1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии icon

1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии



Название1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии
Дата конвертации22.07.2012
Размер158.41 Kb.
ТипДокументы
1. /Матан/ОбщаГ 2 (01-14,42).doc
2. /Матан/ОбщаГ 2 (15-23,27).doc
3. /Матан/ОбщаГ 2 (24-26,28-31,33,34).doc
4. /Матан/ОбщаГ 2 (32,37,39,40,51-55).doc
5. /Матан/ОбщаГ 2 (35,36,38,41, 43-50).doc
6. /Матан/ОбщаГ 2 (56-58, содерж-е).doc
1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во
24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами
Опр.: фигур. F, орг граф функ.: заданн на [a;b] непрер и неотр f(X), x=a, x=b (a>b) и y=0, наз криволин трап. Теор
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле
56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга

1.Ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии.

Дифф-ие обр ф-ии. Пусть у=у(х) строгомонотон и непр в some окр т.х0, х0єR, дважды дифф в х0, и пусть у’(х0)≠0. т.к. у’(х) непрерыв в х0, то ус-ие у’(х)≠0 вып-ся и в some окр U т. х0, тогда по т-ме о [’] обр ф-ии, в "уєV=y(U) $ [’] обр ф-ии х=х(у) и справедливо рав-во х’(у)=1/у’(х), где уєV,хєU,у=у(х). Правую часть рав-ва (1) можно р-ть как слож ф-ию от арг у, т.е. 1/у’(х)=φ(х)=φ(х(у)),уєV. Поскольку φ(х) диф-ма в х0, а х=х(у) дифф. в у0=у(х0), то слож ф-я φ(х(у)), т.е. х’(у) дифф в у0. При этом справедлива ф-ла: x”=(d/dy)x’=(d/dy)(1/y’)=(d/dx)(1/y’)(dx/dy)=-(1/y’)2(y”)(dx/dy)=-y”/(y’)3. Т.о. x”( y0)=-y”(х0)/(y’(х0))3. Случай [’]х более высокого порядка-анал.Параметрическое дифф-ие. На some пр-ке T заданы x=x(t) и y=y(t) и пусть одна из них, напр x=x(t) строгомонот на T, тогда ф-ия у=у(t(х)),хєХ наз параметрически заданной ф-ией. Пусть теперь ф-ии x(t) и у(t) дифф в t0, ф-ия x(t) непр и строго монот в some окр этой точки и пусть x’(t0)≠0, тогда сложная ф-ия у=у(t(x)) будет дифма в x0=x(t0), как композиция дифф-ых ф-ий.
При этом ух’= уt’ tх’= уt’(1/ xt’)= уt’/ xt’, т.е. у’(х0)=y’(t0)/x’(t0). Если допол-но предположить, что ф-и x(t) и у(t) дважды диф-мы в т. t0, то рассуждая как при рассмотрении второй производной обрат ф-ии, получим, что ф-я у(t(х)) дважды дифф-ма в т. х0=х(t0), причем ух2”=( ух’)х’=(уt’/xt’)х’=(уt’/xt’)t’tх’=(( уt2”xt’-xt2”уt’)/xt2”)tх’=( уt2”xt’-xt2”уt’)/(xt)3. Анал-произв высших порядков.

2. Понятие первообр-й, ее общий вид. Неопр-й инт-л и его св-ва.

Ф-ия F(x) в данном промеж-е Х наз-я первообразной ф-ей для f(x) если во всём этом промеж-е f(x) явл-я первообр-й для ф-ии F(x). Опред. Выраж-е F(x)+C, где С – произв-я постоянная, предст-ет собой общий вид ф-ии, кот-я имеет произв-ю f(x). Это выраж-е наз-я неопред-м инт-ом. Совокупность всех первообр-х ф-ии f(x), опред-х на Х, наз-я неопред-м инт-ом от ф-ии f(x) на Х. Св-ва: 1) Пусть f(x) имеет первообр-ю на Х, тогда хХ вып-я рав-во: df(x)dx=f(x)dx. f(x)dx – это произв-я первообр-я F(x) для f(x). dF(x)=F(x)dx=f(x)dx. 2) Если ф-ия F(x) диф-а в (.) Х, то на этом промеж-е dF=F(x)+C. F(x) – первообр-я F(x) => F(x)dx=F(x)+C. dF(x)=F(x)+C. 3) Если ф-ии f1 и f2 имеют первообр-е на Х, то ф-ия f1 + f2 тоже имеет первообр-ю на Х и справ-во рав-во: (f1+f2)dx=f1dx+f2dx. Док: Пусть F1(x) и F2(x) – первообр-е для f1(x) и f2(x). Тогда f1dx=F1+C1, а f2dx=F22. Рассм-м ф-ию F(x)=F1(х)+F2(х), тогда F(x)=(F1(х)+F2(х))=f1(х)+f2(х)  (f1(х)+f2(х))dx=F(x)+C=F1(х)+F2(х)+C. 4) Пусть f(x) имеет первообр-ю на Х, тогда ф-ия k*f(x), где k, т.ж. имеет первообр-ю на этом промеж-е. Причём, если k0, то k*f(x)dx=kf(x)dx.


3. Интегр-е подстановкой

Теор-а: Пусть ф-ии g(x) и t=(x) опред-ы на нек-м промкж-е, имеет смысл сложная ф-ия g((x)) и (x) – диф-а. Тогда, если ф-ия g(t) имеет первообр-ю G(t)  g(t)dt=G(t)+C, то ф-ия g((x))*(x) имеет первообр-ю. g((x))*(x)dx=G((x))+C. Док: исп-я формулу для произв-я сложной ф-ии получ-м: (G((x)))=G((x))*(x)=g((x))*(x). Поэтому g((x))*(x)dx= G((x))+C. Т.е. g(t)dt=G(t)+C=G((x))+C, то g((x))*(x)dx=g(t)dt, где t=(x).


4. Интегр-е по частям.

Теор-ма: если ф-ии u(x) и v(x) диф-ы на нек-м промеж-е и vdu=vudx сущ-т, то udv=uvdx т.ж.  и справ-ва формула: udv=uv-vdu (1). Док: поск-ку u(x) и v(x) диф-ы, то ф-ия u(x)*v(x) т.ж. диф-а. И d(uv)=vdu+udv  udv=d(uv)-vdu (2). Инт-л от правой части (2) -    инт-л от левой. Инт-л (2): udv=d(uv)-vdu=uv+C-vdu. Т.е. udv=uv-vdu.


5.Рац-я дробь. Эл-ые дроби и их интегр-ие.

Опред: под рацион-й дробью пон-я отн-е 2-х алг-х многочл-в. 1) B/(x-b) dx=B/t dt= \t=x-b\ =BLn|t|+C=BLn|x-b|+C; 2) B/(x-b) dx=B/t dt = \t=x-b\ =(B/(1-β))*t1-β+C=-(B/(β-1))*1/(x-b)β-1+C; 3) (M*x+N)/(x2+p*x+q) dx= \a=(q-p2/4), t=x+p/2\ =(M*(t-p/2)+N)/(t2+a2) dt=M/2(d(t2+a2))/(t2+a2)+(N-(M*p)/2)*(1/a)(d(t/a))/((t/a)2+1)=M/2Ln(x2+p*x+q)+((2*N-M*p)/(2*(q-p2/4))) arctg((x+p/2)/(a-p2/4))+C; 4) (Mx+N)/(x2+p*x+q) dx= \t=x+p/2, a=(q-p2/4)\ =M/2(2*t)/(t2+a2) dt+(N-(M*p)/2)(dt)/(t2+a2); (d(t2+a2))/(t2+a2)=-(1/(-1))*(1/(x2+p*z+q)-1)+C; (dt)/(t2+a2)=(1/a2) )(dt)/(t2+a2)-1-(1/(2*a))t*(2*t)/(t2+a2)dt=(1/a2)K-1-(1/(2*a2))t*(d(t2+a2))/(t2+a2)=I; I=t*d(-(1/(-1))*(1/(t2+a2)-1))=-(1/(-1))*(t/(t2+a2)-1)+(1/(-1))K-1; K=(1/(2*a2*(-1)))*(1/(t2+a2)-1)+((2*-3)/(2*a2*(-1)))*K-1 (*). Прим-яя формулу (*) -1 раз, мы получим выраж-е для K в виде суммы рацион-х дробей.


6. Интегр-е рац-х дробей.Прав-е дроби.Т-ма о разл-и

Теор. Пусть P(x)/Q(x) – прав-я рацион-я дробь с вещ-м коэф-м. Знач-е кот-й имеет вид: Q(x)=(x-b1)β1 … (x-bm)βm * (x2+p1x+q1)1 … (x2+pnx+qn)n; qi-pi2/4 > 0. Тогда для этой дроби справ-во след-е разлож-е на сумму прост-х дробей: P(x)/Q(x) = [B1/(x-b1) + … + Bβ1/(x-b1)β1](1) + … + [B1/(x-bm) + … + Bβm/(x-bm)βm](m) + … + [(M1x+N1)/(x2+p1x+q1) + … + (M1x+N1)/(x2+p1x+q1)1](1) + … + [(M1x+N1)/(x2+pnx+qn) + … + (Mnx+Nn)/(x2+pnx+qn)n](n); (1) Поск-ку  дробь в правой части (1) инт-ся в эл-х ф-ях, то дробь P(x)/Q(x) т.ж. инт-ся в эл-х ф-иях. Утв. Разлож-е дляф дроби P(x)/Q(x) зап-о в виде (1) с неизв-и коэф-и. Оно  в силу теоремы. Все прав-е дроби в правой части (1) прив-я к общему знам-ю и складываются. В результ-е получ-я прав-я дробь P1(x)/Q(x). При этом коэф-т в многочлене P1(x) при различ-х степ-х х будут лин-й комб-ей неизв-х коэф-ов. Поск-ку дроби P(x)/Q(x) и P1(x)/Q(x) – совпадают, то P(x)P1(x). Приравн-я в многочленах P(x) и P1(x) коэф-ы при одних степенях х, получим сист-у из l линейных ур-й с l неизв-ми. Поскольку разложение вида (1) , то данная сист-ма разрешима. Более того, поск-ку разложение  для  многочлена P(x), то сист-ма разрешима  набора правых частей. Поэтому её определитель ≠ 0 и сист-ма имеет ед. решение  разложение вида (1) для дробей P(x)/Q(x) – ед.

7. Мн-ны и рац. ф-ии от some перем-х. Рац. ф-ии.

Выражение вида: P(u1,…,un)=∑{k1=0;m1}…∑{kn=0;mn}ak1,k2kn*u1k1…unkn – наз-я многочленом от n переменных. Выражение вида: P(u1,…,un)/Q(u1,…,un), где P и Q – многочлены от n переменных, обозн-я R(u1,…,un); u1=f1(x),…,un=fn(x), т.е. ф-ей R(f1(x),…,fn(x)) – наз-я ф-ей от f1(x),…,fn(x). ∫R(x,((a*x+b)/(c*x+d))r1,…,((a*x+b)/(c*x+d))rn)dx= \a,b,c,dR; ri=pi/m, nN, piZ, (a*x+b)/(c*x+d))ri=(tm)pi/m=tpi;tm=((a*x+b)/(c*x+d)); x=(d*tm-b)/(a-c*tm)=(t), (t)=x(t) – рацион-я ф-ия;\ =∫R((t),tpi,…,tpn)*(t)dt=∫R*(t)dt. R*(t) – рацион-я ф-ия от t. ∫R(x,(a*x+b)r1,…,(a*x+b)rn)dx; ∫R(x,xr1,…,xrn)dx.

9. Интегр-е биномиал-х диффер-лов. Пример

Выраж-е вида: xm(a+b*xn)pdx; a,bR, a≠0, b≠0; m,n,pQ. Наз-я биномиальным дифференциалом. Укажем случаи их инт-и: 1) pZ. Пусть  - наим-е общее кратное дробей m и n. Пусть m=m/, n=n/. Тогда ∫xm(a+b*xn)pdx=∫xm/(a+b*xn/)pdx=∫R(x1/)dx. Укажем ещё 2 случая инт-я бин-о диф-а. Для этого сделаем нек-е преобраз-я: ∫xm(a+b*xn)pdx= \z=xn, x=z1/n; dx=(1/n)*z1/n-1dz\ =∫zm/n*(a+b*z)p*(1/n)*z1/n-1dz=1/n∫z(m+1)/n-1*(a+b*z)pdz=1/n∫zq*(a+b*z)pdz. 2) qZ, т.е. (m+1)/nZ; p=/, pZ; 1/n∫zq*(a+b*z)/dz=1/n∫R(z,(a+b*z))dz. 3) p+qZ; (m+1)/n+pZ, p=1/; t=((a+b*z)/z)=(b+a*z-1)=(b+a*x-n). В анализе док-я, что во всех других случаях инт-ы от бин-х диф-ов не выражаются через эл-е ф-ии.

12. Опр-ый. ин-л Римана; разб-е сег-та, изм-е, объед-е, диаметр разб-ий. Интегр-е суммы.

Введем понятие разб-я отрезка [a,b] измельчением этого разбиения и объед-я 2-х разб-ий. Опр1. Будем говорить, что задано разб-е [a,b], если заданы (.) x0,x1,...,xn: a=x01<...n=b. Разб-е [a,b] будем обозн-ть {xk}(k=0,k=n) или {xk}. Опр2. Разб-е {xk} [a,b] наз-ся измельч-ем разб-я {xk} того же сегмента, если каждая (.) xp разб-ия {xk} совпад. с одной из (.) xq разб-я {xk}. Опр3. Разб-е {xk} [a,b] наз-ся объед-ем разб-ий {xk} и {xk} того же сег-та, если все (.) разб-ий {xk} и {xk} явл-ся (.) разб-я {xk} и др-х (.) разб-я {xk} не содержит. Пусть на [a,b] задана ф-я f(x) и пусть {xk} - некот-е разб-е [a,b]; выберем на каждом из отрезков [xk-1,xk], k=1,...,n произв-ым образом (.) k, k=1,...,n и составим сумму =(xkk)= (k=1,…,n)f(k)(xk-xk-1) (1), k[xk-1,xk], k=1,…,n; число , определ-ое (1) наз-ся интегр-ой суммой для ф-ции f(x). Интегр-ая сумма (xkk) зависит как от разб-ия {xk}, так и от выбора (.) k на [xk-1,xk]. Если ввести обозн-е xk=xk-xk-1, k=1,...,n, то инт-ую сумму можно записать в виде: =(k=1,…,n)f(k)xk (2), k[xk-1,xk].

Сег-ы [xk-1,xk] принято называть частичными, а (.) k - промеж-ыми (.). Число d=max1kn xk=maxk xk-диаметр или мелкость разб-я xk.Опр4. число I наз-ся пределом инт-ой суммы (xkk) при стремлении {xk} к 0, если для  >0  >0: d>  k I-<. Обозначение I=limd0 (xkk)=limd0 . Опр5. Ф-я f(x) наз-ся интегр-ой по Риману на [a,b], если для этой ф-ции на указ-ом сег-те  конечный предел I ее инт-ых сумм  при стрем-ии диаметра d разб-ий {xk} к 0. Число I-опр-ый инт-ал Римана от ф-ции f(x) в пределах от a до b (или по [a,b]) ∫(a,b) f(x)dx=limd0 (xkk). Перем-ую x можно заменить на любую др-ю. Это было по Коши. Теперь на языке посл-ей. Пусть [a,b] послед-но разб-ся на части; сначала 1-м сп-ом, потом др-им, 3-им и т. д. Посл-ть разб-ий сег-та на части будем наз-ть основной, если соотв-ая посл-ть значений диаметров d1,d2,... сх-ся к 0. Рав-во I=limd0 (xkk) сл-ет теперь понимать в том смысле, что посл-ть зн-ий суммы , отвеч-ая  осн. посл-ти разб-ия пром-ка, всегда  к пределу I как бы при этом не выбирать (.) k.


8. Подстановки Эйлера.

Рассм-м инт-л вида: ∫R(x,(a*x2+b*x+c))dx (1). R(-//-) – рацион-я ф-ия; a,b,cR. Подст-а Эйлера: 1) a*x2+b*x+c, D<0, a>0; t=( a*x2+b*x+c)+(a)*x; x=(t2-c)/(b+2*(a)*t)=(t) – рацион-я ф-ия; x(t)=(t); t-(a)*(t)= (a*x2+b*x+c) – рацион-я ф-ия. (1) = ∫R((t),t-(a)*(t))*(t)dt=∫R*(t)dt; R*(t) – рацион-я ф-ия по t. 2) a*x2+b*x+c имеет различ-е вещ-е корни x1, x2 т.е. D>0. В этом случае: a*x2+b*x+c=a*(x-x1)*(x-x2); t=(a*x2+b*x+c)/(x-x1), t(x-x1)=(a*x2+b*x+c); a*(x-x1)*(x-x2)=t2*(x-x1)2; (a-t2)*x=-x1*t2+a*x2; x=(x1*t2-a*x2)/(t2-a)=(t) – рацион-я ф-ия. x(t)=(t) – рацион-я ф-ия; (a*x2+b*x+c)=t*((t)+x1) – рацион-я ф-ия. ∫R(x,(a*x2+b*x+c))dx=∫R((t),t*((t)-x1))*(t)dt=∫R*(t)dt, R*(t) – рацион-я ф-ия по t.


10. Интегр-е some трансц-ых ф-ий.

Интегралы вида: ∫R(sin(x),cos(x))dx. U=tg(x/2); -π2)du; sin(x)=(2*u)/(1+u2); cos(x)=(1-u2)/(1+u2). ∫R(sin(x),cos(x))dx=∫R((2*u)/(1+u2), (1-u2)/(1+u2))* dx=2/(1+u2)du=∫R*du. Инт-л вида: ∫sinm(x)*cosn(x)dx= \m,nQ; 02(x))=(1-u2)1/2; du=cos(x)dxdx=(1-u2)1/2du\ =∫sinm(x)*cosn(x)dx=∫um*(1-u2)n/2*(1-u2)-1/2du=∫um*(1-u2)(n-1)/2du. Если m,nZ, то рассм-й инт-л имеет вид: ∫R(sin(x),cos(x))dx, u=tg(x). Укажем ещё нек-е подстановки: 1) m – нечёт-е. m=2*k+1; kZ; u=cos(x); ∫sin2*k+1(x)*cosn(x)d(cos(x))=-∫(1-u2)k*undu. 2) n=2*k+1; kZ; u=sin(x) – аналогично. 3) m=2*k+1, n=2*i+1; k,iZ; u=cos(2*x); ∫sin2*k+1(x)*cos2*i+1(x)dx=∫sin2*k(x)*cos2*i(x)*sin(x)*cos(x)dx=1/2∫((1-cos(2*x))/2)k*((1+cos(2*x))/2)i*sin(2*x)dx=(-1)/22+k+i∫(1-cos(2*x))k*(1+cos(2*x))id(cos(2*x)). 4) Если n и m – чётные или одно из них =0, то с помощью формул sin2(x)=(1-cos(2*x))/2; cos2(x)=(1+cos(2*x))/2. Инт-ы вида: ∫sin(α*x)*cos(β*x)dx, ∫sin(α*x)*sin(β*x)dx, ∫cos(α*x)*cos(β*x)dx. Для выч-я этих инт-в нужно записать подъинт-ю ф-ию в виде полусуммы или полуразности соотв-х тригонометр-х ф-ий.

11. Ин-лы от транцендентных ф-ий, вычил-ые с помощью интегр-ия по частям. Неберущиеся ин-лы.

1) ∫exsinxdx, 2) ∫excosxdx, 3) ∫xncosxdx, 4) ∫xnsinxdx, 5) ∫xnexdx, 6) ∫xnarcsinxdx, 7) ∫xnarccosxdx, 8) ∫xnarctgxdx, 9) ∫xnarcctgxdx, 10) ∫xnlnxdx, nZ, n0. 1) ∫exsinxdx=∫exd(-cosx/)=-1/excosx+1/∫cosxd(ex)=-1/excosx+/∫excosxdx=)=-1/excosx+/∫exd(sinx/)=-1/excosx+(/2)exsinx-(/2)∫sinxd(ex)=((sinx-cosx)/2)ex-(2/2)∫exsinxdx; J=∫exsinxdx; (1+2/2)J=((sinx-cosx)/2)ex+C(2+2)/2J=((sinx-cosx)/(2+2))ex+C=∫exsinxdx. 2) Анал-но. В 3) - 5) U=xn; dV=sinxdx, dV=cosxdx; dV=exdx. ∫xncosxdx=∫xnd(sinx/)=(1/)xnsinx-(1/)∫sinxd(xn)=(1/)xnsinx-(n/)∫sinx xn-1dx и т. д. В 6) – 10) dV=xndx; U=arcsinx,…, arcctgx. Это позволяет избавиться от трансцендентных ф-ий под знаком ин-ла

Сущ-ют ин-лы от элем-ых ф-ий, кот-е сами через элем-е ф-ии не выраж-ся, такие ин-лы - неберущиеся. ∫(sinx/xn)dx, ∫(cosx/xn)dx, ∫(ex/xn)dx, ∫(e-xx/xn)dx.Интегр-я по частям первые 3 ин-ла, можно выразить через ин-лы: ∫(sinx/x)dx, ∫(cosx/x)dx, ∫(ex/x)dx . Последнийй ин-л заменой y=ex; x=lny можно привести к виду: ∫(ex/x)dx=∫((y/lny)/(1/y))dy=∫dy/lny. ∫(sinx/x)dx=six – интегр-ый sin, ∫(cosx/x)dx=cix – интегр-ый cos, ∫dx/lnx=lix – интегр-ый ln.


42. Теорема Римана.

Можно показать, что условно сход ряды переместительным св-ом не обладают, более того если ряд (А) сходится условно, то, каково бы ни было заранее указанное число L, можно так переставить члены в этом ряде, что преобр-ый ряд будет иметь своей суммой именно L (в условия теоремы можно положить, что L=±∞).

13. Огр-ть интегр-ой ф-ии. Неинтегр-ть ф-ии Дирихле.

Геом смысл сумм δ(xkk): рисуем на коорд. пл-ти x0y фигуру, отр-м [a,b] ось 0x отр-ами верт-ых кривых x=a, x=b и гр-ком неотр. непр-ой ф-ции f(x); такая фигура наз-ся крив-ой трапецией. Если f(x) не явл-ся огр-ой на [a,b], то она не тнтегр-ая по этому от-ку. Покажем, что если f(x) не огр. на [a,b], то для любого разб. {xk} этого сег-та значение интегр-ой суммы δ(xkk) можно сделать как угодно большой по абсол-ой величине за счет выбора промеж-ых (.) ξk. Пусть f(x) не огр-на на [a,b]. Фикс. произв. разб. {xk} [a,b] и произв. число M>0, т. к. f(x) не огр-на на [a,b], то она не огр-на по крайней мере на одном частич. сег-те, пусть это [x0,x1], выберем на каждом из сег-ов [x1,x2],...,[xn-1,xn] (.) ξk, kє[xk-1,xk], k=2,...,n и зафикс-ем. Пусть δ1=f(ξ2)Δx1+...+f(ξn)Δxn, выберем ξ1є[x0,x1]: f(ξ1)>(δ1+M)/Δx1, тогда δ=f(ξ1)Δx11 f(ξ1)Δx1-δ1>δ1+M-δ1=M. Пред-им теперь, что f(x) интегр-ма на [a,b], т. е.  I=limd0 (xk,k).

Фикс-м произв. >0 и выберем >0:  {xk} [a,b] с диам. d< при  выборе промеж. (.) k выполн. нер-во: I-<, т. е. I-<<+I (3). Из (3)  что  c>0: для  {xk} [a,b] с диам. d< при  выборе промеж. (.) k выполн. нер-во: k} [a,b] с диам. d< при  выборе промеж. (.) k можно выбрать так, что будет выполн. >c, т. о. получим противоречие  f(x) не интегр-ся на [a,b]. Покажем теперь, что не всякая огр. ф-я интегр-ая на примере ф-ии Дирихле: Q(x)={1, xQ; 2, xQ}. Пусть f(x)-сужение Q(x) на [a,b], р-м произв. осн. посл-ть разб-ий {xk(m)}(k=0, k=n(m)) и сост. две посл-ти интегр. сумм: 1(m) и 2(m). В сумме 1(m) в качестве промеж. (.) выберем рац. (.) k, а в сумме 2(m) - иррац (.).1(m)=b-a, 1(m)=Q, m=1,2,… посл-ти сх-ся к разным пределам, т. е. 1(m)b-a; 2(m)0, m, то f(x) не интегр. на [a,b].

14. Опр-е верх. и ниж. сумм Д. Леммы 1-3. следствие из леммы 2.

Пусть на [a,b] задана огр-ая ф-я f(x) и пусть {xk} - некот-е разб-е [a,b]; введем обозначение: mk=inf[x(k-1, x(k))] f; Mk=sup[x(k-1, x(k))] f, k=1,...,n. Опр. Суммы S=(k=1,…,n)Mkxk; s=(k=1,…,n)mkxk наз-ся соотв-но верхней и ниж. суммами Дарбу для ф-ии f(x) для данного разб-я {xk} [a,b]. Лемма1 Пусть сумма (xkk) - произв-я интегр-я сумма, отвеч-ая данному разб-ю {xk} [a,b], то для  выбора k верно: s (xkk)S, где s и S соотв-но ниж. и верх. суммы Дарбу, отвеч-ие тому же разб-ю. Док-во: Рассм. произв. сег-т разб-я [xk-1,xk], k=1,...,n, в силу опр-я чисел Mk и mk для  k[xk-1,xk] верно: mkf(k)Mk, => при  выборе промеж-х (.) k будет выполн. нерав-во: mkf(k)Mk (4), k=1,…,n. Умножая каждую часть на xk и суммируя их по k=1,..,n, получим (k=1,…,n)mkxk(k=1,…,n)f(k)xk (k=1,…,n)Mkxk, т. е. нер-во: s (xkk)S. Лемма2 Пусть {xk} - произв. фикс. разб-е [a,b],  - произв. полож-е число, тогда можно выбрать (.) ξk так, чтобы (xkk) и S удовлетвор. нерав-ву: 0S-(xkk)<; промеж-е (.) k можно выбрать и таким образом, чтобы для (xkk) и s выполн-сь: 0 (xkk)-s<. Док-во: Пусть {xk} данное разб-е; фикс. произв-е >0 , т. к. Mk=sup[x(k-1, x(k))] f, k=1,...,n, то на каждом из отр-ов [xk-1,xk] можно выбрать (.) k так, чтобы выполн-сь нерав-во: 0Mk-f(k)</(b-a) (5), k=1,...,n. Умн-я каждое из нерав-в (5) на xk и сум-я их по k=1,...,n, получим, что 0(k=1,…,n)(Mk-

f(k))xk<(k=1,…,n)xk/(b-a)=(b-a)/(b-a)=  0S-(xkk)<, анал-но для sk, т. к. mk=inf[x(k-1, x(k))] f, то на каждом отр-ке [xk-1, xk] можно выбрать (.) k так, чтобы выполн-сь нерав-во: 0f(k)-mk</(b-a) (6) , k=1,...,n. Умн-я каждое из нерав-в (6) на xk и сум-я их по k=1,...,n, получим, что 0(k=1,…,n)( f(k)-mk)xk<(k=1,…,n)xk/(b-a) , т. е. 0(xk,k)-s<. Следствие. Для любого фикс. {xk} [a,b] верно: S=sup(k) (xkk), s=inf(k) δ(xk,k) , где точные верх. и ниж. грани берутся по всевозм-ым промеж. (.). Лемма3 При изм-ии данного разб-я верх. сумма может только умен-ся, а ниж. - увелич. Док-во: 1) Рассм. случай верх суммы S: пусть {xk} - some разб-е [a,b] и пусть разб-е {xk} получено из разб-я {xk} добавлением только одной новой (.) x. Пусть x (xi-1,xi). Пусть S и S - верх-е суммы Дарбу для разб-й {xk} и {xk} соотв-но. x попала на i-ый част-ый сег-т, заметим, что S получ-ся из S заменой слаг-ого Mixi на Mi(x-xi-1)+Mi(xi-x), где Mi=sup[x(i-1), x(i))] f., Mi=sup[x(i-1), x)] f, Mi=sup[x, x(i))] f Очевидно, что MiMi, MiMi, Mi(x-xi-1)+ Mi(xi-x)Mi(x-xi-1)+Mi(xi-x)= Mi(x-xi-1+ xi-x)=Mi(xi-xi-1)=Mixi,  SS. Общий случай, когда изм-е разб-я производится добав-ем some new (.), сводится к уже рассм-ому. 2) Случай ниж-х сумм рассм. анал-но.




Похожие:

1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии iconАлгебра 10. Вычисление производных. Устный счет. Учитель математики моу покровская сош №2 Ефименко В. Н

1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии iconРусский фольклор
Два жадных медвежонка", венг., обр. А. Краснова и В. Важдаева; "Упрямые козы", узб., обр. Ш. Сагдуллы
1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии iconРиск и производные финансовые инструменты (деривативы) Общие черты рынка производных ценных бумаг и рынка ценных бумаг
Реально рынок производных инструментов существует как единое целое, независимо от различия в исходных активах
1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии iconСписок рекомендуемой литературы для чтения детям в подготовительной группе Русский фольклор Песенки. «Лиса рожью шла »
«Не плюй в колодец пригодится воды напиться», обр. К. Ушинского; «Чудесное яблочко», обр. Л. Елисеевой
1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии iconА. В. 2000 г. Моделирование амплитудной статистики сигналов на выходе детекторов излучения
Ниже с соответствующими комментариями приводится программа моделирования в виде выкопировок из документа Mathcad. Единичной моделью...
1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии iconДокументы
1. /образоват. программа 2011-2012/7программа социальн. деят..doc
2. /образоват....

1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии iconДокументы
1. /инкл обр/инкл обр.doc
2. /инкл обр/письмо.doc
1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии iconПраздник первого звонка 09. 2011г.) Вед
Под музыку во двор школы выходят все ребята, девочки и мальчики по парам за руки, строятся во дворе Выход школьников
1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии iconНазвание: The night of feelings
Пайринг: здесь нельзя разбить героев по парам, здесь три человека, каждый из которых личность Мия, Мануэль и Сабрина
1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии iconТаблица производных

1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии iconC11 03 c/р по теме: “правила вычисления производных”

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов