Графическое решение
|
| Графическое решение уравнений и систем уравнений с параметрами. (алгебра и начала анализа) Оглавление I. Введение II. Уравнения с параметрами. §1. Определения. §2. Алгоритм решения. §3. Примеры. III. Список литературы. Введение Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. В школе этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на факультативных занятиях. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд, графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами. §1. Основные определения Рассмотрим уравнение (a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1) где a, b, c, …, k, x -переменные величины. Любая система значений переменных а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0, при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным. ^ Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n, а неизвестные – буквами x, y, z. ^ Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если: а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот. §2. Алгоритм решения.
^ (х). Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.
§3. Примеры I. Решить уравнение  (1)Решение. Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :  или  ^ Если а (-;-1](1;+)  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения  относительно х.Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение  .Если а  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и  , получаем   и  .Если а  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.Ответ: Если а (-;-1](1;+) , то  ;Если а , то , ;Если а , то решений нет.II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение  имеет три различных корня.Решение. Переписав уравнение в виде  и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции  , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции  .В системе координат хОу построим график функции  . Для этого можно представить её в виде  и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде Поскольку график функции  – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный  , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции  . Поэтому находим производную  Ответ:  .III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений  имеет решения. Решение. Из первого уравнения системы получим  при  Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.^  Множеством точек плоскости  , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые и  Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых. ^ прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то  . Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы В этом случае уравнение  имеет один корень, откуда находим :  Следовательно, исходная система не имеет решений при  , а при  или  имеет хотя бы одно решение.Ответ: а (-;-3] (  ;+).IV. Решить уравнение  Решение. Использовав равенство  , заданное уравнение перепишем в виде ^  Уравнение  перепишем в виде  . (*)Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций  и  . Из графика следует, что при  графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.Если  , то при  графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).При  графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой  . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям  Пусть , тогда . Система примет вид  Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5). ^ Рассмотрим случай, когда  . Система неравенств примет вид  Решив эту систему, найдем а (-1;7). Но , поэтому при а (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .Ответ: если а (-;3), то решений нет; если а=3, то х [3;5); если a (3;7), то ;если a [7;), то решений нет. V. Решить уравнение  , где а – параметр (5)Решение.
если  , то  .
Ответ: если  , то   если  , то  ;если  , то решений нет; если  , то  , .VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров  и  , при которых системы  (1)и  (2)имеют одинаковое число решений? Решение. С учетом того, что  имеет смысл только при  , получаем после преобразований систему (3)равносильную системе (1). Система (2) равносильна системе  (4)Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом  Поскольку  , а  , то  , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При  окружность касается прямой  и система (4) имеет пять решений.Таким образом, если  , то система (4) имеет четыре решения, если  , то таких решений будет больше, чем четыре.Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда  , и больше четырех решений, если  .Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых. При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением  , иметь общие точки с гиперболой  при  (прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции ).^  ,которое удобнее переписать в виде  Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:
Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда  .Ответ: Литература
назад |
, то 
;
, т.е. если 
, то система (3) имеет два решения;
, то система (3) имеет три решения;
, то система (3) имеет четыре решения.Похожие:
 | Графическое решение Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. В школе этот... | | № п/п Термин Структура данных, находящаяся в оперативной памяти компьютера, которая задаёт основные инструменты рисования и вывода данных на графическое... |
| Пояснительная записка к работе «Графическое решение заданий с параметром». Автор (полностью фамилия, имя, отчество, должность, предмет) Толстоусова Тамара Витальевна, учитель математики Образовательное учреждение (полное название), регион Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа... | | Принимаю решение и отвечаю за свое решение ... |
| Документы 1. /графическое пояснение.doc | | Вопросы к зачету «Кинематика» Прямолинейное равномерное движение. Скорость. Графическое представление движения |
| Документы 1. /Усатенко Графическое изображение.pdf | | Документы 1. /Графическое представление результатов.doc |
| Документы 1. /Усатенко С.Т. Графическое изображение электрорадиосхем.1986.djvu | | Кева Татьяна Владимировна «Решение уравнений и неравенств с параметрами» (10 кл.), «Решение уравнений и неравенств с модулем» (10 кл.), «Решение уравнений... |