41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле icon

41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле



Название41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле
Дата конвертации22.07.2012
Размер167.04 Kb.
ТипДокументы
1. /Матан/ОбщаГ 2 (01-14,42).doc
2. /Матан/ОбщаГ 2 (15-23,27).doc
3. /Матан/ОбщаГ 2 (24-26,28-31,33,34).doc
4. /Матан/ОбщаГ 2 (32,37,39,40,51-55).doc
5. /Матан/ОбщаГ 2 (35,36,38,41, 43-50).doc
6. /Матан/ОбщаГ 2 (56-58, содерж-е).doc
1. ф-ии заданные парам. Вычисление высших производных ф-й заданных параметрически и обр ф-ии
Лемма 4 Для 2-х произв-х, и вообще различных разб-й от-ка [a,b] ниж-я сумма одного из них не превосходит верх-й суммы др-го. Док-во
24. Свойства определенных интегралов, связанные с неравенствами
Опр.: фигур. F, орг граф функ.: заданн на [a;b] непрер и неотр f(X), x=a, x=b (a>b) и y=0, наз криволин трап. Теор
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле
56. Разложение в ряд Тейлора ф-ий ex, sinx, cosx, ln(1+x). Ф-ла Стирлинга

41.Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле.

Переместительное св-во: Пусть (А) сход-ся и его сумма А; переставив в нем члены произвольным образом, мы получим нов. ряд: Σ{k=1,∞}ак’= а1’+а2’+а3’+…+ак’+…(А’), каждый член ак’ из (А’) отождествляется с определенным членом аnk исходного ряда, причем, когда индекс к пробегает натур. ряд, индекс nк так же пробегает натур. ряд без пропусков и повторений.

Теорема Дирихле: Если ряд (А) абсолютно ходится, то ряд (А’), полученный из него перестановкой членов также сходится , причем абсолютно и имеет ту же сумму А, что и исходный ряд. Док-во: 1 случай: 1) пусть сначала (А) – положительный. Р-м произвольную частную сумму Ак’= а1’+а2’+а3’+…+ак’+…(А’), пусть а1’= аn1, а2’= аn2,… аk’= аnk. 2) Фиксируем произвол ñєN: больше каждого из чисел n1,…, nк, тогда очевидно Ак’≤ Аñ≤A, т.е. " kєN Ак’≤A (2); 3) из (2) (А) сходится (все част суммы ограничены сверху); 4) Переходя в (2) к lim при k→∞, получим, что А’≤A. 5)Поменяем теперь ролями ряды (А) и (А’),т.е.
будем считать, что ряд (А) получ-ся из (А’) перестановкой членов в ряде (А’), повторяя приведенные рассуждения,

получим А≤A’. 6) т.о. А’=A. 2 случай 1) Пусть (А) имеет члены произвольного знака, которые сходятся абсолютно, а это, что сод-ся ряд из

модулей (А*). Это положительный ряд (А*)  в силу уже док-го будет сходиться " ряд, получ из (А*) перестановкой его членов. 2) В частности, будет сходится и ряд ‌‌‌|а1’|+|а2’|+|а3’|+…+|ак’|+…,а это означает, что(А’) абсолютно сходится (а потому просто сходится). 3) Док-ем теперь, что А’=A Ранее было установлено, что А=В-С, где В – есть сумма ряда (В), сост из положительных членов (А), взятых в порядке их следования, С – сумма (С), сост-го из модулей отрицательных членов (А), взятых в порядке их след-ия. 4) перестановка членов в (А) вызовет престановку членов из (В) и (С), однако, в силу уже док-ного сумма этих рядов не изменится, поэтому А’=В-С, т.е. А’=A. чтд. Т.о. абсолютно сходящиеся ряды обладают переместительным св-ом .

43. Умножение рядов. Теорема Коши.

Умножение рядов. Пусть даны 2-а сход ряда : (А) с суммой А А=Σ{n=1,∞}an (А) и (В) с суммой В: В=Σ{n=1,∞}bn (В). следуя правилу умножения конечных сумм, рассмотрим всевоз-ые парные произведения akbl членов этих рядов. Составим из них бесконечную матрицу.

Из элементов (1) можно

многими способами составлять

ряды. Можно р-ть эл-ты, состо-

ящие на диагоналях и объединять

в скобки эл-ты, стоящие на одной диагонали.

Т.е. a1b1+ (a1b2+a2b1)+( a1b3+ a2b2+ a3b1)+… Можно выписывать эл-ты (1)по квадратом, объединяя в скобки слагаемые, отличающие один квадрат от другого a1b1+ (a1b2+ a2b2+ a2b1)+( a1b3+ a2b3+ a3b3+ a3b2+a3b1)+… (2)Обозначим ряд за (С). Заметим, что в случае (2), частичные суммы Сn , Аn и Вn рядов (С), (А) и (В) связаны соотношением : Сnn•Вn.

Теорема Коши. Пусть оба ряда (А) и (В) сходятся абсолютно и имеют суммы А и В соот-но, тогда ряд составленный из всевозможных произведений аkbl из (1), взятых в произвольном порядке, так же абсолютно сходится и имеет своей суммой произведение сумм АВ.

Док-во. 1) Р-м ряд Σ{i=1,∞}wi (W) { wi} – послед-ть всевозможных чисел аkbl из (1), занумерованных в произвольном порядке. Покажем, что сходится ряд Σ{i=1,∞}|wi| (W*). Т.е. что ряд (W) сходится абсолютно. Р-м частичную сумму (Wn*) ряда (W*). При фикс. n Wn* состоит из конечного числа слагаемых вида |аkbl|. Среди индексов k и l есть наибольший, обозначим его через m, тогда будет верно: Wn*≤(|а1|+…+|аm|)(|b1|+…+|bm|),т.о. "nєN верно (Wn*)≤А*В*, где А*{n=1,∞}n|, B*{n=1,∞}|bn|, отсюда следует, что (Wn*) сходится, т.е. что ряд (W) сходится абсолютно, найдем его сумму. Абсолютно сход ряд обладает и сочетательным, и переместительным св-ми. Преобразуем ряд (W) к виды, пригодному для суммирование по квадратам (2). Обозначим преобразованный ряд через (С). Очевидно, W=C. Т.к. "nєN выполняется Сnn•Вn, где частичные суммы Сn , Аn и Вn рядов (С), (А) и (В) соответ-но, переходя в произведении к пределам получим С=АВ, поэтому W=АВ.чтд.

44.Признак Лейбница сход-ти знакочеред рядов.

Ряд знакочередующийся, если члены его поочередно имеют то +, то - знак,, ряд удобно записывать в виде р1234+…+(-1)nрn+…, рn≥0, n=1,2,…

Теорема Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда взятые по модулю, образуют уб. бм посл-ть, то этот ряд сходится. Док-во. 1) пусть дан ряд (S), удовл условию теоремы р1234+…+(-1)nрn+… (S). 2) Р-м сначала частичные суммы ряда (S) с четными индек-сами. 3) запишем сумму S2n= (р12)+(р34)+…+(р2n-1+ р2n)(1){"скобка ≥0}. 4)из (1) =>{S2n} явл возр.; пок-ем, что она ограничена сверху. 5) S2n1-(р23)-(р45)-…-(р2n-22n-1)- р2n(2) {"скобка ≥0}. 6) из (2) => "nєN: S2n≤р1.(3) В силу т. Вейерштрасса посл-ть {S2n} сходится. 7) Переходя в (3) к пределам при n→∞: limS2n=S≤р1. 8) Р-м теперь частичные суммы с нечет-ным индексом , т.к. "nєN: S2n-1=S2n2n, р2n→0 при n→∞, то limS2n-1=S, т.к. S2n→S, S2n-1→S при n→∞, то и Sn→S, т.е. (S)сходится. чтд. При док-ве теоремы было показано, то S2n – возр посл, т.к. S2n→S при n→∞, то "nєN S2n≤S, т.к. S2n≤ р1, то для суммы S:0≤ S2n≤р1. (4) Ф-ла (4)позволяет оценить сумму остатка rm ряда S после этого члена. Запишем rm в виде: rm=(-1)mm+1m+2+…). Из (4) сумма, стоящая в скобках, неотри-цательна и не превосходит числа рm+1, поэтому |rm| ≤ m+1, |S- Sm|≤рm. Ряд, удовл. ус-иям теоремы наз рядом Лейбница или лейбницевского типа.

45.Признак Дирихле-Абеля (с тож-вом Абеля).

Пусть даны 2е числ.посл-ти {uk}и{vk}и пусть Sn{k=1,n}uk,nєN,пусть S0=0. Для "nєN,рєN: Σ{k=n,n+p}ukvk{k=n,n+p-1}Sk(vk-vk+1)+ Sn+pvn+p -Sn-1vn–тож-во Абеля(1).Д-во:т.к."kєN:uk=Sk-Sk-1, то Σ{k=n,n+p}ukvk{k=n,n+p}(Sk-Sk-1)vk = Σ{k=n, n+p}Skvk{k=n,n+p}Sk-1vk=(m=k-1)=Σ{k=n,n+p}Skvk{m=n-1,n+p-1} Smvm+1= Σ{k=n,n+p}Skvk+ Sn+pvn+p{m=n-1,n+p-1} Smvm+1-Sn-1vn{k=n,n+p-1}Sk(vk-vk+1)+ Sn+pvn+p- Sn-1vn. (1) чтд.

Признак Дирихле–Абеля. Дан ряд Σ{k=1,∞}ukvk (2) и вып 2 ус-ия:1){vk}явл уб и бм.2)Σ{k=1,∞}uk, имеет огр. посл. частич сумм, тогда ряд сход-ся.

Док-во. Т.к.{vk} явл уб и бм, то"kєNvk≥0. 2) Ус-ие (2) означает, что $ М>0:"nєN:{k=1,n}uk|≤M. Оценим |Σ{k=n,n+p}vkuk|, по тож-ву Абеля, полу-чим Σ{k=n,n+p}vkuk= Σ{k=n, n+p-1}Sк(vk-vk+1)+ Sn+pvn+p-Sn-1vn(3).(3)=> |Σ{k=n,n+p}vkuk|≤ Σ{k=n, n+p-1}|Sк|(vk-vk+1)+|Sn+p|vn+p+|Sn-1|vn≤M•Σ{k=n, n+p-1}(vk-vk+1) + Mvn+p+Mvn=M{( vn-vn+1)+( vn+1-vn+2)+…+( vn+p-1-vn+p)}+ Mvn+p+Mvn=M{vn-vn+p}+ Mvn+p+ Mvn=2Mvn, т.о. "n,pєN:{k=n,n+p}vkuk| ≤2Mvn(4). Фикс ε>0 и найдем NєN:"nєN:vn<ε/2M, то из (4) =>"n>N,"pєN: |Σ{k=n,n+p}vkuk|≤2Mvn< 2M•ε/2M<εряд(2)удовл крит сход Кошисход.

46.Понятие ф.п. и ф.ряда. Виды сходимости. Критерий Коши равн сх ф.п. и ф.р.

Def: Пусть фикс некот мн-во Х из R "nєN поставлено в соотв-ие по опред закону некот ф-ия fn(х), зад на Х, тогда мн-во занум ф-ий: f1(х),f2(х), …,fn(х)–ф. посл. Обозн:{fn(х)}, {fn}, fn(х), n=1,2,… Сами ф-ии наз членами или эл-ми посл-ти , мн-во Х – областью опр-ия посл-ти. Пусть теперь на Х задана ф.п.{ un(х)}. Формальную сумму Σ{k=1,∞}uk(х)= u1(х)+ u2(х)+…+ un(х)+… наз функц. рядом; мн-во Х – об-ластью опред. функю ряда; а ф-ии un(х) – членами ряда. Ф-ии вида Sn(х)=Σ{k=1,n}uk(х)- частичные суммы ряда. Сходимость в точке и на мн-ве. Пусть на мн-ве Х задана {fn(х)} и ряд Σ{n=1,∞}un(х), фиксир произвол т. х0єХ, р-м посл-ть {fn(х)}(1) и числ ряд Σ{n=1,∞}un0)(2); если числ посл-ть (1) сх-ся, то говорят, что ф.п. {fn(х)} сх-ся в точке х0; если сх-ся ряд (2), то говорят, что ф.ряд Σ{n=1,∞}un(х) сх-ся в т. х0. М-во всех тт х0, в которых сх-ся данная ф.п. или ряд наз-ся областью сх-ти этой посл или ряда (может быть пусто). Пусть посл {fn(х)} сход на Х. Ф-ю f(x), зад на Х соотнош f(x)=limfn(х),n→∞ xєX наз предельной ф-ей посл {fn(х)}(или поточечным пределом). В этом случае говорят, что fn(х) сходятся к f(х) на Х при n→∞. Анал, если на некотором мн-ве Х сходится ф.ряд Σ{n=1,∞}un(х), то на этом мн-ве определена ф-я S(x), явл предельной ф-ей посл-ти его частичных сумм {Sn(х)} и называется суммой этого ряда, так что S(x)=limSn(х), n→∞,xєX.Понятие равн сх-ти посл-ти на мн-ве функц. посл-ти и ф. ряде.Пусть {fn(х)} сход на Х к пред ф-ии f(x). Опр:Посл {fn(х)} сход-ся к ф-ии f(x) рав-но на Х, если "ε>0 $N=N(ε):n≥N"xєX |fn(х)-f(x)|<ε Обоз-ся fn(х)=»f(x).Зам1:N зависит лишь от ε и не зав от х.

Замеч2: Из сход {fn(х)} на мн-ве Х не следует ее равн сх-ть на этом мн-ве. Пусть fn(х) сходится неравномерно к f(x) на Х, $ ε>0"N=N(ε):$n≥N$xєX |fn(х)-f(x)|≥ε.Замеч3:Если равн-но сх-ся на Х, то также и на " его подмн-ве.Опр: Функ. ряд Σ{n=1,∞}un(х) наз-ся равномерно сход на Х к своей сумме S(x), если посл-ть {Sn(х)} его част сумм сход-ся равн на Х к предельной ф-ии S(x). Σ{n=1,∞}un(х) сход равн. на Х, если "ε>0 $N=N(ε):n≥N"xєX| S(х)- Σ{k=1,n}uk(х)|<ε, т.е |rn(х)|<ε.

Критерий равн-ой сх-ти функ посл-ти и ряда. Для того чтобы ф.п. {fn(х)} равномерно на Х сходилась к некоторой пред ф-ии "ε>0$N=N(ε):"n≥N"xєX |fn+p(х)-fn(х)|<ε. Док-во.1) Н. пусть {fn(х)} сход равн на Х к предельной ф-ии f(x). Фиксируем "ε>0 и найдем NєN:n≥N"xєX выпон. нер-во |fn(х)-f(x)|<ε/2. Тогда "n≥N,"pєN, "xєX,: |fn+p(х)-fn(х)|= |(fn+p(х)-f(x))+(fn(х)-f(x))|≤ |fn+p(х)-f(х)|+|fn+p(х)-f(х)|<ε/2+ ε/2= ε. 2)Д. пусть ф.п. {fn(х)} удовл ус-иям теоремы; фиксир произв. ε>0 и найдем NєN"n≥N"pєN"xєX|fn+p(х)-fn(х)|<ε,фиксируем произвол т. хєХ, т.к нер-во вып-ся "n≥N"pєN, то {fn(х)} – фундаментальна и потому сходится, т.е. расм. ф-я посл. сходится к х. В силу произвол-ти х ф.п. сходится к каждой точке мн-ва Х. Введем в рассмотрение пред ф-ю f(x)=limfn(х), xєX(ранее док-ли, что она $). Переходя в нер-ве при фиксированном xєXк пределу при р→∞ и учитывая, что limfn+p(х)=f(x), получим нер-во |fn+p(х)-fn(х)|≤ε "n≥N"хєХ. В силу произ-ти ε получаем, что fn(х)=»f(х) на Х при n→∞. Следствие: для того, чтобы ф.ряд Σ{k=1,∞}uk(х) равномерно на Х сходился к некоторой сумме "ε>0$N=N(ε):"n≥N"xєX |Σ{k=n,n+p}uk(х)|<ε. Замеч.: для равномерной сходимости limsup|fn(х)-f(х)|=0.

47. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функ. ряда.

Пусть ф. ряд Σ{k=1,∞}uk(х) опред на Х и пусть $ сход-ся ряд Σ{k=1,∞}сk:"kєN, "xєX:| uk(х)|≤ck, тогда данный фю ряд сход-ся равномерно на Х. Док-во. 1) Покажем, что ряд Σ{k=1,∞}uk(х) удовл. критерию Коши равномерной сходимости. Фиксируем "ε>0: т.к. ряд Σ{k=1,∞}сk сходится, то он удовл крит. Коши сход-ти числовых рядов, поэтому $NєN: "n≥N, "pєN будет верно: |Σ{k=1,∞}ck|= Σ{k=n+1,n+p}ck<ε, поэтому "n≥N"pєN"х≥Х: |Σ{k=n+1,n+p}uk(x)|≤Σ{k=n+1,n+p}ck<ε, т.е. Σ{k=1,∞}uk(х) удовл критерию Коши равномер сход-ти, поэтому он сх-ся равномерно на Х .чтд. Ex: Σ{k=1,∞}coskx/k2 ,X=R(1). Σ{k=1,∞}1/k2 <∞, (1/k2=ck): |coskx/k2|≤1/k2,"kєN"x≥R, поэтому исходный ряд сходится равномер по всей числовой прямой {fn(х)} наз-ся раномер огр на мн-ве Х, если $М≥0: "n(номера)и"хєХ верно |fn(х)|≤M.

48.Признак Дирихле-Абеля равн сход-ти ф. ряда.

Σ{k=1,∞}uk(х)vk(х), xєX (1) и выполняютя ус-ия: 1){vn(х)}- уб на X, т.е."хєХ: v1(х)≥ v2(х)≥… ≥ vn(х)≥…и равномер. на этом мн-ве сход к 0, т.е. vn(х)=»0,n→∞. 2) Ряд Σ{k=1,∞}uk(х) имеет равно-мер огран на Х посл-ть частич сумм, тогда ряд (1) сходится на Х равномерно. Заметим сначала, что "nєN"xєXvn(х)≥0. Ус-ие 2) обозначает, что $ const M >0:"nєN"xєX Sn(х)=Σ{k=1,n}uk(x) вып: Sn(х)≤М. Используя, как и ранее, тож-во Абеля , поучаем,"nєN"pєN"xєX:|Σ{k=n,n+p}uk(х)vk(х)|≤2Mvn(х) (2). Фикс. произвол ε>0: т.к. vn(х) =»0,на Х, при n→∞, то $NєN:"n≥N:"xєX vn<ε/2M (3). Из (2) и (3)"n≥N:"pєN"xєX |Σ{k=n,n+p}vkuk| ≤2Mvn<2M•ε/2M<ε, т.о.ряд (1) удовл. крит Коши равномер сход-ти и потому сход-ся равномерно на Х. чтд. Пример Σ{k=1,∞}coskx/k ,X=R. uk(х)=coskx. vk(х)=1/k=»0,k→∞(огр уб посл). х≠2πm,mєZ,то |Σ{k=1,n}coskx|≤1/|sin x/2|. Пусть теперь Х=[a;b], причем [a;b] не содержит ни одной точки вида х=2πm,mєZ. ([a;b] лежит м-ду 0 и 2π). $m>0"xє[a;b] |sin x/2|≥m, поэтому "nєN"xє[a;b]: Σ{k=1,n}coskx≤1/m, поэтому ряд сход-ся равномерно на "[a;b] указанного типа.

35. Т-ма о сх-ти положит-х числ-х рядов. Т-ма сравнения для полож-х рядов (т-ма 1).

Опр.: ряд (A) наз. полож., если все его члены неотр. Теор.: Полож. ряд (A) всегда имеет -у, она конечна (а ряд сход.), если част. -ы ряда огр. сверх., и она неконечн. (а ряд расх.) в против. случ. Теор.1: Пусть (A) и (B) – два полж. ряда. Если, начин. с нек. номера n0, при n>n0 выпол. нерав. AnBn, то из сход. ряда (B) =>-ет сход. ряда (A), а из расх. ряда (A) -ет расх. ряда (B). Док-во: для опред. будем счит., что  nN anbn. Пусть ряд (В) сход., тогда  L>0: BnL,   nN: AnL, т. о. (А) так же сход. Расход. док. аналог.

38. Интегр-ый признак Коши-Маклорена.

Теор.: Пусть f(x) полож. и невозр. всюду при xm, где m фикс. N-числ. Тогда ряды с членами Fn=f(k) от k=m до k= и an=mnf(x)dx сход. и расх. одновр. Док-во: Фикс. произв. km+1. Рассм. функ. f(x) на отр. [k-1;k]. Т. к. функ. f(x) монот. на нём, т. е  x[k-1;k]: f(k)f(x)f(k-1), то она -ма на нём. -я функ. f(x) на отр. [k-1;k], получим f(k)k-1kf(x)dxf(k-1). Запишем получ. соотн. для всех k{m+1,...,n}: f(m+1)mm+1f(x)dxf(m),..., f(n)n-1nf(x)dxf(n-1). Склад. между собой получ. соотн. получ. f(m+1)+...+f(n)mnf(x)dxf(m)+...+f(n-1), Fn-f(m)an Fn-f(n). Посл. {an} и {Fn} возр. и в силу теор. Вейерштрасса они сход., т. к. они огр. сверх, т. о. ряды с членами an и Fn сход. и расх. одновр.

36. Т-ма о сх-ти полож-х числ-х рядов (т-мы 2 и 3).

Теор. 2: Пусть (A) и (B) – два полож. ряда. Пусть liman/bn=k при n, k0. Тогда если ряд (В) сход. и k<, то сход. и ряд (A), если ряд (В) расх. и k>0, то расх. и ряд (A), и если 0Док-во: Пусть (B) сход. и k<, тогда т. к. послед. {an/bn} сход., она огр., т. е.  c>0:  nN: an/bn с, и  nN: an сbn. Т. к. ряд (B)=bn от n=1 до n= сход., то сход. и ряд c(B)=cbn от n=1 до n=, и в силу теор. 1 сход. и ряд (A). Пусть ряд (B) расх. и k>0. Заметим, что  n0N:  n>n0: an >0. limbn/an=1/k<, т.о. если бы ряд (А) сход.,то всилу уже док. сход. бы и ряд (В), а он расх., поэтому ряд (A) также расх. Теор. 3: Пусть (A) и (B) – два полож. ряда. Если, начин. с нек. номера n0N,  n>n0: an+1/an bn+1/bn, то из сход. ряда (B) =>-ет сход. ряда (A), а из расх. ряда (A) -ет расх. ряда (B). Док-во:  n>n0: an+1/an bn+1/bn. Запишем n таких нерав. a2/a1 b2/b1,..., an+1/an bn+1/bn, перемн. их почл. (a2/a1)(a3/a2)...(an+1/an)(b2/b1)(b3/b2)...(bn+1/bn), т. о. an+1/a1 bn+1/b1, т. е. an+1(a1/b1)bn+1, т. о. В силу теор. 2 получ., что из сход. ряда (B) -ет сход. ряда (A), а из расх. ряда (A) -ет расх. ряда (B).

49.Т-мы о предел. переходе в ф. рядах и посл-х. Непр-ть суммы ряда. Т-ма Дини.

Пусть ХсR и пусть а – т. сгущения мн-ва Х. Т-ма: Пусть ф-ый ряд сход равномерно на Х к S(x) и пусть "ф-ия uk(х) имеет в т. а конеч lim bk, т.е. limuk(х)=bk, x→a, k=1,2, тогда 1)числ ряд Σ{k=1, ∞}bk сх-ся. 2)S(x) также has в т.f конеч lim, b limS(x)= Σ{k=1,∞}bk, x→a, т.е. lim Σ{k=1, ∞}uk(х) =Σ{k=1,∞}limuk(х), x→a (гово-рят, в ряде возмож почлен переход к lim). Д-во. 1) Д-ем, что ряд Σ{k=1,∞}bk сх-ся. Фикс. ε>0, т.к. Σ{k=1, ∞}uk(х) сх-ся равномерно на Х, то $NєN"n≥N"pєN "хєХ: Σ{k=n+1,n+p}uk(х)<ε/2 (1).2)т.к. lim суммы ф-ий=сумме limов этих ф-ий, то переходя в (1) к lim при х→а,получим: |Σ{k=n+1,n+p}bk|≤ε/2<ε, т.о. "n≥N "pєN: |Σ{k=n+1,n+p}bk|<ε, в силу крит. Коши Σ{k=1, ∞}bk сх-ся. 3) Оценим в U(а) S(x)- Σ{k=1,∞}bk. "nєN "хєХ: это представимо в виде S(x)- Σ{k=1,∞}bk= Σ{k=1,∞}uk(х)-Σ{k=1,∞}bk= [Σ{k=1,n}uk(х)-Σ{k=1,n} bk]+Σ{k=n+1,∞}uk(х)- Σ{k=n+1,∞}bk. Отсюда 4)| S(x)- Σ{k=1,∞}bk|≤ |Σ{k=1,n}uk(х)-Σ{k=1,n}bk| +|Σ{k=n+1,∞}uk(х)|+|Σ {k=n+1,∞}bk|. (2) Фикс произ ε>0; т.к. Σ{k=1,∞}bk сх-ся, ф.ряд Σ{k=1,∞}uk(х) равн сх-ся на Х, то $NєN"n≥N верно одновр-но: |Σ{k=1, ∞}bk|<ε/3 и |Σ{k=n+1,∞}uk(х)|<ε/3 (3), последнее верно "хєХ. 5) фикс произв n≥N, из (2) и (3) "хєХ S(x)-Σ{k=1,∞}bk|≤|Σ{k=1,n}uk(х)-Σ{k=1,n}bk|+2ε/3 (4) 6)По ε/3 выбер д>0:"xєX∩Ů(a;д) |Σ{k=1,n}uk(х)-Σ{k=1,n} bk|<ε/3.(5).7)(4)и(5)"xєX∩Ů(a;д):S(x)- Σ{k=1,∞}bk| <ε. В силу произ-ти ε получаем, что

limS(x)=Σ{k=1,∞}bk=Σ{k=1,∞}limuk(х), x→a. чтд. В терминах посл-ей т-ма принимает вид: Пусть ф.п. {fn(х)} сх-ся равн на Х к пред ф-ии f(x) и " fn(х) имеет в т. а конеч lim, тогда пред. ф-ия f(x) также имеет в т.а конеч lim,причем limf(x),x→a=lim(limfn(х),n→∞), x→a=lim(limfn(х),x→a),n→∞, т.е. к lim можно пере-ходить почленно. Док-во: 1) представ ф-ю f(x) на Х как сумму ряда f(x)= f1(х) +Σ{k=1,∞}(fk+1(х)-fk(х)) (F), т.к. "n≥2 Fn(х)=f1(х)+ Σ{k=1,n-1}(fk+1(х)-fk(х))=fn(х) и fn(х)=»f(x), на Х при n→∞, то ряд F сх-ся к своей сумме f(x) равн на Х. 2) пусть limfk(х)=bk,x→a "kєN. Примен уже док-ую т-му для ф.р., получаем, limf(x), x→a=lim (f1(х)+ Σ{k=1,∞}(fk+1(х)-fk(х))),x→a=lim(b1 +Σ{k=1, n-1}(bk+1-bk)),n→∞=limbn,n→∞= lim(limfn(х), x→a)n→∞. чтд. Непрер суммы ряда и предельной ф-й посл. Пусть Σ{k=1,∞}uk(х) сх-ся равн на Х к S(х), а –т. сгущ Х,аєХ и " ф-я un(х) непр. в т. а, примен док-ую т-му: limS(x),x→a=lim(Σ {k=1,∞} uk(х)), x→a= Σ{k=1,∞} limuk(х),x→a= Σ{k=1,∞}uk(a)= S(a), т.е. S(x) непр в т. ф. Анал, утв и для ф.п. Т-ма: if все члены ф.р.(ф.п.) непр на [a;b] и if указ ряд (ф.п.) сх-ся на [a;b] равн, то и Σ этого ряда (пред. ф.п.) непр. на [a;b]. Т-ма Дини1: Пусть члены ряда Σ{k=1,∞}uk(х) непр на [a;b] и ≥0,if ряд имеет S(x) также непр на [a;b], то ряд сх-ся на [a;b] равн. Т-ма Дини2: Пусть посл-ть {fn(х)}непр-ых на [a;b] ф-ий → f(x) при n→∞, монот возр, т. ч. "хє[a;b] f1(х)≤ f2(х)≤…≤ fn(х)≤…If и f(x) непр на [a;b], то {fn(х)} сх-ся к f(x) равномер на [a;b].

50.Т-мы о почлен. интегрировании ф.п. и ф.р.

Т-ма:Пусть ф.п. {fn(х)} сход к f(x) равн на [a;b] и пусть "fn(х) интегр на [a;b], то f(x) также интегр на [a;b] и справедливо соотношее lim∫abfn(х)dx=∫abf(x)dx, n→∞ т.е. указ послед можно интег-ть почленно. Док-во. I.1)Д-ем , что f(x) интегр на [a;b]. Введем некотор обозначения: {xk}k=0k=1 – произвол разбиение [a;b] с частич сегментами [хk-1;xk],k=1,2,..,m; пусть wk(f) - колебание ф-ии f(x) на [хk-1;xk], wk(fn)-колебание ф-ии fn(x) на [хk-1;xk]. 2) Фикс произвол ε>0 и покажем, что $n=n(ε):"{xk}k=0k=1[a;b] будут выполн 2 нер-ва: wk(f)≤ wk(fn)+ε•∆xk/2(b-a). "х’,х”є[a;b] и "nєN верно: f(x’)-f(x”)=|f(x’)-fn(х’)+(fn(х’)-fn(х”))+(fn(х”)-f(x”)|≤|f(x’)-fn(х’)|+|fn(х’)-fn(х”)|+|fn(х”)-f(x”)|. (1) 3)Т.к. fn(х)=»f(x) на [a;b], n→∞, то $n=n(ε) "xє[a;b] верно |fn(х)-f(x)|<ε/4(b-a).(2). 4)Из (1) и (2) для данного n и "х’,х”є[a;b] верно |f(х’)-f(х”)|≤ |fn(х’)-fn(х”)|+ε/2(b-a).(3) 5) Пусть теперь {xk}k=0k=1 есть произ разб [a;b] с частич сегментом [хk-1;xk], k=1,2,..m. Считая, что х’,х”є[хk-1;xk], k=1,2,..m. из (3)


|f(х’)-f(х”)|≤wk(fn)+ε/2(b-a) wk(f)≤wk(fn)+ε/2(b-a) (4)6) (4)×∆xk=>суммируя по k=1,2,..m получим S-s≤Sn-sn+ε/2 (5), где S,s–суммы Дарбу для f(x), отвеч {xk}k=0k=1[a;b], Sn,sn–суммы Дарбу для fn(х), отвеч {xk}k=0k=1[a;b], 7)Т.к. ф-я {fn(х)} интегр на [a;b], то $ {x̃k} [a;b]: для Sn,sn ф-я fn(х), отвеч{x̃k}будет верно Sn-sn<ε/2, тогда из (5)=> для S,s для f(x), отвеч разб {x̃k} будет верно S-s<ε. В силу произв ε>0 получаем, что f(x) интегр на [a;b]. II. Д-ем, что lim∫abfn(х)dx=∫abf(x)dx, n→∞. 1) Фикс ε>0, т.к. fn=»f, n→∞, на [a;b], то $NєN"n≥N"xє[a;b] |fn(х)-f(x)|≤ε/2(b-a),то"n≥N верно |∫abfn(х)dx-∫abf(x)dx|=|∫ab(fn(х)-f(x))dx|≤∫ab|fn(х)dx-f(x)|dx≤ε/2(b-a)∫abdx=ε/2<ε, т.е. "n≥N |∫abfn(х)dx-∫abf(x)dx|<ε =>lim∫abfn(х)dx=∫abf(x)dx,n→∞, чтд. В терминах ф.р. данная т-ма принимает вид: Пусть ф.р. Σ{k=1,∞}uk(х) сх-ся равн на [a;b] к своей сумме S(x); пусть " ф-ия uk(х) интегр на [a;b], то S(x) также интегр на [a;b] и верно: ∫abS(x)dx=∫ab{k=1,∞}uk(х))dx=Σ{k=1,∞}( ∫abu(x)dx), т.е. указ ряд можно интегр. почленно.



Похожие:

41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле iconВнешние связи моу «Гимназия №6»
Гимназия как учреждение социальной направленности не существует абсолютно автономно. Для решения большого ряда задач без наличия...
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле icon1. Исходя из определения, найдите сумму ряда. 2
Найдите радиус сходимости степенного ряда и сумму этого ряда, применяя теоремы о дифференцировании и интегрировании рядов
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле icon-
Внимание! То,что Вы сейчас прочитаете, не имеет абсольтно никакой связи с действительностью. Или почти абсолютно никакой. Или абсолютно...
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле iconТеорема Пифагора Теорема в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Пусть авс данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту сd из вершины прямого угла С
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле iconВеликая теорема Ферма
Великая теорема Ферма знаменита очень простой формулировкой и невероятно сложным доказательством, на поиск которого ушло более 300...
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле iconОбобщение по теме «Теорема Пифагора»
Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле iconВопросы к зачету по геометрии для 8 класса
Определение средней линии треугольника. Теорема о средней линии треугольника. Теорема Вариньона
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле iconМальцева Анна Глава 1 От мирового пространства к миру в пространстве
Полное” и “пустое” – два неразрывно связанных понятия: атомы (абсолютно “полное”) могут существовать и двигаться только в абсолютно...
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле iconТеорема Пифагора и числа Фибоначчи
Несмотря на ее предельную простоту, теорема Пифагора, по мнению многих математиков относится к разряду наиболее выдающихся математических...
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле iconВыполнил ученик 10 «А»класса средней школы с. Яникой Габаев М. 2005 г Теорема Пифагора
Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Определим возможности, которые...
41. Переместительное св-во абсолютно сходящегося ряда. Теорема Дирихле iconМашина листовая офсетная ряда офсет-52 Листовые офсетные печатные машины ряда «офсет-52»
Листовые офсетные печатные машины ряда «офсет-52» предназначены для печати на бумаге и картоне в один или несколько прогонов одно-,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов