24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами icon

24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами



Название24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами
Дата конвертации22.07.2012
Размер234.85 Kb.
ТипДокументы
1. /Матан/ОбщаГ 2 (01-14,42).doc
2. /Матан/ОбщаГ 2 (15-23,27).doc
3. /Матан/ОбщаГ 2 (24-26,28-31,33,34).doc
4. /Матан/ОбщаГ 2 (32,37,39,40,51-55).doc
5. /Матан/ОбщаГ 2 (35,36,38,41, 43-50).doc
6. /Матан/ОбщаГ 2 (56-58, содерж-е).doc
1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во
24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами
Опр.: фигур. F, орг граф функ.: заданн на [a;b] непрер и неотр f(X), x=a, x=b (a>b) и y=0, наз криволин трап. Теор
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле
56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга

24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами.

1) Пусть ф-я f(x) интегрируема по a,b и пусть для xa,b верно нер-во: f(x) 0, тогда ab f(x)dx 0. Заметим, что для  разбиения {хк} отр-ка a,b при  выборе промежуточных точек к верно нерав-во: (хк,к)0. Покажем, что lim(d→0)(хк,к) =I 0. Предположим противное, т.е., что I<0. Пусть =I и найдем >0 такое, чтобы для  разбиения {хк} отр-ка a,b с диаметром d<, при  выборе промежуточных точек к выполнялось нерав-во: -I<=I, 2) Пусть на a,b заданы интегрируемые ф-и f(x) и g(x) и пусть для xa,b верно: g(x)f(x). Тогда ab g(x)dx ab f(x)dx. Док-во: Рассмотрим на a,b ф-ю h(x)= g(x)-f(x), xa,b. Ф-я h(x) интегрируема по a,b, причем h(x) 0, xa,b.

В силу уже доказанного, ab h(x)dx=ab (g(x)-f(x))dx0= ab g(x)dx-ab f(x)dx0, т.е. ab g(x)dx ab f(x)dx, чтд. 3) Пусть ф-я f(x) непрерывна и неотрицательна на a,b. Если хотя бы водной точке x0a,b выполняется усл-е: f(x0)>0, то >0 такое, что ab f(x)dx >0. Док-во: Пусть f(x0)=>0. В силу непрерывности f(x) в точке x0 найдется окрестность U(x0) точки x0 такая, что xU(x0)a,b, выполняется: f(x) /2. [c,d]U(x0)a,b. Тогда ab f(x)dx=aс f(x)dx + сd f(x)dx + db f(x)dx сd f(x)dxсd /2dx=/2(d-c)=>0, чтд. 4) Если ф-я f(x) интегрируема по a,b, то f(x) также интегрируема на a,b и верно нер-во: ab f(x)dx ab f(x)dx. Док-во: Заметим, что f(x) интегрируема по a,b, т.к.

g(t)=tнепрерывна на R. Заметим также, что xa,b верно:- f(x) f(x) f(x). Интегрируя данное нер-во по a,b, получим: -ab f  dx=-B ab fdx=A ab f  dx, т.е. A B. Из данного двойного нер-ва  нер-во: ab fdx  ab f  dx, чтд

25. Т-ма о среднем. Частный случай теоремы о среднем.

Т-ма: Пусть ф-и f(x) и g(x) интегр-мы по a,b и пусть g(x) неотриц-ая (неполож-ая) на этом отр-ке. Пусть далее M=sup f, m=inf f на a,b. Тогда найдется число , удовлетвор-е нер-ву m    M и такое, что будет справедлива ф-ла: ab f(x)g(x)dx = ab g(x)dx (1). При дополн-ом предложении непр-ти f(x) на a,b можно утверждать, что найдется точка a,b такая, что будет верно нер-во: ab f(x)g(x)dx = f()ab g(x)dx (2). Док-во: Пусть g(x)0 xa,b. Очевидно, что xa,b верно нер-во: m  f(x)  M (3). Умножая (3) на g(x), получим: mg(x)  f(x)g(x)  Mg(x) (4). Интегр-уя (4) по a,b, получим соотношение: mab g(x)dx  ab f(x)g(x)dx  Mab g(x)dx (5). Рассм-м возможные случаи: 1) Пусть ab g(x)dx=0. В этом случае ab f(x)g(x)dx=0 и соотношение (1) имеет вид: 0=0, кот. верно для R, в том числе и [m,M]. 2)ab g(x)dx>0. Разделив (5) на ab g(x)dx, получим: m  (ab f(x)g(x)dx)/ab g(x)dx  M. Полагая теперь =(ab f(x)g(x)dx)/ab g(x)dx, и учитывая, что m    M, получаем требуемое соотношение (1). Если дополн-но положить, что f(x) непр-на на a,b, то ф-я f(x) будет прин-ть  значение пром-ка [m,M]. поэтому найдется точка a,b такая, что f()= и потому верно: abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx. Часный случай: g(x)1. Пусть f(x) интегр-ма по a,b, и M=sup f, m=inf f на a,b, тогда найдется , m   M, что верно: abf(x)dx=abdx=(b-a)M. Если дополн-но предположить, что f(x) непрерывна на a,b, то найдется точка a,b такая, что abf(x)dx = f()(b-a).

28. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям.

Пусть на a,b задана непр-ая ф-я f(x) и пусть требуется вычислить abf(x)dx. Положим x=(t), и подченим ф-ю (t) усл-ям: 1) (t) определена и непр-на на некот-ом отр. [,], и ее значения не выходят за пределы отрезка a,b, т.е. для t[,] верно нер-во: a(t) b. 2) ()=a, ()=b. 3) (t) имеет производную (t) на [,], тогда справедлива ф-ла: abf(x)dx= f((t))(t)dt. Док-во: Т. к. ф-и f(x) и f((t))(t) непр-ны, то  неопр-ый интеграл f(x)dx и f((t))(t)dt. Пусть F(x)-первооб-ая для f(x) на a,b, т.е. F(x)=f(x), xa,b. Тогда ф-я F((t)) будет первооб-ой для f((t))(t) на [,], т.е. F((t))=F((t))(t)=f((t))(t). Используя ф-лу Ньютона-Лейбнинца, получим abf(x)dx=F(b)-F(a).  f((t))(t)dt=F(())-F(())=F(b)-F(a). Замечание: Может случиться, что ф-я f(x) определена и непр-на на some отр. [A,B], кот. содержит отрезок a,b, т.е. a,b [A,B].В этом случае для ф-и (t) достаточно потребовать, чтобы значения не выходили за пределы [A,B], т.е. t[,]: A(t)B. Формула интегр-ия по частям. Пусть ф-и u(x) и v(x) имеют непр-ые производные на a,b. abu(x)v(x)dx= =u(x)v(x)ab-abv(x)u(x)dx (1). Док-во: Заметим, что ф-я u(x)v(x) явл. Первооб-ой: (u(x)v(x))=v(x)u(x)-u(x)v(x). Поэтому ab(u(x)v(x)+u(x)v(x))dx=u(x)v(x)ab. Отсюда получаем ф-лу (1). Ее можно также записать в виде: abudv = uvab-abvdu.

26. Определенный интеграл как ф-я верхнего предела. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.

Пусть ф-я f(x) интегрируема по a,b. Тогда, в силу уже доказанного, f(x) будет интегрируема по  отр-ку вида [a,x], где a’ b, Введем в рассмотрение на a,b ф-ю (х)=aхf(t)dt, D(f)=a,b. Ф-я (х) называется интегралом с переменным верхним пределом. Предложение1: Ф-я (х) непрерывна в каждой точке отр. a,b. Фиксируем произвольную точку x0 из a,b. Пусть h- произвольное число такое, что x0+ha,b. Оценим величину (x0+h)-(x0)=abf(t)dt-ax0f(t)dt=ax0f(t)dt+x0x0+hf(t)dt-ax0f(t)dt=x0x0+hf(t)dt. Ф-я f(x) интегрируема по a,b, поэтому она ограничена на отрезке a,b. А потому она ограничена и на отрезке с концами x0 и x0+h. Очевидно, что m  m M M. В силу формулы среднего, найдется число , удовлетворяющее нер-ву: m   M, и такое, что x0x0+hf(t)dt =(x0+h-x0)= h. Поэтому, (x0+h)-(x0)= h =  h  max{m, M}h. Поэтому lim(h→0)((x0+h)-(x0))=0, т.е. (х) непрерывна в точки x0. Предложение2: Пусть ф-я f(x) интегрируема по a,b и пусть она непрерывна в точке x0a,b. Тогда f(x) дифференцируема в точке x0, причем (x0)=f(x0). Док-во: При док-ве непрерывности было установлено соотношение: (x0+h)-(x0)= h, где m   M, а M и m – точные верхняя и нижняя грани f(x) на отр. с концами x0 и x0+h. Считая, что h0, получаем, что (x0)/h=((x0+h)-(x0))/h= (1). Фиксируем произв. >0, поскольку f(x) непрерывна в точке x0, то найдется >0 такое, что для xa,b, удовлетворяющего нер-ву x-x0 , будет верно: f(x)-f(x0) /2. Возьмем теперь произвольное h такое, что 0h, x0+ha,b.

Тогда x из отр. с концами x0 и x0+h будет верно: f(x)-f(x0) /2, а потому и нер-во: f(x)-/2 f(x) f(x0)+/2 (2). Из (2) , что f(x0)-/2 m M f(x0)+/2 (3). Из (3) получаем, что f(x0)-/2   f(x0)+/2, т.е. -f(x0)/2 (4). Из соотношений (1) и (4) , что (x0)/h-f(x0). последнее нер-во выполняется для h, 0h и x0+ha,b. Поэтому  конечный предел lim(h→0)(x0)/h=f(x0). Поэтому (x0)=f(x0), чтд. Предположим теперь, что f(x) непрерывна на a,b xa,b, тогда (x)=f(x), т.е. (х)=aхf(t)dt – явл. первообразной для f(x). Т.о.  непрерывная на отр. a,b ф-я имеет первообразную. Одной из таких первообразных явл. ф-я (х). Заметим, что в интеграле, определяющем ф-ю (х) в качестве нижнего предела интегрирования, можно было бы взять  точку pa,b, т.е. рассматривать ф-ю (х)=pхf(t)dt, при этом все свойства (х) сохраняютя. Пусть теперь f(x) непрерывна на (a,b). Фиксируем произвольную точку p(a,b), тогда ф-я (х)=pхf(t)dt – будет первообразной для f(x) на (a,b). Пусть f(x) непрерывна на a,b, а (х) дифференцируема на отр. [c,d] и пусть x[c,d] выполняется условие: a (х)  b. Рассмотрим ф-ю F(x)=((х))=a(х)f(t)dt, x[c,d]. Тогда F(x)=((х))(х)= f((х))(х), x[c,d]. Можно рассмотреть и интегралы с переменным нижним пределом: (х)=xbf(t)dt(=-xbf(t)). В этом случае, (x)=-f(x). При прежних условиях на (х), ф-я F(x)=b(х) f(t)dt, x[c,d] дифференцируема и F(x)= -f((х))(х), x[c,d]. Можно рассмотреть и ф-ю F(x)= (х)(х)f(t)dt, a (х), (х)  b, x[c,d]. можно записать, что F(x)=a(х) f(t)dt+)=a(х)f(t)dt. В этом случае, когда  и  дифференцируемы на [c,d] и выполняется соотношение: F(x)= f((х))(х)-f((х))(х).

30. Длина дуги кривой, параметризованной с помощью непр-но диффер-ых ф-й. Ф-ла для длиы дуги простран-ой кривой. Дифференциал дуги.

Т-ма. Пусть x=(t) и y=(t) непр-ые ф-и и имеют непр-ые 1-е производные на [,], тогда L, опред. x(t) и y(t), t, спрямляема и длина ее дуги м/б найдена по ф-ле: L =(((t))2+((t))2)1/2dt (1). Док-во. 1) Док-м, что L спрямляема. Пусть T={ti}-произв-ое разб-е отр [,] и пусть =(T) есть соотв. ломаная, впис-ая в кривую L. Тогда  = {i=1,…,n}(((ti)-(ti-1))2+((ti)-(ti-1))2)1/2. Применив к ф-ям (t) и (t) на  из част-ых сег-ов [ti-1,ti],i=1,…,n, ф-лу конечного приращ-ия Лагранжа, получим, что на  интервале (ti-1,ti)  точки i и i, i=1,…,n,такие, что (ti)-(ti-1)=(i)ti, (ti)-(ti-1)=(i)ti, ti=ti-ti-1, i=1,…,n. Поэтому ={i=1,…,n}(((i))2+((i))2)1/2t (2). Ф-и (t)и (t) непр-ны на [,] и потому огр-ны на нем, т.е.  M0 постоянная такая, что (t)M, (t)M t[,]. Поэтому из (2) , что  ={i=1,…,n}(M2+M2)1/2t =21/2M(-), т.е.  =21/2M(-). Отсюда  спрямляемость кривой L. 2) Док-м теперь (1). Покажем сначала, что >0 >0 такое, что T={ti}отр. [,], d<, ломаной =(T), впис. в L и числа I=(((t))2+((t))2)1/2dt верно нер-во:  -I < /2. Для док-ва потреб-ся нер-во: (a2+c2)1/2-(a2+b2)1/2 c-b, a,b,cR. Если c=b=0, то нер-во очевидно. Пусть c+b>0, тогда (a2+c2)1/2-(a2+b2)1/2= c2-b2/((a2+c2)1/2-(a2+b2)1/2)(c-bc+b)/ (c+b) c-b(c+b)/ (c+b)=c-b. Пусть теперь T={ti}-произв-ое разб-е отр [,] и =T соотв. ломаная, впис. в кривую L. Представив ее длину в виде (2) и пусть (ti,i)-интегр-ая сумма для I,отв. данному разб-ию T сег-та [,] с промеж-ми точками I, взятыми из (2),  -(ti,i)={i=1,…,n}((((i))2+((i))2)1/2-((i))2+((i))2)1/2)t {i=1,…,n}=(((i))2+((i))2)1/2-((i))2+((i))2)1/2 t{i=1,…,n}(i)-(i)ti{i=1,…,n}(Mi-mi)ti=S-s, где Mi и mi-точн. верх-я и ниж-я грани для (t) на [ti-1,ti],i=1,…,n. А S,s-суммы Дарбу для (t), отвечающие разбиению T={ti}отр. [,],

(((t))2+((t))2)1/2 и (t) непр-ны и имеют интегралы на [,]. Из опр-ия интеграла , что будут выполнятся одновременно нер-ва: 1) S-s< /4; 2) -I</4. Фикс-м >0 и найдем соотв-е >0 такое, чтобы для T={ti}отр. [,], d< одновременно выпол-сь усл-я 1), 2). Пусть теперь T={ti}-произв-ое разб-е отр [,] с диам. d< и пусть =(T) есть соотв. ломаная, впис-ая в кривую L. Представив ее длину в виде(2) и взяв интегр-ую сумму (ti,i) для интеграла I с промеж-ми точками i из формулы (2), получим:  -(ti,i)+(ti,i)-I  -+-I</4+/4=/2. Данное нер-во верно  ломаной , впис. в L и отвеч-ей произв-му разб-ю T сег-та [,] с d<. Покажем теперь, что среди таких ломаных  найдется такая ломаная , что 0 L -< /2. По опр-ю длины дуги кривой L для выбр-ого >0 найдется разб-е T* сег-та [,] такое, что для ломанной *, отв. соотв. разб-ю и впис-ой в L, будет верно нер-во: 0 L -*< /2. Произведем теперь (если это нужно) измельчение разб-я T* т.о., чтобы диам. новых разб-й T удовлетворял нер-ву: d<. Пусть , соотв. разбиению T, ломаная, впис. в кривую L. В силу леммы о длинах 2-х ломаных, *  L . Поэтому 0 L - L -*< /2, т.е. 0 L -< /2. Заметим, что ломаная  удовлетворяет и нер-ву: -I< /2. Поэтому L-I=(L-)+(L-*) L-+-I< /2+/2 = ,т.о. L-I<, т.е. (т.к. L и I-числа), то L=I. Замечание. Кривая L будет спрямляемой и в том случае, когда (t) и (t) непр-ы на [,] и имеют ограниченные производные (t) и (t)на этом отр., то при этом сохран-ся ф-ла (1). Рассм-м случай пространственной кривой. Пусть L задается ур-еми: x=(t), y=(t), z=(t) и , , z непр-ны, диффер-мы на [,], тогда кривая L спрямляема и справедлива ф-ла: L = (((t))2+((t))2+((t))2)1/2dt. (док-во анал-но плоскому случаю). Дифференциал дуги кривой. Пусть кривая L задана ур-ми: x=(t), y=(t),  t . Тогда для перем-ой дуги имеет место формула: L(t)= t((())2+(())2)1/2d. Отсюда, (dL)2=(d)2+(d)2=dx2+dy2 т.е. (dL)2=dx2+dy2 (т. Пифагора для дуги). Частный случай: пусть L-гр-к ф-и y=f(x) непр-на, диффер-ма на [a,b], x=x, y=f(x). В случае пространств-ой кривой верна ф-ла: (dL)2=dx2+dy2+dz2.

29. Опр-ие простой плоской кривой и простой замк-ой кривой. Опр-ие параметризуемой кривой. Простр-ые кривые. Опр-ие спрямляемой кривой и длины дуги кр-ой. Лемма. Св-ва спрямл-х кривых.

Пусть Oxy коорд-ая пл-ть, т.е. мн-во всех упоряд-ых пар (x,y) чисел x и y. Точки этой пл-ти будем обозн-ть символами M(x,y). Числа x, y наз-ся коорд-ми точки M(x,y). Пусть на отр. [,] заданы 2 непр-ые ф-и x=(t) и y=(t). Перем-ую t в дальнейшем будем наз-ть параметром. Def. Мн-во {M} всех точек M=M(x,y), коорд-ты x и y кот-ых определяются уравн-ми: x=(t) и y=(t) (1) при t[,], наз. простой плоской кривой, если различным значениям парам-ра t[,] отвечают различные точки из [,], кривую будем обозн-ть L. При этом говорят, что ур-е (1) определяет простую кривую L или, что L параметризуется ур-ем (1). Каждая точка мн-ва {M} наз. точкой этой кривой. При этом точки, отвеч-ие граничным зн-ям , параметра t, наз. граничными точакми простой кривой. Замечание: одна и та же кривая L может быть параметризована различ. сп-ми. Целесообразно рассм-ть лишь те параметризации кривой, кот. получены из данной путем представления t в виде непр-ой строго монотонной ф-и нового параметра S. Def. Пусть L1 и L2– две простые кривые, причем граничные точки кривой L1 совпадают с граничными точками кривой L2, а  неграничные – различны. Кривая L, получ-ая объединением кривых L1 и L2 наз. простой замкнутой кривой (простым контуром). Введем теперь понятие параметризуемой кривой. В дальнейшем будем считать, что мн-во {t} представляет собой либо сегмент, либо полусегмент, либо интервал, либо числовую прямую, либо открытую или замкнутую полупрямую.

Будем говорить, что конечная или бесконечная замкнутая система сегментов {[ti-1,ti]} разбивает мн-во {t}, если, во-первых, объед-ие всех этих сегментов пред-ет собой все мн-во {t}, и , во-вторых, общими точками  2-х различ-х сегментов м/б только концы. Пусть на мн-ве {t} заданы 2 непр-ые ф-и (t) и (t). Def. Будем говорить, что x=(t) и y=(t) (*) задают параметризованную кривую L , если  такая система сегментов {[ti-1,ti]}, кот. разбивает мн-во {t}, ур-е (*) определяет простую кривую. Между точками кривой можно установить отношение порядка. Пусть точка M1 соотв-ет значению параметра t1, а точка M2-t2. Тогда , если t1<t2, то говорят, что M1 предшествует M2 или что M2  за M1, M1< M2. Замечание: Кривую L можно различно параметр-ть. Мы будем рассм-ть всевозможные параметр-ии L , кот. получ-ся из  данной путем подстановки параметра в виде непр-ой строго возраст-ей ф-и параметра S, т.е. t = t(S). Только для таких параметр-ий сохраняется порядок следования кривой. Пространственные кривые. Для задания простран-ых кривых требуется: x=(t), y=(t), z=(t),   t  . Понятие простой простран-ой кривой и параметр-ой кривой вводятся аналогично плоскому случаю. Спрямляемые кривые. Спрямл-я кривая задается урав-ми x=at+b, y=ct+d, a, b, c, dR, a2+c20, tR и наз. пр-ой. Пусть заданы M1(x1,y1) и M2(x2,y2). Коэф-ты a, b, c, d всегда можно выбрать так , что прямая будет проходить через M1 и M2. Участок прямой между M1 и M2 наз. отрезком, соединяющим эти точки. Под ломаной будем понимать объединение конечного числа отрезков прямых др. с другом (эти отрезки наз. звеньями ломаной). Пусть плоская кривая L параметр-на ур-ми x=(t), y=(t),  t  и пусть T={ti} произв-ое разб-е отр. [,] точками =t01<…n=.

Обозначим через M0,M1,…,Mn, соотв., точки кривой L, т.е. точки с коорд-ми M0((t0),(t0)), M1((t1),(t1)),…, Mn((tn),(tn)). Возникающую при этом ломаную =(T)=M0M1…Mn будем наз. ломанной, вписанной в L, отвеч-ей сегменту [,]. i -длина звена, i= Mi-Mi, длина этой ломанной = (((ti)-(ti-1))2+((ti)-(ti-1))2)1/2=={i=1,…,n}i. Def. Кривая L наз. Спрям-ой, если мн-во { } длин, впис-х в кривую L лом-х =(T), отвеч-им всевозм-ым разб-ям T отр. [,], огр-но. При этом ТВГ мн-ва { } наз. длиной дуги кривой L и обозн-ся L , т.о. L =sup(на T) {T }, L >0. Лемма. Пусть 0 -длина ломаной, впис-ной в L и отвеч-ей разб-ию T0 сегмента [,], а длина 1 - длина вписанной в L и отвеч-ей разбиению T1, получ. из T0 добавл-ем одной или some new точек, тогда 0  1 . Док-во: Пусть разб-ие T1 получ. из T0 добавл-ем одной new точки t и пусть N=M((t),(t)). Заметим, что 1 отличается от 0 только тем, что some звено MкMк+1 в 0 заменяется на 2 звена MкN и NMк+1 в 1. В силу нер-ва: MкMк+1  MкN+NMк+1, поэтому 0  1 . Св-ва спрям-х прямых: 1) Если кривая L спрямляема, то L независит от способа параметр-ии ее кривой. 2) Если спрямл-ая L разбита с помощью конечного числа точек M0,M1,…,Mn на конечное число кривых Li, то  из этих кривых спрямляема и сумма длин всех кривых Li равна длине кривой L. 3) Пусть L задается урав-ми x=(t) и y=(t), t. Обоз-им через L(t) длину дуги участка Lt кривой L, точки кот. опред. всеми знач-ми параметра и сегмента [,t]. Ф-я L(t) явл. строго возраст-ей и непр-ой ф-ей параметра t. Эту ф-ю наз-ют переменной дугой на кривой L. 4) Переменная дуга L=L(t) м/б выбрана в качестве параметра. Этот параметр наз. натуральным. Спрямляемость и длина дуги простран-ой кривой опр. аналогично, св-ва 1)-4) сохран-ся.

31. Понятие верхней и нижней площадей. Опр-ие квадрируемой фигуры. Критерий.

Пусть F – произв. фигур. Пусть {P} – мн-во всевозм. фигур, содерж-ся в F, а {Q} – мн-во всевозм. фигур содерж-их F. Пусть {(P)} и {(Q)} соотв. мн-ва полщ. они огр. соотв. сверх. и сниз. Опр.: Нижн. (верх.) площ. фигур. F наз. *=*(F)=sup(P) (*=*(F)=inf(Q)). Зам.: если в F нельзя впис. ни одну фигур., то по опр. полаг. *=0. Всегда **. Опр.: плоск. фиг. F наз. квадр. фигур. (или имеющ. площ.), если =(F)=*=*. Зам.: понятие площ. для многоуг. фигур совпад. со стар. Теор. (крит. квадр-ти): для квадр-ти плоск. фигур. F необх. и дост., чтобы  >0  многоуг. фигур. P и Q: PFQ и (Q)-(P)<. Док-во: Необх.: пусть F квадр-ма, тогда =*=*. Фикс. произв. >0 и по опр. точн. гран. числ. мн-в  многоуг. фигур. P и Q: PFQ и *-/2(P) *, *(Q)*+/2. Из этих соотн. след. -/2<(Q) (P)<+/2, (Q)-(P)< +/2-+/2=. Дост.: пусть  >0  многоуг. фигур. P и Q: PFQ и (Q)-(P)<. Т. к. (P)**(Q), то 0*-*(Q)-(P)< и всилу произ. >0 *=* => F – квадр. Зам.: в формулир. теор. вместо многуг. фигур P и Q могут быть взяты произв. квадр. фигур P и Q, удовл. усл. теор.


33. Пусть F – произв. тело. Пусть {P} – мн-во всевозм. тел, содерж-ся в F, а {Q} – мн-во всевозм. тел содерж-их F. Пусть {(P)} и {(Q)} соотв. мн-ва объёмов. они огр. соотв. сверх. и сниз. Опр.: Ниж. (верх.) объёмом тела F наз. *=*(F)=sup(P)(*=*(F)=inf(Q)). Зам.: если в F не содерж. ни одно тело, то по опр. полаг. *=0. Всегда **. Опр.: тело наз. кубир-ым, если *=*. Зам.: понятие объёма для многоуг. тел совпад. со стар. Теор. (крит. кубир-ти): для кубир-ти тела необх. и дост.  >0  многоуг. тел P и Q: PFQ и (Q)-(P)<. Док-во: аналог. плоск. случаю (бил. №31 прим. ред. ;-)). Зам.: в формулир. теор. вместо многуг. тел P и Q могут быть взяты произв. кубир. тела P и Q, удовл. усл. теор. Классы кубир. тел: Цилидр. тело – тело, огр. цилидр. поверх. с образующ., плоск. нек. оси или двумя плоск., перепнд. нек. оси (расстоян. между этими плоск. наз высот. цилидр. тела; плоск. фигур., образ. пресеч. этих плоск. и цилиндр. пов., наз. основ. цилиндр. тела). Теор.: если основ. цилиндр. тела F высот. h явл. квадр. фигура G, то F - кубир. и (F)=(G)h. Док-во.: фикс. произ. >0, и т. к. G – квадр., то  многоуг фигур. P и Q: PGQ и (Q)-(P)</h. Пусть FP и FQ - многоуг. цилиндр. тела соотв. с осн. P и Q и высот. h.

Очевид., что FPFFQ, причём ( FP)-( FQ)=(( P)-(Q))h</hh<, т. о. F – кубир. В силу монот. объёма (P)h( FP)(F)( FQ) (Q)h, (P)h(F)(Q)h, (P)h(G)h(Q)h, (F)-(G)h((Q)-(P))h. Т. к. прав. часть нер-ва можно сделать как угодно мал., то (F)=(G)h. Ступенчат. тело – объед. конечн. числ. цилиндр. тел., располож. так, что ниж. осн. кажд. предыдущ. из этих тел наход. в одной плоск. с верх. осн. послед. Тело вращен. – тело, образ. вращ. вокруг нек. оси криволин. трапец. Теор.: тело вращ. F, образ. вращ. криволин. трапец., образ. с помощ. функ. f(x), x=a, x=b, y=0, вокр. оси Ox кубир. и (F)=abf2(x)dx. Док-во: пусть {xi}- произв. разб. отр. [a;b], mi=inff(x) и Mi=supf(x) по кажд. сегм. [xi-1;xi]. Для кажд. i постр. прямоуг. Pi и Qi с высот. соотв mi и Mi и основ. [xi-1;xi]. Пусть P=Pi и Q=Qi от i=1 до i=n. Пусть FP и FQ – ступенчат. тела образ. вращ. P и Q. Очевид., что FPFFQ и FP и FQ – кубир., причём (FP)=(Fi)= mixi и (FQ)=(Fi)= Mixi от i=1 до i=n. Эти соотнош. соотв. ниж. и верх. -ы Дарбу для f2(x), отв. данному разб. {xi} отр. [a;b]. Т. к. f2(x) -ма по [a;b], то  >0  разб. {xi} отр. [a;b]: S-s<, т. е. (Q)-(P)<, => F – кубир-ма. В силу монот. объёма ( FP)(F)( FQ),т. е.  разб. {xi} отр. [a;b]: m(F)M. Переход. к lim-ам при d0, получ. I*(F)I*, а т. к. f2(x) -ма на [a;b], I= I*=I*, т. о. (F)=I= abf2(x)dx.

34. Осн-е понятия теории числ-х рядов. Их св-ва. Кр-ий Коши сх-ти числ-о ряда.

Пусть задан. числ. послед. {an}. Опр.: формал. -а членов послед. a1+...+an+... наз. числ. рядом, обознач. (A)=an от n=1 до n=. Опр.: An=ak от k=1 до k=n наз. частичн. -ой ряда (A). Опр.: кон. или бескон. lim при n частичн. -ы An ряда (A) наз. -ой ряда. Если ряд имеет конечн. -у, то он наз. сход., если же -а ряда не явл. конечной или не , то ряд наз. расход. Опр.: остат. ряда (A) наз. разн. его и его частич. -ы An, т. е. (A) An=an=(An) от k=n+1 до k=. Опр.: если остаток (An) ряда (A) сход. после m-ого члена, то его -а обозн. rm. Свойства рядов: 1). Если сход. ряд (A), то и сход. любой из его остат. Док-во: пусть ряд (A) сход., пусть (Аn) – нек. его остат. Фикс. произв. mN, тогда (Аn)= (Am+n)-Am. При n (Am+n)A, поэтому при n прав. часть равен. имеет конечн. lim =-ый A-Am, а потому и лев. часть рав. так же имеет конечн. lim при n, при этом Аn=A-Am 2). Если сход. какой-либо из остат. ряда (А), то ряд (A) тоже сход. Док-во: пусть (Аn) – нек. остат. ряда (A), пусть (Аn) сход.

Фикс. произв. mN: m>n, тогда (Аn)=(Am+n)-Am, пусть теперь k=m+n, тогда (Аk-m)=(Ak)-Am, (Ak)= (Аk-m)+Аm. При k прав. часть равен. имеет конечн. lim, =-ый A+Am, поэтому при k лев. часть рав. так же имеет конечн. lim, при этом А=An+Am. 3). Если ряд (A) сход., то rm0, n. Док-во: limrm=lim(A-Am)=A-A=0 при n. 4). Если члены сход. ряда (A) умнож. на одно и то же числ. c, то его сход-ть не наруш., а его  A увелич. в c раз. Док-во:nN: aic=cai от i=1 до i=n, след limcai=climai= cA при n. 5). 2-а сход. ряда (A) и (B) можно почлен. +-ть и –ть, причём (С)= anbn от n=1 до n= так же сход., причём C=A+B. Док-во: nN: Cn=aibi=ai+bn= An+Bn от i=1 до i=n, т. о. С=limCn=limAn+limBn=A+B при n. 6). Общ. член an ряда (A) 0, т. е. liman=0 при n. Док-во: при n AnA, An+1A, поэтому an= An+1-An0. Критерий Коши: ряд (A) сход., если  >0  n0N:  n>n0  pN: |An+p-An|<.




Похожие:

24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами iconДокументы
1. /UA Приближенное вычисление определенных интегралов/240-1091.DOC
24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами iconСтроение эфира
При этом из всего бесконечного разнообразия свойств реального мира в первую очередь необходимо учитывать свойства, связанные с передачей...
24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами iconСтроение эфира Глава Строение эфира
При этом из всего бесконечного разнообразия свойств реального мира в первую очередь необходимо учитывать свойства, связанные с передачей...
24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами icon1+28 Роль и место РФ в мрт
Мрт комплекс научно-производственных, валютно-финансовых и внешнеэкономических связей, основанных на специализации отдельных стран...
24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами iconЛекции на фвс, 520-1, 520-2, 530. Краткий электронный конспект по датам. Лекция 1: 10 февраля Глава Неопределённый интеграл опр и свойства
Определение первообразной, Свойства: что F+C тоже перв. (Док-ть), что разность двух первообр = C. Определение неопр интеграла. Свойства...
24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами iconВ. А. Ермеев 2007г. Тематический план
Уравнения с двумя переменными. Задание фигур на координатной плоскости уравнениями и неравенствами
24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами iconУрока: «свойства и применение предельных одноосновных карбоновых кислот» История открытия и физические свойства муравьиной кислоты

24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами iconТема: «циклопарафины: строение, свойства, применение»
Знать физические и химические свойства циклопарафинов в сравнении с предельными углеводородами, уметь записывать уравнения реакций,...
24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами iconТаблица интегралов 1

24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами iconПитер Линдеман, США. Свободная энергия в современном мире
Уди­вительные открытия, связанные с природой электричества, постепенно становились обыденным явлением. Никола Тесла де­монстрировал...
24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами iconКвадратичная функция, её свойства и график Цели урока: Повторить свойства квадратичной функции
Способствовать расширению кругозора через информационный материал, диалоги и совместные размышления
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы