н –группа.

в) Н - непустое => aH => aaH, т.е. еH

Если bH, то b=еbH. Следовательно Н – группа (она замкнута!).

г) Следует из предыдущей теоремы, т.к. Н – полугруппа с сокращениями. Любая группа – полугруппа с сокращениями.

Лемма. Пересечение подгрупп есть подгруппа. (д-во самостоятельно)


Рассмотрим два моноида {M, ○} и {N, □}

Пусть φ – гомоморфизм, φ:M→N, т.е. φa□φb=φ(a○b)

В таком случае полугруппа переходит в полугруппу, левый (правый) нейтральный элемент переходит в левый (правый) нейтральный элемент, левый (правый) обратный в левый (правый) обратный, группа перейдет в группу.

eM, т.е. е○a=a aM => φe□φa=φ(e○a)=φa => φe – левый нейтральный в N

остальное доказывается аналогично

Легко доказывается, что гомоморфный образ группы – это группа.


Рассмотрим - множество всех биекций (группа).

Теорема Кэли. Для любой группы G существует H - подгруппа , что G изоморфна Н.

Д-во:

φ(g) xgx φ(g) – биекция

G→G

φ(g)φ(g)=φ(gg) x→ggx

g(gx)=φ(g)(φ(g)x)

g, g - одинаковые биекции.


Если |M|=n, то - симметрическая группа подстановок n-ой степени.

Пусть дана группа G и подгруппа H. aG и aH.

Построим минимальную подгруппу H, содержащую элемент а.

Пусть mZ H. В H входят:

Если из m≠m’ следует, что , то φm= - изоморфизм. Мы получили подгруппу (она бесконечная). H – циклическая подгруппа бесконечного порядка.

Иначе если m≠m’ и =, то это гомоморфизм. Пусть m>m’ и =, тогда =e

Обозначим min{lN/=e}=n.

Покажем, что порядок подгруппы H равен n, т.е H={}

Рассмотрим целое m=qn+r. 0≤r≤n-1. Имеем

Покажем, что для любых 0≤i. Пусть это не так, тогда e=, причем 1≤k-i≤n-1. Т.о. n – не минимальное число, которое мы выбрали. Противоречие с построением.

Подгруппа Н наз. циклической подгруппой элемента a.

О. Группа наз. циклической, если она совпадает с одной из своих циклических подгрупп.


Теорема. Пусть G –циклическая группа G=(a). H – подгруппа G. Тогда выполняется следующее:

  1. H – циклическая.

  2. Если |G|=∞, то |H|=1 или ∞.

  3. Если порядок |a|=n, то порядок H делитель n.

Д-во:

1. Существуют натуральные m, такие что H. Среди всех этих степеней выберем минимальное. Обозначим его через d. Докажем, что H=(). Пусть - произвольный элемент из H. Необходимо доказать, что m делится на d.

m=qd+r 0≤r
H и H => H. Следовательно d не минимально. Противоречие.

Отсюда r=0.

Следовательно, H – циклическая подгруппа.

2. Если бы H была конечная и отличалась от 1, значит она порождается элементом . Но тогда найдутся такие k≠l, что , т.к. H – конечная. Но тогда G-конечная.

3. Н – циклическая, следовательно, есть порождающий элемент, т.е. H=()

Докажем 2 леммы для нашей теоремы.

Лемма 1. НОД(m,n)=d => u,vZ, что d=um+vn

Д-во: {Z,+}. Рассмотрим подгруппу H, порожденную m и n

H=(m,n)={um+vn, u,vZ } – подгруппа, т.е. циклическая => Н=(d)


Лемма 2. Если НОД(m,n)=d, то ()=()

Д-во: m=m’d => => ()

По Лемме 1 d=um+vn => , т.к. |a|=n => ()

Вернемся к теореме. Пусть d=НОД(m,n), тогда Н=(), но d есть делитель n.


Для нахождения НОД существует алгоритм Евклида (см. Курош).

a=qb+r 0≤r
НОД(a,b)=НОД(q,r)

r=qr+r

r=qr+r

r=qr+r

r r=0



Оценка операций s<


Круговые многочлены.

Пусть данный (j-ый корень n-ой степени из 1). Можно ли из него построить все остальные корни. Необходимое и достаточное условие НОД(j,n)=1. Такие наз. первообразными корнями степени n из 1.

для какого-то является первообразным. Как найти .

НОД(j,n)= n= =>

j=j’

Пусть НОД(j’,)=1 (сократили на НОД)

Корень является первообразным корнем степени .

Рассмотрим круговой многочлен, у которого корни - первообразные корни степени n






Факторизация

Пусть дана группа G и подгруппа H.

aH={ah, hH} – левый смежный класс группы G по подгруппе H.

Ha={ha, hH} – правый смежный класс группы G по подгруппе H


Введем отношение a~b, если они в одном смежном классе. a~b => baH => hH/b=ah

  1. a~a рефлексивность.

  2. симметричность a~b => b~a

a~b => a=bh, т.е bh=a => abH, т.к. hH

  1. транзитивность a~b, b~c => b~c

cbH => hH/ c=bh

baH=> hH/ b=ah => c=bh=ahh => c~a, т.к hhH


Разбиение на левые смежные классы.

G= - левое фактор-множество

В этой формуле скрыты 2 условия

  1. gG существует aG/ gaH

  2. a≠b aG/H, bG/H => aH≠bH


Теорема 1. aH=bH  abH (baH)

Д-во: aaH, т.к. ae=a, eH

abH => hH, что a=bh  h=baH

Т.о. если a~b, то смежные классы совпадают.

Теорема 2. Ha=Hb  baH (abH)

Аналогично.

Левые и правые разбиения могут быть разные (пример S)

О. Число элементов левого фактор-множества наз. левым индексом группы G по подгруппе H и обозначается |G/H|

Теорема Лагранжа. |G|=|G/H||H|

Д-во: Введем φh=ah hH Прообраз – подгруппа, образ – левый смежный класс.

Заметим, что φ - биекция. Действительно, пустьhH, h’H, h≠h’ => φh’=ah’≠ah=φh, иначе домножим на

Т.о. |H|=|aH| при биекции, т.е. каждый класс состоит из стольких же элементов, что и Н.

Всего классов |G/H| и они все различные.

Следствие 1. Порядок подгруппы является делителем порядка группы.

Следствие 2. Левые и правые индексы равны.

О. Порядком элемента а наз. |a|=|(a)|

Следствие 3. Порядок элемента а является делителем порядка группы. ((а) – подгруппа G)

Следствие 4. Если n-простое и |G|=n, то G – циклическая группа. (из следствия 3)

Д-во: Если n=1, то G=(e). Пусть n>1 возьмем а≠е. (а) подгруппа G, тогда |a| делитель n, но n- простое => |a|=1 или |a|=n. В первом случае получаем, что а=е, чего быть не может. Следовательно |a| =n, т.е. группа совпдает с одной из своих циклических подгрупп, т.е. она циклическая.


О. Подгруппа H группы G наз. нормальным делителем (инвариантной подгруппой), если левые и правые разбиения на смежные классы совпадают.

G= G=

aG bG / aH=Hb  aG / aH=Ha


Теорема. Н – нормальный делитель G  aG, hH ahaH (ahaH)

Д-во: => aG, hH h’H / ah=h’a => aha=h’H

<= aha=h’H => ah=h’aHa => aHHa

Аналогично HaaH, т.к. (aha)H

Рассмотрим G/H. И рассмотрим операцию (aH)(bH)=abH. Если H не нормальный делитель, то тут возникают проблемы. Если же Н – нормальный делитель, то эта операция корректна.

Выберем в этих смежных классах по одному представителю.

h, h / a’=ah, b’=bh a’b’=(ah)(bh)=a(hb) h=(ab)(hh), т.к. h / hb=bh

Три теоремы о связи гомоморфизма и нормального делителя.

Теорема 1. Рассмотрим отображение φa=aH aG aHG/H

φ есть отображение G на G/H φ: G→G/H

Теорема утверждает, что φ – гомоморфизм группы G на моноид, если Н – нормальный делитель.

Доказательство корректности умножения см. выше.

G/H – гомоморфный образ группы G => G/H – группа, а именно факторгруппа.

Теорема 2. Если φ гомоморфизм группы G в группу , то H=Kerφ={xG / φx=} – нормальный делитель группы G.

Д-во: Ясно, что H – подгруппа G φe= φ(xy)=φxφy= φ(x)=(φx)=

aG, hH φ(aha)=(φa) (φh)(φa)= , т.к. φh=

φ(ab)=(φa)(φb)=(φa)(φa)= φa=φb  aH=bH  abH

Теорема 3. Если φG=, т.е. φ – гомоморфизм группы G на группу , то ~G/H, где H=Kerφ

Д-во: Пусть x’ – произвольный элемент группы , а x такое элемент группы G, что φx=x’. Так как для любого элемента а из H=Kerφ φa=. То φ(ax)=φaφx=x’=x’

Т.о. все элементы смежного класса xH отображаются при φ в элемент x’

С другой стороны, если z- любой такой элемент группы G, что φz=x’, то φ(xz)=φ(x)φz=(φx)φz=x’x’=, т.е xz содержится в H.

Т.о. собирая все те элементы группы G, которые при гомоморфизме φ отображаются в фиксированный элемент x’ группы , мы получим точно смежный класс xH.

Соответствие ξ, относящее каждому элементу x’ из тот смежный класс группы по нормальному делителю Н, который состоит из всех элементов G, имеющих x’ своим образом при φ, будет биекцией. Ξ – изоморфизм, т. к. если ξx’=xH, ξy’=yH, т.е. φx=x’, φy=y’, то φ(xy)=φxφy=x’y’, а поэтому ξ(x’y’)=xyH=xHyH= =ξx’ξy’


КОЛЬЦА, ПОЛЯ

О. Множество наз. кольцом, если в нем определены две операции - сложение и умножение, обе коммутативные и ассоциативные, а также связанные законом дистрибутивности.

Лемма. Непустое множество в кольце является подкольцом, если оно замкнуто относительно операции – и +.

О. Тело, если каждый элемент, отличный от единицы, имеет обратный. А коммутативное тело наз. полем.


Кольцо вычетов.

Рассмотрим {Z,+}. Дано натуральное n.

Сделаем отображение φm=resь

φ(m+l)=φmφl - сложение по mod n

Z/n={i+(n), i=0,..,n-1} – смежные классы.

φ(ml)=φm○φl 0 – умножение по mod n

(i+an)(j+bn)=ij+(…)n

Т.о. мы построили гомоморфный образ, который будет кольцом – кольцом вычетов по mod n.


Тело кватернионов.

Кватернион – четырехмерное пространство.

Комментарий автора:

Кватернион представляет собой упорядоченную четверку действительных чисел s, a, b, c, которые связаны с четырьмя базисными элементами 1, i, j, k, обладающими следующими свойствами:

i²=j²=k²=-1, ij=k, jk=i, ki=j, ji=-k, kj=-i, ik=-j


Возьмем кватернионы α=, β=

Рассмотрим R. Возьмем вектора E, I=, J=, K=

L(E,I,J,K) – 4-хмерное линейное пространство, т.к. матрицы линейно независимы.

Но это множество также подкольцо.

Все это легко проверяется

Теперь рассмотрим вектора A=, =

αβ=+()i+()j+()k

A= =

A=()E

Матрица A=0  A=0

Значит для любой матрицы A≠0 в нашем кольце матриц есть обратная, а находится она так:

r=

A=

Это тело кватернионов.

В кватернионах часто выделяют скалярную и векторную часть.

α=+u β=+v

u=, v=

αβ=-(u,v)+v+u+[u,v]

ПРИЛОЖЕНИЯ КВАТЕРНИОНОВ

Наиболее естественным способом, позволяющим описывать повороты в трехмерном пространстве, является использование операторов преобразования и соответствующих им матриц. Однако использование кватернионов позволяет дать более простую форму этого поворота. Представление трехмерных вращений при помощи кватернионов удобно тем, что кватернион определяет непосредственно его геометрические характеристики: ось вращения и угол поворота. При обычном описании вращения при помощи матриц для определения оси вращения и угла поворота необходимо проделать некоторые вычисления, а при использовании кватернионов он находится естественным образом.


Кольцо формальных степенных рядов и многочленов.

Рассмотрим кольцо K. Обозначим через K множество из элементов а, где a=() aK

b=()

a+b=() Относительно такого покомпонентного сложения это множество будет абелевой группой.

Умножение определим следующим образом:

c=ab=(), где

Необходимо доказать ассоциативность и две дистрибутивности.

a(b+b’)=ab+ab’ ?

c’=ab’=()

c+c’=()

(ab)d=a(bd) ab=c bd=g cd=f ag=h



Легко доказывается, что

Т.о. {K ,+,*} – кольцо.

=(0,..,0,1,0,..,0) - 1 на i-ом месте.

- единица в кольце K.

По индукции доказывается, что

Получили степенной ряд.

a(x)=

K[x]~K - кольцо формальных степенных рядов от x.

K[x]={a(x)K[x] / n / } –кольцо многочленов

n – степень a(x).

Степень нулевого многочлена –1 или -∞

Степень a(x)+b(x) не превосходит степени a(x),b(x)

a(x)b(x)=(+…+)(+…+)=(+…+)

не обязательно не равно 0, если ≠0, ≠0

Если кольцо имеет делители 0, то степень a(x)b(x) не превосходит степениa(x)+степениb(x)


a(x) K[x] a(x)= a’(x)=

Неверно, что степень производной от многочлена меньше степени многочлена на 1. Контрпример – многочлен в система вычетов по mod n

a(x)=

a(α)= - правое значение многочлена

(α)= - левое значение многочлена

В общем случае кольцо не коммутативное.

b(x)= b(α)=

a(α)±b(α)=(a±b)(α)

(*) a(α)b(α)=(ab)(α)

Вообще говоря это неверно.

Лемма. Если α перестановочный с коэффициентами b(x) , т.е. α=α k=0,…,m, то равенство (*) верно.

Д-во: Индукцией по i доказывается, что α= α для любого iN

α= αα== αα= αα=α

a(α)b(α)=

О. α – правый корень многочлена a(x), если a(α)=0.

Теорема. Даны многочлены a(x)= и b(x)= .Если для коэффициента в кольце K существует такой элемент с, что с – обратный элемент к , то существует единственные многочлены q(x) и r(x), причем degr(x)
Д-во: единственность Пусть существует q(x)≠q(x), что a(x)=q(x)b(x)+r(x)

(q(x)-q(x))b(x)=r(x)-r(x)

q(x)-q(x)≠0 => deg(q(x)-q(x))=v

Тогда степень произведения не меньше m. Действительно, если h≠0 - старший коэффициент q(x)-q(x), то коэффициент при равен h. Допустим h=0, умножим справа на с, тогда, т.к. с=1, h=0. Противоречие.

Но deg(r(x)-r(x))
существование Пусть m>n b(x) тождественно не 0, тогда r(x)=a(x) q(x)≡0

Пусть n≥m. Проведем индукцию по n

(x)=a(x)-b(x)c

Степень deg(x)(x)=(x)b(x)+(x)

q(x)=(x)+c

r(x)=(x)


Следствие 1. Если К – тело, то можно делить на любой ненулевой многочлен

Следствие 2. Если К=, то необходимое условие det≠0

Следствие 3. Если b(x)=x-α, то r(x)=rK и r=a(α)

a(α)=q(α)(α-α)+r q(α)(α-α)=0 по лемме
  1   2   3



Похожие:

Геометрия и Алгебра iconДокументы
1. /алгебра и геометрия.rtf
Геометрия и Алгебра iconДокументы
1. /Формулы (алгебра, геометрия).DOC
Геометрия и Алгебра iconДокументы
1. /Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.djvu
Геометрия и Алгебра iconДокументы
1. /Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Физматлит, 2003.djvu
Геометрия и Алгебра iconАналитическая геометрия и линейная алгебра
Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности...
Геометрия и Алгебра iconМуниципальное общеобразовательное учреждение – средняя общеобразовательная школа
«Алгебра» и 70 часов на изучение курса «Геометрия» в рамках единого курса математики, из расчета 35 учебных недель
Геометрия и Алгебра iconДокументы
1. /Алгебра 8кл_Макарычев_2001_1-90.pdf
2. /Алгебра...

Геометрия и Алгебра iconРабочая программа по математике в 7 классе, Петрунина Ивана Николаевича, учителя I квалификационной категории
«Алгебра» и 52 часа на изучение курса «Геометрия» в рамках единого курса математики, из расчета 35 учебных недель
Геометрия и Алгебра iconОсень 2010 планы лекций на 1 курсе Алгебра и геометрия
Непрерывность, точки разрыва. Начало дифф исчисления определение дифференцируемости и производной. Доказать, что функция дифференцируема...
Геометрия и Алгебра icon7 «А» Алгебра: №28. 44 – 28. 49 Геометрия: Тематические тесты (гиа) тест 5, вариант 4; тест 6, варианты 1 и 2 стр. 47-52 Русский язык
Литература: Выучить ст-е из подборки на стр. 290-298, прочитать р-з И. А. Бунина «Цифры» (2-й том, стр. 3-18)
Геометрия и Алгебра iconДокументы
1. /Алгебра 8кл_Макарычев_2001_1-90.pdf
2. /Алгебра...

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов