Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во icon

Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во



НазваниеЛемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во
Дата конвертации22.07.2012
Размер181.01 Kb.
ТипДокументы
1. /Матан/ОбщаГ 2 (01-14,42).doc
2. /Матан/ОбщаГ 2 (15-23,27).doc
3. /Матан/ОбщаГ 2 (24-26,28-31,33,34).doc
4. /Матан/ОбщаГ 2 (32,37,39,40,51-55).doc
5. /Матан/ОбщаГ 2 (35,36,38,41, 43-50).doc
6. /Матан/ОбщаГ 2 (56-58, содерж-е).doc
1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во
24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами
Опр.: фигур. F, орг граф функ.: заданн на [a;b] непрер и неотр f(X), x=a, x=b (a>b) и y=0, наз криволин трап. Теор
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле
56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга

15. Лемма 4 о св-ах сумм Д. и следствие из нее. Верх. и ниж. интегралы Д. Леммы 5 и 6.

Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во: 1) Пусть {xk} и {xk} - 2 произв-х разб-я [a,b], пусть S и s - суммы Дарбу для разб-я { xk}, S и s - для {xk}, пусть {xk} - объед-е разб-й (xk} и {xk} и пусть S, s - суммы Д. для {xk}. 2) Очевидно, что sS. 3) В силу леммы3 имеем: SS, SS; ss, ss (т. к. {xk} - изм-е каждого из рассм-ых разб-й) ssSS, ssSS, чтд. Следствие. Мн-во верх-х сумм данной ф-ии f(x), отвеч-х всевозм-ым разб-ям [a,b], огр-но снизу; мн-во ниж-х сумм огр-но сверху. Опр. Верх-м интегралом Д. от ф-ии f(x) наз-ся число I*, равное ТНГ мн-ва верх-х сумм {S} данной ф-ии f(x) для всевозм-х разб-й от-ка [a,b]. Опр. Ниж-м интегралом Д. от ф-ии f(x) наз-ся число I*, равное ТВГ мн-ва ниж-х сумм {s} данной ф-ии f(x) для всевозм-х разб-й от-ка [a,b]. Лемма 5 Ниж-й инт-л Д. всегла не превосходит верхнего инт-ла Д. I*I*. Док-во: 1) Фикс-м произв-е разб-е {xk} [a,b] и пусть s - ниж-я сумма Д. для данного разб-я, тогда для  верх-й суммы Д. S верно:

sS, sinf {s}=I*, т. о.
док-но, что для  ниж-й суммы s верно sI*, и sup{s}I*, т. е. I*I*, чтд. Пусть на [a,b] задана огр-я ф-я f(x), пусть число M=sup[a,b] f, m=inf[a,b] f и пусть {xk} - произв-е разб-е [a,b], d - его диам. Обозн. через {xk} разб-е, к-рое получ-ся из {xk} путем добавления к нему l произв-х new (.). Пусть S, s - суммы Д. для разб-я {xk}, S, s - для {xk}. Для этих обозначений верна. Лемма 6 Для S-S и s-s выполн-ся next нерав-ва: S-S(M-m)ld, s-s(M-m)ld. Док-во: 1) Рассм. случай верх-х сумм. Будем считать, что изм-е разб-я {xk} происходит только добавлением 1-й new (.) x. 2) Пусть x(xi-1, xi), S-S(M-m)d. Заметим, что S получ-ся из S заменой слагаемого Mixi на сумму Mi(x-xi-1)+Mi(xi-x), Mi=sup[x(i-1), x(i)] f, Mi=sup[x(i-1), x] f, Mi=sup[x, x(i)] f. Оценим разность S-S; S-S=Mixi-( Mi(x-xi-1)+Mi(xi-x))Mxi-(m(x-xi-1)+m(xi-x))=Mxi-m(xi-xi-1)=Mxi-mxi=(M-m)xi(M-m)d (т. к. MiM, mmi=inf[x(i-1), x] fsup[x(i-1), x] f=Mi; mmi=inf[x, x(i)] fsup[x, x(i)] f=Mi). Общий случай, когда изм-е разб-я {xk} происходит добавлением l new (.), сводится к уже рассм-му. Случай ниж-х сумм рассм. анал-но.

16. Опр-е пределов сумм Д. Лемма Д.

Число A наз-ся пределом верх-х сумм S при  к 0 диам. d разб-я {xk}, если для  >0  d>0: при условии d>  S-A<. Обозначение - A=limd0 S. Анал-но опр-ся предел ниж-х сумм. Если B - предел при d0 ниж-х сумм s, то пишут: B=limd0 s. Лемма Д. Верх-й инт-л Д. I* явл-ся пределом верх-х сумм S при d0, т. е. I*=limd0 S. Анал-но I*=limd0 s. Док-во: Рассм. случай верхнего инт-ла Д. I*: 2 случая: 1) f(x)=c=const на [a,b], в этом случае для  разб-я {xk} [a,b] верно: S=c(b-a), I*=c(b-a), т. о. limd0 S=I*, чтд. 2) f(x) не явл-ся const на [a,b] и пусть M=sup[a,b] f, m=inf[a,b] f; в рассм-ом случае m0; в силу опр-я верхнего инт-ла Д.  разб-е {xk*} [a,b], верх-я сумма кот-ой S* удовлетвор. нер-ву: S*-I*</2 (1). Пусть l - число (.) разб-я {xk*}, не совпад-х с концами [a,b]. Всегда можно считать, что l0.


Рассм-м теперь произв-е разб-е {xk} [a,b] с диам. d<=/(2l(M-m)) и пусть S - его верх-я сумма Д. Произведем теперь изм-е разб-я {xk}, добавив к его (.) l указанных (.) из разб-я {xk*}. Обозн-м через {xk} это изм-е разб-я {xk} и пусть S - его верх-я сумма для разб-я {xk}. В силу Леммы 6 выполн. нер-во: 0S-S(M-m)ld, d<, то 0S-S(M-m)ld<(M-m)l/(2l(M-m))=/2; 0S-S</2 (2). Заметим, что разб-е {xk} явл-ся изм-м и разб-м {xk*}, к (.) кот-м добав. (.) разб-я {xk}, не совпад-е с концами [a,b], в силу Леммы 3 и опр-я числа I* верно нер-во: I*SS*0S-I* и  в силу (1) S-I*</2 (3). (2)+(3): 0S-I*M<. Отметим, что данное нер-во выполн-ся для  разб-я {xk} [a,b] с диам. d<, а это озн-ет, что I*=limd0 S. Случай рассм. анал-но, чтд.

17. Т-ма о необ. и дост. усл. интегрир-ти огр-ой ф-ии (в терминах ин-ов Д.).

Т-ма1. Дтч огр-я на [a,b] ф-я f(x) была интегр-ма на этом от-ке, нидч выполн-сь I*=I*. Док-во: 1) Н. Пусть f(x) интегр-ма на [a,b], тогда  I=limd0 (xk, k). Фикс. произв-е >0 и по числу (/4) найдем >0:  {xk} с диам. d> при  выборе промеж-х (.) k выполн-сь: I-(xk, k)</4. Фикс-м произв-е разб-е {xk} [a,b] с диам. d< и пусть S, s - его суммы Д. В силу Леммы 2 на каждом из частич-х сег-ов [xk-1, xk], k=1,...,n найдутся kи k, k=1,…,n такие, что будут выполн-ся нер-ва: 0S-(xk, k)</4; 0(xk, k)-S</4. Выберем такие (.) kи k, k=1,...,n и зафикс-м. Для построенных интегр-х сумм верны нер-ва: I-(xk, k)</4; I-(xk, k)</4. Оценим величину S-s, S-s=[S-(xk, k)]+[(xk, k)-I]+[I-(xk, k)]+[(xk, k)-S],, S-s=S-sS-(xk, k)+(xk, k)-I+I-(xk, k)+(xk, k)-S</4+/4+/4+/4=, т. е. S-s<. Т. к. верно нер-во: sI*I*S, то 0I*-I*S-s<, т. е. 0I*-I*<. В силу произв-ти >0, получаем, что I*=I*.


Замечание. При док-ве необ-ти было показано, что если f(x) интегр-ма на [a,b], то для  >0  >0:  разб-я [a,b] с диам. d< для его сумм Д. S, s будет выполн-ся нер-во: S-s<. 2) Д. Пусть теперь I*=I*=A, AR. Покажем, что в этом случае  конечный предел для интегр-х сумм limd0 (xk,k)=A. Фикс-м произв-е >0; т. к. I*=limd0 S, то найдется 1>0 для  разб-я {xk} [a,b] с диам. d>1 будет верно: S-I*<, т. е. S-A< или S*=limd0 s, то  2>0: для  разб-я {xk} [a,b] с диам. d>2 будет верно: s-I*<, т. е. A-s< или A-1,2}, тогда для  разб-я {xk} [a,b] с диам. d> будет верно: A-k} - произв-е разб-е [a,b] с диам. d<, тогда для его сумм Д. S, s выполн-ся (*). Т. к. для  интегр-ой суммы (xk,k), отвеч-ей разб-ю {xk} выполн-ся нер-во: s(xk,k)S, то будет выполн-ся и нер-во: A-<(xk,k)k,k)-A<. Последнее нер-во выполн-ся для  интегр-ой суммы (xk,k), отвеч-ей произв-му разб-ю {xk} [a,b] с диам. d<, а это означает, что limd0 (xk,k) сущ-ет и равен A. чтд.

18. Т-ма о необ. и дост. усл. интегрир-ти огр-ой ф-ии (в терминах сумм Д.).

Т-ма2. Дтч огр-я на [a,b] ф-я f(x) была интегр-ма на этом от-ке, нидч для  >0 нашлось такое разб-е {xk} [a,b], для кот-ого выполн-ся S-s<. Док-во: 1) Н. была установлена при док-ве Т-мы1. Т. к. было показано, что если f(x) интегр-ма на [a,b], то для  >0  >0: для сумм Д. S, s  разб-я {xk} [a,b] с диам. d< будет выполн-ся: S-s<. 2) Д. Фикс-м произв-ое >0 и найдем разб-е {xk} [a,b] такое, что для его сумм Д. выполн-сь: S-s<. Т. к. верно нер-во: sI*I*S, то выполн-ся нер-во: 0I*-I*S-s<, 0I*-I*<. В силу произв-ти >0, получаем, что I*=I*, в силу Т-мы1 ф-я f(x) интегр-ма на [a,b].

20. Интегр-ть монотонной на от-ке ф-ии.

Ф-я f(x), монот-я на [a,b], интегр-ма на этом от-ке. Док-во: 1) Рассм-м случай возраст-ей ф-ии. Заметим, что, если f(x)=const на [a,b], то f(x) интегр-ма на [a,b]. Пусть теперь f(x)const на [a,b], тогда f(b)-f(a)>0. Фикс-м произв-ое >0 и =/f(b)-f(a). Фикс-м произв-ое разб-е {xk} [a,b] с диам. d<. Пусть Mk=sup[x(k-1),x(k)] f; mk=inf[x(k-1),x(k)] f, k=1,...,n. Для возр-щей ф-ии Mk=f(xk)=mk+1; k=1,..,n-1; Mn=f(b), m1=f(a),=> S-s=(k=1, k=n)(Mk-mk)xk< (k=1, k=n)(Mk-mk)={(M1-m1)+(M2-m2)+…+(Mn-mn)}={(Mn-m1)}= {(Mn-m1)}/(f(b)-f(a))=. Т. о. S-s<, в силу Т-мы2 f(x) интегр-ма на [a,b].

19. Интегр-ть непрерывной на от-ке ф-ии.

Ф-я, непр-я на [a,b], интегр-ма на этом от-ке. Док-во: 1) Т. к. f(x) непр-на на [a,b], то в силу т. Кантора эта ф-ия равн-но непр-на на [a,b]; фикс-м произв-ое >0 и найдем >0 такое, что для  2-х (.)  и  [a,b], удовл-их усл-ю -< выполн-сь f()-f()</(b-a). 2) Рассм-м теперь произв-е разб-е {xk} с диам. d<, тогда колебание ф-ии на каждом част-ом сег-те данного разб-я будет < чем /(b-a). Действ-но, в силу 2-ой т. Вейерштрасса, на каждом част0ом сег-те [xk-1,xk], k=1,...,n найдутся (.) и , k=1,...,n такие, что ТВГ ф-ии M=sup[x(k-1),x(k)] f=f(k), а ниж-я грань достиг-ся в m=inf[x(k-1),x(k)] f =f(k), k=1,...,n. Т. к. -xkd<, k=1,...,n, Mk-mk</(b-a),=> S-s=(k=1, k=n)(Mk-mk)xk<(k=1, k=n)xk/(b-a)=(b-a)/(b-a)=. В силу Т-мы2 f(x) интегр-ма на [a,b] чтд. Замечание. Усл-е S-s< можно записать в виде: (k=1, k=n)(Mk-mk)xk< или (k=1, k=n)kxk<, k=1,...,n.

21. Теорема об интегрируемости некот-х разрывных ф-й и следствие из нее. Опр-е кусочно-непрерывной ф-и и ее интегрируемоть. Пример интегримой ф-и, имеющей бесконечное число точек разрыва.

Будем оворить, что (.) х покрыта некот. интервалом, если (.) х  данному интервалу. Т-ма: Пусть ф-я f(х) определена и ограничена на отр. a, b. если для >0 можно указать конечное число интервалов, покрывающих все  разрыва этой ф-и и имеющих общую сумму длин <, чем , то ф-я f(х) интегрируема на отр. a,b. Док-во: пусть M=sup f,

m=inf f на a,b. Если M=m, то f(х) постоянна на a, b и поэтому интегрируема на нем. Поэтому, рассматриваем случай, когда M>m. Фиксир. произвольное >0 и покроем все точки разрыва ф-и f(х) конечным числом интервалов, общая сумма длин которых <, чем /2(M-m). Всегда можно считать, что никакие 2 из этих интервалов не -ся и не имеют общих граничных точек: a ][][][] b(это чертеж). Точки a,b, не -е этим интервалам образуют множество, сост. из конечного числа не -ся сегментов. Назовем эти сегменты дополнительными и занумеруем их некоторым образом. Ф-я f(х) непрерывна на этих сегментах, а потому и равномерно непрерывна на каждом из дополнительных сегментов. Поэтому для i-го сегмента  число i>0 такое, что для  2-х точек:  и ” этого сегмента, удовлетворяющих усл-ю -”<i, выпол-ся нер-во: f()-f(”)</2(b-a). Пусть =mini i . Произведем теперь измельчение каждого доп. сегмента, разбивая их на частичные отрезки т.о., чтобы диаметр каждого такого разбиения был<, чем . a ][][][] b.

Тогда колебания ф-и f(х) на каждом получившемся частичном отр. будет <, чем /2(b-a). Объединяя все разбиения дополнительных сегментов, с указанными интервалами с присоединенными к ним концами, получим некот. разбиение хк отрезка a,b. Пусть S, s – суммы Дарбу для этого разбиения. Запишем разность S-s в виде: S-s= {k=1, …, n}(Mк-mк)хк, S-s=  (Mк-mк)хк,+ ’’ (Mк-mк)хк. В сумму  отнесены слагаемые, отвечающие частичным сегментам, образованным из интервалов, покрывающих точки разрыва ф-и f(х). В сумму ’’ - отнесены все остальные слагаемые. Оценим эти суммы: 1) Оценим : Поскольку Mк-mк M-m, к, то  (Mк-mк)хк,   (M-m)хк= (M-m)  хк< (M-m) /2(M-m)= /2. 2) Оценим ’’: Имеем ’’ (Mк-mк)хк</2(b-a)’’ хк(/2(b-a))(b-a)= /2. Поэтому S-s< /2+/2=. В силу теоремы о необ. и дост. услоиии интегрируемости на отр. a,b ограниченной на этом отр.ф-и, ф-я f(х) интегрируема на отр. a,b. чтд. Def: Ф-я f(х), опред. на отр. a,b, наз.кусочно-непрерывной на нем, если  такое разб. хк этого отр., что ф-я f(х) непрерывна на каждом интервале (хк-1, хк), k=1, …, n и  конечный предел f(хк-1+0)-справа и f(хк-1-0)-слева, k=1, …, n. Следствие: Всякая ограниченная на отр. a,b ф-я, имеющая лишь конечное число точек разрыва на этом отр., в частности кусочно-непрерывна ф-я интегрируема на этом сегменте. Замечание: Пусть Ф-я f(х) интегрируема на сегменте [a,b], а g(х) совпадает с f(х) всюду на сегменте [a,b], кроме быть может конечного числа точек, тогда ф-я g(х) также интегрируема на сегменте на a,b и верно рав-во: ab g(х)dx= ab f(х)dx.

22.Теоремы об интегрируемости сложных ф-й.

Теорема1:Пусть ф-я f(х) интегрируема на [a,b] и пусть M и m-ее точные верхние и нижняя грани на этом отрезке. Пусть далее на отр. [m,M] задана ф-я g(f), удовлетворяющая усл-ю Липшица, т.е.  постоянная С>0 такая, что для t1,t2[m,M] выполняется нер-во: g(t2)-g(t1)  Сt2-t1, тогда сложая ф-я h(х)= g(f(х)) интегрируема на отр. [a,b]. Док-во: Заметим сначала, что ф-я h(х) ограничена на [a,b]. Фиксируем произвольное >0. Поскольку ф-я f(х) интегрируема на [a,b], найдется такое разбиение {хк}отр. [a,b], что для сумм Дарбу S, s ф-и f(х), отвечающих данному разбиению {хк}, будет верно S-s(/С), С- константа из усл-я теоремы. Рассмотрим произвольный сегмент [хк-1, хк] данного разбиения. Пусть Mк=sup f, mк=inf f, Mк*=sup h(х) и mк*= inf h(х), k=1,…,n на [хк-1, хк]. покажем, что Mк*-mк*С(Mк-mк), k=1,…,n, где С- постоянная из усл-я теоремы(постоянная Липшица). Для  x и y из [хк-1, хк] верно нер-во:

h(y)-h(х) h(y)-h(х)= g(f(y))- g(f(х)) Сf(y)-f(х) С(Mк-mк), т.е. h(y)-h(х) С(Mк-mк). Выберем теперь на [хк-1, хк] последовательности точек {yn}и {хn} такие, что h(yn)→Mк*,h(xn)→mк*, n→. переходя в неравенстве h(yn)-h(xn) С(Mк-mк) пределу при n→ получим, что Mк*-mк* С(Mк-mк). Поэтому выполняется неравенство: {k=1,…,n}(Mк*-mк*)хк С{k=1,…,n}(Mк-mк)хк(/С)С=. В силу теоремы о необ. и дост. услоиии интегрируемости на отр. a,b ограниченной на этом отр.ф-и, ф-я h(х) интегрируема на [a,b].чтд.

Липшецевой ф-ей явл., например,  дифференцируемая ф-я с ограниченной производной. Т-ма2:Пусть ф-я f(х) интегрируема на [a,b] и пусть M=sup f, m=inf f на этом отр. Пусть далее на [m,M] задана непрерывная ф-я g(t), тогда сложная h(х)= g(f(х)) также интегрируема на [a,b]. Следствие:Если ф-я f(х) интегрируема на некотором отр. [a,b], то для 0 ф-я f(х) также интегрируема на [a,b]. Это  из того, что g(t)=t непрерывна на всей числовой прямой.

23. Свойства определенныых интегралов (1-5).

1) Пусть ф-и f(x) и g(x) интегрируемы на a,b, тогда ф-и f(x)+g(x), f(x)-g(x) также интегрируемы на a,b и справедливо рав-во: ab (f(x)+(-)g(x))dx= ab f(x)dx+(-) ab g(x)dx. Док-во: заметим, что для  разбиения {хк} отр-ка a,b при  выборе промежуточных точек к на частичных сегментах справедливо рав-во: {k=1,…,n}(f(к)+(-)g(к))хк = {k=1,…,n}f(к)хк+(-){k=1,…,n}g(к)хк = 1+(-)2 (1). Поскольку f и g интегрируемы на a,b, то при диаметре d→0  конечный предел у кахдой из интегрируемых сумм 1 и 2, равный, соответсв., I1= ab f(x)dx и I2= ab g(x)dx. Поэтому, в силу линейных свойств предела ((1+(-)2)-(I1+(-)I2)1-I1+ 2-I2 /2+/2=) при d→0  конечный предел правой части (1), равный I1+(-)I2, поэтому при d→0  конечный предел и у левой части (1). Поэтому ф-и f(x)+g(x), f(x)-g(x) и интегрируемы на a,b. Переходя в (1) к пределу при d→0, получим требуемое рав-во: ab (f+(-)g)dx= ab f(x)dx+(-) ab g(x)dx. чтд. 2) Если ф-я f(x) интегрируема на a,b, то для  постоянной С, ф-я Cf(x) также интегрируема на a,b и верно рав-во ab Сf(x)dx=Сab f(x)dx. Док-во: заметим, что для  разбиения {хк} отр-ка a,b при  выборе промежуточных точек к, справедливо рав-во: {k=1,…,n}Сf(к)хк=С{k=1,…,n}f(к)хк (2). Переходя в (2) к пределу при d→0, в силу линейных свойств предела, получаем требуемое рав-во. Следствие: Пусть ф-и f1(x),…,fn(x) интегрируемы на a,b и С1,…,Сn – произвольные постоянные, тогда ф-и {k=1,…,n}Сifi(x) также интегрируемы на a,b и верно рав-во:

ab({k=1,…,n}Сifi(x))dx={k=1,…,n}Сiabfi(x)dx. 3) Если ф-и f(x) и g(x) интегрируемы на a,b, то их произведение также явл. интегрируемой ф-ей на этом отр. Это  из представления: f(x)g(x)= ((f(x)+g(x))2-(f(x)-g(x))2)/4, f+(-)g – интегрируемая ф-я, (f+(-)g)2 - интегрируемая ф-я,  ((f(x)+g(x))2-(f(x)-g(x))2)/4 тоже интегрируемая на a,b ф-я. Док-во: Фиксируем произв. >0. Поскольку f(x) интегрируема на a,b, то найдется разбиения {хк} сегмента a,b, для сумм Дарбу S, s которого будет выполняться: S-s. Обозначим через {хк} разбиение отр. a,b, получившееся из {хк} добавлением точек c и d (если они не входят в разбиение до этого). Пусть S, s – суммы Дарбу, отвечающие разбиению {хк}.Поскольку S S, s s, то S-s S-s . Обозначим через {хк’’} разбиение отр. c,d, образованное точками разбиения {хк}. Пусть S’’, s’’ – суммы Дарбу, отвечающие разбиению {хк’’} отр-ка c,d. Поскольку каждое неотрицательное слагаемое вида (Mк-mк)хк, содержащихся в выражении для S’’-s’’, содержатся и в выражении для S-s, тто верно нер-во: S’’-s’’ S-s . Поэтому f(x) интегрируема на c,d в силу теоремы о необ. и дост. услоиии интегрируемости ограниченной на отр. ф-и. чтд. 4) Положим по определению, что ab f(x)dx=0, для  f(x), определенной в точке a. Если a>b, то ab f(x)dx = -ab f(x)dx. (чертеж) f(2)(х21)= - f(2)(х12)>0  (ab)= -(ba).

5) Если ф-я f(x) интегрируема на a,c и c,b, то f(x) интегрируема и на a,b, причем справедливо рав-во ab f(x)dx =ac f(x)dx+cb f(x)dx (св-во аддитивности интеграла по данному отрезку).

Док-во: Фиксируем произв. >0. Поскольку f(x) интегрируема на каждом из отр-в a,c и c,b, найдутся разбиения {хк} и {хк’’} отрезков a,c и c,b, соответственно, такие, что будут выполняться нер-ва: S-s /2, S’’-s’’ /2, где S, s – суммы Дарбу для f(x), отвечающие разбиению {хк}отр. a,c, а S’’, s’’ – суммы Дарбу для f(x), отвечающие разбиению {хк’’} отр. c,b. Пусть {хк} - разбиение всего отр-ка a,b, образованное точками разбиений {хк} и {хк’’}. Пусть S и s – суммы Дарбу для {хк}, тогда S-s= S-s+S’’-s’’ /2+/2= , т.е. S-s . Поэтому f(x) интегрируема на a,b, в силу теоремы о необ. и дост. услоиии интегрируемости ограниченной на отр. ф-и. Пусть теперь {хк} – произвольное разбиение отр-ка a,b, содержащее точку с. При  выборе промежуточных точек к справедливо рав-во: {k=1,…,n}f(к)хк= f(к)хк+’’f(к)хк (*). В сумму  относим слагаемые, отвечающие частичным сегментам отр. a,c, а в ’’ – отр-ку c,b. Переходя в рав-ве (*) к пределу при d→0, получим соотношение:

ab f(x)dx =ac f(x)dx+cb f(x)dx (**). Замечание: Формула (**) справедлива и в случае произвольного взаимного распределения точек a,b и c для  ф-и f(x), интегрируемой в каждом из 2-х меньших промежутков, составляющих больший, не исключается и случай совпадения точек.

27. Вывод основной ф-лы интегр-ого вычисл-я. понятие обобщенной первооб-й. Вывод ф-лы Ньютона – Лейб-ца для обобщ-ой первооб-й.

Пусть ф-я f(x) непр-на на a,b, (х)=aхf(t)dt–первооб-ая для f(x) на a,b. Пусть F(x)–произв-ая первооб-ая для f(x) на a,b, тогда F(x)=(х)+С, где С–постоянная. Полагая x=a, получим: F(a)=(a)(=0)+С=С, (х)=aхf(t)dt=F(x)-F(a). Полагая x=b, получим: abf(t)dt=F(b)-F(a)=F(t)ab-двойная подстановка от a до b. Подстановка abf(x)dx=F(b)-F(a) (1) называется подстановкой Ньютона–Лейбнинца или основной формулой интегр-ого вычисления. Докажем (1) в более общем случае: Пусть на a,b заданы непрер-ые ф-и f(x) и F(x). Пусть далее на всем отр. a,b, за исключением быть может конечного числа точек 1,…,m, выполняется соотношение: F(x)=f(x), тогда справедлива формула (1). Ф-я F(x) наз. обобщенной первооб-ой для f(x) на a,b. Покажем: Пусть {хк}, к=1,…,n, -произв-ое разбиение отр. a,b, содержащее все точки 1,…,m. Запишем разность F(b)-F(a) через сумму: F(b)-F(a)={k=1,…,n}(F(xk)-F(xk-1)), x0=а, xn=b (2). Применив к каждой разности, стоящей в сумме в (2), формулу приращения Лагранжа, получим, что

F(xk)-F(xk-1)=F(k)xk=f(k)xk, k(xk-1,xk), к=1,…,n. F(b)-F(a)={k=1,…,n}f(k)xk=(xk,k) (3). Т. к. f(x) интегр-ма на a,b, то не имеет значение, какие брать разб-я {хк} и как выбирать промеж-ые точки, в  случае lim(d→0) =abf(x)dx. Переходя к пределу при d→0 в рав-ве (3), получим ф-лу: abf(x)dx=F(b)-F(a).




Похожие:

Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во iconВариант Найти наименьшее и наибольшее значение функции y = X + cos2 X на отрезке [0; ]. 2
Число 12 представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на удвоенное другое слагаемое...
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во iconФедор Михайлович Достоевский
Хоть кому приятная сумма! Желал бы я видеть теперь человека, для которого эта сумма была бы ничтожною суммою? Такая сумма может далеко...
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во iconА за решеткой детские глаза…
Тюремные дети никогда не видели настоящих машин и животных. Колючая проволока, конвой и высокие бетонные заборы для них привычнее....
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во iconЗадачи второго тура для 8 класса При каких натуральных
Три мальчика – Игорь, Дима и Юра – купили вместе один мяч. Каждый из них дал денег не больше половины той суммы, которую внесли двое...
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во iconЗадание по теме оператор Цикл while…wend
Задание Составить программу суммирования всех натуральных чисел (начиная с 1) до момента, пока сумма не превысит 1000. На экран выводится...
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во iconV. электричество
Ясно, что сумма сил действующих со стороны различных частей баранки на шарик, помещенный в её центре будет равна нулю
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во iconТема автозаполнение различными форматами
Задание 2 Создадим таблицу по образцу. Заполнить ячейки: Общее количество, стоимость одного комплекта, общая сумма
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во iconТема автозаполнение различными форматами
Задание 2 Создадим таблицу по образцу. Заполнить ячейки: Общее количество, стоимость одного комплекта, общая сумма
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во iconДокументы
1. /ГОСТ Р 51628-2000 ЩР для произв. и общ. зданий. Общие ТУ.doc
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во iconВ. В. Кулаков Заместитель прокурора Верх-Исетского района г. Екатеринбурга
Сообщаю, что прокуратурой Верх-Исетского района г. Екатеринбурга рассмотрено Ваше сообщение о предоставлении заведомо ложных сведений...
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во iconЗадачи третьего тура для 6 класса
В ящике 10 красных шаров и 10 белых. Сколько шаров надо вынуть из ящика наугад, чтобы среди них были два шара одного цвета?
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов