|
Графическое решение уравнений и систем уравнений с параметрами. (алгебра и начала анализа) Оглавление I. Введение II. Уравнения с параметрами. §1. Определения. §2. Алгоритм решения. §3. Примеры. III. Список литературы. Введение Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. В школе этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на факультативных занятиях. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд, графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами. §1. Основные определения Рассмотрим уравнение (a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1) где a, b, c, …, k, x -переменные величины. Любая система значений переменных а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0, при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным. ^ Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n, а неизвестные – буквами x, y, z. ^ Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если: а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот. §2. Алгоритм решения.
^ (х). Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.
§3. Примеры I. Решить уравнение ![]() Решение. Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а : ![]() ![]() ^ Если а (-;-1](1;+) ![]() ![]() Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение ![]() Если а ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если а ![]() Ответ: Если а (-;-1](1;+) ![]() ![]() Если а ![]() ![]() ![]() ![]() Если а ![]() II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение ![]() Решение. Переписав уравнение в виде ![]() ![]() ![]() ![]() В системе координат хОу построим график функции ![]() ![]() ![]() Поскольку график функции ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений ![]() имеет решения. Решение. Из первого уравнения системы получим ![]() ![]() ![]() ^ ![]() Множеством точек плоскости ![]() ![]() ![]() Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых. ^ прямой ![]() ![]() Случай касания “полупараболы” с прямой ![]() ![]() В этом случае уравнение ![]() имеет один корень, откуда находим : ![]() Следовательно, исходная система не имеет решений при ![]() ![]() ![]() Ответ: а (-;-3] ( ![]() IV. Решить уравнение ![]() Решение. Использовав равенство ![]() ![]() ^ ![]() Уравнение ![]() ![]() Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() При ![]() ![]() ![]() ![]() Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что ![]() ![]() ^ ![]() Решив эту систему, найдем а (-1;7). Но ![]() ![]() Ответ: если а (-;3), то решений нет; если а=3, то х [3;5); если a (3;7), то ![]() если a [7;), то решений нет. V. Решить уравнение ![]() Решение.
если ![]() ![]()
Ответ: если ![]() ![]() ![]() если ![]() ![]() если ![]() если ![]() ![]() ![]() VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров ![]() ![]() ![]() и ![]() имеют одинаковое число решений? Решение. С учетом того, что ![]() ![]() ![]() равносильную системе (1). Система (2) равносильна системе ![]() Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом ![]() Поскольку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, если ![]() ![]() Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда ![]() ![]() Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых. При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ^ ![]() которое удобнее переписать в виде ![]() Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:
Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда ![]() Ответ: ![]() Литература
назад |
![]() | Графическое решение Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. В школе этот... | ![]() | № п/п Термин Структура данных, находящаяся в оперативной памяти компьютера, которая задаёт основные инструменты рисования и вывода данных на графическое... |
![]() | Пояснительная записка к работе «Графическое решение заданий с параметром». Автор (полностью фамилия, имя, отчество, должность, предмет) Толстоусова Тамара Витальевна, учитель математики Образовательное учреждение (полное название), регион Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа... | ![]() | Принимаю решение и отвечаю за свое решение ... |
![]() | Документы 1. /графическое пояснение.doc | ![]() | Вопросы к зачету «Кинематика» Прямолинейное равномерное движение. Скорость. Графическое представление движения |
![]() | Документы 1. /Усатенко Графическое изображение.pdf | ![]() | Документы 1. /Графическое представление результатов.doc |
![]() | Документы 1. /Усатенко С.Т. Графическое изображение электрорадиосхем.1986.djvu | ![]() | Кева Татьяна Владимировна «Решение уравнений и неравенств с параметрами» (10 кл.), «Решение уравнений и неравенств с модулем» (10 кл.), «Решение уравнений... |